自动控制原理自控第五章

【授课时间】：、11.20上午三四节【授课形式】：多媒体【授课地点】：43064114【授课时数】：2【授课题目】：频率特性及典型环节的频率特性【教学目标】1、正确理解频率特性的概念；2、熟练掌握典型环节的频率特性，熟记其幅相特性曲线及对数频率特性曲线。【教学重难点】重点：典型环节的频率特性难点：典型环节的幅相特性曲线及对数频率特性曲线【教学内容】复数的表示形式：(1)代数式：A=a+bj(2)三角式：A=R(cosφ+jsinφ)(3)指数式：A=Rejφ(4)极坐标式：A=R∠φ5.1频率特性一、频率特性定义频率特性是控制系统在频域中的一种数学模型，是研究自动控制系统的一种工程求解方法。系统频率特性能间接地揭示系统的动态特性和稳态特性，可简单迅速地判断某些环节或参数对系统性能的影响，指出系统改进方向。频率特性的定义（1）频率响应:在正弦输入作用下，系统输出的稳态值称为频率响应。（2）频率特性:频率响应c(t)与输入正弦函数r(t)的复数比。幅频特性：输出响应中与输入同频率的谐波分量与谐波输入的幅值之比A(ω)为幅频特性相频特性：输出响应中与输入同频率的谐波分量与谐波输入的相位之差φ(ω)为相频特性实频特性：虚频特性：RCuruci例5-1已知ui(RCuuci其中，T=RC零初始条件稳态分量瞬态分量稳态分量瞬态分量上式表明：对于正弦输入，其输出的稳态响应仍然是一个同频率正弦信号。但幅值降低，相角滞后。幅频特性和相频特性数据频率特性的性质1）与传递函数一样，频率特性也是一种数学模型。且只适用于线性定常系统。它描述了系统的内在特性，与外界因素无关。当系统结构参数给定，则频率特性也完全确定。2）频率特性是一种稳态响应。系统稳定的前提下求得的，不稳定系统则无法直接观察到稳态响应。从理论上讲，系统动态过程的稳态分量总可以分离出来，而且其规律并不依赖于系统的稳定性。因此，我们仍可以用频率特性来分析系统的稳定性、动态性能、稳态性能等。3）系统的稳态输出量与输入量具有相同的频率。当频率?改变，则输出、输入量的幅值之比A（?）和相位移?（?）随之改变。这是系统中的储能元件引起的。4）实际系统的输出量都随频率的升高而出现失真，幅值衰减。所以，可以将它们看成为一个“低通”滤波器。5）频率特性可应用到某些非线性系统的分析中去。二、频率特性、传递函数、微分方程的关系系统系统频率特性传递函数微分方程频率特性是传递函数的特例，是定义在复平面虚轴上的传递函数，因此频率特性与系统的微分方程、传递函数一样反映了系统的固有特性。例：频率特性的求取：（1）根据定义求取。即对已知系统的微分方程，把正弦输入函数代入，求出其稳态解，取输出稳态分量与输入正弦量的复数比即可得到。（2）根据传递函数求取。即用s=j?代入系统的传递函数，即可得到。（3）通过实验的方法直接测得。5.1.3频率特性的图示方法频率特性的图形表示是描述系统的输入频率ω从0到∞变化时频率响应的幅值、相位与频率之间关系的一组曲线。常用频率特性曲线及其坐标系半对数坐标半对数坐标伯德图对数频率特性曲线2极坐标极坐标图奈奎斯特图幅相频率特性曲线1坐标系图形常用名名称序号1.幅相频率特性曲线对于一个确定的频率，必有一个幅频特性的幅值和一个幅频特性的相角与之对应，幅值与相角在复平面上代表一个向量。当频率ω从零变化到无穷时，当频率ω从零变化到无穷时，相应向量的矢端就描绘出一条曲线。这条曲线就是幅相频率特性曲线，简称幅相曲线，又称Nyquist图。例：RC电路的幅相频率特性。因此RC网络的幅相频率特性是一个以(0.5,j0)为圆心，以0.5为半径的半圆。2.对数频率特性曲线（Bode图）又称为伯德曲线（伯德图），由对数幅频曲线和对数相频曲线组成，是工程中广泛应用的一组曲线。在半对数坐标纸上绘制，由对数幅频特性和对数相频特性两条曲线所组成。半对数坐标：横坐标不均匀，而纵坐标是均匀刻度。对数幅频相频横坐标是ω的对数分度,纵坐标是L(ω)的线性分度，此坐标系称为半对数坐标。采用对数坐标图的优点：（1）将低频段展开，将高频段压缩。（2）当系统由多个环节串联而成时，简化运算。 …（3）所有典型环节乃至系统的频率特性可用分段直线近似表示。（4）容易将频率实验数据用分段直线拟合，从而得到对数频率特性或传递函数。纵坐标是以幅值对数分贝数刻度的，是均匀的；横坐标按频率对数标尺刻度，但标出的是实际的值，是不均匀的。——这种坐标系称为半对数坐标系。在横轴上，对应于频率每增大10倍的范围，称为十倍频程(dec)，如1-10，5-50，而轴上所有十倍频程的长度都是相等的。为了说明对数幅频特性的特点，引进斜率的概念，即横坐标每变化十倍频程（即变化）所对应的纵坐标分贝数的变化量。5－3典型环节的频率特性典型环节比例环节：K惯性环节：1/(Ts+1)，式中T>0一阶微分环节：(Ts+1)，式中T>0积分环节：1/s延迟环节：振荡环节：；式中ωn>0，0<ζ<1（1）比例环节传递函数为：G(s)=K=const00K=1K>100K=1K>1K<1比例环节的对数频率特性曲线比例环节比例环节K的幅相曲线kj0·对数幅频特性和相频特性分别是：L(ω)=20lg|G(jω)|=20lgK和φ(ω)=0°（2）积分环节积分环节的传递函数为：频率特性表达式为：横坐标：x=lgω计量单位：dec——一个十倍频程纵坐标：y=Kx计量单位：dB取ω2=10ω1Δlgω=lgω2-lgω1=lg(10ω1/ω1)=1decΔL(ω)=L(ω2)-L(ω1)=-20lg(10ω1/ω1)=-20dB/dec斜率为：双重积分：随着开环增益的增大，直线逐渐升高。（3）惯性环节传递函数为：频率特性表达式为：此惯性环节的幅相频率特性是一个以(1/2，j0)为圆心，以1/2为半径的半圆。采用近似方法，即用渐近线分段表示频率特性。低频段：ω<<1/T，ωT<<1，ω2T2可略去频率特性可近似为：L(ω)≈-20lg1=0—低频渐近线在高频段：ω>>1/T，ωT>>1，1可略去频率特性可近似为：L(ω)≈-20lgωT=-20[lgω-lg(1/T)]—高频渐近线ω的频率增大10倍时，高频渐近线斜率为：高频渐近线具有-20dB/10倍频程的斜率，记为-20dB/dec或[-20]。高频渐近线正好在ωT=1处与低频渐近线相交，交点处的频率称为转折频率。（4）振荡环节1010(0<ζ<0.707)低频段：ω<<1/T，ωT<<1，ω2T2可略去在高频段：ω>>1/T，ωT>>1，1可略去0000-40【授课时间】：【授课形式】：多媒体【授课地点】：43064113【授课时数】：2【授课题目】：典型环节的频率特性【教学目标】1、熟练掌握典型环节的频率特性，熟记其幅相特性曲线及对数频率特性曲线；【教学重难点】重点：典型环节的频率特性难点：典型环节的幅相特性曲线及对数频率特性曲线、开环幅相特性曲线的绘制【教学内容】（5）微分环节纯微分环节的传递函数为：000.1000.11012090L(ω)=20lgωφ(ω)=90o斜率为：（6）一阶微分环节00！高频放大！抑制噪声能力下降00！高频放大！抑制噪声能力下降频率特性为：低频段：ω<<1/τ，ωτ<<1，ω2τ2可略去频率特性可近似为：L(ω)≈20lg1=0—低频渐近线在高频段：ω>>1/τ，ωτ>>1，1可略去频率特性可近似为：L(ω)≈20lgωτ=20[lgω-lg(1/τ)]—高频渐近线渐近线斜率k=20dB/dec（7）二阶微分环节0dBL(ω)dB0dBL(ω)dBω[+40]ωn0<ζ<0.707时有峰值：（8）一阶不稳定环节非最小相位环节定义：传递函数中有右极点、右零点的环节（或系统），称为非最小相位环节（或系统）。由上图看出，一阶不稳定环节的幅频与惯性环节的幅频完全相同，但是相频大不一样。相位的绝对值大，故一阶不稳定环节又称非最小相位环节。（9）延迟环节积分环节和微分环节、惯性环节和一阶微分环节、振荡环节和二阶微分环节的传递函数互为倒数。则有G1(s)=1/G2(s)设，则则，传递函数互为倒数的典型环节，对数幅频曲线关于0dB线对称，对数相频曲线关于0°线对称。例：试将系统开环传递函数按典型环节分解解:

【授课时间】：2013.11.25、11.27上午三四节【授课形式】：多媒体【授课地点】：43064113【授课时数】：2【授课题目】：开环系统的频率特性【教学目标】1、掌握开环奈奎斯特图的绘制2、掌握开环Bode图的绘制；【教学重难点】重点：开环奈奎斯特图的绘制、开环Bode图的绘制难点：同上【教学内容】5.4系统开环幅相频率特性一、开环幅相特性G(s)H(s)G(s)H(s)-R(s)C(s)Gi(s)为除1/sν、k外的其他典型环节（2）粗略画三个特殊点①起点低频段②终点高频段③与坐标轴的交点ⅰ曲线与实轴的交点令求得ω值代入中，即可得与实轴的交点。令求得ω值代入中，即可得与虚轴的交点。再取几个ω点计算A(ω)和φ(ω)，即可得幅相频率特性的大致形状。只包含惯性环节的0型系统Nyquist图只包含惯性环节的I型系统Nyquist图只包含惯性环节的II型系统Nyquist图例5-2设系统的开环频率特性为已知：K＝10，T1＝1，T2＝5，绘制开环幅相频率特性。解：求交点：令解得，ω=0.447rad/s例5-3设某系统的开环频率特性为绘制开环幅相频率特性。解： 例5-4:绘制的幅相曲线。解：求交点：解得无实数解，与虚轴无交点曲线如图所示：二系统开环对数频率特性的绘制如果已知几个串联环节的开环频率特性，则系统的开环对数频率特性为：步骤：（1）将开环传递函数表示为时间常数表达形式；（2）求20lgK的值，并明确积分环节的个数v；（3）确定各典型环节的转折频率，并按由小到大排序；（4）求出低频渐近线的斜率和位置。①低频段频率特性为：对数幅频特性为：对数相频特性为：上述表明：A低频段的对数幅频特性直线的斜率为－20×v(dB/dec)，相频角度为－v×90°；B当ω=1时，低频段直线或其延长线（在ω<1的范围内有转折频率）的分贝值为20lgK，这是因为由低频段的幅频方程，可得到C低频段直线（或其延长线）与零分贝线（横轴）的交点频率为，对于Ⅰ型系统交点频率为，Ⅱ型系统交点频率为；这是因为由低频段的幅频方程，可得到于是有：②转折频率及转折后斜率变化量的确定首先在横坐标轴上将转折频率按从低到高的顺序标出个转折频率。然后，依次在各转折频率处改变直线的斜率，改变的多少取决于转折处环节的性质。，经过ωi后，斜率变化量为+20dB/dec。（一阶微分环节），经过ωk后，斜率变化量为+40dB/dec。（二阶微分环节），经过ωj后，斜率变化量为-20dB/dec。（惯性环节），经过ωl后，斜率变化量为-40dB/dec。（振荡环节）相频特性的表达式为：其中ω<1/τ且ω<1/T定义：若L(ωc)＝0dB，则ωc称作剪切频率，也叫0dB频率。绘制开环系统的波特图一般规则：写成典型环节之积；找出各环节的转折频率；画出各环节的渐近线；在转折频率处修正渐近线得各环节曲线；将各环节曲线相加即得波特图。例5－4系统开环传递函数绘制系统开环对数幅频与相频特性曲线。解：开环由三个典型环节组成，每个环节的对数幅频与相频特性均是已知的。将各环节的对数幅频与相频曲线绘出后，分别相加即得系统的开环对数幅频及相频。例5-5：已知单位反馈系统的开环传递函数试绘制开环对数频率特性曲线。解：典型环节传递函数表示的标准形式其对应的频率特性表达式为由此可见，系统的开环频率特性由5个典型环节构成，分别为合成后的系统开环对数幅频特性：L(ω)=L1(ω)+L2(ω)+L3(ω)+L4(ω)+L5(ω)(6)系统开环对数相频特性表达式为逐点计算结果系统开环相频特性数据11

【授课时间】：2013.11.26、11.29上午一二节【授课形式】：多媒体【授课地点】：43064114【授课时数】：2【授课题目】：奈氏稳定判据的数学基础【教学目标】1、掌握根据Bode图确定最小相位系统的传递函数。2、映射定理；3、辅助函数的构造；4、s平面闭合曲线?（奈氏路径）的选择。【教学重难点】重点：、根据Bode图确定最小相位系统的传递函数、s平面闭合曲线?（奈氏路径）的选择难点：、根据Bode图确定最小相位系统的传递函数、映射定理【教学内容】最小相位系统、非最小相位系统根据零、极点在s平面上分布情况的不同，函数G(s)可分为最小相位系统、非最小相位系统。最小相位（相角）系统：指系统的开环传递函数中没有右极点、右零点的系统。非最小相位（相角）系统：指系统的开环传递函数中有右极点或右零点的系统或者系统带有延迟环节。最小相位系统特点在具有相同幅值特性的系统中，最小相位系统的相角范围在所有这类系统中是最小的。任何非最小相位传递函数的相角范围都大于最小相位传递函数的相角范围。对于最小相位系统，其幅频特性和相频特性一一对应，某频率段的相角主要由该频率段的幅频特性斜率所决定，也受相邻频段的影响。例5-6：两个系统的开环传递函数分别为（T1>T2）它们的对数幅频和相频特性为显然,两个系统的幅频特性一样，但相频特性不同。由图可见，的变化范围要比大得多。——最小相位系统——非最小相位系统例5-7已知系统的开环对数幅频特性如下，试确定系统的开环传递函数。解：由图可见，低频段的斜率为?20dB/dec，所以开环传递函数有一个积分环节判断系统稳定的几种方法：系统稳定的充要条件—全部闭环极点均具有负的实部代数稳定判据—Ruoth判据由闭环特征多项式系数（不解根）判定系统稳定性不能用于研究如何调整系统结构参数来改善系统稳定性及性能的问题。5.5频域稳定判据奈氏判据是利用开环幅相特性判断闭环稳定性的图解方法；可用于判断闭环系统的绝对稳定性，也能计算系统的相对稳定指标和研究改善系统性能的方法.一奈氏判据的数学基础1.映射定理（幅角定理）s为复数变量，F(s)为s的有理分式函数。s1代入F(s)得F(s1)，s2代入F(s)得F(s2)；s沿Γs连续变化一周（不穿过F(s)的零、极点），则F(s)沿封闭曲线ΓF连续变化一周。Γs包围一个F(s)的零点，当s1沿Γs顺时针连续变化一周，(s-zi)的相角积累-2π，或者说，ΓF顺时针绕F平面原点一周;Γs不包围F(s)的零点，当s1沿Γs顺时针连续变化一周，(s-zi)不积累角度;Γs包围Z个F(s)的零点，当S1沿Γs顺时针连续变化一周，(s-zi)的相角积累Z*(-2π)，或者说，ΓF顺时针绕F平面原点Z圈。如果：Γs包围一个F(s)的极点，当s1沿Γs顺时针连续变化一周，因为pi映射到F(s)上是在无穷远，所以，相对应ΓF逆时针绕F平面零点一周，(s-pi)的相角积累是2π角度；Γs包围P个F(s)的极点，当s1沿Γs顺时针连续变化一周，s-pi积累的相角为2π*P，或者说，ΓF逆时针绕F平面零点P周；Γs包围P个F(s)的极点，又包围Z个F(s)的零点，当s1沿Γs顺时针连续变化一周后，ΓF顺时针绕F平面零点（Z-P）周，或：ΓF逆时针绕F平面零点R=（P-Z）周若s平面上的封闭曲线Γs包围着F(s)的Z个零点，则在F(s)平面上映射的曲线ΓF将按顺时针方向围绕着坐标原点Z周。若s平面上的封闭曲线Γs包围着F(s)的P个极点，当s沿着s平面上的封闭曲线顺时针方向移动一周时，则在F(s)平面上映射的曲线ΓF将按逆时针方向围绕着坐标原点P周。映射定理(幅角定理)：设s平面上不通过F(s)任何奇异点的某条封闭曲线Γ，它包围了F(s)在s平面上的Z个零点和P个极点，当s以顺时针方向沿封闭曲线Γ移动一周时，则在F平面上相对应于封闭曲线Γ的像ΓF将以顺时针的方向围绕原点旋转R圈。R与Z、P的关系为:R=Z－P。当Z>P，则R>0，ΓF顺时针包围原点R圈当Z<P，则R<0，ΓF逆时针包围原点R圈当Z=P，则R=0，ΓF不包围原点2.辅助函数F(s)的选择则定义一个辅助函数辅助函数F(s)有如下特点：(1)辅助函数F(s)是闭环特征多项式与开环特征多项式之比，其零点和极点分别为闭环极点和开环极点。(2)F(s)的零极点数目相同，都为n。(3)F(s)与开环传递函数G(s)H(s)之间只差一个常量1，F(s)=1+G(s)H(s)的几何意义为：F平面的坐标原点就是GH平面的(-1,j0)点。3.s平面闭合曲线?（奈氏路径）的选择顺时针方向包围整个s右半面。由于不能通过F(s)的任何零、极点，所以当F(s)有若干个极点处于s平面虚轴（包括原点）上时，则以这些点为圆心，作半径为无穷小的半圆，按逆时针方向从右侧绕过这些点。

【授课时间】：【授课形式】：多媒体【授课地点】：43064113【授课时数】：2【授课题目】：奈奎斯特判据与对数频率稳定判据【教学目标】1、了解辅助函数的构成以及奈氏判据的推导过程；2、掌握奈氏稳定判据及增补线的绘制。3、了解极坐标图与伯德图的对应；4、掌握伯德图上的稳定判据掌握根据【教学重难点】重点：奈氏稳定判据、伯德图上的稳定判据难点：增补线的绘制、稳定的判断【教学内容】二奈奎斯特（Nyquist）稳定判据设：——闭环系统特征多项式显然：F(s)的零点就是闭环系统的极点奈氏判据闭环系统稳定的充要条件是：s沿着奈氏路径绕一圈（当ω从-∞→+∞变化时），G(jω)H(jω)曲线逆时针包围（-1，j0）点P圈。P——为G(s)H(s)位于s右半平面的极点数；R——G(jω)H(jω)曲线逆时针绕（-1，j0）点圈数；Z——闭环系统位于s右半平面的极点数。Z=0，说明系统闭环传递函数无极点在s右半开平面，系统是稳定的；反之，系统则是不稳定的。若系统开环稳定，则闭环稳定的充要条件是开环幅相曲线不包围（-1，j0）点。例5-8：已知某系统G(jω)H(jω)幅相特性曲线如下，系统开环不稳定P=1，试分析闭环系统稳定性。解：由ω=0+→+∞变化时G(jω)H(jω)的曲线，根据镜像对称得ω=-∞→0-变化时G(jω)H(jω)的曲线，得到一封闭曲线。G(jω)H(jω)(ω从-∞→+∞)曲线逆时针包围（-1，j0）点一次，即R=1Z=P-R=0，故闭环系统稳定。例5-9：已知单位反馈系统，开环极点均在s平面的左半平面，开环频率特性极坐标图如图所示，试判断闭环系统的稳定性。解：系统开环稳定，即P=0，从图中看到ω由-∞→+∞变化时，G(jω)H(jω)曲线不包围(-1，j0)点，即N=0，Z=P-N=0，所以，闭环系统是稳定的。说明:如果开环传递函数G(s)H(s)含有ν个积分环节，奈氏曲线为一不封闭曲线，此时为了说明包围（-1，j0）点的情况，可作辅助处理，即由ω=0+→+∞变化时G(jω)H(jω)的曲线，根据镜像对称得ω=-∞→0-变化时G(jω)H(jω)的曲线，然后从ω=0-开始，对应的G(jω)H(jω)以无穷大为半径，按逆时针方向绕过角度，与ω=0+曲线相接，成为封闭曲线，按照奈氏判据判定稳定性。例5-10：系统开环传递函数为试判断闭环系统的稳定性。解：绘制系统幅相特性曲线。（1）绘制起点、终点（2）与坐标轴交点由于v=1，所以需要ω=0+的位置开始逆时针画90°的增补线，如图中虚线所示，计算幅相曲线包围(-1,j0)点的圈数。当，即时，幅相曲线顺时针包围(-1,j0)点1圈，即R=-1.于是Z=P-2R=2，所以闭环系统不稳定；当，即时，幅相曲线顺时针不包围(-1,j0)点1圈，即R=0.于是Z=P-2R=0，所以闭环系统稳定；当时，G(jω)H(jω)(ω从-∞→+∞)曲线穿越(-1，j0)点，系统处于临界状态。Nyquist稳定判据穿越法穿越：指开环Nyquist曲线穿过(-1,j0)点左边实轴时的情况。正穿越：ω增大时，Nyquist曲线由上而下(相角增加)，穿过(-∞,-1)段实轴，用表示。负穿越：ω增大时，Nyquist曲线由下而上（相角减少）穿过(-∞,-1)段实轴，用表示。对于不含积分环节的G(jω)H(jω)曲线对称实轴。应用中只画部分。负穿越正穿越负穿越正穿越例5-11：半次穿越：若G(jω)H(jω)轨迹起始或终止于(-1,j0)以左的负轴上，则穿越次数为半次，且同样有+1/2次穿越和-1/2次穿越。-1/2次穿越+1/2次穿越-1/2次穿越+1/2次穿越Nyquist稳定判据：当ω由0变化到+∞时，Nyquist曲线在(-1,j0)点左边实轴上的正负穿越次数之差等于P/2时(P为系统开环传函右极点数)，闭环系统稳定，否则，闭环系统不稳定。若开环传递函数无极点分布在S右半平面，即，则闭环系统稳定的充要条件应该是N=0。注意：这里对应的ω变化范围是。例5-12：两系统G(jω)H(jω)轨迹如下，已知其开环极点在s右半平面的分布情况，试判别系统的稳定性。P=2P=0P=2P=0解： 开环稳定 开环不稳定闭环稳定 闭环稳定注意：分析G(jω)H(jω)轨迹穿越(-1,j0)点以左的负实轴。例5-13：已知某系统G(jω)H(jω)幅相特性曲线如下，系统开环不稳定P=1，试分析系统稳定性。解：P=1N=N+-N-=1/2Z=P-2N=1-1=0闭环系统稳定。例5-14：两系统奈氏曲线如图，试分析系统稳定性。解：(a)N=N+-N–=（0-1）=-1，P=0，故Z=P-2N=2，闭环系统不稳定。(b)K>1时，N=N+-N-=1-1/2=1/2，P=1，故Z=P-2N=0，闭环系统稳定；K<1时，N=N+-N-=0-1/2=-1/2，且已知P=1，故Z=P-2N=2，闭环系统不稳定；K=1时，奈氏曲线穿过(-1,j0)点两次，说明有两个根在虚轴上，闭环系统不稳定。三对数频率稳定判据奈氏判据是在奈氏图的基础上进行的，而作奈氏图一般都比较麻烦，所以在工程上一般都是采用系统的开环对数频率特性来判别闭环系统的稳定性的，这就是对数频率判据。1.Bode图与Nyquist图之间的对应关系Nyquist图上以原点为圆心的的单位圆Bode图幅频特性上的0dB线单位圆以外Bode图L(ω)>0的部分；单位圆内部Bode图L(ω)<0的部分；Nyquist图上的负实轴Bode图相频特性上的φ(ω)=－180°线奈氏图上的(-1,j0)点便和伯德图上的0dB线及-180°线对应起来。Nyquist图与Bode图的对应关系(-1,j0)点以左实轴的穿越点Bode图L(ω)>0范围内的与－180°线的穿越点正穿越对应于Bode图φ(ω)曲线当ω增大时，从下向上穿越－180°线；负穿越对应于Bode图φ(ω)曲线当ω增大时，从上向下穿越－180°线。2.Bode图上的稳定判据闭环系统稳定的充要条件是：当ω由0变到+∞时，在开环对数幅频特性L(ω)≥0的频段内，相频特性φ(ω)穿越-π线的次数（正穿越与负穿越次数之差）为p/2，p为s平面右半部的开环极点数。若开环传递函数无极点分布在S右半平面，即，则闭环系统稳定的充要条件是：在L(ω)≥0的频段内，相频特性φ(ω)在-π线上正负穿越次数代数和为零，或者不穿越-π线。Nyquist图Nyquist图Bode图例5-15：开环特征方程有两个右根，P=2，试判定闭环系统的稳定性。P=2解：P=2P=0P=0正负穿越数之差（N+-N-）为1Z=P-2N=2-2=0系统闭环稳定例5-16：开环特征方程无右根，P=0，试判定闭环系统的稳定性。解：正负穿越数之差为0系统闭环稳定例5-17已知系统开环传递函数，试用对数频率稳定判据判别闭环稳定性。解：绘制系统开环对数频率特性如图。由开环传递函数可知P=0。所以闭环稳定例5-18已知系统开环传递函数试用对数稳定判据判别闭环稳定性。解：绘制系统开环对数频率特性如图在处振荡环节的对数幅频值为闭环特征方程的正根数为闭环不稳定。注意：1、当[s]平面虚轴上有开环极点时，奈氏路径要从其右边绕出半径为无穷小的圆弧；[G]平面对应要补充大圆弧。2、N的最小单位为二分之一。闭环系统不稳定闭环系统不稳定闭环系统稳定有误！3.无论开环传递函数的系数怎样变化，系统总是闭环不稳定的，这样的系统称为结构不稳定系统。3.条件稳定系统若开环传递函数在右半s平面的极点数P=0，当开环传递函数的某些系数（如开环增益）改变时，闭环系统的稳定性将发生变化。这种闭环稳定有条件的系统称为条件稳定系统。

【授课时间】：2013.12.3、12.6上午一二节【授课形式】：多媒体【授课地点】：43064114【授课时数】：2【授课题目】：稳定裕度和系统闭环、开环频率特性与阶跃响应的关系【教学目标】1、掌握稳定裕度的计算；2、了解闭环频率特性的性能指标；3、掌握系统稳态性能、动态性能及抗干扰性能和开环频率特性的关系；【教学重难点】重点：稳定裕度的计算、闭环频域性能指标；难点：稳定裕度的计算、【教学内容】四稳定裕度通常用相角裕度?和幅值裕度h表示系统稳定裕度(开环频率指标)。若Z=P-2N中P=0，则G(jω)过(-1,j0)点时，系统临界稳定，见右图：0j0j1-1G(jω)G(jω)曲线过(-1,j0)点时，同时成立！1相角裕度γ剪切频率：正相角裕度?ImRe1在控制系统的剪切频率ω正相角裕度?ImRe12、幅值裕度穿越频率：幅值裕度h：以分贝表示时：含义：如果系统的开环传递系数增大到原来的h倍，则系统处于临界稳定状态。h大于1，则对数幅值裕度为正值，系统稳定。h小于1，则对数幅值裕度为负值，系统不稳定。系统稳定，则h>1、?>0。-180°-180°?dB0?正相角裕度0??正幅值裕度-270°-90°?正相角裕度ImRe正幅值裕度1系统稳定负幅值裕度负相角裕度负幅值裕度负相角裕度0dB???????-90°-180°-270°B?ImRe负相角裕度负幅值裕度1-1当γ<0时，相位裕度为负，系统不稳定。相角裕度和幅值裕度的几点说明一般而言L(ωc)处的斜率为－20dB/dec时，系统稳定。L(ωc)处的斜率为－40dB/dec时，系统可能稳定，可能不稳定，即使稳定，γ也很小。L(ωc)处的斜率为－60dB/dec时，系统肯定不稳定。为了使系统具有一定的稳定裕量，L(ω)在ωc处的斜率为－20dB/dec。为了得到满意的性能，一般要求：例5-20：一单位反馈系统的开环传递函数为求：⑴K=1时系统的相角裕度和幅值裕度；⑵调整K使系统的增益裕度为20dB，相位裕度解：⑴幅值裕度→穿越频率即幅值裕度：相角裕度剪切频率根据K=1时的开环传递函数⑵由题意知→