高考数学总复习（基础知识+高频考点+解题训练）两角和与差的正弦、余弦和正切公式

第五节两角和与差的正弦、余弦和正切公式

1基础却织妥打牢强双基I固本源I得基础分I掌握程度

［知识能否忆起］

1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式

⑴1吁£)：cos(4一£)二cos4cos£+sin_osin£；

(2)+⑶：cos(a+£)=cosQcos£-sin_Qsin£；

(3)S(a+s)：sin(ci+£)=sin。cos£+cos_)sin.£；

(4)S(a-：sin(a-£)二sinacos£-cosasinB；

tanQ+tan£

⑸Aa+m：tan(4+£)―~：万；

1-tanatanP

tana-tan£

(6)/。一⑶：tan(。一£)=T~~....-----

1+tancitanP

2.二倍角的正弦、余弦、正切公式

(1)S2£7：sin2a=2sin。cosa;

(2)Cza：cos2a-cos2a-sir?a-2cos21=1-Zsir?Q;

3.常用的公式变形

(1)tana±tan£=tan(。±£)(1干tanatan£)；

1+cos2a1-cos2Q

(2)cosa=--------,sina=----------；

(3)1+sin2a-(sina+cos。；

1-sin2a-(sina-cosa)；

sina+cosa=^^sin(4±^j.

［小题能否全取］

sin2Q

1.(-福建高考)若tan。=3,则苍广的值等于()

A.2B,3

C.4D.6

~一sin2a2sinacosa

解析.选3D----2---二-------2------二2tana=2X3=6.

cosQcosQ

2.sin68°sin67°-sin23°cos68°的值为（）

A.-fB.f

egD.1

解析：选B原式二sin68°cos23°-cos68°sin23°=sin（68°-23°）=sin45°二

2

3.已知sin。=.贝ljcos（兀一2a）等于（）

.\/51

A.-3B--9

CiD亚

93

4i

解析'选Bcos（兀-2=-cos2a二一（1-2sin2。）=2sin2a-1=2X--1=--

yy

4.（教材习题改编）若cos。是第三象限角，则sin（a+2）=

3

aco2a-

-s--5

<f

4+2os4--

陪

答

案-

2

则

5若+JIta

an4-5-an-

（哈tan4+12

解析：t叫"w.—tan『

即5tana+5=2-2tana.

3

则7tan。=-3,故tana-

竺口崇木•,--7

1.两角和与差的三角函数公式的理解：

⑴正弦公式概括为“正余，余正符号同”.“符号同”指的是前面是两角和，则后面中间为

“+”号；前面是两角差，则后面中间为“-”号.

（2）余弦公式概括为“余余，正正符号异”.

⑶二倍角公式实际就是由.两角和公式中令£=。所得.特别地，对于余弦：cos2a=cos%-

sin2a=2cos%-l=l-2sin%,这三个公式各有用处，同等重要，特别是逆用即为“降鬲公式”，在

考题中常有体现.

2.重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角为：对角的分拆要尽

可能化成已知角、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、

整式化、降低次数等.在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求（或所证明）问题

的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形.

视|高频考点要通看TONGGUAN抓考点I学技法|得拔高分|掌握程度

三角函数公式的应用

—

典题导入

[例1]（•广东高考）已知函数『（X）=2sin《x-S，xER.

⑴求《答）的值；

JI（吟106

⑵设a,'0,5]，43。+司=仃，/（3£+2"）=匚，求cos（a+£）的值.

Ji(nA106

(2)•••a,£E0,—,a+—^—/(3£+2无)

102sin(£+—6

2sina——

13,

5°3

即sina行cos

12.c4

cosasinp

J.o(o

「•cos(a+£)=cosacos0-sinasin£

1235416

二—X———X—二—

13513565,

由题悟法

两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用。、£的三角函数表示。士£的三角函

数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目

的.

以题试法

/、43JICOS2Q

1.(1)已知sina=-aEJI,则一

o2，sin(a+[)

cosa*

(2)(•济南模拟)已知a为锐角,

5

1

A.—3B,一7

4

C•-3D.-7

cos2aCOS2Q-si.n2Q

解析：(I)——cosQ-sina

JIsin。+条…

si"。+了

3JI4

sinaaE--JI丁•cos

5,2，0二一亨

7

二原式

5,

4

1-

2yf5.2X24…।JI3工

-。

(2)依题意得,sina=^—,故tana=2,tan2a3,所以ta^7+2-4=~T

1+i

7

答案：(1)-7(2)B

0

3三角函数公式的逆用与变形应用

典题导入

[例2](•德州一模)已知函数/'(x)=2cos"1-^3sinx.

(1)求函数/'(x)的最小正周期和值域；

(2)若a为第二象限角，且彳JIcos2Q

a3,求的值.

1+cos2a—sin2Q

[自主解答](1)=2cos]yjisinx-1+cosx-yjSsinx-1+2cos(x+g),

周期7=2'f(x)的值域为[-1,3].

：a为第二象限角，，sin。

cos2acosa-sma

••1+cos2a-sin2a2cos*23a-2sinacosa

_12^2

cosa+sina3+31-272

—2cosa2-2,

由题悟法

运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tana+

tan£=tan(a+£)•(1-tanfftan£)和二倍角的余弦公式的多种变形等.

以题试法

2.(1)(•赣州模拟)已知sin(。+石-)+cosa则sin(a+可)的值为()

3

B-5

c.fD-5

3JI

⑵若a+£=丁，则(l-tana)(1-tan£)的值是

A/33

解析：⑴由条件得士-sina+2C0Sa二4#

5;

1y[34

即/sina+-^-cosa=?

•••sin(a+£H

3nrtana+tan£

(2)-1=tan——二tan(4+£)=--------------

41-tanatan£'

「•tanatan£一1=tana+tan£.

1-tanQ-tanB+tanatan£=2,

BP（1-tana）（1-tan£）=2.

答案：⑴A（2）2

3角的变换

典题导入

sina+cosa

［例3］（1）（•温州模拟）若一---------7=3,tan（。一£）=2,贝IJtan（£-2。）=________,

sin。cosa

(2)(,江苏高考)设a为锐角，若cosfa+—J=|,则singa+记)的值为

sinQ+cosatan。+1

［自主解答］(1)由条件知品;----------二----------二3

Q-cosatana'

贝【Jtana=2.

故tan（£-2。）=tan[（£-。）-a]

tan0-a-tana-2-24

1+tanB-atana1+-2X23,

(2)因为a为锐角，cos(a+%j］,

…(吟3(吟24

所以sin“+Ej=g,sin2^+-J=-

C0S2(。+£|二£，

所以sin(2a+^=sin^ff+己)

_竺义也二义也_歧

一252252-50,

［答案］(1)|⑵啰

由题悟法

1.当“已知角”有两个时，一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式；

2.当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导

公式把“所求角”变成“已知角”.

3.常见的配角技巧：

a

"2•5；。=（。+£）-£;

。二£一(£一。);

a=-［（a+£）+（a-£）］；

£=；［（a+£）.-（a-£）］；

JIJIAJI\JIAJI、

42（4）14（4）'

以题试法

21

(兀

3设tan4+--£---贝【Jtan（Q+孑）二（）

\-5-4-4

±1313

----

X1822

31

c

D.6-

22

解析•选Ctanfa+7）=tana+£

tana+£-tan^~~4j3

二一6二殛

1+tan4+£tanlP

晶解题训练要高效

抓速度I抓规范I拒绝眼高手低I掌握程度

4级全员必做题

1.（•重庆高考）设tana,tan£是方程f-3x+2=0的两根，则tan（。+£）的值为（）

A.-3B,-1

C.1D,3

解析：选A由题意可知tana+tan8=3、tana•tanB=2、

,、tanQ+tanB

tan（。+£）=-~7-----------3.

1-tanatan£

2.（•南昌二模）,已知cos（x-司二一看，贝IJcosx+cos（x-句的值是（）

A一"B+幽

A•3b--3

C.-1D.±1

x+乎sinx=|c°sx+当sinx=

解析：选c

3.（•乌鲁木齐诊断性测验）已知。满足sina=1.那么sin[]+。卜血6-的值为（）

11

1

-B_

44

-

Ac.

1I

X

-D_

C

2\

1

解析：选A依题意得，si1117+tfjsin^-＜?j=sin^-y+*C0S^Y+°j+2aj=1cos

l2、1

2a=-(zl-2sin-a)=~.

4.已知函数Hx)=f+"的图象在点4(1,f(l))处，的切线的斜率为4,则函数g(x)=/sin2x+

庆os2x的最大值和最小正周期为()

A.1,兀B.2,兀

C.y[2,2兀D./，2兀

解析：选B由题意得尸（*）=3/+4

r（1）=3+6=4,b=l.

所以g（x）二地sin2x+Z?cos2x

=y[3sin2x+cos2x=2sin（2x+~^,

故函数的最大值为2,最小正周期为兀.

a二堂，sin(。+£)=[,贝(]cos£=()

5.（东北三校联考）设。、都是锐角，且cos

•£00

A苓B芈

255

「2#J乖”亚二亚

C25或5D-5或25

解析：选A依题意得sina=^1-cos2a

co.s(a+£)=-sin2a+£~=±-

又4、£均为锐角，因此0＜。＜。+£〈兀，

4、后4

cos4＞cos(4+£),注意至仁＞个＞一事

D00

、4

所以cos(q+£)=--

o

「1A/132^5_2^5

cos£二cos[(4+£)—4]=cos(a+£)cosa+sin(a+£)sin。一一5*5+5X5-25-

6.已知a为第二象限角，sina+cosa=七则cos2a=)

RB--亚9

A-4

亚

C更D.

L93

、回12

解析：选A将sinQ+cos。二个两边平方，可得1+sin2asin2a=所以(一sina

O3,

5

+cosa)、！.一sin2a=-因为a是第二象限角，所以sinff>0,cos4<0,所以一sina+cosa

\/15

七一所以cos2Q=(-sinQ+cos4)•(cosa+sina)4

3,

JI4兀1

7.(,苏锡常镇调研)满足sinRsinjr+cos—cos的锐角x=

00Li

解析：由已知可得

1

4兀4Jt-

cos^^cos5-2

5

1

即cos

2,

4兀JI7兀

又X是锐角，所以1一一X=于即

o

7Ji

答案：记

2tan45°-asinacosQ

8

,化简l-ta.45。-2'~2

acosQ-SinQ

1

•2

2-S1n

24

解析：原式=tan(90。COS2

(7

1.

-sin2

sin90°-2。CL

cos90°-2acos2a

cos2QIsin2a工

sin2Q2cos2a2

竺口崇木•--2

9.（•烟台模拟）已知角a,£的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，a、£6（0,五）,

14

角的终边与单位圆交点的横坐标是-石，角的终边与单位圆交点的纵坐标是三，则COSa=

££O0

解析：依题设及三角函数的定义得：

1/\4

cos£=sin(。+£)=-

O0

JIJI

又...()<£<兀，♦.•万〈£<兀，5£<兀，sin£cos(a+£)

u

cosa-cos[(q+£)-£]

二cos(〃+£)cos£+sin(。+£)sinB

3+8小

-15-

答案：

sin（2a+］水勺值

4

3,

nq1

-即

si---cosa4

sq2

又sin2a+cos2。=1,

.,.5sin2=1,而aE^O,—

当cosa=W

55

2X害X4

二•sin2=2sinacosa—

555,

2413

cos2a=cosa-sin2a=7-7=7,

555

it“413m4+3镉

=sin2^cos-+cos2sin-=-X7+7X-7-=———.

33525210

n，兀14

11.已知：0<a〈5〈£〈兀，cosl--I=-

(1)求sin2£的值；

⑵求cos(a+亍)的值.

<加1

£+•n£2o£+n£-

解：(1)法——：cosl0=COS—coss1-s2si-3

八.0m八2^7

cos£+sinB=V-,**-1+sin28二不,「.sin2£=--

oyy

法二：,sin2£=cos(5-2£)=2cos(£-1=

"

⑵-

2

33

Z

二\/a+pnxz_

22

"\

B-U/

c。sa

47>0\l

"14

Qz

co--s加(a+n-

p-4-3\p-5

・“小_?)=¥，

/c\3

cos(a+p)=--.

5

3xl+42^_8^3

-5X3+5义3-15

12.(•衡阳模拟)函数f(x)=cJ-|j+siiin-jj,xER.

(1)求Hx)的最小正周期；

⑵若/V)=愚一"(0,日，求tan(a+?J的值.

解：⑴f{x}-cos+sin兀

2兀

故Ax)的最小正周期T二丁二4兀.

2

/、，,、2M10-aQ2M10

(2)由/*(a)二~^,sm—+cos—=

u乙乙。

(a

贝“sin»+cos

83

gp1+sina=7,解得sina-7,

oo

94

ffe0cosa=y]l~sin2a二1————

又f-T｝则255)

sina3

故tana=-------二

cosa4

JI3

tana+tan-i+1

JI4

所以tan+-3=7,

0TJI

1-tanatan-

4

B级重点选做题

lg(10a),tan0-IgQJI

1.若tana二,且。+£=1,则实数a的值为（）

1

A.1B-W

1或—

C.^10D.1或10

tana+tanB运10'十年

解析：选Ctan(a+£)=l今―tan”an.I=lg2〃+lga=0,

£i-igioa•igi一

所以lgd=0或Iga二一1,即a=l或

itit

22.2

2.化简sin|a--6+sin-sina的结果是一

0+豆

1-cos(2a--1-cos"a+—

解析：原式+2”-si•n2a〜

2

1

1

-X-2-

JI2cos2a1-COS2a1

=1-COS2acos--sina2=2,

冬塞--

口木•n

j3J5<

sin(£号

3.已知sina+cosQ=g,aE(0,±A]

II/4,2/

⑴求sin2a和tan2a的值；

⑵求cos(a+2£)的值.

9

解:⑴由题意得(sina+cos^)2=~

o

即1+sin2。=,4

sin2a=~.

o5