湖南省长沙市望城区第二中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题+答案

高三数学试题（第=page11页，共=sectionpages22页）高三数学试题（第=page11页，共=sectionpages22页）机密★启用前2024年下学期望城区第二中学高三入学考试数学本试卷共4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点，则的值为（

）A． B． C． D．2．已知向量在方向上的投影向量的模为，向量在方向上的投影向量的模为1，且，则（

）A． B． C． D．3．在中，点在上，且，点是的中点，若，，则等于A.（-2,7）B.（-6,21）C.（2，-7）D.（6，-21）4．函数的定义域为，且，若，则函数（

）A．以为周期 B．最大值是1C．是函数的一个对称中心 D．既不是奇函数也不是偶函数5．如图，在中，是边上的点，且满足，，，则A． B． C． D．06．已知函数有唯一的极值点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．7．中，，，是外接圆圆心，是的最大值为（

）A．1 B． C．3 D．58．如图，已知椭圆和双曲线具有相同的焦点，，A、B、C、D是它们的公共点，且都在圆上，直线与x轴交于点P，直线与双曲线交于点，记直线、的斜率分别为、，若椭圆的离心率为，则的值为（

）

A．2 B．C． D．4二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分.9．不等式“”的一个必要不充分条件是（

）A．或 B．或C．或 D．或10．已知等差数列的前项和为，若，，则（

）A．B．若，则的最小值为C．取最小值时D．设，则11．已知抛物线的焦点为，过焦点的直线交抛物线于两点，为坐标原点，若，则下列说法正确的是（

）A． B．直线的斜率为C． D．三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12．我国古代的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：如图，将1，2，…，9填入的方格内，使三行，三列和两条对角线上的三个数字之和都等于15．一般地，将连续的正整数填入个方格中，使得每行，每列和两条对角线上的数字之和都相等，这个正方形叫做阶幻方．记阶幻方的对角线上的数字之和为，如图三阶幻方的，那么的值为．13．由球O的球面上一点P作球的两两垂直的三条弦PA，PB，PC，且，，，则球O的半径．14．已知双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上的一点，为的内心，且，则的离心率为．四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.15．化简求值：（1）化简：；（2）求的值．16．如图，四棱锥中，，，底面中，，，，是线段上一点，设.(1)若，求证：平面；(2)是否存在点，使直线与平面所成角为，若存在，求出；若不存在，请说明理由.17．某企业使用新技术生产某种产品，该产品在出厂前要经历生产和检测两道工序，生产工序的次品率为.检测工序包括智能自动检测和人工抽查检测，智能自动检测为合格品则进入流水线并由人工抽查检测.(1)从经过生产工序但未经检测工序的产品中随机抽取件进行检测，求这件产品中的次品数的分布列和数学期望；(2)若智能自动检测的准确率为，求一件产品进入人工抽查检测环节的概率.18．对于函数，（），.(1)当曲线在点处的切线方程为时，求、；(2)当，且时，过曲线上任一点作轴的垂线，与曲线交于点，若点在点的下方，求的取值范围.19．以平面直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，已知过点且斜率为1的直线与曲线：（是参数）交于两点，与直线：交于点.（1）求曲线的普通方程与直线的直角坐标方程；（2）若的中点为，比较与的大小关系，并说明理由.参考答案：1．D【分析】根据三角函数的定义求解即可.【详解】由题意，.故选：D.2．B【分析】根据投影向量的模长公式计算出，再由向量垂直关系列出方程，求出，得到夹角.【详解】由题可得所以.因为，所以，所以，所以，即.因为，所以.故选：B.3.D4．D【分析】利用赋值法，分别令、，、，、，得到，即可得到解析式，再逐项判断.【详解】因为且，令，，得①，令，，得②，令，，得③，由①②③式得，即.则的最小正周期，故A错误；的最大值为，故B错误；因为，故关于对称，故C错误；因为，所以，且，所以既不是奇函数也不是偶函数，故D正确.故选：D.5．D【详解】设则，，易知，由余弦定理可得，解得，故,故选D6．A【分析】由题，将问题转化为在x∈0,+∞上无解，进而研究函数性质可得，再求得的取值范围.【详解】函数的定义域为0,+∞，且，因为函数有唯一的极值点，所以有唯一正实数根，因为，所以，故在x∈0,+∞上无解，所以在x∈0,+∞记，x∈0,+∞，则有，所以当x∈0,1时，，在0,1上单调递减，当x∈1,+∞时，，在1,+∞此时时，有最小值，所以，即，所以，即的取值范围是.故选：A7．C【分析】先利用正余弦定理和向量的数量积求得的代数式，进而求得其最大值.【详解】过点作、，垂足分别为、，如图，因为是外接圆圆心，则、分别为、的中点，在中，，所以，即，即，，同理，则，由正弦定理得，当且仅当时取“=”，所以的最大值为.故选：C.8．B【分析】根据已知条件依次求得两点的坐标，由此可求得的值.【详解】设椭圆标准方程为，双曲线的标准方程为，则，由，，所以，所以椭圆方程可化为，由，两式相减得，，则，根据对称性可知关于原点对称，关于轴对称.则，直线的方程为.将代入得，由，解得或，而，，所以，所以，所以双曲线方程可化为，由消去并化简得，设，解得，所以，所以.故选：B【点睛】本题中，涉及圆和双曲线、圆和椭圆、直线和双曲线等图象的“交点”，求交点的坐标，主要是通过联立方程组来进行求解，要注意运算的准确性，另外也要注意运算的速度.在双曲线和椭圆中，的关系是不相同的.9．AB【解析】解不等式，利用必要不充分条件的定义即可求解.【详解】解不等式得：或，所以不等式“”的充要条件是或．根据必要不充分条件的定义可知：不等式“”的一个必要不充分条件等价于：或是选项的真子集，所以选项正确.故选：AB.【点睛】本题主要考查了必要不充分条件的定义，属于中档题.10．AC【分析】对于A：根据题意列式求解，即可得结果；对于B：根据等差数列性质可得，再结合基本不等式分析运算；对于C：根据等差数列通项的正负性分析判断；对于D：利用错位相减法分析运算.【详解】对于选项A：设等差数列的公差为，由题意可得：，解得，所以，故A正确；对于选项B：若，则，即，可得，当且仅当，即时，等号成立，但，所以的最小值不为，故B错误；对于选项C：令，解得，又因为，可得的最后一个负项为第5项，且无零项，所以取最小值时，故C正确；对于选项D：因为，则，可得，两式相减得：，所以，故D错误；故选：AC.11．AD【分析】依题意设，，联立方程组，设而不求，利用韦达定理以及可求出直线的斜率，可判断B的正误，利用抛物线焦半径公式可判断C，D的正误，再利用抛物线焦点三角形面积公式可判断A的正误.【详解】依题意，焦点，易知，当的斜率不存在时，，与题意不符，故舍去，所以，设，，联立方程组，①，消化简得，，②，其中，所以，，所以，解得，故B选项错误，将代入②中，可得，解得，所以，故C选项错误，，故D选项正确，由①式，消化简得，所以，，所以，把代入得，，故A选项正确，故选：AD.12．369【分析】直接利用等差数列的性质和求和公式得出结果．【详解】解：根据题意得：幻方对角线上的数成等差数列，则根据等差数列的性质可知对角线上的首尾两个数相加正好等于．根据求和公式得：，则．故答案为：．13．【分析】以点P为一个顶点，PA，PB，PC为三条相邻棱，构造长方体,由于点P，A，B，C都在球O的球面上,得到长方体内接于球O，对角线PF长就是球O的直径，即可得出半径．【详解】以点P为一个顶点，PA，PB，PC为三条相邻棱，构造长方体．由于点P，A，B，C都在球O的球面上，显然长方体内接于球O，其对角线PF长就是球O的直径，所以故球O的半径【点睛】一般地，如果半径为R的球O有两两互相垂直的三条弦PA，PB，PC，那么为定值．14．4【分析】根据三角形内角平分线定理、三角形内心的性质，结合平面向量线性运算的性质、双曲线的定义和离心率公式进行求解即可.【详解】如图所示，在焦点三角形中，处长交于点，因为为的内心，所以有，，因为，所以有，因此的离心率为，故答案为：【点睛】关键点睛：运用三角形内角平分线定理、平面向量线性运算、三角形内心的性质是解题的关键.15．（1）；（2）4.【分析】（1）利用诱导公式和同角的三角函数基本关系式可求值.（2）利用辅助角公式和倍角公式可求值.【详解】（1）.（2）原式.16．(1)证明见解析(2)存在，或，理由见解析【分析】（1）取中点，证明，由线线平行证得线面平行；（2）建立空间直角坐标系，利用法向量解决线面角问题.【详解】（1）取中点，连接，如图所示，∵，∴为中点，，且.∵，，∴且，∴得四边形为平行四边形，∴，平面，平面，故平面.（2）取中点，以为原点，，平面内过点垂直于的直线为轴，过点垂直平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系：，设，，∵∴，，，，.∴，

，，解得：，，，∴，∴，设，，又∴，设平面的法向量为∴，令，解得，，∴，∴，整理得：，解得或，，所以，解得或.17．(1)分布列见解析，(2)【分析】（1）根据条件知，利用二项分布列及期望公式，即可求出结果；（2）记事件：生产的产品为合格品，事件：智能自动检测为合格品，则，，，，再利用全概率公式，即可求出结果.【详解】（1）由题知，，所以的分布列为，.（2）记事件：生产的产品为合格品，事件：智能自动检测为合格品，则，，，，所以一件产品进入人工抽查检测环节的概率为.18．(1)，(2)【分析】（1）求得和导数，运用导数的几何意义和切点的含义，可得，的方程，解方程可得，的值；（2）由题意可得已知条件可转化为，，由转化为的函数，由，求得单调性和最值，即可得到所求范围．【详解】（1）解：因为，则，，则，依题意得，解得．（2）解：已知条件可转化为，，由得，，又，由；由；由．则在区间上单调递减，在区间上单调递增，则，则有，又得．故的取值范围是．19．（1）；（2），详见解析【解析】（1）将方程消参得到，即为曲线C的普通方程，利用极坐标与直角坐标之间的转化关系，将化为，即为直线的直角坐标方程；（2）联立消去y得，设点，，则由中点公式，得点M的坐标是，由韦达定理得到点M的坐标是(4，3)，联立，求得点N的坐标是，应用两点间距离公式和弦长公式求得与的值，比较可得结果.【详解】（1）由得：，故曲线C的普通方程是；由及公