数列的概念 高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.1.1数列的概念学习目标1.通过实例，了解数列的概念和表示方法，了解数列是一种特殊函数．2.数列及其有关概念，通项公式及其应用.①会用通项公式写出数列的任意一项;②会根据其前几项写出它的通项公式.情境导入德国的天文学家提丢斯于1766年提出了一个数列：3，6，12，24，48，96，192……0，3，6，12，24，48，96，192……4，7，10，16，28，52，100，196……0.4，0.7，1.0，1.6，2.8，5.2，10.0，19.6……他由此得出了太阳到行星平均距离的经验定律！情境导入

某些树木各年的枝干数1，1，2，3，5，8……某足球前锋5场进球数4，1，0，1，0王芳从1岁到17岁每年的身高依次排成一列数：75，87，96，103，110，116，120，128，138，145，153，158，160，162，163，165，168.它们之间能否交换位置？具有确定的顺序吗？记王芳第i岁时的身高为hi，h1=75，h2＝87，h3=96，……，h17＝168．不能交换位置，具有确定的顺序.1、数列的定义按一定次序排列的一列数，叫做数列.2、数列的项数列中的每一个数叫做数列的项.3、数列的分类项数有限的数列称为有穷数列;项数无限的数列称为无穷数列.一、数列的概念

二、数列的通项公式f(n)?不是所有的数列都有通项公式

思考辨析，判断正误(1)1，1，1，1是一个数列.(

)(2)数列1，3，5，7，…的第10项是21.(

)提示

第10项并不一定是21，也可能是其他任何数.(3)每一个数列都有通项公式.(

)提示

并不是每一个数列都有通项公式.(4)如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列.(

)提示

也可能是摆动数列，如：1，－1，1，－1，….√×××思考1：1，2，3，4，5与5，4，3，2，1是不是同一个数列?思考2：集合和数列的区别是什么？集合中的元素满足：无序性，互异性，确定性.数列中的项满足：有序性，可重复性.思考3：

例2根据下列数列的前4项，写出数列的一个通项公式：

解：

通项公式不唯一

本课小结：本节课我们学习了：1.数列的定义；2.数列的表示；3.数列的分类；4.数列的通项公式.

复习回顾1.有穷数列与无穷数列：若数列是有限项，则是有穷数列，否则为无穷数列.2.数列{an}的单调性：若满足an<an＋1(n∈N*)则是递增数列；若满足an>an+1(n∈N*)则是递减数列；若满足an＝an＋1(n∈N*)则是常数列；若an与an＋1(n∈N*)的大小不确定时，则是摆动数列.4、数列的分类【回顾】写出下面各数列的一个通项公式：（1）6，66，666，6666，…；解

这个数列的奇数项为负，偶数项为正，前6项的绝对值可看作分母依次为1，2，3，4，5，6，分子依次为1，3，1，3，1，3，所以它的一个通项公式为解

法一函数单调性法当n<8时，an＋1－an>0，即an＋1>an，即{an}在n<8时单调递增；当n＝8时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an，得a8＝a9；当n>8时，an＋1－an<0，即an＋1<an，得{an}在n>8时单调递减.法二不等式组法解得8≤n≤9.又因为n∈N*，所以n＝8或9.求数列{an}的最大(小)项的方法(1)利用判断函数单调性的方法，先判断数列的单调情况，再求数列的最大项或最小项；如本题利用差值比较法来探讨数列的单调性，以此求解最大项.思维升华学习目标1.理解数列的递推公式是数列的表示方法的一种形式.2.掌握由数列的递推公式求数列的通项公式的方法.3.会用an与求和公式Sn的关系求通项公式.思考

你能用数学语言归纳出前一项与后一项的关系吗？

如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式.三、数列的递推公式知道了首相和递推公式，就能知道数列的每一项了.

问题1：什么是一个数列的递推公式？1，3，9，27……

问题2：相邻多项之间的关系能用递推公式来表示吗？1，1，2，3，5，8，13，21，34……（斐波那契数列）1，3，9，27……项与序号之间的关系相邻两项之间的关系

通项公式递推公式问题3：一个数列的通项公式和递推公式有何联系与区别？数列的递推公式也是数列的表示方法的一种形式.思考辨析，判断正误(1)数列{an}中，若an＋1＝2an，n∈N*，则a2＝2a1.(

)(2)利用an＋1＝2an，n∈N*可以确定数列{an}.(

)提示

只有给出a1的值(或者任意一项的值)，才可以确定数列{an}.(3)设数列{an}的前n项和为Sn，则an＝Sn－Sn－1.(

)√××(4)递推公式是表示数列的一种方法.(

)√

解：练习A2.数列{an}，a2＝1，an＋an＋1＝2n，n∈N*，则a1＋a3的值为(

) A.4 B.5 C.6 D.8A3.已知数列{an}中，a1a2…an＝n2(n∈N*)，则a9＝________.练习a1＝1也符合上式，思维升华把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an四、数列的求和公式如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式.问题4：什么是数列的前n项和公式？Sn＝g（n）Sn＝a1＋a2＋…＋an-1＋an问题5：数列的前n项和公式与通项公式有何联系？Sn-1Sn-1＝a1＋a2＋…＋an-1(n≥2)

解：

(2)∵Sn＝2n－1，∴当n＝1时，a1＝S1＝2－1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1－(2n－1－1)＝2n－1.当n＝1时，a1＝1符合上式，∴an＝2n－1.

用an与Sn的关系求an的步骤(1)先利用Sn求出a1(a1＝S1)；(2)再确定n≥2时an＝Sn－Sn－1的表达式；(3)验证a1的值是否适合an＝Sn－Sn－1的表达式；(4)写出数列的通项公式.思维升华练习1.已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－2n，则a2＋a18等于(

) A.36 B.35

C.34 D.33

C2.设Sn为数列{an}的前n项和.若2Sn＝3an－3，则a4＝(

) A.27 B.81

C.93 D.243

解析

根据2Sn＝3an－3，可得2Sn＋1＝3an＋1－3，

两式相减得2an＋1＝3an＋1－3an，即an＋1＝3an.

当n＝1时，2S1＝3a1－3，解得a1＝3，

则a4＝3a3＝32a2＝33a1＝81.B本课小结：本节课我们学习了：1.递推公式；2.前n项和公式.作业

对于任意数列{an}，等式：a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝an(n≥2，n∈N*)都成立.试根据这一结论，完成问题：已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1－an＝2，n∈N*，求通项an；解

当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)a1＝1也符合上式，所以数列{an}的通项公式是an＝2n－1，n∈N*.Q

∵an＞0，∴an＋1＋an＞0，∴(n＋1)an＋1－nan＝0，能力提升…∴(n＋1)an＋1＝nan，∴数列{nan}是常数列，解析

∵anan－1＝an－1－an，且各项均不为0，3.(多选题)已知数列{xn}满足x1＝a，x2＝b，xn＋1＝xn－xn－1(n≥2)，则下列结论正确的是(

) A.x2020＝a B.x2022＝a－b C.x11＝x2021 D.x1＋x2＋…＋x2020＝2b－a

解析

x1＝a，x2＝b，x3＝x2－x1＝b－a， x4＝x3－x2＝－a，x5＝x4－x3＝－b，x6＝x5－x4＝a－b， x7＝x6－x5＝a＝x1，x8＝x7－x6＝b＝x2， ∴{xn}是周期数列，周期为6，∴x2020＝x4＝－a，A不正确； x2022＝x6＝a－b，B正确；x2021＝x5＝x11，C正确； x1＋x2＋…＋x2020＝x1＋x2＋x3＋x4＝2b－a，D正确.BCD…，∴(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)又当n＝1时，a1＝－1也符合上式.创新拓展将以上等式两边分别相加可得

＝log2(2