人教版初中数学同步讲义八年级下册第01讲 变量与函数3个知识点+4类热点题型讲练+习题巩固（解析版）

第01讲变量与函数课程标准学习目标①常量与变量②函数的概念与函数值③自变量的取值范围掌握常量与变量的概念，能够准确的判断常量与变量。掌握函数的概念，能够判断函数关系以及根据自变量求函数值。能够根据不同的函数表达式类型熟练的求出自变量的取值范围。知识点01常量与变量变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量。常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量称为常量。变量与常量一定存在于一个变化过程中，有时可以相互转化。【即学即练1】1．阅读并完成下面一段叙述：（1）某人持续以a米/分的速度经t分时间跑了s米，其中常量是a，变量是t，S．（2）在t分内，不同的人以不同的速度a米/分跑了s米，其中常量是t，变量是a，S．（3）s米的路程不同的人以不同的速度a米/分各需跑的时间为t分，其中常量是s，变量是a，t．（4）根据以上三句叙述，写出一句关于常量与变量的结论：常量和变量在一个过程中相对地存在的．【解答】解：（1）由题意得，数值不变的量为a，为常量，数值发生变化的量为t，s，为变量；（2）由题意得，数值不变的量为t，为常量，数值发生变化的量为a，s，为变量；（3）由题意得，数值不变的量为s，为常量，数值发生变化的量为a，t，为变量；（4）根据以上三句叙述，写出一句关于常量与变量的结论：常量和变量在一个过程中相对地存在的．故答案为：a；t，s；t；a，s；s；a，t；常量和变量在一个过程中相对地存在的．知识点02函数的概念与函数值函数的概念：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量和，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与之对应，那么我们就说是自变量，是的函数，又称因变量。说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应。函数值：在一个函数中，若存在时，则就是自变量为时的函数值。【即学即练1】2．关于变量x，y有如下关系：①x﹣y＝5；②y2＝2x；③y＝|x|；④y＝．其中y是x函数的是（）A．①②③ B．①②③④ C．①③ D．①③④【解答】解：y是x函数的是①x﹣y＝5；③y＝|x|；④y＝；当x＝1时，在y2＝2x中y＝±，则不是函数；故选：D．【即学即练2】3．当x＝﹣2时，函数的函数值为1．【解答】解：当x＝﹣2时，故答案为：1．知识点03自变量的取值范围自变量的取值范围：在函数表达式中，自变量的取值必须使相应的函数表达式有意义。常见的几种函数解析式中自变量的取值范围：①整式型函数表达式：自变量取值范围为一切实数。②分式型函数表达式：自变量取值范围为分母不为0的一切实数。③根式型函数表达式：自变量取值范围为被开方数大于等于0的一切实数。④零次幂与负整数指数幂函数表达式：自变量取值范围为底数不为0的一切实数。在实际问题中与几何图形中的自变量取值：在实际问题与几何图形中，既要满足函数表达式有意义，也要满足实际问题的实际意义，还要满足几何图形的几何意义。【即学即练1】4．函数的自变量x的取值范围是x≥﹣5且x≠﹣2．【解答】解：依题意，x+5≥0，x+2≠0，解得：x≥﹣5且x≠﹣2，故答案为：x≥﹣5且x≠﹣2．【即学即练2】5．在函数y＝中，自变量x的取值范围是（）A．x≥﹣3 B．x＞﹣3 C．x≠3 D．x＞﹣3且x≠3【解答】解：由题意得：x+3＞0且x﹣3≠0，解得：x＞﹣3且x≠3，故选：D．题型01判断变量与常量【典例1】小亮爸爸到加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，金额随着数量的变化而变化．则下列判断正确的是（）A．金额是自变量 B．单价是自变量 C．7.76和31是常量 D．金额是数量的函数【解答】解：单价是常量，金额和数量是变量，金额是数量的函数，故选项D符合题意．故选：D．【变式1】一个圆形花坛，周长C与半径r的函数关系式为C＝2πr，其中关于常量和变量的表述正确的是（）A．常量是2，变量是C，π，r B．常量是2，变量是r，π C．常量是2，变量是C，π D．常量是2π，变量是C，r【解答】解：根据题意得：函数关系式C＝2πr中常量是2π，变量是C、r．故选：D．【变式2】已知一个长方形的面积为15cm2，它的长为acm，宽为bcm，下列说法正确的是（）A．常量为15，变量为a，b B．常量为15，a，变量为b C．常量为15，b，变量为a D．常量为a，b，变量为15【解答】解：∵长方形的面积始终不变为常量；长和宽的数值发生变化为变量，故选：A．【变式3】球的体积是M，球的半径为R，则M＝πR3，其中变量和常量分别是（）A．变量是M，R；常量是π B．变量是R，π；常量是 C．变量是M，π；常量是3，4 D．变量是R；常量是M【解答】解：球的体积是M，球的半径为R，则M＝πR3，其中变量是M，R；常量是π，故选：A．题型02判断函数关系【典例1】下列变量间的关系不是函数关系的是（）A．长方形的宽一定，其长与面积 B．正方形的周长与面积 C．圆柱的底面半径与体积 D．圆的周长与半径【解答】解：A、长方形的宽一定，其长与面积成正比，所以其长与面积是函数关系，所以A选项不正确；B、正方形的面积与它的周长为二次函数关系，所以B选项不正确；C、圆柱的底面半径与体积不是函数关系，所以C选项正确；D、圆的周长与半径成正比，所以它们为函数关系，所以D选项不正确；故选：C．【变式1】下列所述不属于函数关系的是（）A．长方形的面积一定，它的长和宽的关系 B．x+2与x的关系 C．匀速运动的火车，时间与路程的关系 D．某人的身高和体重的关系【解答】解：A、∵S＝ab，∴矩形的长和宽成反比例，故本选项正确，不符合题意；B、∵x+2中随x的变化而变化是函数，故本选项正确，不符合题意；C、∵S＝vt，速度固定时，路程和时间是正比例关系，故本选项正确，不符合题意；D、∵身高和体重不是函数，故本选项错误，符合题意；故选：D．【变式2】下列关于变量x和y的关系式：x﹣y＝0，y2＝x，|y|＝2x，y2＝x2，y＝3﹣x，y＝2x2﹣1，y＝，其中y是x的函数的个数为（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：y是x的函数的有：x﹣y＝0，y＝3﹣x，y＝2x2﹣1，y＝，共4个，故选：B．【变式3】下列等式中y＝|x|，|y|＝x，5x2﹣y＝0，x2﹣y2＝0，其中表示y是x的函数的有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．4个【解答】解：由函数的定义判断：y＝|x|，5x2﹣y＝0表示y是x的函数；|y|＝x，x2﹣y2＝0不表示y是x的函数，∴表示y是x的函数的有2个．故选：C．题型03求自变量的取值范围【典例1】在函数中，自变量x的取值范围是x≠﹣．【解答】解：由题意可得，2x+1≠0，解得x≠﹣，故答案为：x≠﹣．【变式1】使函数有意义的x的取值范围是x≥﹣3．【解答】解：由题意得x+3≥0，解得x≥﹣3．故答案为：x≥﹣3．【变式2】函数的定义域为x＞5．【解答】解：根据题意得x﹣5＞0，解得x＞5．故答案为：x＞5．【变式3】函数中自变量x的取值范围是x≠﹣1．【解答】解：由题意得：x+1≠0，解得：x≠﹣1，故答案为：x≠﹣1．【变式4】函数的自变量x的取值范围是x≥﹣2且x≠1．【解答】解：由题意可得：2x+4≥0且x﹣1≠0，解得x≥﹣2且x≠1．∴自变量x的取值范围是x≥﹣2且x≠1．故答案为：x≥﹣2且x≠1．题型04求函数值【典例1】在关系式中，当因变量y＝﹣2时，自变量x的值为（）A． B．﹣4 C．﹣12 D．12【解答】解：当y＝﹣2时，﹣2＝﹣x+2，解得x＝12，故选：D．【变式1】已知函数f（x）＝2x﹣3，那么f（1）＝﹣1．【解答】解：当x＝1时，f（1）＝2×1﹣3＝﹣1，故答案为：﹣1．【变式2】已知函数，那么f（2）＝2．【解答】解：∵，∴f（2）＝＝2．故答案为：2．【变式3】已知函数，那么f（）＝4+2．【解答】解：当x＝时，f（）＝＝＝4+2．故答案为：4+2．【变式4】根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入x的值是8，则输出y的值是﹣3，若输入x的值是﹣8，则输出y的值是（）A．10 B．14 C．18 D．22【解答】解：当x＝8时，＝﹣3，∴b＝2，∴当x＝﹣8时，y＝﹣2×（﹣8）+2＝16+2＝18，故选：C．1．在圆锥体积公式中（其中，r表示圆锥底面半径，h表示圆锥的高），常量与变量分别是（）A．常量是，变量是V，h B．常量是，变量是h，r C．常量是，变量是V，h，r D．常量是，变量是V，h，π，r【解答】解：由圆锥体积公式中（其中，r表示圆锥底面半径，h表示圆锥的高），可知：常量是，变量是V，h，r．故选：C．2．下列关系式中，y不是x的函数的是（）A．y＝x+1 B．y＝x﹣1 C．y＝﹣2x D．|y|＝x【解答】解：A、y＝x+1，y是x的函数，故A不符合题意；B、y＝x﹣1，y是x的函数，故B不符合题意；C、y＝﹣2x，y是x的函数，故C不符合题意；D、|y|＝x，当x＝2时，y＝±2，即对于x的每一个确定的值，y不是有唯一的值与其对应，∴y不是x的函数，故D符合题意．故选：D．3．下列表达式中，与表格表示同一函数的是（）x…﹣2﹣1012…y…531﹣1﹣3…A．y＝﹣2x+1 B．y＝x﹣1 C．y＝2x﹣1 D．y＝2x+1【解答】解：设表格表示的函数为y＝kx+b，将（0，1），（1，﹣1）代入y＝kx+b得，解得，∴表格表示的函数解析式为y＝﹣2x+1，故选：A．4．油箱中存油40升，油从油箱中均匀流出，流速为0.2升/分钟，则油箱中剩余油量Q（升）与流出时间t（分钟）的函数关系是（）A．Q＝0.2t B．Q＝40﹣0.2t C．Q＝0.2t+40 D．Q＝0.2t﹣40【解答】解：由题意得：流出油量是0.2t，则剩余油量：Q＝40﹣0.2t，故选：B．5．如图，有一个球形容器，小海在往容器里注水的过程中发现，水面的高度h、水面的面积S及注水量V是三个变量．下列有四种说法：①S是V的函数；②V是S的函数；③h是S的函数，④S是h的函数．其中所有正确结论的序号是（）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【解答】解：由题意可知，对于注水量V的每一个数值，水面面积S都有唯一值与之对应，即S是V的函数，故①正确；对于水面面积S的每一个数值，注水量V的值不唯一，即V不是S的函数，故②错误；对于水面面积S的每一个数值，水面的高度h不唯一，即h不是S的函数，故③错误；对于水面的高度h的每一个数值，水面面积S有唯一值与之对应，即S是h的函数，故④正确．故正确的结论有①④．故选：B．6．某市的出租车收费标准如下：3千米以内（包括3千米）收费8元，超过3千米后，每超1千米就加收2元．若某人乘出租车行驶的距离为x（x＞3）千米，则需付费用y元与x（千米）之间的关系式是（）A．y＝8+2x B．y＝2+2x C．y＝2x﹣8 D．y＝2x﹣3【解答】解：y＝8+2（x﹣3）＝8+2x﹣6＝2+2x，故选：B．7．函数y＝+中，自变量x的取值范围是（）A．x≥2 B．x≥2且x≠9 C．x≠9 D．2≤x＜9【解答】解：，解得x≥2且x≠9．故选：B．8．变量y与x之间的关系是y＝﹣2x+3，当自变量x＝6时，因变量y的值是（）A．﹣6 B．﹣9 C．﹣12 D．﹣15【解答】解：当x＝6时，y＝﹣2×6+3＝﹣9．故选：B．9．用如图所示的程序框图来计算函数y的值，当输入x为﹣1和7时，输出y的值相等，则b的值是（）A．﹣4 B．﹣2 C．4 D．2【解答】解：根据题意，当x＝﹣1时，y＝3x+b＝3×（﹣1）+b＝﹣3+b；当x＝7时，y＝6﹣x＝6﹣7＝﹣1．∵﹣3+b＝﹣1，∴b＝2．故选：D．10．火车匀速通过隧道时，火车在隧道内的长度y（米）与火车行驶时间x（秒）之间的关系用图象描述如图所示，有下列结论：①火车的长度为150米；②火车的速度为30米/秒；③火车整体都在隧道内的时间为25秒；④隧道长度为750米．其中正确的结论是（）A．①②③ B．②③④ C．①②③④ D．②④【解答】解：在BC段，所用的时间是5秒，路程是150米，则速度是30米/秒．故②正确；火车的长度是150米，故①正确；整个火车都在隧道内的时间是：35﹣5﹣5＝25秒，故③正确；隧道长是：30×35﹣150＝900米，故④错误．故正确的是：①②③．故选：A．11．下列各式①y＝0.5x﹣2；②y＝|2x|；③3y+5＝x；④y2＝2x+8中，y是x的函数的有①②③（只填序号）【解答】解：①y＝0.5x﹣2；②y＝|2x|；③3y+5＝x，y是x的函数，故答案为：①②③．12．若函数在实数范围内有意义，则自变量的取值范围是x≥﹣3且x≠3．【解答】解：由题意得：x+3≥0且x﹣3≠0，解得：x≥﹣3且x≠3，故答案为：x≥﹣3且x≠3．13．函数y＝f（﹣4）＝﹣2x+b＝﹣5，则f（0）＝﹣13．【解答】解：将x＝﹣4代入﹣2x+b＝﹣5，得8+b＝﹣5，解得b＝﹣13，∴y＝﹣2x﹣13．∴当x＝0时，f（0）＝﹣13．故答案为：﹣13．14．如图是1个纸杯和6个叠放在一起的相同纸杯的示意图．若设杯沿高为a（常量），杯子底部到杯沿底边高为b，写出杯子总高度h随着杯子数量n（自变量）的变化规律h＝an+b．【解答】解：由题意可知，h＝an+b，故答案为：h＝an+b．15．一个矩形的长比宽多3cm，矩形的面积是Scm2．设矩形的宽为xcm，当x在一定范围内变化时，S随x的变化而变化，则S与x满足的函数关系是S＝x2+3x．【解答】解：由题意得：矩形的长为（x+3）cm，则S＝x（x+3）＝x2+3x，∴S与x满足的函数关系是：S＝x2+3x．故答案为：S＝x2+3x．16．求下列函数中自变量的取值范围．（1）y＝2x﹣1；（2）；（3）．【解答】解：（1）y＝2x﹣1中，自变量的取值范围是全体实数；（2）由题意得：x﹣3≥0，5﹣x≥0，解得：3≤x≤5；（3）由题意得：4﹣2x＞0，解得：x＜2．17．周长为20cm的矩形，若它的一边长是xcm，面积是Scm2．（1）请用含x的式子表示S，并指出常量与变量；（2）当x＝6时，求S的值．【解答】解：（1）S＝x×＝﹣x2+10x，周长20cm是常量；一边xcm，面积Scm2是变量．（2）当x＝6时，S＝﹣x2+10x＝﹣62+10×6＝﹣36+60＝24．18．如图，是一个“因变量随着自变量变化而变化“的示意图，下面表格中，是通过运算得到的几组x与y的对应值．根据图表信息解答下列问题：输入x…﹣202…输出y…2m18…（1）直接写出：k＝9，b＝6，m＝6；（2）当输入x的值为﹣1时，求输出y的值；（3）当输出y的值为12时，求输入x的值．【解答】解：（1）把x＝﹣2，y＝2代入y＝2x+b得2＝﹣4+b，解得b＝6；把x＝2，y＝18代入y＝kx得18＝2k，解得k＝9；把x＝0，y＝m代入y＝2x+6得m＝0+6，解得m＝6．故答案为：k＝9，b＝6，m＝6；（2）当x＝﹣1＜1时，有y＝2×（﹣1）+6＝4；（3）当y＝12，x＜1时，2x+6＝12，解得