人教版初中数学同步讲义八年级下册第04讲 二次根式的加减法（3个知识点+5类热点题型讲练+习题巩固）

第03讲二次根式的加减法课程标准学习目标①能合并的二次根式与合并方法②二次根式的加减法③二次根式的混合运算掌握能合并的二次根式的概念，并能够熟练的进行二次根式的合并。掌握二次更是的加减法运算，并能够熟练应用。掌握二次根式的混合运算法则并能够熟练应用。知识点01能合并的二次根式（同类二次根式）同类二次根式的概念：一般地，把几个二次根式化为后，如果它们的被开方数，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。合并同类二次根式的方法：只合并的因式，即相加减，和不变。即。【即学即练1】1．下列二次根式中与是同类二次根式的是（）A． B． C． D．【即学即练2】2．已知最简二次根式与是同类二次根式，则a的值为（）A．16 B．0 C．2 D．不确定知识点02二次根式的加减二次根式的加减运算法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成，再把相同的二次根式进行合并。具体步骤：①若式子有括号，按照去括号的方法去括号。②对二次根式进行化简。③合并同类二次根式。【即学即练1】3．计算：（1）3﹣5+4；（2）﹣；（3）+﹣；（4）﹣（3+）．知识点03二次根式的混合运算二次根式的混合运算法则：同有理数的混合运算法则相同，先去，再算，最后算。有括号的先算括号，先算小括号，再算中括号，最后算大括号。若能用乘法公式计算的用乘法公式计算。【即学即练1】4．计算：（1）﹣×；（2）（3×﹣2）﹣（﹣）2．题型01能合并的二次根式【典例1】与是同类二次根式的为（）A． B． C． D．【变式1】下列各式中，化简后能与合并的二次根式是（）A． B． C． D．【变式2】下列各式中，能与合并的是（）A． B． C． D．【变式3】下列各组二次根式中，属同类二次根式的是（）A．2与 B．与 C．与 D．与题型02根据同类二次根式的概念求值【典例1】如果最简二次根式与是同类二次根式，那么a的值是（）A．a＝5 B．a＝3 C．a＝﹣5 D．a＝﹣3【变式1】若最简二次根式2和是同类二次根式，则＝．【变式2】若与最简二次根式能合并成一项，则t的值为（）A．6.5 B．3 C．2 D．4【变式3】最简二次根式与是能够合并的二次根式，则x的值为（）A．1 B．﹣2 C．﹣1 D．0题型03二次根式的混合运算【典例1】计算：（1）；（2）．【变式1】化简：（1）；（2）．【变式2】计算：（1）；（2）．【变式3】计算：（1）；（2）；（3）．题型04二次根式的化简求值【典例1】已知，求x2+y2．【变式1】已知，，求．【变式2】已知，，求下列各式的值：（1）x2﹣y2；（2）x2+xy+y2．【变式3】已知a＝，b＝．求：（1）a2b﹣ab2的值；（2）a3﹣5a2﹣6a﹣b+2015的值．【变式4】定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决．例如：已知，求的值，可以这样解答：因为，所以．（1）已知：，求：①＝2；②结合已知条件和第①问的结果，解方程：；（2）代数式中x的取值范围是，最大值是，最小值是；（3）计算：．题型05二次根式的应用【典例1】已知a、b、c满足|a﹣2|++（c﹣3）2＝0（1）求a、b、c的值．（2）试问：以a、b、c为三边长能否构成三角形，如果能，请求出这个三角形的周长，如不能构成三角形，请说明理由．【变式1】高空抛物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式t＝（不考虑风速的影响，g≈10m/s2）．（1）求从60m高空抛物到落地的时间．（结果保留根号）（2）已知高空坠物动能（单位：J）＝10×物体质量（单位：kg）×高度（单位：m），某质量为0.2kg的玩具被抛出后经过3s后落在地上，这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人吗？请说明理由．（注：伤害无防护人体只需要65J的动能）【变式2】有一块矩形木板，木工采用如图的方式，在木板上截出两个面积分别为18dm2和32dm2的正方形木板．（1）截出的两块正方形木料的边长分别为，．（2）求剩余木料的面积．（3）如果木工想从剩余的木料中截出长为1.5dm，宽为1dm的长方形木条，最多能截出块这样的木条．【变式3】阅读材料：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积为S＝．这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式，中国秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦一秦九韶公式”．完成下列问题：如图，在△ABC中，a＝8，b＝5，c＝7．（1）求△ABC的面积；（2）过点A作AD⊥BC，垂足为D，求线段AD的长．1．下列二次根式中，可以与合并的是（）A． B． C． D．2．下列计算正确的是（）A． B． C． D．3．下列计算正确的是（）A． B． C． D．4．如图，在长方形ABCD中无重叠放入面积分别为8和16的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（）A．8﹣8 B．8﹣12 C．4﹣2 D．8﹣25．若最简二次根式是同类二次根式，则x的值为（）A． B．1 C．1或 D．都不是6．已知a＝，b＝1﹣，则a2+ab+b2的值为（）A．5 B．6 C．7 D．87．已知，，求a2﹣b2的值．嘉琪同学的解题步骤如下：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）…①＝…②＝…③＝0…④其中，首先出错的步骤是（）A．① B．② C．③ D．④8．设M＝，其中a＝3，b＝2，则M的值为（）A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣19．如图，在一个正方形的内部放置大小不同的两个小正方形，其中较大的正方形条的面积为15，重叠部分的面积为1，空白部分的面积为，则较小的正方形面积为（）A．4 B． C．9 D．10．如果f（x）＝并且f（）表示当x＝时的值，即f（）＝＝，f（）表示当x＝时的值，即f（）＝，那么f（）+f（）+f（）+f（）+的值是（）A．n B．n C．n D．n+11．＝．12．已知x+y＝4，，则代数式的值是．13．已知+（b﹣3）2＝+，则化简的结果为．14．若a＝3+，b＝3﹣．则a2b﹣ab2＝．15．边长为a，b的长方形如图所示，若它的周长为2+，面积为，则a2b+ab2的值为．16．计算：（1）；（2）．17．已知，，求下列各式的值．（1）a+b和ab；（2）a2+ab+b2．18．若最简二次根式与是同类二次根式．（1）求a的平方根；（2）对于任意不相等的两个数x，y，定义一种运算“※”如下：x※y＝，如：3※2＝＝，请求a※[a※（﹣2）]的值．19．新版北师八年级（上）数学教材P51页第22题指出：设一个三角形的三边长分别为a，b，c，，则有下列面积公式；（海伦公式）．（秦九韶公式）．（1）若一个三角形边长依次为5、6、7，求这个三角形的面积．小明利用海伦公式很快就可以求出这个三角形的面积．以下是他的部分求解过程，请你把它补充完整．解：∵一个三角形边长依次为5、6、7，即a＝5，b＝6，c＝7，∴＝．根据海伦公式可得：＝．（2）