人教版初中数学同步讲义八年级下册第02讲 勾股定理逆定理（3个知识点+5类热点题型+习题巩固）（原卷版）

第02讲勾股定理逆定理课程标准学习目标①勾股定理逆定理②勾股数③勾股定理的应用掌握勾股定理的逆定理内容，并能够熟练的运用它来判断直角三角形。掌握勾股数并能够判断勾股数。能够在各类实际问题中熟练应用勾股定理。知识点01勾股定理逆定理勾股定理逆定理内容：在△ABC中，如果三角形的三边分别是且满足，则该三角形一定是有一个直角三角形且∠C是直角。勾股定理的逆定理用于判断一个三角形是不是直角三角形。直角三角形的判定①勾股定理逆定理②三角形中有一个角是90°。③三角形中有两个角之和为90°。【即学即练1】1．以下列数据为长度的线段中，可以构成直角三角形的是（）A．1，2，3 B．2，3，4 C．1，， D．，3，5【即学即练2】2．如图，在△ABC中，AC＝6cm，BC＝8cm，AB＝10cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E．（1）试说明△ABC为直角三角形．（2）求CE的长．知识点02勾股数勾股数的定义：满足勾股定理：即的三个称为勾股数。注意：①一定要满足勾股定理；②一定要是正整数。常见的勾股数类型：基本勾股数：（3，4，5）（6，8，10）①倍数型勾股数：②奇数规律：满足的三个正整数。（为奇数）③偶数规律：满足的三个正整数。（为偶数）【即学即练1】3．下列各组数中，是勾股数的是（）A．，2， B．，， C．1，1，2 D．9，12，15知识点03勾股定理的应用勾股定理的实际应用：在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用。【即学即练1】4．2023年7月五号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受到严重影响．据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径250km（即以台风中心为圆心，250km为半径的圆形区域都会受台风影响）．如图，线段BC是台风中心从C市移动到B市的大致路线，A是某个大型农场，且AB⊥AC．若A，C之间相距300km，A，B之间相距400km．（1）判断农场A是否会受到台风的影响，请说明理由；（2）若台风中心的移动速度为20km/h，则台风影响该农场持续时间有多长？题型01判定直角三角形【典例1】已知a，b，c是△ABC的三边，下列条件中，能够判断△ABC为直角三角形的是（）A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．∠A＝∠B＝2∠C C．a：b：c＝2：2：3 D．【变式1】下列四条线段不能组成直角三角形的是（）A．a＝8，b＝15，c＝17 B．a＝9，b＝12，c＝15 C．a＝，b＝，c＝ D．a：b：c＝2：3：4【变式2】△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（）A．a2+b2＝c2 B．a＝5，b＝12，c＝13 C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．∠A＝∠B+∠C【变式3】若△ABC的三边分别是a，b，c，则下列条件能判断△ABC是直角三角形的是（）A．∠A＝∠B＝2∠C B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 C．a＝4，b＝5，c＝6 D．a＝m2﹣n2，b＝2mn，c＝m2+n2（m＞n＞0）题型02勾股定理逆定理的应用【典例1】若一个三角形的三边分别是7，24，25，则它的面积是（）A．84 B．87.5 C．168 D．300【变式1】如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝4，AC＝3，点O是三条角平分线的交点，则△BOC的BC边上的高是（）A．1 B．2 C．3 D．4【变式2】在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，AC＝5cm，动点P从点B出发，沿射线BC以2cm/s的速度移动，试问：动点P的运动时间为多少时，△ABP为直角三角形．【变式3】如图，在四边形ABCD中，已知∠B＝90°，∠ACB＝30°，AB＝3，AD＝10，CD＝8．（1）求证：△ACD是直角三角形；（2）求四边形ABCD的面积．题型03勾股数及其求值【典例1】下列给出的四组数中，是勾股数的一组是（）A．2，4，6 B．1，，2 C．8，15，17 D．0.3，0.4，0.5【变式1】勾股数，又名毕氏三元数，则下列各组数构成勾股数的是（）A．，， B．，， C．5，15，20 D．9，40，41【变式2】给出下列四个说法：①由于0.3，0.4，0.5不是勾股数，所以以0.3，0.4，0.5为边长的三角形不是直角三角形；②由于以0.5，1.2，1.3为边长的三角形是直角三角形，所以0.5，1.2，1.3是勾股数；③若a，b，c是勾股数，且c最大，则一定有a2+b2＝c2；④若三个整数a，b，c是直角三角形的三边长，则2a，2b，2c一定是勾股数，其中正确的是（）A．①② B．②③ C．③④ D．①④【典例2】若3，a，5是一组勾股数，则a的值为（）A． B．4 C．或4 D．2【变式1】若6，8，a是一组勾股数，则a的值为（）A． B．10 C．或10 D．7【变式2】已知一组勾股数中的两个数分别是3和4，那么第三个数是（）A．5 B．5或 C． D．7题型04勾股数的证明【典例1】（1）3k，4k，5k（k是正整数）是一组勾股数吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；（2）如果a，b，c是一组勾股数，那么ak，bk，ck（k是正整数）也是一组勾股数吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由．【变式1】当直角三角形的三边长都是正整数时，我们称这三个数为勾股数．如：3，4，5都是正整数，且32+42＝52，所以3，4，5是勾股数．（1）当n是大于1的整数时，2n，n2﹣1，n2+1是否是勾股数，说明理由；（2）当n是大于1的奇数时，若，x是勾股数，且x＞n，x＞，求x．（用含n的式子表示）题型05勾股定理的实际应用【典例1】如图，从电线杆离地面6米处向地面拉一条10米长的钢缆，地面钢缆固定点A到电线杆底部B的距离AB是（）米．A．6 B．7 C．8 D．9【变式1】如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为（）A．2.2米 B．2.3米 C．2.4米 D．2.5米【变式2】勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE＝1m，将它往前推4m至C处时（即水平距离CD＝4m），踏板离地的垂直高度CF＝3m，它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是（）A．4m B．5m C．6m D．8m【变式3】图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．根据安全标准需满足BC⊥CD，现测得AB＝CD＝6dm，BC＝3dm，AD＝9dm，其中AB与BD之间由一个固定为90°的零件连接（即∠ABD＝90°），通过计算说明该车是否符合安全标准．【变式4】如图，一架25m长的梯子AB，斜靠在竖直的墙AC上，这时梯子的底部B到墙底端C的距离为7m．（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的底部B在水平方向滑动了8m至D，那么梯子的顶端A沿墙垂直也下滑了8m吗？【变式5】某实践探究小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，通过勘测，得到如下记录表：测量示意图测量数据边的长度①测得水平距离BC的长为15米．②根据手中剩余线的长度计算出风筝线AB的长为17米．③小明牵线放风筝的手到地面的距离为1.7米．数据处理组得到上面数据以后做了认真分析，他们发现根据勘测组的全部数据就可以计算出风筝离地面的垂直高度AD．请完成以下任务．（1）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝15，AB＝17．求线段AD的长．（2）如果小明想要风筝沿DA方向再上升12米，BC长度不变，则他应该再放出多少米线？1．下列线段能组成直角三角形的一组是（）A．1，2，2 B．3，4，5 C．，2， D．5，6，72．下列各组数中，是勾股数的是（）A．3，4，7 B．0.5，1.2，1.4 C．6，8，10 D．32，42，523．下列条件中，不能判断△ABC是直角三角形的是（）A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．∠A﹣∠B＝∠C C．AB：BC：AC＝1：2： D．AB＝0.7，BC＝2.4，AC＝2.54．若3、4、a为勾股数，则a的值为（）A．﹣5 B．5 C．﹣5或 D．5或5．如图1，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面5米处折断倒下，树顶落在离树根12米处，图2是这棵大树折断的示意图，则这棵大树在折断之前的高是（）A．20米 B．18米 C．16米 D．15米6．如图，在四边形ABCD中，，BC＝2，CD＝1，，且∠BCD＝90°，则四边形ABCD的面积为（）A． B． C． D．7．如图，将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度是为hcm，则h的取值范围是（）A．5≤h≤12 B．12≤h≤19 C．11≤h≤12 D．12≤h≤138．如图，为了测量池塘的宽度DE，在池塘周围的平地上选择了A，B，C三点，且A，D，E，C四点在同一条直线上，∠C＝90°，已测得AB＝100