金版教程物理2025高考科学复习解决方案第一章 运动的描述 匀变速直线运动专题强化二 追及相遇问题含答案

《金版教程(物理）》2025高考科学复习解决方案第一章运动的描述匀变速直线运动专题强化二追及相遇问题关键能力发展与提升考点一追及和相遇问题解题技巧1．追及问题若后者能追上前者，追上时，两者处于同一位置，且后者速度一定不小于前者速度。2．相遇问题(1)同向运动的两物体追上即相遇。两物体位移大小之差等于开始时两物体间距。(2)相向运动的两物体，当各自发生的位移大小之和等于开始时两物体间的距离时即相遇。3．追及相遇问题的解题思路及技巧(1)解题思路(2)解题技巧①紧抓“一图三式”，即：过程示意图，时间关系式、速度关系式和位移关系式。②审题应抓住题目中的关键字眼，充分挖掘题目中的隐含条件，如“刚好”“恰好”“最多”“至少”等，往往对应一个临界状态，满足相应的临界条件。③若被追的物体做匀减速直线运动，一定要注意追上前该物体是否已经停止运动，另外还要注意最后对解进行讨论分析。④紧紧抓住速度相等这个临界点。两者速度相等，往往是物体能追上、追不上或两者距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点。4．追及相遇问题的两种典型情况(1)初速度小者追初速度大者典型示例图像说明匀加速追匀速①0～t0时段，后面物体与前面物体间距离不断增大；匀速追匀减速②t＝t0时，两物体相距最远，为x0＋Δx(x0为两物体初始距离)；③t>t0时，后面物体追及前面物体的过程中，两物体间距离不断减小；④能追上且只能相遇一次匀加速追匀减速(2)初速度大者追初速度小者典型示例图像说明匀减速追匀速开始追时，两物体间距离为x0，之后两物体间的距离在减小，当两物体速度相等时，即t＝t0时刻：①若Δx＝x0，则恰能追上，两物体只能相遇一次，这也是避免相撞的临界条件；②若Δx<x0，则不能追上，此时两物体间距离最小，为x0－Δx；③若Δx>x0，则相遇两次，设t1时刻Δx1＝x0，两物体第一次相遇，则t2时刻两物体第二次相遇(t2－t0＝t0－t1)匀速追匀加速匀减速追匀加速例1一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以a＝3m/s2的加速度开始行驶，恰在这一时刻一辆自行车以v自＝6m/s的速度匀速驶来，从旁边超过汽车。试求：(1)汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？(2)什么时候汽车能追上自行车？此时汽车的速度是多少？[答案](1)2s6m(2)4s12m/s[解析](1)解法一(物理分析法)：如图甲所示，汽车与自行车的速度相等时相距最远，设此时经过的时间为t1，汽车和自行车间的距离为Δx，则有v自＝at1所以t1＝eq\f(v自,a)＝2sΔx＝v自t1－eq\f(1,2)ateq\o\al(2,1)＝6m。解法二(相对运动法)：以自行车为参考系，则从开始到相距最远的这段时间内，汽车相对这个参考系的各个物理量为初速度v0＝v汽初－v自＝0－6m/s＝－6m/s末速度vt＝v汽末－v自＝0加速度a′＝a－a自＝3m/s2－0＝3m/s2所以汽车和自行车相距最远时经历的时间为t1＝eq\f(vt－v0,a′)＝2s最大相对位移Δx＝eq\f(veq\o\al(2,t)－veq\o\al(2,0),2a′)＝－6m负号表示汽车在后。注意：利用相对运动的方法解题，要抓住三个关键：①选取哪个物体为研究对象；②选取哪个物体为参考系；③规定哪个方向为正方向。解法三(极值法)：设汽车在追上自行车之前经过时间t1汽车和自行车相距Δx，则Δx＝v自t1－eq\f(1,2)ateq\o\al(2,1)代入已知数据得Δx＝6t1－eq\f(3,2)teq\o\al(2,1)由二次函数求极值的条件知：t1＝2s时，Δx有最大值6m。所以经过t1＝2s后，汽车和自行车相距最远，最远距离为Δx＝6m。解法四(图像法)：自行车和汽车的v­t图像如图乙所示。由图可以看出，在相遇前，t1时刻汽车和自行车速度相等，相距最远，此时的距离为阴影三角形的面积，所以有t1＝eq\f(v自,a)＝eq\f(6,3)s＝2sΔx＝eq\f(v自t1,2)＝eq\f(6×2,2)m＝6m。(2)解法一(物理分析法)：当汽车和自行车位移相等时，汽车追上自行车，设此时经过的时间为t2，则有v自t2＝eq\f(1,2)ateq\o\al(2,2)解得t2＝eq\f(2v自,a)＝eq\f(2×6,3)s＝4s此时汽车的速度v1′＝at2＝12m/s。解法二(图像法)：由前面画出的v­t图像可以看出，在t1时刻之后，当由图线v自、v汽和t＝t2构成的三角形的面积与阴影部分的三角形面积相等时，汽车与自行车的位移相等，即汽车与自行车相遇，所以t2＝2t1＝4s，v1′＝at2＝3×4m/s＝12m/s。追及相遇问题的常用分析方法(1)物理分析法：抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，挖掘题目中的隐含条件，建立物体运动关系的情境图。例如，物体B追赶物体A，开始时，两个物体相距x0，B的速度大于A的速度，之后两物体的加速度恒定且aB<aA。当vB＝vA时，若xB>xA＋x0，则能追上；若xB＝xA＋x0，则恰好追上；若xB<xA＋x0，则不能追上。(2)二次函数法：设运动时间为t，根据条件列方程，得到关于二者之间的距离Δx与时间t的二次函数关系。对于该二次函数关系：①当Δx＝0时，表示两者相遇。取Δx＝0时，对于关于时间t的一元二次方程，其解就是两者相遇的时刻，应注意对解的合理性的讨论。对于初速度大者追初速度小者，且初速度大者的加速度a2与初速度小者的加速度a1满足a2<a1，可利用根的判别式分析相遇的次数：a．若Δ>0，即有两个解，说明可以相遇两次；b．若Δ＝0，有一个解，说明能刚好追上或相遇；c．若Δ<0，无解，说明追不上或不能相遇。②当t＝－eq\f(b,2a)时，函数有极值，若此时刻有意义(t≥0)，则函数的极值代表两者距离的极大或极小值。(3)图像法：在同一坐标系中画出两物体的运动图像。位移—时间图像的交点表示相遇，分析速度—时间图像时，应抓住速度相等时的“面积”关系找位移关系。【跟进训练】1.足球比赛中，经常使用“边路突破，下底传中”战术，即攻方队员带球沿边线前进，到底线附近进行传中。某足球场长105m、宽68m，运动员在中线处将足球沿边线向前踢出，足球在地面上的运动可视为初速度为10m/s的匀减速直线运动，加速度大小为2m/s2。该运动员踢出足球0.5s后从静止开始沿边线方向以2.5m/s2的加速度匀加速追赶足球，速度达到10m/s后以此速度匀速运动。求：(1)足球刚停下来时，运动员的速度大小；(2)运动员踢出足球后，经过多长时间能追上足球。答案(1)10m/s(2)5s解析(1)足球运动的时间t1＝eq\f(v1,a1)＝eq\f(10,2)s＝5s运动员踢出足球Δt＝0.5s后追球的过程中，运动员加速的时间t2＝eq\f(v2,a2)＝eq\f(10,2.5)s＝4s由于Δt＋t2＝4.5s<t1因此足球刚停下来时运动员已匀速运动，运动员的速度大小为10m/s。(2)足球的位移s1＝eq\f(v1,2)t1＝25m运动员加速运动的位移s2＝eq\f(1,2)a2teq\o\al(2,2)＝20m运动员匀速运动的时间t3＝eq\f(s1－s2,v2)＝0.5s运动员追上足球的时间t＝Δt＋t2＋t3＝5s。考点二运动图像与追及相遇问题综合分析解题技巧基本思路(1)利用图像中斜率、面积、交点的含义进行定性分析或定量计算。(2)有时将运动图像还原成物体的实际运动情况更便于理解、分析。例2(2021·广东高考)(多选)赛龙舟是端午节的传统活动。下列v­t和s­t图像描述了五条相同的龙舟从同一起点线同时出发、沿长直河道划向同一终点线的运动全过程，其中能反映龙舟甲与其它龙舟在途中出现船头并齐的有()[答案]BD[解析]由图A可知，甲的速度一直大于乙的速度，所以甲、乙在途中不可能出现船头并齐，故A错误；由图B可知，开始丙的速度大，后来甲的速度大，v­t图像中图线与时间轴围成的面积表示位移，由图可以判断，甲、丙在途中会出现位移相同的时刻，所以甲、丙在途中会出现船头并齐，故B正确；由图C可知，丁一直运动在甲的前面，所以甲、丁在途中不可能出现船头并齐，故C错误；图D的s­t图像中交点表示两船相遇，所以甲、戊在途中会出现船头并齐，故D正确。例3小汽车A和卡车B在平直的公路上沿着两条平行车道同向行驶，t＝0时刻，两车车头相齐，两车的v­t图像如图所示，由图像可知()A．在t＝2t0时刻，两车车头再次相齐B．在t＝2t0时刻之前，两辆车距离逐渐减小C．在t＝2t0时刻之后，两辆车距离逐渐加大D．在t0～3t0这段时间内，两车前进的距离相等[答案]D[解析]由题中v­t图像可知，在t＝2t0时刻，两车的速度相同，在此之前，B车的速度小于A车的速度，两车的距离逐渐增大，在此之后，B车的速度大于A车的速度，两车的距离又逐渐减小，B、C错误；根据v­t图像与t轴围成的面积表示位移，结合题图的对称性可知，在t＝4t0时刻两车车头再次相齐，故A错误；在t0～3t0这段时间内，两图线与时间轴所围成的面积相等，故两车前进的距离相等，D正确。例4(多选)甲、乙两车在一条平直的公路上同向并排行驶，t＝0时刻甲车开始刹车，甲车的速度随时间变化的图像如图甲所示，以t＝0时刻甲车所在位置为坐标原点O，以甲车速度方向为正方向建立x轴，乙车的位置坐标随时间变化的图像如图乙所示，图像为顶点在30m处的抛物线。下列说法正确的是()A．甲车做匀变速直线运动的加速度大小为2.5m/s2B．乙车做匀变速直线运动的加速度大小为6.25m/s2C．t＝4s时甲、乙两车相距最近D．甲、乙两车相遇两次[答案]AD[解析]由v­t图像的斜率代表加速度，可得甲车的加速度大小为a甲＝2.5m/s2，A正确；由x­t图像，根据x－x0＝eq\f(at2,2)，可得乙车的加速度大小为a乙＝2.5m/s2，B错误；t＝4s时，由图甲可知，甲车速度为10m/s，甲车位移为x甲＝v0t－eq\f(1,2)a甲t2＝60m，乙车速度v乙＝a乙t＝10m/s，由图乙可知，此时乙车在x＝50m处，所以此时甲车已经追上并超过了乙车，两车相距不是最近的，C错误；由题图可知，t＝4s后甲车速度逐渐减小到0，乙车速度逐渐增大，故乙车会再追上甲车一次，所以甲、乙两车共相遇两次，D正确。【跟进训练】2.(2023·湖南省邵阳市高三下三模)甲、乙两车某时刻由同一地点沿同一方向做直线运动，若以该时刻作为计时起点，得到两车的位移—时间图像如图所示，其中乙的图像为抛物线，则下列说法正确的是()A．0～t1时间内，甲、乙两车相距越来越远B．出发后甲、乙两车可相遇两次C.eq\f(t1,2)时刻两车的速度刚好相等D．0～t1时间内，乙车的平均速度小于甲车的平均速度答案C解析由题意可知，两车由同一地点沿同一方向做直线运动，结合位移—时间图像可知，0～t1时间内，两车的距离先变大后变小，在t1时刻相遇，故A错误；位移—时间图线的斜率表示物体的速度，由图像可知，甲、乙两车在t1时刻相遇后，乙车图线的斜率始终大于甲车图线的斜率，即乙车的速度始终大于甲车的速度，两车相距越来越远，因此出发后甲、乙两车只能相遇一次，故B错误；由图像可知，甲车图线的斜率不变，则甲车做匀速直线运动，而乙车的图像为抛物线，且图线的斜率逐渐增大，可知，乙车做匀加速直线运动，又因为0～t1时间内甲、乙两车的位移相同，则可知这段时间内甲、乙两车的平均速度相同，由匀变速直线运动规律可知，在0～t1时间的中间时刻即eq\f(t1,2)时刻，乙车的瞬时速度等于乙车在0～t1这段时间内的平均速度，又甲车在eq\f(t1,2)时刻的速度等于0～t1时间内的平均速度，故eq\f(t1,2)时刻两车的速度相等，故C正确，D错误。课时作业1．(2021·海南高考)(多选)甲、乙两人骑车沿同一平直公路运动，t＝0时经过路边的同一路标，下列位移—时间(x­t)图像和速度—时间(v­t)图像对应的运动中，甲、乙两人在t0时刻之前能再次相遇的是()答案BC解析A图中，甲、乙在t0时刻之前位移没有再次相等的时刻，即两人在t0时刻之前不能再次相遇，A错误；B图中，甲、乙在t0时刻之前图线有交点，此时位移相等，即两人在t0时刻之前能再次相遇，B正确；C图中，因v­t图像与时间轴围成的面积表示位移，则甲、乙在t0时刻之前位移有再次相等的时刻，即两人在t0时刻之前能再次相遇，C正确；D图中，因v­t图像与时间轴围成的面积表示位移，由图像可知在t0时刻之前，甲的位移始终大于乙的位移，则两人在t0时刻之前不能再次相遇，D错误。2．“低头族”在社会安全中面临越来越多的潜在风险，若司机也属于低头一族，出事概率则会剧增。若高速公路(可视为平直公路)同一车道上两小车的车速均为108km/h，车距为105m，前车由于车辆问题而紧急刹车，而后方车辆的司机由于低头看手机，4s后抬头才看到前车刹车，经过0.4s的应急时间后也紧急刹车，假设两车刹车时的加速度大小均为6m/s2，则下列说法正确的是()A．两车不会相撞，两车间的最小距离为12mB．两车会相撞，相撞时前车车速为6m/sC．两车会相撞，相撞时后车车速为18m/sD．条件不足，不能判断两车是否相撞答案C解析两车的初速度均为v0＝108km/h＝30m/s，结合运动学公式知，假若两车从开始刹车一直匀减速到速度为0，则刹车位移均为x1＝eq\f(veq\o\al(2,0),2a)＝eq\f(302,2×6)m＝75m，后车从前车开始刹车到自身减速到速度为0的位移为x2＝30×(4＋0.4)m＋75m＝207m>105m＋x1＝180m，所以两车会相撞。假设相撞时前车已经停止，则后车距其匀减速到速度为0的位置的距离Δx＝207m－180m＝27m，匀减速到速度为零的直线运动可以逆向看作初速度为零的匀加速直线运动处理，则相撞时对后车有v2＝2aΔx，解得v＝18m/s，此时距前车开始刹车的时间为(4＋0.4)s＋eq\f(v－v0,－a)＝6.4s>eq\f(v0,a)＝5s，故假设成立。故C正确，A、B、D错误。3.(2024·福建省宁德市高三上联考一模)图为某同学绘制的在同一平直道路上相邻车道行驶的甲、乙两车(视为质点)的运动位置—时间图线。已知甲车的运动图线为一条顶点为(0，x0)的抛物线，乙车的运动图线为一过原点的直线。两条图线的其中一个交点坐标为(t1，x1)。则下列说法正确的是()A．t1时刻甲车速度为eq\f(x1－x0,t1)B．甲车做匀加速直线运动，且加速度为eq\f(x1－x0,2teq\o\al(2,1))C．图中甲、乙两车再次相遇时刻为t2＝eq\f(x0t1,x1－x0)D．如果两车只相遇一次，则必有x1＝eq\f(3,2)x0答案C解析由甲车的运动图线为一条顶点为(0，x0)的抛物线，可知甲车做初速度为0的匀加速直线运动，且对甲车有x－x0＝eq\f(1,2)at2，又因其过(t1，x1)点，可得甲车的加速度为a＝eq\f(2（x1－x0）,teq\o\al(2,1))，t1时刻甲车的速度为v＝at1＝eq\f(2（x1－x0）,t1)，故A、B错误；乙车的运动图线为一过原点的直线，可知乙车做匀速直线运动，且乙车的速度为v乙＝eq\f(x1,t1)，图中甲、乙两车再次相遇时有x0＋eq\f(1,2)ateq\o\al(2,2)＝v乙t2，解得图中甲、乙两车再次相遇时刻为t2＝eq\f(x0t1,x1－x0)，故C正确；如果两车能相遇，则相遇时有x0＋eq\f(1,2)at2＝v乙t，整理得eq\f(1,2)at2－v乙t＋x0＝0，若两车只相遇一次，则t只有一个解，有veq\o\al(2,乙)－4×eq\f(1,2)a·x0＝0，联立解得x1＝2x0，故D错误。4.(2023·山西省大同市高三下三模)(多选)自行车公路比赛中，甲、乙两位选手正骑行在同一条平直公路上，甲在后，乙在前，当两者距离为某一值时，甲、乙都感到危险，乙立即以加速度a做匀加速直线运动，甲立即以加速度－eq\f(a,2)做匀减速直线运动，此后两车刚好不相撞，两者的v­t图像如图所示，下列说法正确的是()A．从发现危险到两车刚好不相撞的过程经历的时间为eq\f(2v0,3a)B．两车刚好不相撞时的速度大小均为eq\f(5,4)v0C．甲、乙两选手都感到危险时，两车相距eq\f(veq\o\al(2,0),3a)D．从乙开始加速到两车刚好不相撞的过程中，甲与乙的平均速度之差为eq\f(v0,3)答案AC解析设甲、乙两选手从发现危险经时间t0两者速度相等，则有v0＋at0＝2v0－eq\f(a,2)t0，得t0＝eq\f(2v0,3a)，此时甲、乙速度大小均为eq\f(5,3)v0，A正确，B错误；设甲、乙两选手都感到危险时，两车相距Δx，由v­t图线与t轴所围图形面积表示位移可知，题图中，两图线交点与虚线所围成的三角形面积表示发现危险时两车间距离，则Δx＝(2v0－v0)×t0×eq\f(1,2)＝eq\f(veq\o\al(2,0),3a)，C正确；从乙开始加速到两车刚好不相撞的过程中，甲的平均速度为eq\o(v,\s\up6(－))甲＝eq\f(2v0＋\f(5,3)v0,2)＝eq\f(11,6)v0，乙的平均速度为eq\o(v,\s\up6(－))乙＝eq\f(v0＋\f(5,3)v0,2)＝eq\f(4,3)v0，则甲与乙的平均速度之差为Δeq\o(v,\s\up6(－))＝eq\o(v,\s\up6(－))甲－eq\o(v,\s\up6(－))乙＝eq\f(v0,2)，D错误。5．(2023·广东省茂名市高三下冲刺模拟)(多选)挥杆套马是我国蒙古族传统体育项目，烈马从骑手身边奔驰而过时，骑手持6m长的套马杆，由静止开始催马追赶，二者的v­t图像如图乙所示，则()A．0～4s内骑手靠近烈马B．6s时刻骑手刚好追上烈马C．骑手在9s时刻挥杆，能套到烈马D．8～9s内烈马加速度大于0～6s内骑手的加速度答案CD解析v­t图像中图线与时间轴所围图形的面积表示位移，骑手与烈马在t＝0时并排运动，通过题图乙可知，在0～4s内烈马与骑手的v­t图线与时间轴所围图形的面积的差值在持续增大，所以0～4s内骑手在远离烈马，同理，4～6s内骑手在靠近烈马，0～6s内烈马的位移x1＝10×6m＝60m，骑手的位移x2＝eq\f(1,2)×15×6m＝45m，所以6s末烈马仍在骑手前方，故A、B错误；由v­t图像中图线与t轴所围图形的面积表示位移，可以算出0～9s内，烈马的位移为x1′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10×8＋\f(10＋15,2)×1))m＝92.5m，骑手的位移为x2′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,2)×15＋15×3))m＝90m，套马杆长l＝6m，x2′＋l>x1′，所以骑手在9s时刻挥杆，能套到烈马，故C正确；由v­t图像中图线的斜率表示加速度可知，8～9s内烈马加速度a1＝eq\f(15－10,9－8)m/s2＝5m/s2，0～6s内骑手加速度a2＝eq\f(15－0,6－0)m/s2＝eq\f(5,2)m/s2，a1>a2，故D正确。6.(2023·黑龙江省齐齐哈尔市高三一模)两款儿童玩具电动车与计算机相连，在平直道路上进行竞速比赛，t＝0时两车从同一位置同时同向运动，通过计算机得到两车的eq\f(x,t2)­eq\f(1,t)图像如图所示(x为位移，t为时间)，下列说法正确的是()A．a车的速度变化比b车快B．开始运动后b车在前，后来a车在前C．两车相遇前相距最远距离为1mD．两车在运动过程中可能相遇两次答案C解析根据匀变速直线运动位移与时间关系式x＝v0t＋eq\f(1,2)at2，整理得eq\f(x,t2)＝v0·eq\f(1,t)＋eq\f(a,2)，结合题图可得v0a＝ka＝eq\f(3－1,0.5－0)m/s＝4m/s，aa＝2×1m/s2＝2m/s2，v0b＝kb＝eq\f(3－2,0.5－0)m/s＝2m/s，ab＝2×2m/s2＝4m/s2，因aa<ab，故a车的速度变化比b车慢，又a车初速度大，加速度小，故开始运动后a车在前，后来b车在前，A、B错误；设经时间t1两车速度相同，当两车速度相同时，两车相遇前相距最远，由速度关系有v0a＋aat1＝v0b＋abt1，解得t1＝1s，两车相遇前相距最远距离为dmax＝v0at1＋eq\f(1,2)aateq\o\al(2,1)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(v0bt1＋\f(1,2)abteq\o\al(2,1)))＝1m，C正确；两车相遇时有xa＝xb，即v0at＋eq\f(1,2)aat2＝v0bt＋eq\f(1,2)abt2，解得t＝2s(另一解t＝0舍去)，只有一个实际解，即两车在运动过程中仅相遇一次，D错误。7.(2023·河北省石家庄市高三下教学质量检测一)某新能源汽车以30m/s的速度行驶过程中发现其前方30m处有一辆货车，驾驶员立即刹车，其刹车过程中的eq\f(x,t)­t图像如图所示，同时货车以下列哪种运动行驶可避免相撞()答案C解析由匀变速直线运动规律有x＝v0t＋eq\f(1,2)at2，整理得eq\f(x,t)＝v0＋eq\f(1,2)at，结合新能源汽车的eq\f(x,t)­t图像可知，其刹车的初速度为v0＝30m/s，加速度为a＝－10m/s2，则其速度减为零所用的时间为t0＝eq\f(0－v0,a)＝3s，通过的位移为x0＝eq\f(0－veq\o\al(2,0),2a)＝45m。图A为x­t图像，图像的斜率表示速度，可知货车做速度为v1＝5m/s的匀速直线运动，则从t＝0时刻至两车速度相等所用的时间为t1＝eq\f(v1－v0,a)＝2.5s，而在此时间内两车之间的位移关系为v0t1＋eq\f(1,2)ateq\o\al(2,1)＝43.75m>Δx＋v1t1＝42.5m，故A不符合题意；图B为x­v2图像，由匀变速直线运动公式v2－veq\o\al(2,0)＝2ax得x＝eq\f(1,2a)v2－eq\f(veq\o\al(2,0),2a)，可知货车做初速度为0、加速度a2＝4m/s2的匀加速直线运动，设从t＝0时刻至两车速度相等所用的时间为t2，由速度关系可得v0＋at2＝a2t2，解得t2＝eq\f(15,7)s，在此时间内两车的位移关系为v0t2＋eq\f(1,2)ateq\o\al(2,2)＝eq\f(2025,49)m>Δx＋eq\f(1,2)a2teq\o\al(2,2)＝eq\f(1920,49)m，故B不符合题意；若货车以加速度a3＝eq\f(10,2)m/s2＝5m/s2做匀加速运动时，设从t＝0时刻至两车速度相等所用的时间为t3，由速度关系可得v0＋at3＝a3t3，解得t3＝2s，在此时间内两车的位移关系为v0t3＋eq\f(1,2)ateq\o\al(2,3)＝Δx＋eq\f(1,2)a3teq\o\al(2,3)＝40m，则可知两车恰好相撞，由v­t图线与t轴所围图形的面积表示位移可知，0～2s时间内，eq\f(1,2)a3teq\o\al(2,3)小于C图所对应货车位移，大于D图所对应货车位移，故C符合题意，D不符合题意。8．(多选)假设高速公路上甲、乙两车在同一车道上同向行驶，甲车在前，乙车在后，速度均为v0＝30m/s，距离s0＝100m，t＝0时刻甲车遇紧急情况后，甲、乙两车的加速度随时间的变化如图甲、乙所示，取运动方向为正方向，下列说法正确的是()A．t＝6s时两车速度相等B．t＝6s时两车距离最近C．0～6s内两车位移之差为90mD．两车在0～9s内会相撞答案ABC解析由a­t图像可画出两车的v­t图像，如图所示，由图像可知，t＝6s时两车速度相等，故A正确；图中阴影部分面积为0～6s内两车位移之差：Δx＝eq\f(1,2)×30×3m＋eq\f(1,2)×30×(6－3)m＝90m，小于100m，则两车在0～9s内不会相撞，t＝6s时两车距离最近，故B、C正确，D错误。9.(2023·天津市河西区高三上期中质量调查)在笔直的公路上，一辆以5m/s的速度匀速行驶的小轿车，正要以2m/s2的加速度开始加速时，一辆卡车刚好从旁边以25m/s的速度匀速同向驶过，如图所示。已知该路段小轿车最大速度为33m/s，不考虑两车的长度。求：(1)小轿车追上卡车前，二者之间的最大距离；(2)小轿车追上卡车所用时间；(3)当小轿车超过卡车200m时，因突发情况，小轿车立即以3m/s2的加速度开始减速，此后卡车再次追上小轿车需要多少时间。答案(1)100m(2)24.5s(3)15.26s解析(1)小轿车与卡车速度相等时，二者相距最远。设经过时间t1二者速度相等，此时轿车的速度v轿＝v0＋at1又v轿＝v卡此过程小轿车的位移x轿＝v0t1＋eq\f(1,2)ateq\o\al(2,1)卡车的位移x卡＝v卡t1二者之间的最大距离Δxm＝x卡－x轿联立并代入数据，解得Δxm＝100m。(2)当小轿车从开始加速到最大速度时，需要的时间t0＝eq\f(vm－v0,a)＝14s此过程小轿车的位移x轿′＝v0t0＋eq\f(1,2)ateq\o\al(2,0)＝266m卡车的位移x卡′＝v卡t0＝350m由于x轿′<x卡′，此时小轿车没追上卡车，设又经过时间t2小轿车追上卡车，位移满足x轿′＋vmt2＝x卡′＋v卡t2解得t2＝10.5s小轿车追上卡车所用总时间t＝t0＋t2＝24.5s。(3)小轿车减速到0需要的时间t3＝eq\f(0－vm,a′)＝eq\f(0－33,－3)s＝11s这段时间内，小轿车刹车位移x轿″＝vmt3＋eq\f(1,2)a′teq\o\al(2,3)＝181.5m卡车的位移x卡″＝v卡t3＝275m由于x卡″<x轿″＋x0＝181.5m＋200m＝381.5m，则说明此时卡车还没追上小轿车，小轿车之后静止不动，则从小轿车开始减速到卡车再次追上小轿车所需时间Δt＝eq\f(x轿″＋x0,v卡)＝15.26s。专题强化一运动图像关键能力发展与提升考点一基本运动图像的理解和应用深化理解1．对基本运动图像(x­t图像和v­t图像)的理解位移—时间图像(x­t图像)速度—时间图像(v­t图像)轴横轴为时间t，纵轴为位移x横轴为时间t，纵轴为速度v线平行于时间轴的直线表示静止；倾斜直线表示匀速直线运动平行于时间轴的直线表示匀速直线运动；倾斜直线表示匀变速直线运动斜率图线上某点切线的斜率的绝对值表示速度的大小，斜率的正负表示速度的方向图线上某点切线的斜率的绝对值表示加速度的大小，斜率的正负表示加速度的方向面积无实际意义图线和时间轴围成的面积表示相应时间内位移的大小(面积在时间轴的上、下表示位移方向的正、负)；总位移等于各段位移的矢量和；总路程等于各段路程的代数和，即时间轴上、下各面积的代数和特殊点拐点表示速度发生变化，交点表示相遇拐点表示加速度发生变化，交点表示速度相等2.关于x­t图像和v­t图像的三点注意(1)无论x­t图像、v­t图像是直线还是曲线，所描述的运动都是直线运动。(2)x­t图像和v­t图像都不表示物体运动的轨迹。(3)x­t图像和v­t图像的形状由x与t、v与t的函数关系决定。考向1x­t图像例1(人教版必修第一册·第一章第2节[练习与应用]T5改编)(多选)一辆汽车在教练场上沿着平直道路行驶，以x表示它相对于出发点的位移，图为汽车在t＝0到t＝40s这段时间的x­t图像。下列分析正确的是()A．汽车离出发点最远的距离为30mB．汽车在10～20s内匀速运动C．汽车在40s末回到出发点D．汽车在20～40s内加速度为1.5m/s2[答案]AC[解析]汽车在0～10s内匀速驶离出发点，10～20s内静止，20～40s内匀速驶回出发点，离出发点最远的距离为30m，40s末回到出发点，故A、C正确，B错误；汽车在20～40s内做匀速直线运动，加速度a＝0，故D错误。例2甲、乙两物体沿直线同向运动，其位置x随时间t的变化如图所示，甲、乙图线分别为圆弧、直线。下列说法正确的是()A．甲做匀减速直线运动B．乙做匀加速直线运动C．第4s末，二者速度相等D．前4s内，二者位移相同[答案]D[解析]如果甲做匀减速直线运动，其位置—时间图像为抛物线，故A错误；由图像可得乙做匀速直线运动，B错误；x­t图像的斜率表示速度，第4s末，二者的图线斜率不相等，所以速度不相等，而前4s内二者的初末位置相同，所以位移相同，C错误，D正确。考向2v­t图像例3某军事试验场正在平地上试射地对空导弹。若某次竖直向上发射导弹时发生故障，造成导弹运动的v­t图像如图所示，则下列说法中正确的是()A．1～2s内导弹静止B．2～3s内导弹匀减速下降C．2～3s内和3～5s内加速度的方向相反D．5s末导弹回到原出发点[答案]D[解析]由题图可知，1～2s内导弹匀速上升，A错误；2～3s内导弹匀减速上升，B错误；v­t图线的斜率表示加速度，所以2～3s内和3～5s内导弹加速度的方向相同，C错误；v­t图像和时间轴围成的面积表示位移，根据图像可知，0～3s内导弹的位移x＝eq\f(1＋3,2)×30m＝60m，3～5s内导弹的位移x′＝－eq\f(1,2)×60×2m＝－60m，所以5s末导弹回到原出发点，D正确。【跟进训练】(2022·河北高考)科学训练可以提升运动成绩，某短跑运动员科学训练前后百米全程测试中，速度v与时间t的关系图像如图所示。由图像可知()A．0～t1时间内，训练后运动员的平均加速度大B．0～t2时间内，训练前、后运动员跑过的距离相等C．t2～t3时间内，训练后运动员的平均速度小D．t3时刻后，运动员训练前做减速运动，训练后做加速运动答案D解析由题图可知，t＝0时刻训练前、后运动员的速度均为0，t1时刻训练后运动员的速度小，则根据eq\o(a,\s\up6(－))＝eq\f(Δv,Δt)可知，0～t1时间内，训练后运动员的平均加速度小，故A错误；根据v­t图线与t轴所围的面积表示位移，由题图可知，0～t2时间内，训练前运动员跑过的距离比训练后的大，故B错误；根据v­t图线与t轴所围的面积表示位移，由题图可知，t2～t3时间内，训练后运动员的位移比训练前的大，则根据eq\o(v,\s\up6(－))＝eq\f(Δx,Δt)可知，t2～t3时间内，训练后运动员的平均速度大，故C错误；根据v­t图像直接判断可知，t3时刻后，运动员训练前速度减小，做减速运动，训练后速度增加，做加速运动，故D正确。考点二用函数法解决非常规图像问题深化理解1．对于非常规运动图像，可由运动学公式推导出两个物理量间的函数关系，再分析图像的斜率、截距、面积的含义。2．匀变速直线运动的四类非常规图像(1)a­t图像：由v＝v0＋at可知图像与时间轴所围面积表示速度变化量Δv，如图甲所示。(2)eq\f(x,t)­t图像：由x＝v0t＋eq\f(1,2)at2可得eq\f(x,t)＝v0＋eq\f(1,2)at，图像的斜率为eq\f(1,2)a，纵截距为v0，如图乙所示。(3)v2­x图像：由v2－veq\o\al(2,0)＝2ax可知v2＝veq\o\al(2,0)＋2ax，图像斜率为2a，纵截距为veq\o\al(2,0)，如图丙所示。(4)a­x图像：由v2－veq\o\al(2,0)＝2ax可知ax＝eq\f(v2－veq\o\al(2,0),2)，图像与x轴所围面积表示速度平方的变化量Δv2的一半，如图丁所示。考向1a­t图像例4一物体由静止开始，在粗糙的水平面上沿直线运动，其加速度a随时间t变化的a­t图像如图所示。若选物体开始运动的方向为正方向，那么，下列说法中正确的是()A．在0～2s的时间内，物体先做匀速直线运动后做匀减速运动B．在2s时物体的位移最大C．在2～3s的时间内，物体速度的变化量为－1m/sD．在0～4s的时间内，物体的位移为0[答案]C[解析]由题图可知，在0～1s的时间内，加速度大小不变，方向为正，与速度方向相同，物体做匀加速直线运动，在1～2s的时间内，加速度大小减小，方向不变，物体做加速度减小的加速直线运动，A错误；a­t图像中图线与时间轴所围的面积表示速度的变化量，则在2～3s的时间内，物体速度的变化量为Δv＝eq\f(1,2)×1×(－2)m/s＝－1m/s，C正确；根据C项分析，结合图像可知，在0～4s的时间内，物体的速度变化量为0，即物体在0～4s的时间内一直向正方向运动，且在4s时速度为0，此时物体的位移最大且不为0，B、D错误。考向2eq\f(x,t)­t图像例5(多选)司机驾驶汽车在平直公路上匀速行驶，突然遇到紧急情况刹车直到停止运动，从司机发现情况到停止运动这段时间内，汽车的eq\f(x,t)­t图像如图所示。下列说法正确的是()A．汽车刹车过程的初速度为5.5m/sB．汽车刹车过程的加速度大小为2m/s2C．从司机发现情况开始到汽车停止所用时间为3.0sD．从开始刹车到停止，汽车的总位移大小为12.5m[答案]CD[解析]通过图像可知，第一阶段在司机反应时间0.5s内，汽车做匀速直线运动；第二阶段司机刹车，汽车做匀减速直线运动到停止，根据匀变速直线运动公式x＝v0t＋eq\f(1,2)at2，可得eq\f(x,t)＝v0＋eq\f(1,2)at，由此可知，eq\f(x,t)­t图像的斜率表示加速度的一半，则a＝2k＝2×eq\f(0－10,5)m/s2＝－4m/s2(负号表示方向)，由图像可知，初速度为v0＝10m/s，故A、B错误；反应时间为t1＝0.5s，刹车到停止的时间为t2＝eq\f(0－v0,a)＝eq\f(－10,－4)s＝2.5s，则从司机发现情况开始到汽车停止所用时间为t总＝t1＋t2＝0.5s＋2.5s＝3.0s，故C正确；从开始刹车到停止，汽车的位移为x2＝eq\f(v0,2)t2＝eq\f(10,2)×2.5m＝12.5m，故D正确。考向3x­v2图像例6从t＝0时刻开始，物块在外力作用下由静止开始沿x轴做匀变速直线运动，其位移和速率的二次方的关系图线如图所示。下列说法正确的是()A．t＝2s时物块位于x＝－1m处B．物块运动的加速度大小为a＝1m/s2C．t＝0时刻物块位于x＝0处D．物块从2s末至4s末的平均速度大小为eq\f(1,2)m/s[答案]A[解析]由题意可知物块运动的初速度为0，根据匀变速直线运动的规律有v2＝2a(x－x0)，变形可得x＝eq\f(1,2a)v2＋x0，结合图像可知，图像斜率为k＝eq\f(1,2a)，即a＝eq\f(1,2k)＝0.5m/s2，故B错误；t＝0时，v＝0，x0＝－2m，2s内物块的位移为x2＝eq\f(1,2)at2＝1m，则t＝2s时物块位于x＝－1m处，故A正确，C错误；物块从2s末至4s末的平均速度大小为eq\o(v,\s\up6(－))＝eq\f(v2＋v4,2)＝v3，即为3s末的速度，由匀变速直线运动速度与时间的关系式得v3＝at′＝1.5m/s，故D错误。考向4a­x图像例7一物体由静止开始运动，其加速度a与位移x的关系图线如图所示。下列说法正确的是()A．物体最终静止B．物体的最大速度为eq\r(2a0x0)C．物体的最大速度为eq\r(3a0x0)D．物体的最大速度为eq\f(3,2)eq\r(a0x0)[答案]C[解析]物体运动过程中任取一小段，对这一小段有veq\o\al(2,i)－veq\o\al(2,i0)＝2axi，一物体由静止开始运动，将表达式对位移累加，可得末速度的平方v2等于a­x关系图线与x轴围成的面积的2倍，则v2＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a0x0＋\f(1,2)a0x0))，解得物体的最大速度即末速度v＝eq\r(3a0x0)，故C正确，A、B、D错误。处理图像问题的流程课时作业1.(2022·上海高考)如图所示，两质点由静止开始做直线运动，它们的位移x与时间t的图像均为抛物线。t0时刻它们的速度分别为vⅠ和vⅡ，加速度分别为aⅠ和aⅡ。则()A．vⅠ＞vⅡ，aⅠ＞aⅡ B．vⅠ＞vⅡ，aⅠ<aⅡC．vⅠ<vⅡ，aⅠ＞aⅡ D．vⅠ<vⅡ，aⅠ<aⅡ答案A解析解法一：根据x­t图像的斜率表示速度可知，在t0时刻，vⅠ＞vⅡ；由题意知两质点的位移x与时间t的图像均为抛物线，可知两质点均做初速度为零的匀加速直线运动，由v＝at可知，在t0时刻，aⅠ＞aⅡ。A正确。解法二：由题意知两质点的位移x与时间t的图像均为抛物线，可知两质点均做初速度为零的匀加速直线运动，由x­t图像可知，在0～t0时间内，xⅠ>xⅡ，由x＝eq\f(1,2)at2可知，aⅠ＞aⅡ；由v＝at可知，vⅠ＞vⅡ。A正确。2.(2023·广东省梅州市高三下二模)中国跳水“梦之队”在东京奥运会上荣获7金5银12枚奖牌。某同学将一小球(可看成质点)从平台边缘竖直向上抛出来模拟运动员的跳水运动，从小球抛出时开始计时，若小球的速度与时间关系的图像如图所示，不计空气阻力，则下列说法正确的是()A．小球在1.2s时到达最高点B．小球在水中最深处时加速度最大C．跳台与水面的高度差是2.4mD．小球潜入水中的深度为3.2m答案C解析由题意结合v­t图可判断竖直向下为正方向，则小球在0.4s时速度为零，到达最高点，A错误；速度—时间图像的斜率的绝对值表示加速度大小，由题图可知，小球在1.2s刚入水时v­t图像斜率的绝对值最大，此时小球在水中的加速度最大，B错误；v­t图像中，图线与时间轴所围面积表示位移，则跳台与水面的高度差h1＝eq\f(0.4×（－4）,2)m＋eq\f(（1.2－0.4）×8,2)m＝2.4m，C正确；若小球入水后做匀减速直线运动，小球潜入水中的深度h2＝eq\f(（2.0－1.2）×8,2)m＝3.2m，1.2～2.0s部分图线与时间轴所围不规则图形的面积所表示的高度小于h2，所以小球潜入水中的深度小于3.2m，D错误。3.如图所示，两条图线是驾驶员驾驶同一辆汽车在两种路面紧急刹车时的v­t图像。驾驶员的反应时间为0.5s(从发现问题到制动的时间)，下列说法正确的是()A．从t＝0到停下，汽车在干燥路面的平均速度较小B．从t＝0到停下，汽车在湿滑路面的位移是干燥路面的2倍C．从t＝0.5s到停下，汽车在湿滑路面和干燥路面的平均速度大小相等D．从t＝0.5s到停下，汽车在湿滑路面和干燥路面的加速度之比为1∶2答案C解析根据v­t图像与时间轴所围的面积表示位移，知从t＝0到停下，汽车在干燥路面通过的位移为x1＝eq\f(0.5＋2.5,2)×40m＝60m，平均速度为eq\o(v,\s\up6(－))1＝eq\f(x1,t1)＝eq\f(60,2.5)m/s＝24m/s，汽车在湿滑路面通过的位移为x2＝eq\f(0.5＋5.0,2)×40m＝110m，平均速度为eq\o(v,\s\up6(－))2＝eq\f(x2,t2)＝eq\f(110,5)m/s＝22m/s，则eq\f(x2,x1)＝eq\f(110,60)≈1.8，故A、B错误；从t＝0.5s到停下，汽车做匀减速直线运动，根据平均速度公式eq\o(v,\s\up6(－))＝eq\f(v＋v0,2)，可知汽车在湿滑路面和干燥路面的平均速度相等，故C正确；根据v­t图像的斜率的绝对值表示加速度大小，可知汽车在干燥路面减速的加速度大小为a1＝eq\f(40,2.5－0.5)m/s2＝20m/s2，汽车在湿滑路面减速的加速度大小为a2＝eq\f(40,5.0－0.5)m/s2＝eq\f(80,9)m/s2，则a2∶a1＝4∶9，故D错误。4.甲、乙两个台球从同一位置沿同一直线被先后击出，运动位移—时间图像如图所示，则()A．2.5t0时甲的速度大于乙的速度B．5t0时甲的加速度大于乙的加速度C．6t0时乙恰好与甲相碰D．3t0～6t0内两球的平均速度相等答案C解析根据位移—时间图像的斜率表示速度，可知2.5t0时甲的速度为v1＝eq\f(2x0,3t0)，乙的速度为v2＝eq\f(－2x0,3t0－2t0)＝eq\f(－2x0,t0)，则甲的速度小于乙的速度，A错误；根据位移—时间图像可知，3t0～6t0时间内两台球都做匀速直线运动，则加速度都为0，B错误；位移—时间图像中图线的交点表示两台球相遇，所以C正确；3t0～6t0内，甲的平均速度为eq\o(v,\s\up6(－))1＝eq\f(4x0－2x0,6t0－3t0)＝eq\f(2x0,3t0)，乙的平均速度为eq\o(v,\s\up6(－))2＝eq\f(4x0－（－2x0）,6t0－3t0)＝eq\f(2x0,t0)，则甲的平均速度小于乙的平均速度，D错误。5.(2023·海南省琼海市高三下二模联考)甲、乙两只鸳鸯在湖面上追逐嬉戏。甲、乙从同一位置出发沿同一直线运动的位移—时间图像分别如图线1、2所示，图线2是顶点在坐标原点的抛物线的一部分，x0、t0均为已知量。下列说法正确的是()A．甲做匀加速直线运动B．在t0时刻，乙在甲的前方C．乙做匀加速直线运动，加速度大小为eq\f(x0,teq\o\al(2,0))D．在eq\f(t0,2)时刻，甲、乙的速度相等答案D解析位移—时间图像的斜率表示速度，甲的位移—时间图像为一条倾斜的直线，斜率一定，可知甲做匀速直线运动，A错误；甲、乙从同一位置出发，根据图像可知，在t0时刻，两者位置坐标相同，表明此时两者位于同一位置，B错误；由于图线2是顶点在坐标原点的抛物线的一部分，结合x＝eq\f(1,2)at2，可知乙做初速度为0的匀加速直线运动，代入t＝t0、x＝x0可得乙的加速度大小为a＝eq\f(2x0,teq\o\al(2,0))，C错误；甲的速度v甲＝eq\f(x0,t0)，乙在eq\f(t0,2)时刻的速度v乙＝a·eq\f(t0,2)＝eq\f(x0,t0)，即在eq\f(t0,2)时刻，甲、乙的速度相等，D正确。6.汽车的设计、竞技体育的指导、宇航员的训练等多种工作都会用到急动度的概念。急动度j是加速度变化量Δa与发生这一变化所用时间Δt的比值，即j＝eq\f(Δa,Δt)，它的方向与物体加速度变化量的方向相同。一物体从静止开始做直线运动，其加速度a随时间t的变化关系如图，则该物体在()A．1～3s内做减速运动B．0～5s内速度方向发生改变C．t＝2s时和t＝4s时加速度等大反向D．t＝2s时和t＝4s时急动度等大反向答案C解析由题图可知，1～3s内加速度为正值，物体做加速度减小的加速运动，故A错误；a­t图像与时间轴所围面积表示物体的速度变化量，故0～5s内物体速度始终为正值，速度方向不变，故B错误；由图像可知，t＝2s时和t＝4s时加速度等大反向，故C正确；t＝2s时和t＝4s时，斜率相同，急动度相同，D错误。7．(2023·吉林省吉林市高三下第二次调研改编)(多选)下列关于直线运动的甲、乙、丙、丁四个图像的说法中，不正确的是()A．甲图中x1～2x1物体的加速度大小为eq\f(veq\o\al(2,0),x1)B．乙图中所描述的物体在0～t1时段通过的位移为x1C．丙图中所描述的物体在t1～t2时段速度的变化量为a0(t2－t1)D．丁图中所描述的物体正在做匀加速直线运动，该物体的加速度为2m/s2答案ABD解析根据v2－veq\o\al(2,0)＝2ax可得v2＝2ax＋veq\o\al(2,0)，可知v2­x图像的斜率的绝对值等于|2a|，所以甲图中x1～2x1物体的加速度大小为|a甲|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(k甲,2)))＝eq\f(veq\o\al(2,0),2x1)，故A错误；乙图中所描述的物体在0～t1时段通过的位移为x1－x0，故B错误；a­t图像中图线与t轴所围的面积表示速度的变化量，所以丙图中所描述的物体在t1～t2时段速度的变化量为a0(t2－t1)，故C正确；由x＝v0t＋eq\f(1,2)at2可得eq\f(x,t)＝v0＋eq\f(1,2)at，所以eq\f(x,t)­t图像的斜率等于eq\f(a,2)，纵截距等于v0，可知丁图中所描述的物体正在做匀变速直线运动，a丁＝2k丁＝4m/s2，v0丁＝2m/s，a丁与v0丁同向，则该物体正在做匀加速直线运动，故D错误。本题选说法不正确的，故选A、B、D。8.(人教版必修第一册·第一章第4节[练习与应用]T5改编)(多选)在同一公路上，B、C两辆汽车的v­t图像b、c如图所示，两辆汽车同时同地出发，下列说法正确的是()A．B车的加速度为eq\f(7,4)m/s2，C车的加速度为－eq\f(2,3)m/s2B．t＝2s时，C车在B车后C．B、C两车在大约1.6s时并排行驶D．B、C两车并排行驶时离出发点的距离约为9