2024年高考数学专项复习：排列组合之排队问题（解析版）

2024年高考数学专项复习排列组合专题03排队问题（解

析版）

专题3排队问题

例1.记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同

的排法共有（）

A.1440种B.960种C.720种D.480种

例2.12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的

相对顺序不变，则不同调整方法的总数是（）

A.B.ClAlC.D.C；瑟

例3.10名同学进行队列训练，站成前排3人后排7人，现体育教师要从后排7人中抽2人调整到前排，

若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数为（）

A.C,4B.C.C；A；D.

例4.在数字1,2,3与符号+，-五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列个数是（）

A.6B.12C.24D.18

例5.计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一列，要求同一品种的画必须

连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的排列方式的种数有（）

A.44B.4^4c.D.4^4

例6.3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若女生甲不站两端，3位男生中有且只有两位男生相邻，

则不同排法的种数是（）

A.360B.288C.216D.96

例7.公因数只有1的两个数，叫做互质数.例如：2与7互质，1与4互质.在1,2,3,4,5,6,7的

任一排列内中，使相邻两数都互质的不同排列方式共有（）种.

A.576B.720C.864D.1152

例8.12名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人

的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（）

A.168B.20160C.840D.560

例9.2007年12月中旬，我国南方一些地区遭遇历史罕见的雪灾，电煤库存吃紧.为了支援南方地

区抗灾救灾，国家统一部署，加紧从北方采煤区调运电煤.某铁路货运站对8列电煤货运列车进

行编组调度，决定将这8列列车编成两组，每组4歹U,且甲、乙两列列车不在同一小组，甲列车

第一个开出，乙列车最后一个开出.如果甲所在小组4列列车先开出，那么这8列列车先后不同

1

的发车顺序共有（）

A.36种B.108种C.216种D.720种

例10.有四名男生，三名女生排队照相，七个人排成一排，则下列说法正确的有（）

A.如果四名男生必须连排在一起，那么有720种不同排法

B.如果三名女生必须连排在一起，那么有576种不同排法

C.如果女生不能站在两端，那么有1440种不同排法

D.如果三个女生中任何两个均不能排在一起，那么有1440种不同排法

例11.用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1和2相邻，3与4相邻，5与6相

邻，而7与8不相邻，这样的八位数共有一个.（用数字作答）

例12.5男4女站成一排，分别指出满足下列条件的排法种数

（1）甲站正中间的排法有种，甲不站在正中间的排法有种.

（2）甲、乙相邻的排法有种，甲乙丙三人在一起的排法有种.

（3）甲站在乙前的排法有种，甲站在乙前，乙站在丙前（不要求一定相邻）的排法有种，丙在

甲乙之间（不要求一定相邻）的排法有种.

（4）甲乙不站两头的排法有种，甲不站排头，乙不站排尾的排法种有种.

（5）5名男生站在一起，4名女生站在一起的排法有种.

（6）女生互不相邻的排法有种，男女相间的排法有种.

（7）甲与乙、丙都不相邻的排法有种.

（8）甲乙之间有且只有4人的排法有种.

例13.古代“五行”学说认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火,

火克金将五种不同属性的物质任意排成一列，但排列中属性相克的两种物质不相邻，则这样的排列方法

有一种（结果用数值表示）.

例14.从集合｛尸，Q,R,S｝与｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9｝中各任取2个元素排成一排（字母和

数字均不能重复）、每排中字母。和数字0至多只能出现一个的不同排法种数是—.（用数字作答）、

例15.从集合｛。，尸，。，R,S｝与｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9｝中各任取2个元素排成一排（字

母和数字均不能重复）.每排中字母。，。和数字0至多只能出现一个的不同排法种数是—.（用数字作

答）.

例16.两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷1本，共8本.将它们任意地排成一排，

左边4本恰好都属于同一部小说的概率是—（结果用分数表示）.

2

例17.三个女生和五个男生排成一排.

（1）如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？

（2）如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？

（3）如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？

（4）如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？

（5）甲必须在乙的右边，可有多少种不同的排法？

例18.三个女生和五个男生排成一排.

（1）如果女生须全排在一起，有多少种不同的排法？

（2）如果女生必须全分开，有多少种不同的排法？

（3）如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法？

（4）如果男生按固定顺序，有多少种不同的排法？

（5）如果三个女生站在前排，五个男生站在后排，有多少种不同的排法?

例19.三个女生和四个男生排成一排.

（1）如果女生必须全排在一起，有多少种不同的排法？

（2）如果女生必须全分开，有多少种不的排法？

（3）如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法？

（4）如果两端不能都排女生，有多少种不同的排法？

（5）如果最高的站中间，两边均按从高到低排列，有多少种不同的排法?

（6）如果四个男同学按从高到低排列，有多少种不同的排法？

例20.现有8个人（5男3女）站成一排.

（1）女生必须排在一起，共有多少种不同的排法？

（2）其中甲必须站在排头有多少种不同排法？

（3）其中甲、乙两人不能排在两端有多少种不同的排法？

（4）其中甲、乙两人不相邻有多少种不同的排法？

（5）其中甲在乙的左边有多少种不同的排法？

（6）其中甲乙丙不能彼此相邻，有多少种不同排法？

（7）男生在一起，女生也在一起，有多少种不同排法？

（8）第3和第6个排男生，有多少种不同排法？

（9）甲乙不能排在前3位，有多少种不同排法？

3

（10）女生两旁必须有男生，有多少种不同排法?

例21.已知有7名同学排队照相：

（1）若排成两排照，前排4人，后排3人，有多少种不同的排法?

（2）若排成两排照，前排4人，后排3人，甲必须在前排，乙丙必须在同一排，有多少种不同的排法?

（3）若排成一排照，甲、乙必须相邻，且不站两端，有多少种不同的排法?

（4）若排成一排照，7人中有4名男生，3名女生，男女相间，有多少种不同的排法?

（5）若排成一排照，7人中有4名男生，3名女生，如果两端不能都排男生，有多少种不同的排法?

（6）若排成一圈，有多少种不同的排法?

例22.甲、乙、丙、丁、戊5人排成一排拍照.

（1）甲必须排在中间，有多少种不同的排法？

（2）丁不能排在中间，有多少种不同的排法？

（3）丙、丁必须排在两端，有多少种不同的排法？

（4）甲、乙两人都不能排在首末两个位置，有多少种不同的排法？

（5）甲不能站排头，乙不能站排尾，有多少种不同的排法？

例23.7位同学站一排.

（1）站成两排（前3后4）,共有多少种不同的排法？

（2）其中甲站正中间的位置，共有多少种不同的排法？

（3）甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？

（4）甲不排头，乙不排尾的排法共有多少种？

（5）甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？

（6）甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？

（7）甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？

（8）甲、乙、丙三个同学都不能相邻的排法共有少种？

（9）甲、乙、丙三个同学不都相邻的排法共有多少种？

（10）甲、乙相邻且与丙不相邻的排法共有多少种？

（11）甲必须站在乙的左边的不同排法共有多少种？

例24.6位同学站在一排照相，按下列要求，各有多少种不同排法？

①甲、乙必须站在排头或排尾

②甲、乙.丙三人相邻

4

③甲、乙、丙三人互不相邻

④甲不在排头，乙不在排尾

⑤若其中甲不站在左端，也不与乙相邻.

例25.（1）一条长椅上有9个座位，3个人坐，若相邻2人之间至少有2个空椅子，共有几种不同的坐法?

（2）一条长椅上有7个座位，4个人坐，要求3个空位中，恰有2个空位相邻，共有多少种不同的坐法？

例26.6个人坐在一排10个座位上，问

（1）空位不相邻的坐法有多少种？

（2）4个空位只有3个相邻的坐法有多少种？

（3）4个空位至多有2个相邻的坐法有多少种？

5

专题3排队问题

例1.记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不

同的排法共有（）

A.1440种B.960种C.720种D.480种

【解析】可分3步.

第一步，排两端，•.•从5名志愿者中选2名有用=20种排法，

第二步，：2位老人相邻，把2个老人看成整体，与剩下的3名志愿者全排列，有用=24种排法

第三步，2名老人之间的排列，有£=2种排法

最后，三步方法数相乘，共有20x24x2=960种排法

故选：B.

例2.12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的

相对顺序不变，则不同调整方法的总数是（）

A.B.C.ClA；D.C濯

【解析】从后排8人中选2人共C；种选法，

这2人插入前排4人中且保证前排人的顺序不变，

则先从4人中的5个空挡插入一人，有5种插法；

余下的一人则要插入前排5人的空挡，

有6种插法，

:•为温

故选：C.

例3.10名同学进行队列训练，站成前排3人后排7人，现体育教师要从后排7人中抽2人调整到前排，

若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数为（）

A.C琵B.C琵C.C；A；D.C；A；

【解析】由题意知本题是一个分步计数问题，

首先从后排的7人中选出2人，有种结果，

再把两个人在5个位置中选2个位置进行排列有《,

1

,不同的调整方法有c；用，

故选：B.

例4.在数字1,2,3与符号+,-五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列个数是（）

A.6B.12C.24D.18

【解析】在数字1,2,3与符号五个元素的所有全排列中，

先排列1,2,3,

有出=6种排法，

再将“+“一”两个符号插入，

有耳=2种方法，共有12种方法，

故选：B.

例5.计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一列，要求同一品种的画必须

连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的排列方式的种数有（）

A.B.4^4c.。：引用D.444

【解析】先把每种品种的画看成一个整体，

而水彩画只能放在中间，

则油画与国画放在两端有4种放法，

再考虑4幅油画本身排放有种方法，

5幅国画本身排放有《种方法，

故不同的陈列法有团引用种，

故选：D.

例6.3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若女生甲不站两端，3位男生中有且只有两位男生相邻，

则不同排法的种数是（）

A.360B.288C.216D.96

【解析】先考虑3位男生中有且只有两位相邻的排列

共有窗线/；/；=432种，

在3男生中有且仅有两位相邻且女生甲在两端的排列有=144种,

2

，不同的排列方法共有432-144=288种

故选：B.

例7.公因数只有1的两个数，叫做互质数.例如：2与7互质，1与4互质.在1,2,3,4,5,6,7的

任一排列内・©・%，%，。5，。6口7中，使相邻两数都互质的不同排列方式共有（）种。

A.576B.720C.864D.1152

【解析】根据题意，先排1、5、7,有团=6种情况，排好后有4个空位，

对于2、4、6和3这四个数，

分两种情况讨论：①3不在2、4中间，可先将2、4、6排在4个空位中，有=24种情况，3不能放在6

的两边，有5种排法，则此时有24x5=120种不同的排法，

②3在2、4之间，将这三个数看成整体，有2种情况，与6一起排在4个空位中，有/；=12种情况，则此

时有2x12=24种不同的排法，

则2、4、6和3这四个数共有120+24=144种排法；

则使相邻两数都互质的不同排列方式共有6x144=864种；

故选：C.

例8.12名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人

的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（）

A.168B.20160C.840D.560

【解析】从后排8人中选2人共种选法，

这2人插入前排4人中且保证前排人的顺序不变，

则先从4人中的5个空挡插入一人，有5种插法；

余下的一人则要插入前排5人的空挡，

有6种插法，,6x5

则不同调整方法的种数是=840.

故选：C.

例9.2007年12月中旬，我国南方一些地区遭遇历史罕见的雪灾，电煤库存吃紧.为了支援南方地区抗灾

救灾，国家统一部署，加紧从北方采煤区调运电煤.某铁路货运站对8列电煤货运列车进行编组调度，决

定将这8列列车编成两组，每组4歹U，且甲、乙两列列车不在同一小组，甲列车第一个开出，乙列车最后

3

一个开出.如果甲所在小组4列列车先开出，那么这8列列车先后不同的发车顺序共有（）

A.36种B.108种C.216种D.720种

【解析】由于甲、乙两列列车不在同一小组，因此，先将剩下的6人平均分组有

再将两组分别按要求排序，各有H种，

因此，这8列列车先后不同的发车顺序共有C^C/44=720种.

故选：D.

例10.有四名男生，三名女生排队照相，七个人排成一排，则下列说法正确的有（）

A.如果四名男生必须连排在一起，那么有720种不同排法

B.如果三名女生必须连排在一起，那么有576种不同排法

C.如果女生不能站在两端，那么有1440种不同排法

D.如果三个女生中任何两个均不能排在一起，那么有1440种不同排法

【解析】/中父/；=576,

B中44=720，

C中4（4+团卷+34）=1440,

。中=1440.

综上可得：CD正确.

故选：CD.

例11.用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1和2相邻，3与4相邻，5与6相

邻，而7与8不相邻，这样的八位数共有576个.（用数字作答）

【解析】首先把1和2相邻，3与4相邻，5与6相邻当做三个元素进行排列有用种结果，

这三个元素形成四个空，把7和8在这四个位置排列有团种结果，

三对相邻的元素内部各还有一个排列4，

根据分步计数原理得到这种数字的总数有力；用耳其耳=576,

故答案为：576.

例12.5男4女站成一排，分别指出满足下列条件的排法种数

（1）甲站正中间的排法有8!种,甲不站在正中间的排法有种.

（2）甲、乙相邻的排法有种，甲乙丙三人在一起的排法有种.

（3）甲站在乙前的排法有种，甲站在乙前，乙站在丙前（不要求一定相邻）的排法有种，丙在

甲乙之间（不要求一定相邻）的排法有种.

（4）甲乙不站两头的排法有种，甲不站排头，乙不站排尾的排法种有种.

（5）5名男生站在一起，4名女生站在一起的排法有种.

（6）女生互不相邻的排法有种，男女相间的排法有种.

（7）甲与乙、丙都不相邻的排法有种.

（8）甲乙之间有且只有4人的排法有种.

【解析】（1）甲站正中间的排法有8!,甲不站在正中间的排法有8x8!；

（2）甲、乙相邻的排法有2x8!,甲乙丙三人在一起的排法有6x7!；

（3）甲站在乙前的排法有工9!,甲站在乙前，乙站在丙前（不要求一定相邻）的排法有工9!,丙在甲乙之

26

间（不要求一定相邻）的排法有！9!；

3

（4）甲乙不站两头的排法有用⑷；甲不站排头，乙不站排尾的排法有9!-2x8!+7!；

（5）5名男生站在一起，4名女生站在一起的排法有2x5!x4!；

（6）女生互不相邻的排法有5!x4男女相间的排法有5!x4!；

（7）甲与乙、丙都不相邻的排法有9!-2x8!x2+2x7!；

（8）甲乙之间有且只有4人的排法，捆绑法.2x4x4!.

故答案为：（1）8!,8x8!（2）2x8!,6x7!（3）-9!,-9!,-9!；

263

（4）用力；9!-2x8!+7!；（5）2x5!x4!；（6）5!x£,5!x4!x2

（7）9!-2x8!x2+2x7!；（8）2x^x4!.

例13.古代“五行”学说认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火,

火克金将五种不同属性的物质任意排成一列，但排列中属性相克的两种物质不相邻，则这样的排列方法

有10种（结果用数值表示）.

【解析】由题意，可看作五个位置排列五种事物，第一位置有五种排列方法，不妨假设排上的是金，

则第二步只能从土与水两者中选一种排放，故有两种选择不妨假设排上的是水，

5

第三步只能排上木，第四步只能排上火，第五步只能排上土，

故总的排列方法种数有5x2x1x1x1=10

故答案为10

例14.从集合｛尸，Q,R,S｝与｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9｝中各任取2个元素排成一排(字母和

数字均不能重复)、每排中字母O和数字0至多只能出现一个的不同排法种数是5832.(用数字作答)、

【解析】各任取2个元素排成一排(字母和数字

均不能重复)，共有每排中字母。和数

字0都出现有

符合题意不同排法种数是

C；C*4：-C；C；/：=5832.

故答案为：5832

例15.从集合｛。，P,。，及，S｝与｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9｝中各任取2个元素排成一排(字

母和数字均不能重复).每排中字母O,。和数字0至多只能出现一个的不同排法种数是8424.(用数

字作答).

【解析】由题意知每排中字母。，。和数字0至多只能出现一个，本题可以分类来解

(1)这三个元素只选。，有=3x36x24

(2)这三个元素只选。同理有3x36x24

(3)这三个元素只选0有=3x9x24

(4)这三个元素OQ0都不选有=3x36x24

根据分类计数原理将(1)(2)(3)(4)加起来3x36x24+3x36x24+3x9x24+3x36x24=8424

故答案为：8424

例16.两部不同的长篇小说各由第:一、二、三、四卷组成，每卷1本，共8本.将它们任意地排成一排，

左边4本恰好都属于同一部小说的概率是—_(结果用分数表示).

一35一

【解析】由题意知本题是一个古典概型，

总事件数是8本书全排列有4种方法，

而符合条件的事件数要分为二步完成：

6

首先两套中任取一套，作全排列，有G•团种方法;

剩下的一套全排列，有团种方法;

，概率为：可④

435

故答案为：—.

35

例17.三个女生和五个男生排成一排.

（1）如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？

（2）如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？

（3）如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？

（4）如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？

（5）甲必须在乙的右边，可有多少种不同的排法？

【解析】（1）因为三个女生必须排在一起，所以可以先把她们看成一个整体，这样同五个男生合在一起共

有六个元素，排成一排有4种不同排法.对于其中的每一种排法，三个女生之间又都有团种不同的排

法，因此共有《用=4320种不同的排法.

（2）要保证女生全分开，可先把五个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空位，这样共有四个空位,

加上两端两个男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把三个女生插入这六个位置中，只要保证每个位

置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻.由于五个男生排成一排有,种不同的排法，对

于其中任意一种排法，从上述六个位置中选出三个来让三个女生插入都有吊种方法，因此共有mg=14

400种不同的排法.

（3）因为两端不能排女生，所以两端只能挑选五个男生中的两个，有4种排法，对于其中的任意一种排

法，其余六位都有遂种排法，所以共有用4=14400种不同的排法.

（4）三个女生和五个男生排成一排有履种排法，从中扣去两端都是女生的排法《用种，就能得到两端不

都是女生的排法种数，因此共有/-,成=36000种不同的排法.

1

（5）甲必须在乙的右边即为所有排列的,因此共有=20160种不同的排法.

例18.三个女生和五个男生排成一排.

7

（1）如果女生须全排在一起，有多少种不同的排法？

（2）如果女生必须全分开，有多少种不同的排法？

（3）如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法？

（4）如果男生按固定顺序，有多少种不同的排法？

（5）如果三个女生站在前排，五个男生站在后排，有多少种不同的排法？

［解析X1）女须全排在一起，把3个女生捆绑在一起看做一个复合元素,再和5个男生全排,故有44=4320

种；

（2）女生必须全分开，先排男生形成了6个空中，插入3名女生，故有14400种；

（3）两端都不能排女生，从男生中选2人排在两端，其余的全排，故有用遂=14400种；

（4）男生按固定顺序，从8个位置中,任意排3个女生，其余的5个位置男生按照固定顺序排列，故有4=336

种，

（5）三个女生站在前排，五个男生站在后排，用,=720种

例19.三个女生和四个男生排成一排.

U）如果女生必须全排在一起，有多少种不同的排法？

（2）如果女生必须全分开，有多少种不的排法？

（3）如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法？

（4）如果两端不能都排女生，有多少种不同的排法？

（5）如果最高的站中间，两边均按从高到低排列，有多少种不同的排法？

（6）如果四个男同学按从高到低排列，有多少种不同的排法？

【解析】（1）根据题意，用捆绑法，3名女生看为一个整体，考虑其顺序有苗种情况，

再将其与4名男生进行全排列，有用种情况，

则共有Mx/；=720种排法；

（2）用插空法，先将4名男生全排列，有团种情况，

排好后，有5个空位，在其中任选3个，安排3名女生，有耳种情况，

则共有蜀=1440种排法;

8

（3）在4名男生中任取2人，安排在两端，有2C：种情况，

再将剩余的5人安排在中间的5个位置，有6种情况，

则共有2C；x耳=1440种排法；

（4）用排除法，

7人进行全排列，有团种排法，

两端都站女生，即先在3名女生中任取2人，再将剩余的5人安排在其他5个位置，有种站法,

则共有W•用=4320种排法；

（5）只需将最高的人放在中间，在剩余的6人中任取3人放在左边，其他的3人放在右边，

由于顺序固定，则左右两边只有一种排法，

则有=20种排法；

（6）先在7个位置中安排3名女生，有4种排法，

剩余4个位置安排4名男生，有2种情况，

则有2H=420种排法.

例20.现有8个人（5男3女）站成一排.

U）女生必须排在一起，共有多少种不同的排法？

（2）其中甲必须站在排头有多少种不同排法？

（3）其中甲、乙两人不能排在两端有多少种不同的排法？

（4）其中甲、乙两人不相邻有多少种不同的排法？

（5）其中甲在乙的左边有多少种不同的排法？

（6）其中甲乙丙不能彼此相邻，有多少种不同排法？

（7）男生在一起，女生也在一起，有多少种不同排法？

（8）第3和第6个排男生，有多少种不同排法？

（9）甲乙不能排在前3位，有多少种不同排法？

（10）女生两旁必须有男生，有多少种不同排法？

【解析】（1）根据题意，先将3名女生看成一个整体，考虑三人之间的顺序，有次种情况，

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将这个整体与5名男生全排列，有4种情况，

则女生必须排在一起的排法有44种；

（2）根据题意，甲必须站在排头，有2种情况，

将剩下的7人全排列，有㈤种情况，

则甲必须站在排头有2/；种排法；

（3）根据题意，将甲乙两人安排在中间6个位置，有点种情况，

将剩下的6人全排列，有4种情况，

则甲、乙两人不能排在两端有《用种排法；

（4）根据题意，先将出甲乙之外的6人全排列，有成种情况，排好后有7个空位，

则7个空位中，任选2个，安排甲乙二人，有团种情况，

则甲、乙两人不相邻有团《种排法；

（5）根据题意，将8人全排列，有4种情况，

其中甲在乙的左边与甲在乙的右边的情况数目相同，

则甲在乙的左边有g4种不同的排法；

（6）根据题意，先将出甲乙丙之外的5人全排列，有苗种情况，排好后有6个空位,

则6个空位中，任选3个，安排甲乙丙三人，有苗种情况，

其中甲乙丙不能彼此相邻有44种不同排法；

（7）根据题意，先将3名女生看成一个整体，考虑三人之间的顺序，有A；种情况，

再将5名男生看成一个整体，考虑5人之间的顺序，有用种情况，

将男生、女生整体全排列，有另种情况，

则男生在一起，女生也在一起，有团种不同排法；

（8）根据题意，在5个男生中任选2个，安排在第3和第6个位置，有戏团=苗种情况,

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将剩下的6人全排列，有成种情况,

则第3和第6个排男生，有种不同排法;

（9）根据题意，将甲乙两人安排在后面的5个位置，有用种情况,

将剩下的6人全排列，有《种情况，

甲乙不能排在前3位，有《《种不同排法?

（10）根据题意，将5名男生全排列，有用种情况，排好后除去2端有4个空位可选,

在4个空位中任选3个，安排3名女生，有用种情况，

则女生两旁必须有男生，有&m种不同排法.

例21.已知有7名同学排队照相:

（1）若排成两排照，前排4人，后排3人，有多少种不同的排法?

（2）若排成两排照，前排4人，后排3人，甲必须在前排，乙丙必须在同一排，有多少种不同的排法?

（3）若排成一排照，甲、乙必须相邻，且不站两端，有多少种不同的排法？

（4）若排成一排照，7人中有4名男生，3名女生，男女相间，有多少种不同的排法？

（5）若排成一排照，7人中有4名男生，3名女生，如果两端不能都排男生，有多少种不同的排法?

（6）若排成一圈，有多少种不同的排法?

【解析】有7名同学排队照相:

（1）若徘成两排照，前徘4人，后排3人，有团•耳=5040种方法.

（2）若徘成两排照，前排4人，后排3人，甲必须在前排，乙丙必须在同一排，

若乙、丙在前排，则从除了甲、乙、丙外的4人中再选一人放到前排，其余的在后排，

方法有•闻•/；=576种，

若乙、丙在后排，从除了甲、乙、丙外的4人中再选一人放到后排，其余的人在前排，

方法有=576种，

故共有576+576=1152种方法.

（3）若排成一排照，甲、乙必须相邻，且不站两端，则采用插空法，将其余的5人排好,

5人中间有4个空，把甲乙当做一个整体插入，方法有用.,.4=960种.

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（4）若徘成一排照，7人中有4名男生，3名女生，男女相间，先排4名男生，4名男生中间有3个空,

插入3名女生，

有=144种的排法.

（5）若排成一排照，7人中有4名男生，3名女生，如果两端不能都排男生，

若两端都是男生，方法有团•耳=1440种，而所有的方法有出=5040种，

故两端不能都排男生的排法有5040-1440=3600种.

（6）若排成一圈，即弯曲排成一排，有@=720种不同的排法.

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例22.甲、乙、丙、丁、戊5人排成一排拍照.

（1）甲必须排在中间，有多少种不同的排法？

（2）丁不能排在中间，有多少种不同的排法？

（3）丙、丁必须排在两端，有多少种不同的排法？

（4）甲、乙两人都不能排在首末两个位置，有多少种不同的排法？

（5）甲不能站排头，乙不能站排尾，有多少种不同的排法？

【解析】（1）甲排中间，其他任意排列，有旬=24种；

（2）丁不能排在中间，先排丁有C：=4种排法，然后其他任意排有/：=24种，

所以丁不能排在中间共有4x24=96种；

（3）丙、丁必须排在两端：先排丙丁有m=2,其他任意排列有居=6种，

所以丙、丁必须排在两端共有2x6=12种；

（4）甲、乙两人都不能排在首末两个位置有，先排甲乙有=6种，其他任意排列有耳=6种，

所以甲、乙两人都不能排在首末两个位置共有6x6=36种；

（5）甲不能站排头，乙不能站排尾，分为两类，

①甲在排尾，其他任意排列有m=24种，

12

②甲不在排尾，甲有G=3种，然后乙有G=3种，其他任意排列有W=6种，

所以甲不能站排头，乙不能站排尾共有24+3X3X6=78种.

例23.7位同学站一排.

（1）站成两排（前3后4）,共有多少种不同的排法？

（2）其中甲站正中间的位置，共有多少种不同的排法？

（3）甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？

（4）甲不排头，乙不排尾的排法共有多少种？

（5）甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？

（6）甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？

（7）甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？

（8）甲、乙、丙三个同学都不能相邻的排法共有少种？

（9）甲、乙、丙三个同学不都相邻的排法共有多少种？

（10）甲、乙相邻且与丙不相邻的排法共有多少种？

（11）甲必须站在乙的左边的不同排法共有多少种？

【解析】7位同学站一排，

（1）站成两排（前3后4）,共有多少种不同的排法，此没有限制条件是全排列问题，故排法种数是种；

（2）其中甲站正中间的位置，共有多少种不同的排法，此问题是甲定位置的排法，相当于六个元素全排，

故排法种数是《种；

（3）甲、乙只能站在两端的排法共有多少种，此问题分两步解决，先排甲乙两人，再排其余五人，故排法

种数是团6种；

（4）甲不排头，乙不排尾的排法共有多少种，可由乙在排头与不在排头两种情况解答，乙在排头时有，种,

乙不排头，先排乙，有5种排法，再排第

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一位，有5种排法，其他五人全排列，故总的排法种数是5x5xW；

（5）甲、乙两同学必须相邻的排法，可先将甲乙两人绑定，共4种，将其看作一个元素与另五个元素全排

列，有《种,故共有用或种；

（6）甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法计数，可先将