2024年陕西高考数学(理)试题及答案

2024年陕西高考数学（理）试题及答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

1.设35+i,则i（z+z）=（）

A10iB.2iC.10D.-2

【答案】A

【解析】

【分析】结合共辗复数与复数的基本运算直接求解.

【详解】由z=5+i=N=5—i,z+N=10,则i（2+z）=10i.

故选：A

2.集合A={l,2,3,4,5,9},3=N«eA},则a（Ac5）=（）

A,{1,4,9}B.{3,4,9}C,{1,2,3}D.{2,3,5}

【答案】D

【解析】

【分析】由集合3的定义求出8,结合交集与补集运算即可求解.

【详解】因为A={1,2,3,4,5,9},3=A},所以5={1,4,9,16,25,81},

则45={1,4,9},G（A3）={2,3,5}

故选：D

4x-3y-3>0

3.若实数%,丁满足约束条件卜—2y—2V0,则z=_x—5y的最小值为（）

2%+6y-9<0

7

A.5B.—C.—2D.----

22

【答案】D

【解析】

【分析】画出可行域后，利用z的几何意义计算即可得.

4x-3y-3>0

【详解】实数乂y满足x—2y—2W0，作出可行域如图：

2x+6y-9<0

,4x-3y-3=0

*

lAx-2^-2=0

由z=x-5y可得y=：x_：z,

即z的几何意义为y=*—±z的截距的-1，

则该直线截距取最大值时，z有最小值，

此时直线y=：龙—过点A,

(a

4x—3y—3=0x=—(3

联立c二c八，解得2,即A不

2x+6y-9=0y_](2

37

贝1z.=—5x1=——.

min22

故选：D.

4.等差数列｛4｝的前“项和为S”若S5=HO,。5=11则4=()

„-7

A.—2B.一C.1D,2

3

【答案】B

【解析】

【分析】由S5=S10结合等差中项的性质可得。8=0,即可计算出公差，即可得%的值.

【详解】由S]0—S5=。6+%+。8+%+4o=5(“8=。,则。8=。，

则等差数列｛4｝的公差〃=美巴=—故。iMIxf

故选：B.

5.已知双曲线的两个焦点分别为(0,4),(0,-4),点(—6,4)在该双曲线上，则该双曲线的离心率为(

A.4B,3C.2D.72

【答案】C

【解析】

【分析】由焦点坐标可得焦距2c,结合双曲线定义计算可得2a,即可得离心率.

【详解】设耳(0,-4)、7s(0,4),P(-6,4),

22

贝山耳阊=2c=8,1M=心+(4+4)2=io|P/Z|=^6+(4-4)=6

DeQ

则2。=归周一归耳|=10—6=4,则e=\=\=2.

故选：C.

6.设函数/（力=互誓土则曲线y=/（x）在（0,1）处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（）

1+X

1112

A.-B.-C.3D.-

6323

【答案】A

【解析】

【分析】借助导数的几何意义计算可得其在点（0,1）处的切线方程，即可得其与坐标轴交点坐标，即可得其

面积.

(e*+2cosx)(l+x2)-(e*+2sinx).2x

x

【详解】f()=2

1+x2

(e。+2cos0)(l+0)-(e。+2sin0)x0

则/'(o)=—=3,

(l+0『

即该切线方程为y—l=3x,即y=3x+l,

令x=0,则y=L令y=。，则％=-,，

3

故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积S=gxlx-g=；

236

故选：A.

7.函数"％）=—尤2+3—6—*卜加在区间［—2.8,2.8］的大致图像为（）

A.B.

【答案】B

【解析】

【分析】利用函数的奇偶性可排除A、C,代入％=1可得可排除D.

［详解］/(-%)=-x2+(e-“一ex卜in(-%)=-x2+(e*-e-x)sinx=/(x),

又函数定义域为［-2.8,2.8］,故该函数为偶函数，可排除A、C,

sinl>-1+fe--.7teIII„

又〃1)=_1+sin———11----->-------->0,

622e42e

故可排除D.

故选：B.

8,已知"=5贝han[c+：]=()

coscr-sintzv4J

A.2>/3+lB.273-1C.D.1-73

【答案】B

【解析】

COCry

【分析】先将-----------弦化切求得tana,再根据两角和的正切公式即可求解.

cosa-sina

【详解】因为———=百，

cosa-sma

所以;-------=6，=tana=1-^-，

1-tana3

「…(兀、tana+1r-

所以tana+—=----------=2^/3-14,

I4J1-tana

故选：B.

9.已知向量a=(x+l,%),b=(x,2),贝lj()

A."I=—3”是“。，匕”的必要条件B."x=—3”是“allb”的必要条件

C."x=0"是的充分条件D."x=—l+6”是7/"”的充分条件

【答案】C

【解析】

【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.

【详解】对A,当a匕时，则。。=0,

所以x-(x+l)+2x=0,解得了=0或—3,即必要性不成立，故A错误；

对C,当％=0时，«=(1,0),/?=(0,2),故。包=0，

所以。，匕，即充分性成立，故C正确；

对B,当a//b时，则2(x+l)=_?,解得x=l土百，即必要性不成立，故B错误；

对D,当工=-1+百时，不满足2(x+l)=f,所以。//0不成立，即充分性不立，故D错误.

故选：C.

10.设a、尸是两个平面，相、”是两条直线，且a.下列四个命题：

①若7"〃/，则〃//a或"//，②若加_1_〃，则〃_La,"_L〃

③若〃//a,且“//，，则④若“与a和所成的角相等，则相

其中所有真命题的编号是()

A.①3)B.②④C.(1X2X3)D.①

【答案】A

【解析】

【分析】根据线面平行的判定定理即可判断①；举反例即可判断②④；根据线面平行的性质即可判断③.

【详解】对①，当〃ua,因为加〃〃，mu0、则“//，，

当〃u，，因为加〃〃，mua,则“//a,

当“既不在a也不在厂内，因为根〃〃，mua,mu。、则〃//a且“//，，故①正确；

对②，若加上〃，则〃与名尸不一定垂直，故②错误；

对③，过直线n分别作两平面与a,。分别相交于直线s和直线t,

因为〃//。，过直线〃的平面与平面a的交线为直线则根据线面平行的性质定理知〃//s,

同理可得〃/",则s〃r,因为平面A，/u平面尸，贝Us//平面厂，

因为SU平面a,aB=m,贝又因为〃//s,则加〃“，故③正确；

对④，若〃”与a和尸所成的角相等，如果〃///"//，，则“〃“，故④错误；

综上只有(313)正确，

故选：A.

1L在ABC中内角A,5c所对边分别为a,dc,若8=巴，b2=-ac,则sinA+sinC=()

34

A.-B.0C,且D.B

222

【答案】C

【解析】

i13

【分析】利用正弦定理得sinAsinC=—,再利用余弦定理有/+°2=一砒，再利用正弦定理得到

34

sin2A+sin2C的值，最后代入计算即可.

jrQ41

【详解】因为3=—,/=—ac,则由正弦定理得sinAsinC=—sin?8=—.

3493

a

由余弦定理可得力2=/+。2_ac=_ac

4

]31313

即:/+才=一。。，根据正弦定理得sin2A+sin2C二一sinAsinC=—,

4412

7

所以(sinA+sinC)2=sin2A+sin2C+2sinAsinC=—,

4

因为AC为三角形内角，则sinA+sinC>0,则sinA+sinC=1.

故选：c.

12.已知。是。的等差中项，直线以+勿+c=0与圆必+产+分一厂。交于A,3两点，贝小川|的最小

值为()

【答案】C

【解析】

【分析】结合等差数列性质将c代换，求出直线恒过的定点，采用数形结合法即可求解.

【详解】因为“,仇c成等差数列，所以2/J=a+c,c=2b—a,代入直线方程狈+勿+。=0得

x=l

ax+by+2b-a—Q,即a(x—1)+Z?(y+2)=0,令＜

y=-2

故直线恒过(1,—2),设P。,—2),圆化为标准方程得：+(y+2『=5,

设圆心为C,画出直线与圆的图形，由图可知，当尸时，最小，

|PC|=l,|AC|=|r|=75,此时\AB\=2\AP\=2^AC2-PC2==4.

故选：C

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.1g+x］的展开式中，各项系数的最大值是

【答案】5

【解析】

「r+1

Jo

【分析】先设展开式中第r+1项系数最大，则根据通项公式有进而求出厂即

可求解.

【详解】由题展开式通项公式为T=C[]gj10-r

r+loZ,OWrWlO且rwZ,

、29

r—

42933

,即一<r<一,又厂wZ,故尸=8,

―3344

r<—

4

所以展开式中系数最大的项是第9项，且该项系数为=5.

故答案为：5.

14,已知甲、乙两个圆台上、下底面的半径均为弓和马，母线长分别为2（马和3（弓-4），则两个圆台

的体积之比含=.

【答案】逅

4

【解析】

【分析】先根据已知条件和圆台结构特征分别求出两圆台的高，再根据圆台的体积公式直接代入计算即可

得解

【详解】由题可得两个圆台的高分别为俏3=J[2（4-4）丁一（）一4）2=百（弓-4），

屹=/3（「4）]2_亿一4）2=2®彳一弓），

所以地=2+岳+7^）膈=维=G）=旦

工,.+5+质母一•一2丁（1弓）一丁

故答案为：回

4

115

15.已知a>1,­,则"

log8alog,,4

【答案】64

【解析】

【分析】将logsa,log。4利用换底公式转化成log?a来表示即可求解.

1131,5

【详解】由题■;------------7=-----------log«=--,整理得(zlog,a)-51og,a-6=0,

2v7

log8alogfl4log2a22

=>log2a=-1或log2a=6,又a>l,

所以log2O=6=log226,故a=26=64

故答案为：64.

16,有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6,从中不放回地随机抽取3次，每次取1个球.记机

为前两次取出的球上数字的平均值，〃为取出的三个球上数字的平均值，则机与“差的绝对值不超过g的

概率是.

7

【答案】百

【解析】

【分析】根据排列可求基本事件的总数，设前两个球的号码为凡6,第三个球的号码为c,则

a+b-3<2c<a+b+3,就c的不同取值分类讨论后可求随机事件的概率.

【详解】从6个不同的球中不放回地抽取3次，共有A，=120种，

设前两个球的号码为第三个球的号码为c,则a+；+c—wg,

故|2c-(a+小3,故-3V2c-(a+b)<3,

故a+〃—3W2cWa+6+3,

若c=L则a+)V5,则(a,。)为：(2,3),(3,2),故有2种，

若c=2,则lWa+》W7,则(a,A)为：(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(3,4),

(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(4,3),故有10种，

当c=3,^\3<a+b<9,则(。力)为:

(1,2),(1,4),(1,5),(1,6),(2,4),(2,5),(2,6),(4,5),

(2,1),(4,1),(5,1),(6,1),(4,2),(5,2),(6,2),(5,4),

故有16种,

当c=4,贝U5Wa+〃Wll,同理有16种，

当c=5,则7Wa+/?W13,同理有10种，

当c=6,则9Wa+〃W15,同理有2种，

共冽与〃的差的绝对值不超过;时不同的抽取方法总数为2(2+10+16)=56,

故所求概率为羔=1.

12015

7

故答案为：—

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17题~第21题为必考题，每个考

题考生必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

(-)必考题：共60分.

17.某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进

行检验，数据如下：

优级品合格品不合格品总计

甲车间2624050

乙车间70282100

总计96522150

(1)填写如下列联表：

优级品非优级品

甲车间

乙车间

能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲，乙两车间产品

的优级品率存在差异？

(2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率0=0.5,设方为升级改造后抽取的〃件产品的优级品率,如果

p>p+1.65.P(1~P),则认为该工厂产品的优级品率提高了，根据抽取的150件产品的数据，能否认为

Vn

生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？(Ji而312.247)

n(ad-bc)2

(«+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510,828

【答案】(1)答案见详解

(2)答案见详解

【解析】

【分析】(1)根据题中数据完善列联表，计算尺2,并与临界值对比分析；

(2)用频率估计概率可得万=0.64,根据题意计算°+1,65)与匕结合题意分析判断

Vn

【小问1详解】

根据题意可得列联表:

优级品非优级品

甲车间2624

乙车间7030

可得q=150(26x30—24x70)2=75=46875,

50x100x96x5416

因为3.841<4.6875<6.635,

所以有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异，没有99%的把握认为甲，乙两车间产品的

优级品率存在差异.

【小问2详解】

96

由题意可知：生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品的频率为——=0.64,

150

用频率估计概率可得p=0.64,

又因为升级改造前该工厂产品的优级品率。=0.5,

05Q

贝1J/?+1=0.5+1.65J-^"-5«0.5+1.65x0-5«0.568.

\nV15012.247

可知7〉/+1.65.'。—，

Vn

所以可以认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了.

18.记Sn为数歹U｛。“｝的前几项和,且4s.=3。“+4.

(1)求｛4｝的通项公式；

(2)设bn=(―1严nan,求数列｛bn｝的前n项和为Tn.

【答案】(1)%=4・(-3产

(2)，=(2〃—1)3+1

【解析】

【分析】(1)利用退位法可求｛q,｝的通项公式.

(2)利用错位相减法可求7；.

【小问1详解】

当巩时,解得％

=14sl=4q=3al+4,=4.

a

当〃22时，4S“_i=34T+4,所以45.一4Sa_i=4an=3an-34T即„="M-i

而q=4w0,故4W0,故反=一3,

an-\

二数列｛4｝是以4为首项，-3为公比的等比数列，

所以%,=4・(—3广)

【小问2详解】

bn=(―I)”—.“.4•(―3)"i=4”•3”T,

12n-1

所以/+bn=4-3°+8-3+12-3++4n-3

故37；=4-31+8・32+12了++4以3"

所以_2]=4+4-31+4-32++4・3~1—4〃-3”

*M3(1—3"i)仇3"=4+2.3.(3"T_l)_4”.3"

1-3

=(2-4〃)3-2,

.•Z=(2〃—1>3"+L

19.如图，在以4B,C,D,E,尸为顶点的五面体中，四边形ZI6C。与四边形4?炉均为等腰梯形,

BC!!AD,EF!/AD,AD=4,AB=BC=EF=2,ED=5,FB=26，M为AD的中点.

(1)证明：8河//平面。。£；

(2)求二面角歹—9—石的正弦值.

【答案】(1)证明见详解；

(2)

13

【解析】

【分析】(1)结合已知易证四边形为平行四边形，可证店〃，!)，进而得证；

(2)作BOLAD交AD于。，连接小，易证05,尸三垂直，采用建系法结合二面角夹角余弦公

式即可求解.

【小问1详解】

因为BC//AD,防=2,AD=4,M为AD的中点，所以BC//MD,BC=MD,

四边形3CDM平行四边形，所以5M7/CD,又因为平面CDE,

CDu平面CDE,所以〃平面CDE；

【小问2详解】

如图所示，作50，40交4。于。，连接O尸，

因为四边形ABCD为等腰梯形，BC//AD,AD=4,AB=BC=2,所以CD=2,

结合(1)BCD暇为平行四边形，可得H0=CD=2,又AM=2,

所以ABM为等边三角形，。为40中点，所以03=也，

又因为四边形ADE尸为等腰梯形，M为AO中点，即以EF=MD,EF”MD,

四边形瓦加。为平行四边形，FM=ED=AF,

所以为等腰三角形，A5AJ与△AR0底边上中点。重合，OF±AM,OF=^AF2-AO2=3,

因为OB?+OF?=BF2,所以OB^OF,所以OB,OD,OF互相垂直，

以。8方向为x轴，0D方向为了轴，。尸方向为z轴，建立。一孙z空间直角坐标系，

"（0,0,3）,B（73,0,0）,M（0,1,0）,E（0,2,3）,BM=（-73,1,0）,BF=（-73,0,3）,

BE=^-y/3,2,3）,设平面的法向量为机=（%，X，2]）,

平面的法向量为〃=（%2,%，Z2），

m・BM=0f—TSx,+y=0「

则，即L,令％=6得％=3,4=1,即m=（百,3,1）,

m•BF-0[一43再+3Z]=0

TI,BM-0—yj3x?+y?—0

则4即』令无=A/3,得%=3,z2=—1,

[n.BE=0,l氐2+2为+3Z2=0'2

即万=（/点3,-l\）,cos%”帆m-同n一二1二1二。同..473

1Q,贝IIsmm,n=----,

1313

故二面角尸—创/—石的正弦值为迪.

13

2A

FE

22

20.设椭圆C：工+二=1（。〉6〉0）的右焦点为F,点在C上，且Wx轴.

ab

（1）求C的方程；

（2）过点P（4,0）的直线与。交于A3两点，N为线段EP的中点，直线交直线破于点。，证明：

轴.

22

【答案】⑴—+^=1

43

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）设/（G。），根据知的坐标及上加上为轴可求基本量，故可求椭圆方程.

⑵设A3:y=k（x—4）,A（&%）,5（%,%），联立直线方程和椭圆方程，用43的坐标表示力-%，

结合韦达定理化简前者可得X-%=0,故可证AQLy轴.

【小问1详解】

设网GO）,由题设有C=I且故土二=2,故°=2,故b=6

a2a2

22

故椭圆方程为土+乙=1.

43

【小问2详解】

直线AB的斜率必定存在，设AB：y=左。一4）,4（不弘），B（x2,y2）,

2

X—32左2%+64左2—12=0,

故△=1024/-4(3+4左2)(64/-12)>0,故—<k<一,

22

力32k264左2一12

XX.1+X2,=------------7,X|1X,=---------Z—

3+4左2-3+4左2

3

本入/5,L-tAtBNy=—~|x—-3%

而N15,OJ,故直线x—2，故％=上三

2%2—5

~5

所以Y一夕花养='^

左(再4)x(2%2—5)+3上(％2—4)

2%—5

64人之一1232k*2

2XX2x2-5X+8

_kI2-5(Xt+x2)+8_3+4^3+4^

2%2—52x2—5

128左2—24—16012+24+32W

=k----------3+4R----------=0

2%2—5

故％=坨，即AQ，y轴.

【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：

(1)设直线方程，设交点坐标为(七,%),(%2，%)；

(2)联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于X(或y)的一元二次方程，注意A的判断；

(3)列出韦达定理；

(4)将所求问题或题中的关系转化为为+々、占%2(或%+%、%为)的形式；

(5)代入韦达定理求解.

21.已知函数/'(x)=(l-ar)ln(l+x)-x.

(1)当a=-2时,求/⑺的极值;

(2)当xNO时，/(力20恒成立，求a的取值范围.

【答案】(1)极小值0,无极大值.

(2)a<--

2

【解析】

【分析】(1)求出函数的导数，根据导数的单调性和零点可求函数的极值.

(2)求出函数的二阶导数，就！、--<«<0,a20分类讨论后可得参数的取值范围.

22

小问1详解】

当a=-2时，/(%)=(1+2x)ln(l+%)-x,

1+2r1

故r(x)=21n(l+x)+------l=21n(l+x)------+1,

1+x1+x

因为y=21n(l+x),y=—1一+1在(一1,+8)上为增函数，

故/'(x)在(—1,+8)上为增函数，而尸(0)=0,

故当一1<%<0时,/f(x)<0,当x>0时，f\x)>0,

故/(x)在尤=0处取极小值且极小值为/(0)=0,无极大值.

【小问2详解】

a+\\x

/"(x)=-aln(l+x)+-——-1=-aln(l+x)------,x>0,

1+x1+x

a+l)x

设s(x)=-aln(l+x)------,x>0,

1+x

-Qa+1)〃(％+1)+Q+1ax+2a+\

则s'(x)

x+l(l+x)20+X)2(1+X)2

当■时，s'(x)〉0,故s(x)在(0,+oo)上增函数,

故s(x)>s(O)=O,即/，(X)>0,

所以/(九)在［0,+。)上为增函数，故/(x"/(O)=O.

当一g<a<0时，当0<小<—2"+1时,s'(x)<0,

上为减函数，故在(0,-加里

故s(x)在上s(x)<s(O),

ka

即在(o,—加上!

上/'(X)<0即/(x)为减函数,

Va

故在(0,-2

±/(x)</(0)=0,不合题意，舍

ka

当a»0,此时s'(%)<0在(0,+8)上恒成立,

同理可得在(0,+“)上/(x)</(o)=o恒成立，不合题意，舍；

综上，CI«—.

2

【点睛】思路点睛：导数背景下不等式恒成立问题，往往需要利用导数判断函数单调性，有时还需要对导

数进一步利用导数研究其符号特征，处理此类问题时注意利用范围端点的性质来确定如何分类.

(-)选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、

错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分.

［选修4-4:坐标系与参数方程］

22.在平面直角坐标系xQy中，以坐标原点。为极点，为轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐

标方程为0=0cos6+l.

(1)写出。的直角坐标方程