人教版初中九年级中考数学复习 开放性问题

开放性问题

【专题点拨】

开放探索问题是指已知条件、解题依据、解题方法、问题结论这四项要素中，缺少解题

要素两个或两个以上，或者条件、结论有待探求、补充等.

【解题策略】

在解决开放探索问题的时候，需解题者经过探索确定结论或补全条件，将开放性问题转

化为封闭性问题，然后选择合适的解题途径完成最后的解答.

【典例解析】

类型一：条件开放型问题

例题1：(2016•某某省滨州市•14分)如图，已知抛物线y=-xs-x+2与x轴交于A、

B两点，与y轴交于点C

(1)求点A,B,C的坐标；

(2)点E是此抛物线上的点，点F是其对称轴上的点，求以A,B,E,F为顶点的平行

四边形的面积；

(3)此抛物线的对称轴上是否存在点M,使得AACM是等腰三角形？若存在，请求出点

M的坐标；若不存在，请说明理由.

【考点】二次函数综合题.

【专题】压轴题；函数及其图象.

【分析】(1)分别令y=0,x=0,即可解决问题.

1/25

（2）由图象可知AB只能为平行四边形的边，易知点E坐标（-7,-等）或（5,一日），

由此不难解决问题.

（3）分A、C、M为顶点三种情形讨论，分别求解即可解决问题.

【解答】解：（1）令y=0得-X2-x+2=0,

/.X2+2X-8=0,

x=-4或2,

...点A坐标（2,0）,点B坐标（-4,0）,

令x=0,得y=2,.•.点C坐标（0,2）.

（2）由图象可知AB只能为平行四边形的边，

VAB=EF=6,对称轴x=-L

.•.点E的横坐标为-7或5,

...点E坐标（-7,-号）或（5,-号），此时点F（-1,-彳）,

.•.以A,B,E,F为顶点的平行四边形的面积=6X日善.

42

（3）如图所示，①当C为顶点时，CM=CA,CM=CA,作MN_LOC于N,

121

在RT4CMJ中，加犬-

...点”坐标（-1,2+，］），点4坐标（-1,2-V7）.

②当心为顶点时，,.直线AC解析式为y=-x+l,

线段AC的垂直平分线为y=x,

...点M坐标为（-1,-1）.

3

③当点A为顶点的等腰三角形不存在.

综上所述点M坐标为（-1,-1）或（-1,2+V7）或（-L2-五）.

2/25

【点评】本题考查二次函数综合题、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，解题

的关键是熟练掌握抛物线与坐标轴交点的求法，学会分类讨论的思想，属于中考压轴题.

变式训练1：

(2016•某某某某)如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为(3,0),

与y轴交于点C(0,-3)

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P在抛物线位于第四象限的部分上运动，当四边形ABPC的面积最大时，求点P

的坐标和四边形ABPC的最大面积.

(3)直线1经过A、C两点，点Q在抛物线位于y轴左侧的部分上运动，直线m经过点

B和点Q,是否存在直线m,使得直线1、m与x轴围成的三角形和直线1、m与y轴围成的三

角形相似？若存在，求出直线m的解析式，若不存在，请说明理由.

类型二：结论开放型问题

例题2：(2016•某某随州•3分)二次函数y=ax2+bx+c(aWO)的部分图象如图所示，

图象过点(-1,0),对称轴为直线x=2,下列结论:(l)4a+b=0；(2)9a+c>3b；(3)8a+7b+2c

>0；(4)若点A(-3,y)、点B(-专1，y)、点C(《7，y)在该函数图象上，则y<y<

1z2z313

3/25

y；(5)若方程a(x+1)(x-5)=-3的两根为x和x,且x<x,则xV-IV5Vx.其中

2121212

正确的结论有()

A.2个B.3个C.4个D.5个

【解析】二次函数图象与系数的关系.(1)正确.根据对称轴公式计算即可.

(2)错误，利用x=-3时，y<0,即可判断.

(3)正确.由图象可知抛物线经过(-1,0)和(5,0),列出方程组求出a、b即可判

断.

(4)错误.利用函数图象即可判断.

(5)正确.利用二次函数与二次不等式关系即可解决问题.

【解答】解：(1)正确.：-g=2,

za

4a+b=0.故正确.

(2)错误.：x=-3时,y<0,

...9a-3b+c<0,

.,.9a+c<3b,故(2)错误.

(3)正确.由图象可知抛物线经过(-1,0)和(5,0),

fa-b+c=0…fb=-4a

,「人解得「，

25a+5b+c=0Vc=-5a

/.8a+7b+2c=8a-28a-10a=-30a,

Va<0,

A8a+7b=2c>0,故(3)正确.

(4)错误，•.•点A(-3,%)、点B(-y,.)、点C(y,y3),

4/25

7315

v--2=-,2-

.-3</--5

"22

，点C离对称轴的距离近,

・双>%

Va<0,-3<-j<2,

:<y<y，故(4)错误.

123

(5)正确.Va<0,

，(x+1)(x-5)=-3/a>0,

即(x+1)(x-5)>0,

故x<-l或x>5,故(5)正确.

.•.正确的有三个，

故选B.

变式训练2：

（2016•某某某某•3分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（aWO）的对称轴为直线x=l,与x

轴的一个交点坐标为（-1,0）,其部分图象如图所示，下列结论：

①4ac<b2；

②方程ax2+bx+c=0的两个根是x=-1,x=3；

12

③3a+c>0

④当y>0时，x的取值X围是-lWx<3

5/25

⑤当x<0时，y随x增大而增大

其中结论正确的个数是（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

类型三：解题策略开放型

例题3：（2014年某某襄阳）如图Z3-1,在△ABC中，点D,E分别在边AC,AB上，BD

与CE交于点0,给出下列三个条件：①NEB0=NDC0；②BE=CD；③OB=OC.

（1）上述三个条件中，由哪两个条件可以判定aABC是等腰三角形？（用序号写出所

有成立的情形）

（2）选择其中的成立条件进行证明。

【解析】：⑴①②；①③.

(2)选①②证明如下：

VZEB0=ZDC0,ZE0B=ZD0C,BE=CD,

/.△BOE^ACOD(AAS).

6/25

.\BO=CO..*.Z0BC=Z0CB.

AZEBO+ZOBC=ZDC0+ZOCB.

即/ABC=NACB.，AB=AC.

/.△ABC是等腰三角形

【点评】对题设信息进行全面分析，综合比较，判断优劣，从中得出适合题意的最佳方

案。

变式训练3：

在一个服装厂里有大量形状为等腰直角三角形的边角布料.现找出其中的一种，测得NC

=90°,AC=BC=4,今要从这种三角形中剪出一种扇形，做成不同形状的玩具，使扇形的边

缘半径恰好都在^ABC的边上，且扇形的弧与AABC的其他边相切.请设计出所有符合题意的

方案示意图，并求出扇形的半径.(只要求画出扇形，并直接写出扇形半径)

【能力检测】

1.(2016•某某省某某市•3分)如图，ZXABC中，AD±BC,CE±AB,垂足分别为D、E,

AD、CE交于点H,请你添加一个适当的条件：，使AAEH丝ZXCEB.

2.(2015荆州)如图1,在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延

长线上，且PA=PE,PE交CD于F.

(1)证明：PC=PE；

(2)求/CPE的度数；

(3)如图2,把正方形ABCD改为菱形ABCD,其他条件不变，当NABC=120。时，连接

CE,试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由.

7/25

3.(2016•某某内江)(12分)如图15,已知抛物线C：y=x2—3x+m,直线1：y=kx(k

>0),当k=l时，抛物线C与直线1只有一个公共点.

⑴求m的值;

(2)若直线1与抛物线C交于不同的两点A,B,直线1与直线」：y=-3x+b交于点P,

且小+/=求13的值；

⑶在⑵的条件下，设直线1与y轴交于点Q,问：是否存在实数k使S“『S创，若

存在，求k的值；若不存在，说明理由.

8/25

4.(2016某某某某)如图，已知抛物线经过原点0,顶点为A(1,1),且与直线y=x

-2交于B,C两点.

(1)求抛物线的解析式及点C的坐标；

(2)求证：AABC是直角三角形；

(3)若点N为x轴上的一个动点，过点N作MNLx轴与抛物线交于点M,则是否存在以

0,M,N为顶点的三角形与AABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

9/25

5.(2016•某某省某某市)如图1,对称轴为直线x=4■的抛物线经过B(2,0)、C(0,

4)两点，抛物线与x轴的另一交点为A

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点P为第一象限内抛物线上的一点，设四边形COBP的面积为S,求S的最大值;

(3)如图2,若M是线段BC上一动点，在x轴是否存在这样的点Q,使AMaC为等腰三

角形且为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

【参考答案】

变式训练1：

(2016•某某某某)如图，抛物线y=xz+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为(3,0),

与y轴交于点C(0,-3)

(1)求抛物线的解析式;

10/25

(2)点P在抛物线位于第四象限的部分上运动，当四边形ABPC的面积最大时，求点P

的坐标和四边形ABPC的最大面积.

(3)直线1经过A、C两点，点Q在抛物线位于y轴左侧的部分上运动，直线m经过点

B和点Q,是否存在直线m,使得直线1、m与x轴围成的三角形和直线1、m与y轴围成的三

角形相似？若存在，求出直线m的解析式，若不存在，请说明理由.

【考点】二次函数综合题.

【分析】(1)由B、C两点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式;

(2)连接BC,则AABC的面积是不变的，过P作PM〃y轴，交BC于点M,设出P点坐

标，可表示出PM的长，可知当PM取最大值时APBC的面积最大，利用二次函数的性质可求

得P点的坐标及四边形ABPC的最大面积；

(3)设直线m与y轴交于点N,交直线1于点G,由于/AGP=NGNC+NG,所以当4AGB

和ANGC相似时，必有NAGB=NCGB=90°,则可证得AAOC丝ZiNOB,可求得ON的长，可求出

N点坐标，利用B、N两的点坐标可求得直线m的解析式.

【解答】解：

*9+3b+c=0fb=-2

(1)把B、C两点坐标代入抛物线解析式可得C,解得

、c=-3X.c=-3

抛物线解析式为y=x2-2x-3；

(2)如图1,连接BC,过Py轴的平行线，交BC于点M,交x轴于点H,

11/25

在y=x2-2x-3中，令y=0可得0=x2-2x-3,解得x=-1或x=3,

.二A点坐标为(-1,0),

/.AB-3-(-1)=4,且OC=3,

SABOCX4X3=6>

••AAB4-4

VB(3,0),C(0,-3),

・・・直线BC解析式为y二x-3,

设P点坐标为(x,X2-2x-3),则M点坐标为(x,x-3),

・・・P点在第四限,

PM=x-3-(X2-2X-3)=-X2+3X,

AS=4-PM-0H+-J-PM••(OH+HB)±PM・OB=^PM,

△PBC22222

.•.当PM有最大值时，APBC的面积最大，则四边形ABPC的面积最大，

PM=-X2+3X=-(x-2+-^-,

24

...当x=3[•时，QPMT，则S=3日义9经271

止匕时P点坐标为(盘，-工^)，S=S+S=6+-^-=-^-,

24四边形ABPCAABCAPBCgg

即当P点坐标为(亮，-牛)时，四边形ABPC的面积最大，最大面积为3；

248

(3)如图2,设直线m交y轴于点N,交直线1于点G,

12/25

当4AGB和ANGC相似时，必有/AGB=NCGB,

又NAGB+/CGB=180°,

：.ZAGB=ZCGB=90°,

，NACONOBN,

在RtAAON和RtANOB中

"ZAOC=ZNOB

<OC=OB

,ZAC0=ZNB0

ARtAAON^RtANOB(ASA),

.*.ON=OA=1,

•••N点坐标为（0,-1）,

3k+d=0

设直线m解析式为丫=1«+（1,把B、N两点坐标代入可得d-，解得

d=-1

，直线m解析式为y=^-x-1,

即存在满足条件的直线m,其解析式为y《x-l.

【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、二次函数的最值、相

似三角形的判定、全等三角形的判定和性质等.在（2）中确定出PM的值最时四边形ABPC

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的面积最大是解题的关键，在（3）中确定出满足条件的直线m的位置是解题的关键.本题考

查知识点较多，综合性较强，特别是第（2）问和第（3）问难度较大.

变式训练2：

（2016•某某某某•3分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（aWO）的对称轴为直线x=l,与x

轴的一个交点坐标为（-1,0）,其部分图象如图所示，下列结论：

①4ac<bz；

②方程ax2+bx+c=0的两个根是x=-1,x=3；

12

③3a+c>0

④当y>0时，x的取值X围是-lWx<3

⑤当x<0时，y随x增大而增大

其中结论正确的个数是（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

【解析】二次函数图象与系数的关系.利用抛物线与x轴的交点个数可对①进行判断；

利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为（3,0）,则可对②进行判断；由对

称轴方程得到b=-2a,然后根据x=-1时函数值为负数可得到3a+c<0,则可对③进行判断;

根据抛物线在x轴上方所对应的自变量的X围可对④进行判断；根据二次函数的性质对⑤进

行判断.

【解答】解：..•抛物线与x轴有2个交点，

/.ba-4ac>0,所以①正确；

•••抛物线的对称轴为直线x=l,

而点（-1,0）关于直线x=l的对称点的坐标为（3,0）,

14/25

，方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=-1,x2=3,所以②正确;

L

Vx=--=1,即b=-2a,

2a

而x=-1时，y<0,即a-b+cVO,

a+2a+c<0,所以③错误；

•••抛物线与x轴的两点坐标为(-1,0),(3,0),

.•.当-l<x<3时，y>0,所以④错误；

•••抛物线的对称轴为直线x=l,

...当x<l时，y随x增大而增大，所以⑤正确.

故选B.

变式训练3：

在一个服装厂里有大量形状为等腰直角三角形的边角布料.现找出其中的一种，测得NC

=90°,AC=BC=4,今要从这种三角形中剪出一种扇形，做成不同形状的玩具，使扇形的边

缘半径恰好都在^ABC的边上，且扇形的弧与AABC的其他边相切.请设计出所有符合题意的

方案示意图，并求出扇形的半径.(只要求画出扇形，并直接写出扇形半径)

【解析】：由题意，考虑圆心在顶点、直角边和斜边上，设计出

符合题意的方案示意图如图所示四种方案：

半径分别是r24，r—1-,r2,r4O

115/2111

15/25

【点评】策略开放题要结合分类讨论思想来解题，先选择一个分类的标准，再进行讨论

解题，做到不重不漏.

【能力检测】

1.（2016•某某省某某市•3分）如图，ZSABC中，ADJLBC,CE1AB,垂足分别为D、E,

AD、CE交于点H,请你添加一个适当的条件：AH=CB等（只要符合要求即可）,使

AAEH^ACEB.

【解析】全等三角形的判定.开放型题型，根据垂直关系，可以判断AAEH与4CEB有两

对对应角相等，就只需要找它们的一对对应边相等就可以了.

【解答】解：•••ADLBC,CEXAB,垂足分别为D、E,

.•.ZBEC=ZAEC=90°,

在RtZkAEH中，ZEAH=90°-ZAHE,

又：NEAH=/BAD,

Z.ZBAD=90°-ZAHE,

在RtAAEH和RtACDH中，ZCHD=ZAHE,

.*.ZEAH=ZDCH,

/.ZEAH=90°-ZCHD=ZBCE,

所以根据AAS添加AH=CB或EH=EB；

根据ASA添加AE=CE.

可证AAEH/ZkCEB.

故填空答案：AH=CB或EH=EB或AE=CE.

2.（2015荆州）如图1,在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延

长线上，且PA=PE,PE交CD于F.

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(1)证明：PC=PE；

(2)求NCPE的度数;

(3)如图2,把正方形ABCD改为菱形ABCD,其他条件不变，当NABC=120°时，连接

CE,试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由.

【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，AB=BC,

ZABP=ZCBP=45°,

在4ABP和4CBP中，

"物BC

-ZABP=ZCBP,

PB=PB

/.△ABP^ACBP（SAS）,

.\PA=PC,

VPA=PE,

.\PC=PE；

（2）由（1）知，AABP^ACBP,

.*.ZBAP=ZBCP,

ZDAP=ZDCP,

VPA=PC,

，ZDAP=ZE,

ZDCP=ZE,

VZCFP=ZEFD（对顶角相等），

180°-ZPFC-ZPCF=180°-ZDFE-ZE,

17/25

即NCPF=/EDF=90°；

(3)在正方形ABCD中,AB=BC,ZABP=ZCBP=45°

在AABP和ACBP中，

.,.△ABP^ACBP(SAS),

"AB二BC

-ZABP=ZCBP

,PB=PB

.\PA=PC,ZBAP=ZBCP,

VPA=PE,

.\PC=PE,

ZDAP=ZDCP,

VPA=PC,

，ZDAP=ZE,

，ZDCP=ZE

VZCFP=ZEFD(对顶角相等)，

，180°-ZPFC-ZPCF=180°-ZDFE-ZE,

即NCPF=NEDF=180°-ZADC=180°-120°=60°,

...△EPC是等边三角形，

.\PC=CE,

.,.AP=CE；

3.（2016•某某内江）（12分）如图15,已知抛物线C：y=x2—3x+m,直线1：y=kx（k

>0）,当k=l时，抛物线C与直线1只有一个公共点.

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⑴求m的值;

(2)若直线1与抛物线C交于不同的两点A,B,直线1与直线y=-3x+b交于点P,

且/+/"=■-'求13的值；

(3)在⑵的条件下，设直线1与y轴交于点Q,问：是否存在实数k使S人=S-，若

1AAPQABPQ

存在，求k的值；若不存在，说明理由.

图15答案图

【解析】二次函数与一元二次方程的关系，三角形的相似，推理论证的能力。

【解答】：(1)，•当k=l时，抛物线C与直线1只有一个公共点,

...方程组V梵3X5有且只有一组解.

yx

消去y，得X2—4x+m=0,所以此一元二次方程有两个相等的实数根.

/.△=0,即(-4)2—4m=0.

/.m=4.

⑵如图，分别过点A,P,B作y轴的垂线，垂足依次为C,D,E,

nppn

则△0ACSZV)PD,・••冷=会.

闩工田

同理'施0P■—一PD酝.

..—1=2.OP,0P=9

,orwor***orOB--

.PD,PD_9

♦•葡+露一-

.1,1_2BnACBE_2

••葡十西一西'四ACBEPD-'

,ykx,hh

解方程组；I得x=4,即PD=4.

y3xbk3k3

19/25

ykx,

由方程组消去y,得X2—（k+3）x+4=0.

yx23x4

VAC,BE是以上一元二次方程的两根，

.*.AC+BE=k+3,AC•BE=4.

.k3_2

k3

解得b=8.

（3）不存在.理由如下：

假设存在，则当“=5人时有AP=PB,

△APQABPQ

于是PD—AC=PE—PD,即AC+BE=2PD.

由⑵可知AC+BE=k+3,PD=/F，

k3

：.k+3=2Xi8",即（k+3）2=16.

k3

解得k=l（舍去k=—7）.

当k=l时，A,B两点重合，ZXQAB不存在.

二不存在实数k使S=S.

AAPQABPQ

4.（2016某某某某）如图，已知抛物线经过原点0,顶点为A（1,1）,且与直线y=x

-2交于B,C两点.

（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；

（2）求证：AABC是直角三角形；

（3）若点N为x轴上的一个动点，过点N作MNLx轴与抛物线交于点则是否存在以

0,M,N为顶点的三角形与AABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

20/25

【解析】二次函数综合题.(1)可设顶点式，把原点坐标代入可求得抛物线解析式，联

立直线与抛物线解析式，可求得C点坐标；

(2)分别过A、C两点作x轴的垂线，交x轴于点D、E两点，结合A、B、C三点的坐标

可求得/AB0=NCB0=45°,可证得结论；

(3)设出N点坐标，可表示出M点坐标，从而可表示出MN、ON的长度，当AMON和4ABC

相似时，利用三角形相似的性质可得馨罂或需瞿，可求得N点的坐标.

ADDUDUAD

【解答】解：

(1)•.•顶点坐标为(1,1)，

.,•设抛物线解析式为y=a(x-1)2+1,

又抛物线过原点，

/.0=a(0-1)2+1,解得a=-l,

...抛物线解析式为y=-(x-1)2+1,

即y=-xz+2x,

y~—K+2x(x=2*——1

联立抛物线和直线解析式可得，，解得c或0

y=x-2I厂0〔尸-3

AB(2,0),C(-1,-3)；

(2)如图，分别过A、C两点作x轴的垂线，交x轴于点D、E两点,

则AD=OD=BD=1,BE=OB+OE=2+1=3,EC=3,

AZAB0=ZCB0=45°,即NABC=90°,

...△ABC是直角三角形；

(3)假设存在满足条件的点N,设N(x,0),则M(x,-x2+2x),

21/25

:.ON=|x|,MN=|-X2+2XI,

由（2）在RtZXABD和RtZXCEB中，可分别求得AB个仞BC=3-^,

•••MNLx轴于点N

.,.ZABC=ZMN0=90°,

ASAABC和视0相似时有瞿=黑或需瞿，

ABBCBCAB

①当黑黑时，则有.「辛红匕翱,即|x||-x+2[|x|,

ABBC42W23

・・•当x=0时M、0、N不能构成三角形，

；・x力0,

1157

•*.I-x+2=-T-,即-x+2=±-,解得x=Q或X=—,

57

此时N点坐标为唠，0）或0）；

②当翳瞿时,则有卜；2尸二/gp|x||-X+2|=3|X|,

DUAD3V2v2

/.|-x+21=3,即-x+2=±3,解得x=5或x=-1,

此时N点坐标为（-1,0）或（5,0）,

57

综上可知存在满足条件的N点，其坐标为