6.2.1排列课件高二下学期数学人教A版选择性2

6.2.1排列6.2排列与组合1、分类加法计数原理：

完成一件事，有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法…在第n类方案中有mn种不同的方法.那么完成这件事共有

种不同的方法.2、分步乘法计数原理：

完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法…，做第n步有mn种不同的方法.那么完成这件事共有

种不同的方法.回顾旧知N＝m1＋m2＋…＋mn

N＝m1×m2×…×mn引入

在上节例8的解答中我们看到，用分步乘法计数原理解决这个问题时，因做了一些重复性工作而显得繁琐，能否对这一类计数问题给出一种简捷的方法呢？为此，先来看两个具体的问题：问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？探究新知分析：要完成的一件事情是“选出2名同学参加活动，1名参加上午的活动，另1名参加下午的活动”，可以分步完成.上午

下午相应的排法甲乙丙乙丙甲乙甲丙图6.2-1解：从3名同学中选出2名同学参加活动，1名上午，另1名下午，可以分两个步骤完成:第1步，确定参加上午活动的同学，从3人中任选1人，有3种选法；第2步，确定参加下午活动的同学，当参加上午活动的同学确定后，参加下午活动的同学只能从剩下的2人去选，有2种选法.根据分步乘法计数原理，不同选法的种数N=3×2=6.

6种选法如图6.2-1所示乙甲乙丙丙甲丙乙甲乙甲丙问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？探究新知探究1：若把上面问题中被取出的对象叫做元素，于是问题1就可以叙述为：

从3个不同的元素a，b，c中任取2个，然后按照一定的顺序排成一列，一共有多少种不同的排列方法？不同的排列：ab，ac，ba，bc，ca，cb不同的排列方法种数：N=3×2=6.思考：问题1中的“顺序”是什么问题2：从1，2，3，4这4个数字中，取出3个不同的数字排成一个三位数，一共可以得到多少个不同的三位数？探究新知叙述为：从4个不同的元素a，b，c，d中任取3个，然后按照一定的顺序排成一列共有多少种不同的排列方法？abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb.由此可写出所有的三位数：123，124，132，134，142，143，213，214，231，234，241，243，312，314，321，324，341，342，412，413，421，423，431，432.百位十位个位不同的排列方法种数：N=4×3×2=24.1234234134124123342423341413241412231312思考：问题2中的“顺序”是什么问题1从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？实质是：从3个不同的元素中，任取2个，按一定的顺序排成一列，有哪些不同的排法.问题2从1，2，3，4这4个数字中，取出3个不同的数字排成一个三位数，一共可以得到多少个不同的三位数？实质是：从4个不同的元素中，任取3个，按照一定的顺序排成一列，写出所有不同的排法.

一般地，从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的一个排列.探究新知排列的概念：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。注意：(1)元素不能重复。(2)“按一定顺序”就是与位置有关，这是判断一个问题是否是排列问题的关键。(3)两个排列相同的充要条件是：①元素完全相同；②元素的排列顺序也相同．(4)m＜n时的排列叫选排列，m＝n时的排列叫全排列。(5)为了使写出的所有排列情况既不重复也不遗漏，

最好采用“树形图”。(有序性)(互异性)随堂练习1、判断下列问题是排列问题吗？(1)从1，2，3，4四个数字中，任选两个做加法，其不同结果有多少种？(2)从1，2，3三个数字中，任选两个做除法，其不同结果有多少种？(3)从1到10十个自然数中任取两个组成点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？(4)平面上有5个点，任意三点不共线，这五点最多可确定多少条射线？可确定多少条直线？(5)10个学生排队照相，则不同的站法有多少种？(从中归纳这几类问题的区别)不是排列是排列是排列不是排列是排列例题解析1、某省中学生足球赛每组有6支队，每支队都要与同组的其他各队在主、客场分别比赛1场，那么每组共进行多少场比赛？分析：每组任意2支队之间进行的1场比赛，可以看作是从该组6支队中选2支，按“主队、客队”的顺序排成一个排列.解：可以先从6支队选1支队为主队，然后从剩下的5支队中选1支队为客队，按分步乘法计数原理，每组进行的比赛场数为：6×5=30.例题解析2、(1)一张餐桌上有5盘不同的菜，甲、乙、丙3名同学每人从中各取1盘菜，共有多少种不同的取法？(2)学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，共有多少种不同的选法？.分析：3名同学每人从5盘不同菜中取1盘菜，可看作从5盘菜中任取3盘放在3个位置(给3名同学)的一个排列；而3名同学每人从食堂窗口的5种菜中选1种，每人都有5种选法，不能看成一个排列.解：(1)可以先从这5盘菜中取1盘给同学甲，然后从剩下4盘菜中取1盘给同学乙，最后从剩下的3盘菜中取1盘给同学丙.按分步乘法计数原理，不同的取法种数为：5×4×3=60.

(2)可以先让同学甲从5种菜中选1种，有5种选法；再让同学乙从从5种菜中选1种，有5种选法；最后让同学丙从5种菜中选1种，有5种选法.按分步乘法计数原理，不同的取法种数为：5×5×5=125.(1)无重复选取问题；(2)可重复选取问题.随堂练习2、在A、B、C、D四位候选人中选举正、副班长各一人共有几种不同的选法？写出所有可能的选举结果．3、写出从5个元素a，b，c，d，e中任取2个元素的所有排列.AB

AC

AD

BA

BC

BD

CA

CB

CD

DA

DB

DC

解决办法是先画“树形图”，再由此写出所有的排列，共20个.思考：若把这题改为：写出从5个元素a，b，c，d，e中任取3个元素的所有排列，结果如何呢？方法仍然照用，但数字将更大，写起来更“麻烦”.

研究一个排列问题，往往只需知道所有排列的个数而无需一一写出所有的排列，那么能否不通过一一写出所有的排列而直接“得”出所有排列的个数呢？接下来我们将来共同探讨这个问题：排列数及其公式．排列数的概念：

从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的排列数，用符号

表示。范德蒙德(1735-1796)Vandermonde法国数学家，于1772年发明排列数符号，高等代数方面有重要的贡献，是行列式的奠基者.思考：“排列”和“排列数”有什么区别和联系？“一个排列”是指：从n个不同元素中，任取m个元素按照一定的顺序排成一列，不是数；“排列数”是指：从n个不同元素中，任取m个元素所有排列的个数，是一个数；所以符号

只表示排列数，而不表示具体的排列.探究新知(1)问题1中是求从3个不同元素中取出2个元素的排列数，记为，已经算得(2)问题2中是求从4个不同元素中取出3个元素的排列数，记为

，已经算得(3)从n个不同元素中取出2个元素的排列数是多少第1位第2位第3位第m位(n-2)种(n-m+1)种n种(n-1)种

……排列数公式1(1)第一个因数是n，后面每一个因数比它前面一个因数少1．(2)最后一个因数是n－m＋1．(3)共有m个因数．观察排列数公式有何特征：说明：对于m≤n这个条件要留意，往往是解方程时的隐含条件.随堂练习4、利用排列数公式计算阶乘的概念把n个不同元素全部取出来的一个排列，叫做n个元素的一个全排列.正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n!表示.另外，我们规定0！=1.例题解析3、计算：探究新知思考：从例3中可以看到，

，得到

，你发现它们得共性了吗，能否进行推广？排列数公式2说明：排列数公式的第一个常用来计算，第二个常用来证明.随堂练习5、证明：随堂练习6、如果=18×17×…×9×8，则n=_______，m=_______.由n=18，n-m+1=8，得m=1118117、若n∈N，则(55-n)(56-n)…(68-n)(69-n)用排列数符号表示为_______8158、如果

，则n=_______.即2n(2n-1)(2n-2)=10n(