2024年中考数学复习：规律探索(解析版)(全国版)

规律探索

题型1:数式的规律探索

题型2:坐标的规律探索

规律探索

题型3:图形的规律探索

规律探索问题在中考中常以选择题、填空题的形式

出现，难度中等，规律性较强，重点考查数式、坐标和规律探索

图形的规律探索问题，涉及整式的计算、一次函数、反

比例函数、二次函数、圆、特殊三角形、勾股定理、图

形变换等相关知识，以及类比、数形结合、转化与化归

等数学思想.此类题型常涉及以下问题：①探究数式规律

问题；②证明数式成立问题；③探究图形周长、面积问

题；④利用函数求坐标问题等.右图为规律探索问题中各

题型的考查热度.

_______________________________________________________________________________1,

题型1:数式的规律探索

横纵向分析各数式之间的数量关系，适当续写几个数式

解题模板：寻找蛔规律，列出第n个球

验证已知数式是否符合规律，化简后得出结论

美航一扃丽

咽1.观察下列算式:2:2,22=4,23=8,24=16,2s=32,26=64,27=128,28=256……观察后,

用你所发现的规律写出22022的末位数字是,

【答案】4

【分析】通过观察给出算式的末尾数可发现，每四个数就会循环一次，根据此规律算出第2022个算式的个

位数字即可.

【详解】解：通过观察给出算式的末尾数可发现，每四个数就会循环一次，

2022+4=505……2,

.•.第2022个算式末尾数字和第2个算式的末尾数字一样为4,

22022的末位数字是4,

故答案为：4.

【点睛】本题主要考查数字的变化规律，总结归纳数字的变化规律是解题的关键.

【变式1-1】如图是一个电子青蛙游戏盘，已知48=7,BC=6,AC=5,BP0=3,电子青蛙在边上的兄

处，第一步跳到月处，使84=即，第二步跳到鸟处，使C£=C4,第三步跳到月处，使4居=4月......

按上述的规则跳下去，第2023步落点为P2023,则々与P2023之间的距离为.

【答案】0

【分析】根据上述规则，显然6次完成一个循环.因为2023+6=372..」，则鸟⑼与4重合，于是得到结论.

【详解】解：第一步跳到片处，使地=阳=3,

第二步跳到E处，使c‘=cq=3,

第三步跳到A处，使/乙="6=2,

第四步跳到《处，Bg=BP&=5,

第五步跳到月处，（累=玛=1,

第六步跳到P6处，AP5=AP6=4,与＜重合，

二6次一循环,则2023+6=37231,则刍必与耳重合.

二6与今23之间的距离为0,

L

!故答案为：0.

【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中各点的变化规律，利用数形结

!合的思想解答.

【变式1-2】将从1开始的自然数，按如图的规律排列，在2,3,5,7,10,13,17,…处分别拐第1,

：2,3,4,5,6,7,…次弯，则第101次拐弯处的那个数是.

21f22>23f24->25,26

I木W

207f839—10

小木W

1961—2H

小小。丈

185―4—312

!tI|

17v16v]5-14e13

【答案】2602

【分析】拐弯处的数相邻两数的差是1、1、2、2、3、3、4、4、…，据此规律作答即可得.

【详解】解：拐弯处的数与其序数的关系如下表：

拐弯的序数01234567

拐弯处的数12357101317

由此可知，拐弯处的数相邻两数的差是1、1、2、2、3、3、4、4、…，

因为101=2x50+1,

所以第101次拐弯处的那个数是1+2x0+2+3+…+50）+51=2602,

故答案为：2602.

【点睛】本题考查了数字的变化规律，正确找出数字之间的排列规律是解题关键.

亲前三厂逋猫iT

晒2.按一定规律排列的式子：-亚当，-学,2学，……第〃个式子是,

aaaa

【答案】（-1）”・吗料

I【分析】根据所给式子找出各部分的规律解答即可.

J___________________________________________

1--------------------------------------------------------------------------------------------------1

【详解】解：36,86,15瓦246,…,分子可表示为:n(n+2)b.

ja,a3,a5,a7....分母可表示为：/“t,

I则第n个式子为：(-1)"产叱？九

a

I故答案是：(-1)"I

【点睛】本题考查了规律型：数字类规律与探究，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应

I用发现的规律解决问题.此题注意分别观察各部分的符号规律.

【变式2-1】观察下列等式：

第1个等式：«i=i+1A=34；

1x22

一17

第2个等式：a=\-\----=—；

22x36

113

第3个等式：a3=l+-^—=—；

33x412

第4个等式：%=1+白1=今?!；

根据以上规律解答以下问题：

⑴写出第5个等式：；写出第〃个等式：；

111

(2)由分式性质可知：/7(/7+1-y,试求%+%+%+…+出022-2023的值.

1311+1)+1

【答案】⑴氏=1+4才氏=1+而旬=+；

(2)———.

''2023

【分析】(1)类比给出的4个等式，写出第5个等式即可，进而得出第〃个等式;

(2)利用得到的规律将原式变形，再计算即可.

131

【详解】⑴解：^=1+--=—；

55x630

1〃+1)+1

a=1+------=—^-----』—.

(2)解:原式=1+---+1+----+1+----+­­•+1+

2022x2023

20222023

【点睛】此题考查数字的变化规律，从简单情形入手，找出一般规律，利用规律解决问题.

【变式2-2】观察下列等式：

第1个等式：22-l2-2xl=l;

22

第2个等式：3-2-2X2=1；

第3个等式：42-32-2x3=1;

第4个等式:52-42-2x4=l；

按照以上规律，解决下列问题：

⑴写出第5个等式：;

(2)写出你猜想的第〃个等式：(用含力的等式表示)，并证明.

【答案】⑴6-52-2x5=1

⑵(“+1)2-2"=1,证明见解析

【分析】(1)根据题目中等式的特点，可以写出第5个等式；

(2)根据题目中等式的特点，可以写出猜想，然后将等式左边和右边展开，看是否相等即可证明猜想.

【详解】⑴解：第5个等式是62-5?-2x5=1；

故答案为：62-52-2x5=l.

(2)解：猜想：第〃个等式：+=

证明：:左边=("+1)2-“2-2”

=n2+2〃+1-n2-2n

=1=右边-

【点睛】本题考查数字的变化、列代数式，整式的运算，明确题意，发现式子的变化特点，写出相应的等

式和猜想和证明是解答本题的关键.

类型三：固定累加型

晒3.观察下列由连续的正整数组成的等式:

第1层1+2=3

第2层4+5+6=7+8

第3层9+10+11+12=13+14+15

第4层16+17+18+19+20=21+22+23+24

则第7层等号右侧的第一个数是.

则第«层等号右侧的第一个数是.

【答案】57n2+n+l

【分析】不难看出每一层等式左边第1个数为等式右边的第1个数为等式左边第1个数加上层数再加

1,据此可求解.

【详解】解：1•第1层1+2=3

第2层4+5+6=7+8

第3层9+10+11+12=13+14+15

第4层16+17+18+19+20=21+22+23+24

...第7层等号右侧的第一个数是：7?+7+1=57,

第〃层等号右侧的第一个数是：n2+n+l.

故答案为：57,n2+n+l.

【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的式子总结出存在的规律.

【变式3-1】观查下列等式，探究其中的规律并回答问题：

1+8=32,

1+8+16=52,

1+8+16+24=72,

1+8+16+24+32=/,

(1)第4个等式中正整数后的值是；

(2)根据已知等式可归纳出第"个等式为(〃是正整数).

【答案］91+8+16+24+32+■•-+8«=(2n+1)2

【分析】⑴第1个等式中正整数为3,其中3=lx2+l；第2个等式中正整数为5,其中5=2x2+l；第3

个等式中正整数为7,其中7=3x2+L故得出第4个等式中正整数k=4x2+l=9；

(2)观查等式左侧，等式个数每增加1,等式中就会增加这个等式个数的8倍；故可归纳出第〃个等式.

【详解】解⑴：第1个等式中正整数为3,其中3=lx2+l；

第2个等式中正整数为5,其中5=2x2+l；

第3个等式中正整数为7,其中7=3x2+l；

,第4个等式中正整数4=4x2+1=9；

故答案为：9.

(2)：第1个等式左侧为l+8=l+8xl；

第2个等式左侧为1+8+16=1+8+8x2；

第3个等式左侧为1+8+16+24=1+8+16+8x3；

第4个等式左侧为1+8+16+24+32=1+8+16+24+8x4；

第〃个等式左侧可归纳为1+8+16+24+32+…+8”；

由(1)中知第〃个等式右侧为(2仁+1产

第〃个等式可归纳为1+8+16+24+32+-+8〃=(2"+1)?的形式

故答案为：1+8+16+24+32+…+8"=(2〃+1)2.

【点睛】本题考查用归纳法推导规律.解题的关键与难点在于将等式的个数与数值建立联系.

【变式3-2】若干个有规律的数，排列如下:

第

行

一1

第

行

二-1-3

第

行

三

第

行139

四

第

行

五-1-3-9-27

1392781

试探究：

⑴第2012个数在第几行？这个数是多少？(每行的数都是从左往右数)

(2)写出第"行第左个数的代数式；(用含"，左的式子表示)

⑶求第2012个数所在行的所有数之和S

【答案】⑴第63行，这个数为3吗

r

(2)(-1)“+/3A；

【分析】每一行的数的个数和行数都是相同的，奇数行的数字都是3/,偶数行的数字都是(-3)n1,统|

一为(-1)川十，3/；

(1)设第2012个数在第"行，贝卜+2+3+...+〃=誓。，估算得出答案即可；

(2)有以上分析直接写出即可；

(3)写出第2012个数所在行的所有数，进一步求和即可.

(D।

解：•.,每一行的数的个数和行数都是相同的，奇数行的数字都是3/,偶数行的数字都是(-3)n1,设行|

I

数为"，数字个数为七

左=1+2+3+...+〃=---------,

2

油”A9F14-62x(62+1)

2

西口才63x(63+1)

^3w—63—2016;

2

62x(62+1)63x(63+1)

——---------=1953<2012<——----------=2016,

22

所以第2012个数在第63行，从左往右数第2012-1953=59个，这个数为3§8；

⑵I

I

解：由以上分析可直接写出为(-1)n+I3k,；

(3)

,262

解：•••lS=1+3+3+...+3(D

..35=3+32+...+362+363②

由②-①得25=363-1

363-1

.-.S=1+3+32+...+362=-——.

2

【点睛】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的联系，得出规律，解决问题.

类型四：渐变累加型

晒4.如图，有一个起点为0的数轴，现有同学将它弯折，虚线上从下往上第一个数为0,第二个数为6,第

三个数为21,……，则第十个数是（）

012345

A.378B.351C.702D.756

【答案】A

【分析】观察图形中数字变化（增加）情况，发现后一个数总是在前一个数的基础上加上一个数，探索加

数规律即可.

【详解】解：第一个数是0,

第二个数是6,

第三个数是0+6+15=21,

第四个数是0+6+15+24=45,

第五个数是0+6+15+24+33=78,

方法一：规律探索,

第〃个数是0+9x0+6+9x1+6+9x2+6+…+9（〃-2）+6

=6（〃-1）+9（0+1+2+…+〃-2）

,、9（〃一1）伍一2）

=6（«-1）+-^——------L

—2

当〃=10时，代入上式得：

（?7-l）（9n-6）

2

r-

9x84

2

=378

方法二：第10个数是0+6+15+24+33+42+51+60+69+78=378,

故选：A.

【点睛】本题考查探索数字规律技能技巧，耐心统计数据，认真分析数据变化从中找出规律最为关键.

【变式4-1］按一定规律排列的等式：1=12,1+3=22,1+3+5=3?,1+3+5+7=42,........按此规律

1+3+5+7+9+…+2023=()

A.10102B.10112C.10122D.202I2

【答案】C

【分析】通过观察可以看出：规律为一个等式，等号左边为连续奇数的和，且奇数的个数、最后一个奇数

都与等式的序数有关，即：第〃个等式左边有，个奇数，最后一个奇数为2〃-1等号的右边为序数的平方,

即：

【详解】解：规律为：1+3+5+7+...+(2〃-1)="

贝打+3+5+7+9+…+2023中,

2«-1=2023

解得：77=1012

则等号右边为：10122

故选C

【点睛】本题主要考查了观察、归纳概括总结的能力，归纳出规律是解题的关键.

【变式4-2】请观察下列等式，找出规律并回答以下问题.

1^1111111111

U2--2'2^3~2~3'3^4"I-?'4^5-4-5...........

(1)按照这个规律写下去，第5个等式是：；第〃个等式是：.

(2)①计算：-p—+'''1JO1

1x22x33x449x50

②若。为最小的正整数，^3=0,求:

1।1।1।1।L+]_______

茄+仅+1乂6+1)+(Q+2)@+2『@+3)G+3J+《+97肌97),

]_]2__i_14651

(2)①二；②

【答案】⑴£46n〃+119800

【分析】(1)根据规律可得第5个算式；根据规律可得第n个算式；

(2)①根据运算规律可得结果.

②利用非负数的性质求出“与6的值，代入原式后拆项变形，抵消即可得到结果.

111111

【详解】⑴根据规律得：第5个等式是第〃个等式是菽西甲丁病；

(2)ffi—+—+—+--^———

''-1x22x33x449x50,

_49

~50；

②。为最小的正整数，V^3=0,

:a=1,6=3,

1111,1

原式=——+---+----+----FL+

1x32x43x54x698x100

=lx(i-l)lx(L-l-)LxA1、1/1、11

++(----)++(----)+••+f

232242352462

1111111111、

=—x(1-----1-----------1----------1----------F•—I--------------)

2324354698100

2299100

_14651

-19800,

【点睛】本题主要考查了数字的变化规律，发现规律，运用规律是解答此题的关键.

题型2坐标的规律探索

根据条件表示前几个点的坐标

根据前几个点的坐标特征寻找规律

解题模板:

依据坐标规律得出结论

—

类型一：周期型

晒5.如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正六边形0/3CDE绕点。顺时针旋转〃个45。，得到正六

边形OA“BnC"DnE",当”=2030时，正六边形。4203082030G030D2030E2030的顶点AMO的坐标是（）

【答案】B

【分析】根据题意可知正六边形循环了8次，由2030+8=253……6可知。6和乃河的坐标相同，即可求出

结果.

【详解】解：由题意可知：正六边形绕点。顺时针旋转一圈，旋转了8个45。，

•.•当”=2030时，2030+8=253……6,

AO3O的坐标与。6的坐标相同，

如图所示：过点AALOE于点”过点。作DFLx轴于点尸，

'.'ZDEO=120°,DE=EO=L

:.ZEDO=ZDOE=30°.

'.'ZDFO=90°

NFDE=30°

DF

•••在RtZ\Z)FF中，cos30°=-----

DE

:.DF=DEcos300=—

2

DF

••.在Rt△0DF中，sin60°=-----

OD

3福

0D6=OD=VJ,Z£OD6=60°,

又丁皿"0=90。,在中

HR

cos60°=°”sin60。=一^

OD'OD6

/73

.­.OH=OD6COS60°=—,HD6=OD6Xsin60°=-

22

又•.•点2在第三象限,

，点。6的坐标为

故选：B.

【点睛】本题考查了正多边形与圆，坐标与图形的变化,解直角三角形,学会探究规律的方法,确定2和4。3。

是解决问题的关键.

【变式5-1】如图所示，已知点4-1,2),将长方形/2。。沿x轴正方向连续翻转2022次，点/依次落在

点4,4,4,……，4()22的位置，则/2022的坐标是.

【答案】(3033,0)

【分析】先求出4(2,1),4(3,0),4(3,0),4(5,2),4(8,1),找到规律求解.

【详解】解：由题意得：从/开始翻转，当旋转到4,时，/回到矩形的起始位置，所以为一个循环，故

坐标变换规律为4次一循环.

4(2,1),4(3,0),4(3,0),4(5,2),

4(8,1),4(9,0),4(9,0),4(11,2),

4(14,1),4。(15,0),41(15,0),(17,2),

4"+1(6"+2,1),4“+2(6〃+3,0),4"+3(6”+3,0),A4n+4(6n+5,2),

当《022时，即4〃+2=2022,解得“=505,

.•.横坐标为6〃+3=6X505+3=3033,纵坐标为0,

则422的坐标(3033,0),

故答案为：(3033,0).

【点睛】本题主要考查图形的旋转变换，解题关键是找到图形在旋转的过程中，点坐标变化规律进而求解.

【变式5-2】如图，在平面直角坐标系中，对。进行循环往复的轴对称变换，若原来点N的坐标是。,2),

则经过第2022次变换后点/的对应点的坐标为.

关力轴对称关于x轴对称关力柏对称关于谢对称•…”

【答案】(-1,-2)

1分析】观察图形可知每四次对称为一个循环组，依次循环，用2022除以4,然后根据商和余数的情况确

定出变换后的点/所在的象限，解答即可.

【详解】解：点/第一次关于y轴对称后在第二象限，

点A第二次关于x轴对称后在第三象限，

!点/第三次关于y轴对称后在第四象限，

I点A第四次关于x轴对称后在第一象限，即点A回到原始位置，

I所以，每四次对称为一个循环组依次循环，

厂.•2022+4=505余2,

经过第2022次变换后所得的/点与第二次变换的位置相同，在第三象限，坐标为

|故答案为：（T-2）.

【点睛】本题考查了轴对称的性质，点的坐标变换规律，读懂题目信息，观察出每四次对称为一个循环组

|依次循环是解题的关键，也是本题的难点.

!亲izmir

|咽6.正方形4月G。，&B£2Ci,44GG，按如图所示的方式放置，点4,4,4,…和点G,J,c3,

I…分别在直线y=b+6（左＞0）和X轴上，已知点4（1,1）,B]（3,2）,则砥21的坐标是（）

C.（22021-1,22020）D,（22021+1,22020）

【答案】C

【分析】根据耳（1,1）,B2（3,2）,B3（7,4）........寓的横坐标为2"-1,用的纵坐标为2"一,

再求解即可.

【详解】解：...瓦（覃），即用（2—,2i）

・•・4（01），

,「鸟（3,2）,即易（22-1,2~）

G4=2,

|片=1,

i.•・44=44，

I

IAA2AXBX=45°,

I：.y=x+1f

I.C2B2=A2B2=A3B2,

I4c2=4,

I

j.•.员（7,4）,即2仅3-1,237）

I，纥的横坐标为2"-1,纥的纵坐标为2"一，

⑼的坐标是啰⑼-1，22期），I

|故选:C.

i

【点睛】本题考查图形的变化规律，通过观察所给的图形，探索出正方形边长与点坐标的关系是解题的关

i键.

【变式6-1］如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中方向排列，如（1,0）J

i

I（2,0）,（2,1）,（1,1）,（1,2）,（2,2）...根据这个规律，第2021个点的坐标

i

【答案】（45,4）

【分析】以正方形最外边上的点为准考虑，点的总个数等于最右边上点的横坐标的平方，且横坐标为奇数

1时最后一个点在x轴上，为偶数时，从x轴上的点开始排列，求出与2021最接近的平方数为2025,然后

i写出2021的坐标即可.

【详解】解：根据图形，以最外围的正方形边长上的点为准，点的总个数等于x轴上右下角的点的横坐标

|的平方，例如：右下角的点的横坐标为1,共有1个，1=F；

:右下角点的横坐标为2时，共有4个，4=2?;

右下角的点的横坐标为3时，共有9个，9=32;

右下角的点的横坐标为4时，共有16个，16=42；

右下角的点的横坐标为〃时，共有M个,

452=2025,45是奇数,

.••第2025个点的坐标为(45,0),

二第2021个点的坐标为(45,4),

故答案为：(45,4)

【点睛】本题考查了点的坐标的规律变化，从正方形的观点考虑更简便，注意正方形的右边的点的横坐标

是奇数还是偶数是解题的关键.

【变式6-2］已知:如图，4(1,0),4(1,1),4(-14),4(TT),4(2,-D

⑴继续填与：4,4,4,4,4o，4

(2)试与出点4oi7，"2018

【答案】⑴(2,2)；(-2,2)；(-2,-2)；(3,-2)；(3,3)；(-3,3)

(2)(505,-504)；(505,505)

【分析】(1)根据图示坐标系各象限横纵坐标符号特点即可求解；

(2)找到点的横纵坐标符号的规律即可求解.

【详解】(1)解：根据图示坐标系各象限横纵坐标符号特点知4(2,2),4(-2,2),4(-2,-2),

4(3,-2).4。(3,3),41(-3.3).

故答案为：(2,2)；(-2,2)；(-2,-2)；(3,-2)；(3,3)；(-3,3)；

(2)解：根据(1)可得：在第一象限的点的横坐标依次加1,纵坐标依次加1,

i在第二象限的点的横坐标依次加-1,纵坐标依次加1;

!在第三象限的点的横坐标依次加-1,纵坐标依次加-1,

，在第四象限的点的横坐标依次加1,纵坐标依次加T,

［第一，二，三象限的点的横纵坐标的绝对值都相等，并且第四象限的横坐标等于相邻4的整数倍的各点除

I以4再加上1.

!...点出”（505,-504）,（505,505）,

|故答案为：（505,-504）；（505,505）.

【点睛】本题主要考查了通过图示及坐标系内各象限横纵坐标的特点判断坐标，还考查了寻找规律，难度

|适中.

i_______________________________________________________

I类型三：固定累加型

|屈随7.如图,在平面直角坐标系中,点4,4,4,…和耳，与，与，…分别在直线y=和x轴上.A。/4,

:^44与，△鸟4鸟，…都是等腰直角三角形.如果点4（U）,那么点外吠的纵坐标是（）

【答案】A

【分析】设点4,4,4,....应脸坐标，结合函数解析式，寻找纵坐标规律，进而解题.

【详解】解：过4作1轴于耳，过4作4心1%轴于与，过4作《41%轴于…

如图，

L

_3

=3

•V2022-5y202i，

又丁乂二1,

_仆丫必

故选：A.

【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形以及规律型：点的坐标，通过运算发现

纵坐标的规律是解题的关键.

【变式7-1］在平面直角坐标系中，正方形43。的位置如图所示,点/的坐标为（1,0）,点。的坐标为（0,2）,

延长CS交x轴于点4,作正方形4片CC；延长。耳交x轴于点4,作正方形482c2G,…按这样的规律

⑶

C.5x(/-q)\40404042

。5七）

22

示

r【分析】先利用勾股定理求出38C=/「，再用三角形相似得出42=苧，4刍=I守百，找出规律1

I402152021=(|)2021V5,即可求出第2021个正方形的面积.

【详解】解：,点/的坐标为(1,0),点。的坐标为(0,2),

!:.OA=1,OD=2,BC=AB=AD=G

i・正方形45cZ),正方形4B/C7C,

i：.AOAD+£AiAB=QGQ,AADO+AOAD=90°,

i：.AAiAB=^ADO,

\'：AAOD=AAiBA=90o,

\：./\AOD^/\AiBA,

AOOD

I'

1_2

「•懑一百

\.…也

\•-4B=2，

I:.AlBi=AlC=AlB+BC=-s/5,

9L32L

1同理可得，4S2=-V5=(-)A/5,

|同理可得，4尾=(|)3指，

|同理可得，^020^2020=(j)2020V5,

•.第2021个正方形的面积=：x斯=5x|.

I故选：C.

【点睛】此题考查正方形的性质，坐标与图形性质，相似三角形的判定与性质，解题关键在于找到规律.

1【变式7-2】如图，在平面直角坐标系中，将A/BO绕点A顺时针旋转到△/BiG的位置，点3、O分别落|

i在点片、G处，点用在X轴上,再将△N8C绕点用顺时针旋转到V44c2的位置，点在X轴上，将V/£C2|

，绕点G顺时针旋转到的位置，点4在x轴上，依次进行下去……若点/6,。)，8(0,2),则点打。221

I的坐标为.

L

【分析】由勾股定理可计算出的长，其周长为°=6,△408经过3次旋转后点灯的横坐标为

OA+AB+OB=p=6,即为三角形的周长，纵坐标为2,即以(6,2)；再经过3次旋转后点风的横坐标为

2{OA+AB+OB)=2p=A2,即为三角形的周长2倍，纵坐标为2,即以(12,2)；再经过3次旋转后点屏的横

坐标为3(OA+AB+OB)=3°=18,即为三角形的周长的3倍，纵坐标为2,即从(18,2)；...；一般地，

△/。8经过3"次旋转后点8?"的横坐标为"(OA+AB+OB)=np=6n,即为三角形的周长的"倍，纵坐标为

2,B2n(6n,2).从而根据规律可求得星022的坐标.

【详解】:/(|，°)，/0,2)

3

/.OA=-,OB=2

2

在用中，由勾股定理得：AB=y]OA2+OB2=^22+^=|

35

/\A0B的周长为p=—+—+2=6

22

△405经过3次旋转后点片的横坐标为04+48+08=0=6,即为三角形的周长，纵坐标为2,即&(6,2)；

△/。8再经过3次旋转后点出的横坐标为2(CM+/8+O8)=2p=12,即为三角形的周长2倍，纵坐标为2,

即氏(12,2)；

再经过3次旋转后点瓦的横坐标为3(0/+/2+02)=3/2=18,即为三角形的周长的3倍，纵坐标为2,即

瓦(18,2)；

一般地，经过3〃次旋转后点灯〃的横坐标为〃(OA+AB+OB)=np=6n,即为三角形的周长的"倍，纵坐标

为2,即心"(6〃，2).

■••2022是偶数

.'.52022(6066,2)

故答案为：(6066,2)

【点睛】本题是平面直角坐标系中坐标规律探索问题，先由特殊情况出发，得出一般性规律，再回到特殊

情况，体现了数学中的归纳思想，这是问题的关键.注意数形结合.

美丽厂葡菱京加画一

画8.如图在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“一”方向排列，如(1,0),(2,0)

(2.1)(3.2)(3,1),(3,0)(4,0).根据这个规律探索可得，第2022个点的坐标为

()

(5,3)

⑶2-2)*2)

/1(3l)t(41J

(2,1)：产斗4,1"(5,1)

,J|J|

O(1,0)(2,0)(3,0)0,0)(5J))x

A.(2022,8)B.(63,5)C.(64,5)D.(64,4)

【答案】C

【分析】把第一个点(1,0)作为第一列,(2,1)和(2,0)作为第二列，以此类推，第一列有1个点,

第二列有2个点…第"列有"个点，可得前力列共有硬个点，第〃列最下面的点的坐标为60)

最后按照规律可得第2022个点的坐标.

【详解】解：把第一个点(1,0)作为第一列，(2,1)和(2,0)作为第二列，以此类推，第一列有1

个点，第二列有2个点…第〃列有“个

,前〃列共有1+2+3+…+〃="("+1)个点,第"列最下面的点的坐标为5,0),

2

・1+2+3+…+63=63(63+1)=2016,且列数是偶数时，点的顺序是由下而上，列数是奇数时，点的顺序

2

是由上而下，

.•.第2016个点的坐标为(63,0),

第2017个点的坐标为(64,0)

第2018个点的坐标为(64,1)

第2019个点的坐标为(64,2)

第2020个点的坐标为(64,3),

第2021个点的坐标为(64,4),

r

i令x=0,则产令尸0,则x=-1.

3

V3

i.,.OC=1,OD=—.

3

I/tanZDCO=—=—,

OC3

I।/.ZDCO=30°.

△043/是正三角形，

i：.AAiOBi=QQ°.

i/.ZG47O=Z^7CO=30°,

I.OAi=OC='\.

L•.第一个正三角形的高=1xsin6(T=心；

2

|同理可得：第二个正三角形的边长=1+1=2,高=2xsin6(r=VL

I

i第三个正三角形的边长=1+1+2=4,高=4xsin6(T=2VL

|第四个正三角形的边长=1+1+2+4=8,高=8xsin60o=46；

I,,,

［第〃个正三角形的边长=2庐，高=2〃4百.

1.,.第〃个正三角形顶点N"的纵坐标是2犷入省.

|故选：D.

【点睛】本题是一次函数综合题型，主要考查了等腰三角形的性质，一次函数图象上点的坐标特征.

I

【变式8-2】如图，在平面直角坐标系尤Oy中，点P(l,0).点尸第1次向上跳动1个单位至点耳(1,1),紧接

I着第2次向左跳动2个单位至点心(-1,1),第3次向上跳动1个单位至点心，第4次向右跳动3个单位至点

|乙，第5次又向上跳动1个单位至点与，第6次向左跳动4个单位至点片，…照此规律，点尸第2022次

i跳动至点鸟022的坐标是.

I

【答案】(-506,1011)

【分析】设第"次跳动至点根据部分点的坐标找出变化规律"&(〃+L2”)，&向5+1,2〃+1),

&+2(fT2"+l),&+3(fT，2〃+2)”，照此规律由2022=4x505+2代入求解即可.

【详解】解：设第〃次跳动至点

由图知，4。，1)、巴(-1,1)、A(T2)、6(2,2)、由2,3)、6(-2,3)、,(-2,4)、由3,4)、…,

二可得：点的变化规律为七("+1,2"),&+|(〃+1,2"+1),&+《〃_1,2〃+1),办+3(-〃-1，2〃+2),

•.-2022=4x505+2,

5022(-505-1,2X505+1),即鸟022(-506,1011),

故答案为：(-506,1011).

【点睛】本题考查了平面直角坐标系内点的规律，根据部分点的坐标找到规律是解题关键，属于中考常考

题型.

1题型3:图形的规律探索

1

1

题目腌图形的变化规律

\

解题模板：.利佣规陋出相酬储a

i

//仿照数式规律的遁蛙法得出■迨

1类型一：周期型

丽9.桌面上有一个正方体.每个面均有一个不同的编号(1,2,3,....6),且每组相对面上的编号和为

7.将其按顺时针方向滚动(如图)，每滚动90。算一次，则滚动第2022次后,正方体朝下一面的数字是

IggWB-

第1次第2次第3次

A.5B.4C.3D,2

【答案】B

【分析】先找出正方体相对的面，然后从数字找规律即可解答.

【详解】解：由图可知：

3和4相对，2和5相对，1和6相对，

将骰子沿如图所示的顺时针方向滚动，每滚动90。算一次，骰子朝下一面的点数依次为5,4,2,3,且依

次循环，

.2022+4=505……2,

二.滚动第2022次后，骰子朝下一面的点数是：4,

故选：B.

【点睛】本题考查了正方体相对两个面上的文字，先找出正方体相对的面，然后从数字找规律是解题的关

键.

【变式9-1】如图是按一定规律摆放的图案，按此规律，第2021个图案与第1~4个图案中相同的是第一

个.（只填数字）

【分析】根据题目中的图案，可以发现图案的变化特点，从而可以得到2021个图案与第1~4个图案中相

同的是第几个.

【详解】解：由图可得，每四个图案为一个循环，

.2021+4=505……1,

,第2021个图案与第1~4个图案中相同的是第1个，

故答案为：1.

【点睛】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现图案的变化特点，利用数形结合的思

想解答.

【变式9-2】如图，周长为6个单位长度的圆上的六等分点分别为N,B,C,D,E,E点/落在2的位

置，将圆在数轴上沿负方向滚动，那么落在数轴上-2025的点是.

【答案】F

【分析】由于圆的周长为6个单位长度，所以只需先求出此圆在数轴上环绕的距离，再用这个距离除以6,

看余数是几，再确定和谁重合.

【详解】解：由图形可知，旋转一周，点3对应的数是1,点C对应的数为0,点。对应的数为-1,点E对

应的数据为-2,点尸对应的数为-3,点A对应的数为-4,

在数轴上-2025到2的距离为2027,

2027+6=337•5,对应的点应该为圆上的第6个点，即点尸

故答案为：F

【点睛】本题考查了数轴，找出圆运动的周期与数轴上的数字的对应关系是解答此类题目的关键.

卜

丽10.如图是一组有规律的图案.它们是由边长相同的正方形和正三角形镶嵌而成.第（1）个图案有4个

三角形，第（2）个图案有7个三角形，第（3）个图形有10个正三角形，…依此规律，若第〃个图案有

2023个三角形，贝什=（）

A.670B.672C.673D.674

【答案】D

【分析】由题意可知：第（1）个图案有3+1=4个三角形，第（2）个图案有3x2+l=7个三角形，第（3）

个图案有3x3+1=10个三角形，…依此规律，第〃个图案有（3〃+1）个三角形，进而得出方程