2.1等式性质与不等式性质课件（第1课时）高一上学期数学人教A版

第二章一元二次函数、方程和不等式2.1

等式性质与不等式性质第2课时不等式性质目

录

CONTENTS必备知识·探新知关键能力·攻重难课堂检测·固双基素养作业·提技能必备知识·探新知不等式的性质

(对称性)a>b,

b>c→

;(传递性)a>b→

;(同加保序性)a>·

推论：a+b>c→

a+c>b+.c

(移项法则)a>c—b知识点1·

性

质

1·性质2·

性质3基础知识a>b,c>d→

;

(同向相加保序性)a>b>0,c>d>0→

a+c>b+d

(正数同向相乘保序性)

g>b>0→

(n∈N>ba≥2).(非负乘方保序性)·

性质4

a>b,c>0→

(乘正保序性)a>b,c<0→ac<bc;(乘负

反序性)·

性质5·

性

质

6

●性质7an>bn·思考：(1)性质3的推论实际就是解不等式中的什么法则·(2)性质4就是在不等式的两边同乘以一个不为零的数，不改变不等号的方向，对吗为什么·(3)使用性质6,7时，要注意什么条件·提示：(1)移项法则.·(2)不对.要看两边同乘以的数的符号，同乘以正数，不改变不等号的方向，但是同乘以负数时，要改变不等号的方向.·(3)各个数均为正数.·1.判断正误(对的打“

√

”,错的打“×”)

·(1)若a>b,

则ac²>bc².()·(2)同向不等式相加与相乘的条件是一致的.(

)·(3)设a,b∈R,且a>b,

则a³>b³.(

)·(4)若a+c>b+d,

则a>b,c>d.()√基础自测[解析](

1)由不等式的性质，ac²>bc²→a>b;

反之

，c=0时

，a>b≠ac²>bc².(2)相乘需要看是而相加与正、负和零均无关系.(3)符合不等式的可乘方性.(4)取

a=4,c=5,b=6,d=2,满足a+c>b+d,但不满足

a>b,故此说法错误.·

2

.设b<a,d<c,则下列不等式中一定成立的是(·A.a—c>b—dB.ac>bd·C.a+c>b+d

D.a+d>b+c·3.已知a<0,—1<b

<0,那么下列不等式成立的是(

)·A.a>ab>ab²

B.ab²>ab>a

D·C.ab>a>ab²

D.ab>ab²>a·[解析]

由

-1<b<0,可得b<b²<1,·又a<0,∴ab>ab²>a,

故选D.4.

用不等号“>”或“<”填空：(1)如果a>b,c<d,

那么a—c.>b—d;

(2)如果a>b>0,c<d<0,那么ac

<

bd;(3)如果a>b>0,那

(4)如果a>b>c>0,

那[解析](1)∵c<d,∴一c>-d,∵a>b,∴a-c>b-d.(2)∵c<d<0,∴

一c>—d>0.

∵a>b>0,∴—ac>—bd,∴ac<bd.(3)∵a>b>0,∴ab>0,

,∴

(4)∵a>b>0,所以ab>0,于是关键能力·攻重难题型一不等式性质的应用例

1

若

a<b<0,则下列结论正确的是)A.a²<b²B.ab<b²C.

D.ac²>bc²·[分析]通过赋值可以排除A,D,根据不等式的性质可判断B,C正误.题型探究

>[解析]

若

a<b<0,

对于A选项，当a=—2,b=—1时，不成立；对于B

选项，等价于a>b,故不成立；对于C

选项，故选项正确；对于D选项，当c=0时，不正确.·[归纳提升]判断关于不等式的命题真假的两种方法·(1)直接运用不等式的性质：把要判断的命题和不等式的性质联系起来考

虑，找到与命题相近的性质，然后进行推理判断.·(2)特殊值验证法：给要判断的几个式子中涉及的变量取一些特殊值，然

后进行比较、判断.【对点练习】①设

a,b

是非零实数，若a<b,

则下列不等式成立的是(C)A.a²<b²

B.ab²<a²b

D.

[解析]

当a<0,b>0

时

，a²<b²不一定成立，故A错

.

因为ab²-a²b=ab(b—a),b-a>0,ab

符号不确定，故B

错所以

故C正确

.D

中

上

的大小不能确定.题型二利用不等式的性质证明不等式例

2

设

a>b>c,求证：

·[分析]不等式证明，就是利用不等式性质或已知条件，推出不等式成立.[证明]

因为a>b>c,

所以一c>-b.所以a—c>a—b>0,

所

所

.又b—c>0,所

.所

·[归纳提升]利用不等式的性质证明不等式注意事项·(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式.解决此类问题一定

要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确

地加以应用.·(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，

且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则.[证明]

因为c<d<0,所以

一c>—d>0.又因为a>b>0,所以a—c>b—d>0.所以(a—c)²>(b—d)²>0.所以

又因为e<0,

所【对点练习】②若

a>b>0,c<d<0,e<0,

求

证

：题型三利用不等式的性质求范围已知一1<x<4,2<y<3.·(1)求x—y的取值范围.·(2)求3x+2y

的取值范围。·[解析](1)因为-1<x<4,2<y<3,·所以-3<-y<-2,·所以-4<x-y<2.·(2)由-1<x<4,2<y<3,得-

3<3x<12,4<2y<6,·所以1<3x+2y<18.·[归纳提升]利用不等式的性质求取值范围的策略·(1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围.·(2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减),这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围.【对点练习】③已知10

求

的取值范围.[解析]因为-30<n<-15,

所以15<-n<30,所以10+15<m-n<25+

3

0

,

即

2

5<m—n<55.因为一30<n<—15,所以

,

所,又10<m<25,所

,

即所

以错用同向不等式性质例4

已知12<a<60,15<b<36,

的取值范围是

[错解]∵12<a<60,15<b<36,∴

.故：误区警示力·[错因分析]

把不等式的同向不等式(正项)相乘的性质用到了除法，从而

导致错误.[正解]∵15<b<36,

,又12<a<60,∴

要

,

争·故法点拨]若题目中指定代数式的取值范围，必须依据不等式的性质

进行求解，同向不等式具有可加性与可乘性，但是不能相减或相除，解

题时必须利用性质，步步有据，避免改变代数式的取值范围.·不等关系的实际应用·不等关系是数学中最基本的部分关系之一，在实际问题中有广泛应用，也是高考考查的重点内容.学科素养<·A.ax+by+cz

B.az+by+cx·C.ay+bz+cx

D.ay+bx+cz

B·[分析]

本题考查实际问题中不等关系的建立及利用不等式的性质比较大小.有三个房间

需要粉

刷

，

粉

刷

方

案

要

求

：

每

个

房

间

只

用

一

种

颜色，例5房间颜色各不相同.已知三个房间的粉刷面积(单位：m2)分别为x,y,z,且x<y<z,三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m²)分别为a,

b,c,

且a<b<c.在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是()·[解析]

方法一：因为x<y<z,a<b<c,所以ax+by+cz-(az+by+cx)=a(x-z)+c(z-x)=(x-z)(a-c)>0,故ax+by+cz>az+by+cx;同

理

，ay+bz+cx-(ay+bx+cz)=b(z-x)+c(x-z)=(x-z)(c-b)<0,

故ay+bz+cx<ay+bx+cz.又az+by+cx-(ay+bz+cx)=a(z-y)+b(y-z)=(a-b)(z-y)<0,故az+by+cx<ay+bz+cx.·综上可得，最低的总费用为az+by+cx.·方法二：采用特殊值法进行求解验证即可，若x=1,y=2,z=3,a=1,b=2,c=3,

则ax+by