2024年中考数学复习：二次函数26题专项练习

26题二次函数专项

71

1.如图1,抛物线yn-Vd■—x+2与直线4：y=-一》一3交于点A,点A的横坐标

22

为-1,直线与x轴的交点为。，将直线4向上平移后得到直线右，直线乙刚好经过抛物

线与x轴正半轴的交点3和与y轴的交点C.

(1)干脆写出点A和点。的坐标，并求出点8的坐标；

(2)若点M是抛物线第一象限内的一个动点，连接。0,交直线4于点N,连接40和

AN.设ZWGV的面积为S,当S取得最大值时，求出此时点/的坐标及S的最大值；

(3)如图2,动点P以每秒1个单位长度的速度从点。动身，沿射线08运动；同时，动

点。以每秒百个单位长度的速度从点C动身，沿射线CB运动，设运动时间为f(f>0).过

P点作轴，交抛物线于点H,当点P、。、H所组成的三角形是直角三角形时，

干脆写出/的值.tV

图2

3Q

2、如图1,二次函数y=一］/+彳工+3的图象与x轴分别交于A、8两点，与y轴交于

点C,连接3C,AC。

(1)求线段A5的长和NABC的正切值；

(2)若点Q是该二次函数图像位于线段AC右上方部分的一点，且AQAC的面积为AAOC

...3

面积的一，求点。的坐标;

4

(3)如图2,。是线段BC上一动点，连接AD,过点。作DE，x轴于点E,作小，AC

所在直线于点取AD的中点P,连接尸E、PF,

①请问点。在线段5c上的运动过程中，NEPF的大小是否变更？说明理由；

3、如图，矩形OABC的边OA、°C分别在x、y,轴的正半轴上，且。4=1,℃=2,

,3

y-2ax+bx--

以。为直角顶点作RfACOD,0°=3,已知二次函数2的图象过。、B

两点.

(1)求二次函数的解析式；

⑵如图1,连接在3Q下方的抛物线是否存在点M。使得四边形8CDM的面积S最

大?若存在，恳求出S的最大值及点"的坐标，若不存在，请说明理由；

(3)如图2,E为射线上的一点，过E作轴于点H,点尸为抛物线对称轴上一

点，且在工轴上方。点。在其次象限的抛物线上，是否存在尸、°使得以尸、°、。为顶

点的三角形与ADEH全等?若存在，请干脆写出点。的坐标，假如不存在，请说明理由.

4、如图1,抛物线y^ax2+bx-3交x轴于B、C两点，且B的坐标为(-2,0),直线y=twc+n

过点B和抛物线上另一点4(4,3)

(1)求抛物线和直线的解析式；

(2)若点P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，过P作PQ〃尤轴。且PQ=4(点

Q在点P右侧)，以PQ为一边作矩形PQEF,且点E在直线AB上。求矩形PQEF周长的最

大值，并求出此时点P的坐标；

(3)如图2,在(2)的结论下，连接AP、BP,设QE交x轴于点D,现将矩形PQEF沿射线

DB以每秒1个单位长度的速度平移，当点D到达点B时停止。记平移时间为t,平移后的

矩形PQEF为且Q，E，分别交直线AB、x轴于N、DS设矩形与4ABP

的重叠部分面积为s,当NA=^ND'时,求s的值.

8

图1

图2

5、如图1,在平面直角坐标系中，抛物线)=_32/+氐+36交X轴于A,B两点(点

4

A在点B的左侧)，交y轴于点W,顶点为C,抛物线的对称轴与x轴的交点为D。

(1)求直线BC的解析式。

(2)点E(m,0),F(m+2,0)为x轴上两点，其中(2＜根＜4),EE',EE'分别垂

直于x轴，交抛物线与点E',F',交BC于点M,N,当ME'+Nk的值最大时，在了轴

上找一点R,使得值最大，恳求出R点的坐标及的最大值。

(3)如图2,已知x轴上一点现以点P为顶点，2石为边长在1轴上方作等边

三角形QPC,使GP，x轴，现将沿PA方向以每秒1个单位长度的速度平移，当点

P到达点A时停止，记平移后的aaPG为AQ'P'G',设AQ'PG'与4ADC的重叠部分面积

为s,当点Q'到％轴的距离与点到直线AW的距离相等时，求s的值。

6.如图(1),已知抛物线y=ax?+bx+5与x轴交于A、B(点A在点B的左侧)两点，与y

轴交于点C,已知点A的横坐标为-5,且点D(-2,-3)在此抛物线的对称轴上.

(1)求a、b的值；

(2)若在直线AC上方的抛物线上存在点M,使点M到x轴的距离与M到直线AC的距

离之比为&返，试求出点M的坐标；

3

(3)如图(2),过点B做BKLx轴交直线AC于点K,连接DK、AD,点H是DK的中

点，点G是线段AK上随意一点，将△DGH沿边GH翻折得△DGH,当KG为何值时，△

7.如图，抛物线y=—x?+2x+3与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,点D,C关于抛

物线的对称轴对称，直线AD与y轴相交于点E.

(1)求直线AD的解析式；

(2)如图1,直线AD上方的抛物线上有一点F,过点F作FGLAD于点G,作FH平行

于x轴交直线AD于点H,求△FGH周长的最大值；

(3)如图2,点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一动点，点Q是坐标平面内一点，四边

形APQM是以PM为对角线的平行四边形，点Q，与点Q关于直线AM对称，连接MQ，，P

Q(.当APMQ，与0ApQM重合部分的面积是0ApQM面积的〃时，求2APQM面积.

图1图2备用图

8.如图，抛物线y=+bx+c与％轴交于点A(-5,0),3(1,0),直线/:y=3尤+3与y轴

4

交于点C,与X轴交于点D.

⑴求抛物线的解析式；

⑵若点尸是x轴上方抛物线上对称轴左侧一动点,过点尸分别作PE〃尤轴交抛物线于点E,

作PFL交于点R若PF=EP,求点P的坐标；

⑶如图，级抛物线顶点为G点，连接CG、DG,设抛物线对称轴与直线CZX无轴的交点

为N、Q,以AQ、NQ为边作矩形AQVM.现将矩形AQM1沿直线G。平移得到矩形,

设矩形A'Q'N'M'与△COG的重叠部分面积为T,当3sAi时，求T的值.

9.如图1,抛物线y=af+6x+4交x轴于A、8两点(点A在点8的左侧),交y于点C,

连接AC、BC,其中CO=3O=2AO.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点。为直线3c上方的抛物线上一点，过点。作EAC交3c于E,作QNLx轴于N,

交BC于M,当AEMQ的周长L最大时，求点。的坐标及乙的最大值；

(3)如图2,在(2)的结论下，连接AQ分别交3c于交0C于G,四边形从尸起

先沿射线尸C平移，同时点尸从C起先沿折线CO-运动，且点P的运动速度为四边

形3OGF平移速度的0倍，当点尸到达点8时四边形BOGF停止运动，设四边形

BOG产平移过程中对应的图形为4QG①，当AP尸耳为等腰三角形时，求耳尸长度.

如图1如图2备用图

1,

10、(12分)二次函数丁=一5好一3工+8的图像与x轴交于A、B两点(点A在B的

左侧)，与y轴交于点C,此抛物线的顶点为点D,对称轴交x轴于点E,如图①。

(1)求AC的解析式和抛物线的顶点D的坐标。

(2)点F是抛物线上直线AC上方的一点，求：当AACF的面积最大时，点F的坐标，

并求出AACF的最大面积。

(3)如图②，点H的坐标是(0,6)连接EH和BH,将AEBH沿直线EH翻折，点B的

对应点为点G,作直线CG,在直线CG上是否存在一点M,使得AEHM是直角三角形？若存在，

干脆写出点M的坐标，若不存在，请说明理由。

图①图②备用图

11.已知如图：抛物线y=-1^2+2*+>|与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧)，与

y轴交于点C,点D为抛物线的顶点，过点D的对称轴交x轴于点E.

(1)如图1,连接BD,试求出直线BD的解析式；

(2)如图2,点P为抛物线第一象限上一动点，连接BP,CP,AC,当四边形PBAC的面

积最大时，线段CP交BD于点F,求此时DF：BF的值；

(3)如图3,已知点K(0,-2),连接BK,将ABOK沿着y轴上下平移(包括ABOK),

在平移的过程中直线BK交x轴于点M,交y轴于点N,则在抛物线的对称轴上是否存在点

G,使得AGMN是以MN为直角边的等腰直角三角形？若存在，请干脆写出点G的坐标；

若不存在，请说明理由.

图1

图2图3

]2A/3

12.如图1,在平面直角坐标系中，抛物线y=--x2+――x+3与x轴交于A、B两

OO

点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,抛物线的顶点为点E.

(1)推断AABC的形态，并说明理由；

(2)经过B、C两点的直线交抛物线的对称轴于点D,点P为直线BC上方抛物线上的一

动点，当4PCD的面积最大时，点Q从点P动身，先沿适当的路径运动到抛物线的对称轴

上点M处，再沿垂直于抛物线对称轴的方向运动到y轴上的点N处，最终沿适当的路径运

动到点A处停止.点Q的运动路径最短时，求点N的坐标及点Q经过的最短路径的长；

(3)如图2,平移抛物线，使抛物线的顶点E在射线AE上移动，点E平移后的对应点为

点£/,点A的对应点为4.将△AOC绕点O顺时针旋转至的位置，点A、C的对

应点分别为点4、6,且点4,恰好落在AC上，连接q//、次是否能为等

腰三角形？若能，恳求出全部符合条件的点》的坐标；若不能，请说明理由.

2b般图I

26«#r用图

13.(12分)如图，在平面直角坐标系xoy中，抛物线丁=一3炉+2》+*,分别交x轴

1644

于A与B点，交y轴交于C点，顶点为D,连接AD。

(1)如图1,P是抛物线的对称轴上的一点，当AP1AD时，求P的坐标。

(2)在(1)的条件下，在直线AP上方、对称轴右侧的抛物线上找一点Q,过Q作

QH1x轴，交直线AP于H,过Q作QEP”交对称轴于E,当QHPE周长最大时,在抛

物线的对称轴上找一点M,使|加-最大，并求这个最大值及此时M点的坐标。

(3)如图2：连接把/ZM邮x轴平移到4X45,在平移过程中把/D'A?绕A旋转，

使/ONE的一边始终经过。点，另一边交直线DB于R,是否存在这样的R点,使ADR4'

为等腰三角形，若存在，求出BR的长；若不存在，说明理由。

（备用图）

14.如图1,在平面直角坐标系中，0为坐标原点，抛物线y=ax?+bx+c（a

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WO）的顶点为（-3,——），与x轴交于A,B两点（点A在点B的右侧）与y轴交于点C,

4

D为BO的中点，直线DC解析式为丫=1«+4（kWO）。

⑴求抛物线的解析式和直线CD的解析式

⑵点P是抛物线其次象限部分上使得APDC面积最大的一点，点E为DO的中点，F

是线段DC上随意一点（不含端点），连接EF,一动点M从点E动身沿线段EF以每秒

1个单位长度的速度运动到F点，在沿线段FC以每秒行个单位长度的速度运动到

C点停止，当点M在整个运动中用时最少为t秒时，求线段PF的长及t值。

⑶如图2,直线DN:y=mx+2(mW0)经过点D,交y轴于点N,点R是已知抛物线上一

动点，过点R作直线DN的垂线RH,垂足为H,直线RH交x轴与点Q,当NDRH=NACO

时，求点Q的坐标。

15、已知抛物线y=-—4省与x轴交点A、B,与y轴交于点C,抛物线的顶

点为。，点F(0,26)是y轴正半轴上一点，

(1)点E是线段8C上一点，连接EB、FE,若△五砂的面积为6石，求点E的坐标；

(2)点M是抛物线CO之间一动点，求四边形8DMC面积的最大值及此时点M的坐标；

(3)在(1)的条件下，假设P为y轴上一动点，将△尸8E沿直线PE翻折得到当

△08R为等腰三角形时，求P点的坐标。

16、如图，已知抛物线+6x+3(a*0)与无轴交于点A(-1,O),点8(3,0),与y轴交

于点C,顶点为。，连接3C。

(1)求抛物线的解析式及顶点。的坐标；

(2)如图1,点E,尸为线段3C上的两个动点，旦EF=2叵,过点E,歹作y轴的平行线EM,

FN,分别与抛物线交于点M,N,连接MN,设四边形ERVM面积为S,求S的最大值和

此时点M的坐标；

(3)如图2,连接如，点「为如的中点，点。是线段3C上的一个动点，连接。。,「。，

当AD'P。与ABCD重叠部分的面积是AB。。面积的工

将\DPQ沿PQ翻折得到AD/Q,

4

17.如图1,抛物线y=qx2-]X+6与X轴交于A、B两点(点A在B的左侧)，交y轴交

于点C,点D是线段AC的中点，直线BD与抛物线y=-(x2-]x+6交于另一点E,交y

轴交于点Fo

(1)求直线BE的解析式；

(2)如图2,点P是直线BE上方抛物线上一动点，连接PD、PF,当4PDF的面积最大时，

在线段BE上找一点G(不与E、B重合)，使得PG-三GE的值最小，求出点G的坐标及PG-

5

31

三GE的最小值；

5

（3）如图3,将AOBF绕点B顺时针旋转口度（0°＜夕＜180°）,记旋转过程中的AOBF

为△O|BF「直线与x轴交于点M,与直线BE交于点N。在AOBF旋转过程中，是

否存在一个合适的位置，使得ANINB是一个等腰三角形？若存在，请干脆写出全部符合条

件的点N的坐标；若不存在，请说明理由。

18.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点（点A

在点B的左边），与y轴交于点C,点A、C的坐标分别为（-1,0）,（0,-3）,直线

x=l为抛物线的对称轴.点D为抛物线的顶点，直线BC与对称轴相较于点E.

（1）求抛物线的解析式并干脆写出点D的坐标；

（2）点P为直线x=l右方抛物线上的一点（点P不与点B重合）.记A、B、C、P四点所

构成的四边形面积为S,若5卷刖，求点P的坐标；

(3)点Q是线段BD上的动点，将ADEQ延边EQ翻折得到△D，EQ,是否存在点Q使得

△DEQ与ABEQ的重叠部分图形为直角三角形？若存在，恳求出BQ的长，若不存在，请

说明理由.

_4,8

19、在直角坐标系xoy中，抛物线丁=-1厂+耳％+4与x轴交于两点，与y轴交于

点C连接ACIC。

(1)求NACO的正弦值。

(2)如图1,。为第一象限内抛物线上一点，记点。横坐标为机，作DEIIAC交BC千

点及。〃〃y轴交于5。于点//,请用含机的代数式表示线段的长，并求出当

CH:BH=2:1时线段DE的长。

(3)如图2,P为x轴上一动点(P不与点A、