人教版高中数学选择性必修第二册5.3.2.1函数的极值与导数【同步教学课件】

第五章5.3.2函数的极值与最大(小)值第一课时函数的极值与导数1.借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.2.能利用导数求某些函数的极大值、极小值.课标要求素养要求通过理解函数的极值及其应用导数的求解过程，发展学生的直观想象与数学运算素养.课前预习课堂互动分层训练内容索引课前预习知识探究11.极值点与极值的概念(1)极小值点与极小值如图，函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧_______，右侧_________，则把a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值.f′(x)＜0f′(x)＞0(2)极大值点与极大值如图，函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b的左侧________________，右侧_____________，则把b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值.__________、__________统称为极值点，________和________统称为极值.f′(x)＞0f′(x)＜0极大值点极小值点极大值极小值点睛极值点是函数单调性的转折点，因此若f(x)在(a，b)内有极值，则f(x)在(a，b)内不是单调函数.

2.求函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：(1)如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是________；(2)如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是________.极大值极小值1.思考辨析，判断正误×(1)导数为0的点一定是极值点.(

)提示

反例：f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)＝x3的极值点.(2)函数的极大值一定大于极小值.(

)提示

反例：如图所示：×极大值f(x1)小于极小值f(x2).(3)函数y＝f(x)一定有极大值和极小值.(

)提示

反例：f(x)＝x3既没有极大值，也没有极小值.(4)单调函数不存在极值.(

)×√2.函数f(x)的定义域为R，它的导函数y＝f′(x)的部分图象如图所示，则下面结论错误的是(

)DA.在(1，2)上函数f(x)为增函数B.在(3，4)上函数f(x)为减函数C.在(1，3)上函数f(x)有极大值D.x＝3是函数f(x)在区间[1，5]上的极小值点解析

根据导函数图象知，x∈(1，2)时，f′(x)>0，x∈(2，4)时，f′(x)<0，x∈(4，5)时，f′(x)>0.∴f(x)在(1，2)，(4，5)上为增函数，在(2，4)上为减函数，x＝2是f(x)在[1，5]上的极大值点，x＝4是极小值点.故选D.3.已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为(

) A.(－1，2) B.(－3，6) C.(－∞，－1)∪(2，＋∞) D.(－∞，－3)∪(6，＋∞)D解析f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6，因为f(x)既有极大值又有极小值，∴方程3x2＋2ax＋a＋6＝0有两个不相等的实数根，那么Δ＝(2a)2－4×3·(a＋6)>0，解得a>6或a<－3.4.函数f(x)＝x3－6x＋a的极大值为________，极小值为________.解析

f′(x)＝3x2－6，课堂互动题型剖析2题型一不含参数的函数求极值【例1】

求下列函数的极值：(1)f(x)＝(x3－1)2＋1；解

∵f(x)＝(x3－1)2＋1＝x6－2x3＋2，∴f′(x)＝6x5－6x2＝6x2(x3－1).令f′(x)＝0，得x＝0或x＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，0)0(0，1)1(1，＋∞)f′(x)－0－0＋f(x)

2

1

∴当x＝1时，f(x)有极小值，为f(1)＝1，f(x)无极大值.令f′(x)＝0，得x＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0，1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)

3

从表中可以看出，当x＝1时，函数f(x)有极小值，为f(1)＝3，f(x)无极大值.1.求极值的步骤：(1)确定函数的定义域，求导数f′(x)；(2)求f′(x)＝0在函数定义域内的所有根；(3)用方程f′(x)＝0的根将定义域分成若干小区间，列表；(4)由f′(x)在各个小区间内的符号，判断f′(x)＝0的根处的极值情况.2.表格给出了当x变化时，y′，y的变化情况，表格直观清楚，容易看出具体的变化情况，并且能判断出是极大值还是极小值，最后得出函数的极大值、极小值.思维升华【训练1】

求函数f(x)＝x2e－x的极值.解

函数f(x)的定义域为R，f′(x)＝2xe－x＋x2·e－x·(－x)′＝2xe－x－x2·e－x＝x(2－x)e－x.令f′(x)＝0，得x(2－x)·e－x＝0，解得x＝0或x＝2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，0)0(0，2)2(2，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)

0

4e－2

因此当x＝0时，f(x)取得极小值，且极小值为f(0)＝0；题型二含参数的函数求极值解

f′(x)＝[x2＋(a＋2)x－2a2＋4a]ex.令f′(x)＝0，解得x＝－2a或x＝a－2，分以下两种情况讨论：当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－2a)－2a(－2a，a－2)a－2(a－2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)

极大值

极小值

所以f(x)在(－∞，－2a)，(a－2，＋∞)上是增函数，在(－2a，a－2)上是减函数，函数f(x)在x＝－2a处取得极大值f(－2a)，且f(－2a)＝3ae－2a，函数f(x)在x＝a－2处取得极小值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)ea－2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，a－2)a－2(a－2，－2a)－2a(－2a，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)

极大值

极小值

所以f(x)在(－∞，a－2)，(－2a，＋∞)上是增函数，在(a－2，－2a)上是减函数，函数f(x)在x＝a－2处取得极大值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)ea－2，函数f(x)在x＝－2a处取得极小值f(－2a)，且f(－2a)＝3ae－2a.求解析式中含有参数的函数极值时，有时需要分类才能解决问题.讨论的依据有两种：一是看参数是否对f′(x)的零点有影响，若有影响，则需要分类讨论；二是看f′(x)在其零点附近的符号的确定是否与参数有关，若有关，则需要分类讨论.思维升华解f(x)定义域为(0，＋∞)，令f′(x)>0得x>1，令f′(x)<0得0<x<1.所以f(x)的增区间为(1，＋∞)，减区间为(0，1).(2)若函数f(x)在x＝1处取得极大值，求实数m的取值范围.①m≥0时，ex＋m>0，f(x)在(0，1)递减，在(1，＋∞)递增，函数f(x)在x＝1处取得极小值，不合题意；②当－e≤m<0时，若x∈(1，＋∞)，则ex＋m≥ex－e>0.此时f′(x)>0，函数f(x)在x＝1处不可能取得极大值.③当m<－e时，ln(－m)>1.x(0，1)1(1，ln(－m))f′(x)＋0－f(x)

极大值

函数f(x)在x＝1处取得极大值.综上可知，m的取值范围是(－∞，－e).【例3】

(1)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取极值10，则a＝(

) A.4或－3 B.4或－11 C.4

D.－3题型三由极值求参数的值或取值范围C解析∵f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2，∴f′(x)＝3x2＋2ax＋b.故函数f(x)单调递增，无极值，不符合题意.∴a＝4.故选C.令f′(x)>0，得x>1，f(x)在x＝1处取极小值.f(x)在(0，＋∞)上单调递增，无极值.②若a≠－1，此正数解为x≠1，f′(x)＝0必有2个不同的正数解，f(x)存在2个极值.综上，a＝－1.故选A.A1.已知可导函数的极值求参数问题的解题步骤：(1)求函数的导数f′(x)；(2)由极值点的导数值为0，列出方程(组)，求解参数.注意：求出参数后，一定要验证是否满足题目的条件.2.对于函数无极值的问题，往往转化为f′(x)≥0或f′(x)≤0在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否成立.思维升华【训练3】

若x＝2是函数f(x)＝x(x－m)2的极大值点，求函数f(x)的极大值.解∵f′(x)＝(x－m)(3x－m)，且f′(2)＝0，∴(m－2)(m－6)＝0，即m＝2或m＝6.(1)当m＝2时，f′(x)＝(x－2)(3x－2)，∴x＝2是f(x)的极小值点，不合题意，故m＝2舍去.(2)当m＝6时，f′(x)＝(x－6)(3x－6)，由f′(x)>0得x<2或x>6；由f′(x)<0得2<x<6.∴x＝2是f(x)的极大值，∴f(2)＝2×(2－6)2＝32.即函数f(x)的极大值为32.1.若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有极值，那么y＝f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值.2.已知函数的极值情况，逆向应用确定函数的解析式，研究函数性质时，需注意两点：(1)常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解.(2)因为函数在一点的导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证极值点的合理性.

课堂小结分层训练素养提升3

一、选择题1.(多选题)定义在R上的可导函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，以下结论正确的是(

)ACDA.－3是f(x)的一个极小值点B.－2和－1都是f(x)的极大值点C.f(x)的单调递增区间是(－3，＋∞)D.f(x)的单调递减区间是(－∞，－3)解析

当x<－3时，f′(x)<0，x∈(－3，＋∞)时f′(x)≥0，∴－3是极小值点，无极大值点，增区间是(－3，＋∞)，减区间是(－∞，－3).故选ACD.2.函数f(x)＝lnx－x在区间(0，e)上的极大值为(

) A.－e B.1－e C.－1

D.0C令f′(x)＝0，得x＝1.当x∈(0，1)时，f′(x)>0，当x∈(1，e)时，f′(x)<0，故f(x)在x＝1处取得极大值f(1)＝ln1－1＝0－1＝－1.3.若函数f(x)＝x3－3bx＋3在(－1，2)内有极值，则实数b的取值范围是(

) A.(0，4) B.[0，4) C.[1，4) D.(1，4)

解析

f′(x)＝3x2－3b＝0，即x2＝b.又∵f(x)在(－1，2)内有极值，∴f′(x)在(－1，2)内有变号零点，∴0≤b<4.当b＝0时，f(x)＝x3＋3在R上单调递增，没有极值，故选A.A4.(多选题)已知函数f(x)的定义域为R且导函数为f′(x)，如图是函数y＝xf′(x)的图象，则下列说法正确的是(

)BDA.函数f(x)的增区间是(－2，0)，(2，＋∞)B.函数f(x)的增区间是(－∞，－2)，(2，＋∞)C.x＝－2是函数的极小值点D.x＝2是函数的极小值点解析

由题意，当0<x<2时，f′(x)<0；当x>2，f′(x)>0；当－2<x<0时，f′(x)<0；当x<－2时，f′(x)>0；即函数f(x)在(－∞，－2)和(2，＋∞)上单调递增，在(－2，2)上单调递减，因此函数f(x)在x＝2时取得极小值，在x＝－2时取得极大值；故A错，B正确；C错，D正确.故选：BD.5.若函数f(x)＝ex－ax－b在R上有小于0的极值点，则实数a的取值范围是(

) A.(－1，0) B.(0，1) C.(－∞，－1) D.(1，＋∞)B解析

由题意知f′(x)＝ex－a.当a≤0时，f′(x)>0恒成立，则f(x)在R上单调递增，不符合题意.当a>0时，令f′(x)＝0，解得x＝lna，∴当x∈(－∞，lna)时，f′(x)<0；当x∈(lna，＋∞)时，f′(x)>0.可知x＝lna为f(x)的极值点，∴lna<0，∴a∈(0，1).故选B.二、填空题6.函数f(x)＝ax3＋bx在x＝1处有极值－2，则a，b的值分别为a＝________，b＝________.1－3解析

∵f′(x)＝3ax2＋b，又当x＝1时有极值－2，∵f′(1)＝3a＋b＝0，①a＋b＝－2，②7.函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋3既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是_______________________.(－∞，－1)∪(2，＋∞)解析f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，令f′(x)＝0，即x2＋2ax＋a＋2＝0，∵函数f(x)有极大值和极小值，∴方程x2＋2ax＋a＋2＝0有两个不相等的实数根，即Δ＝4a2－4a－8＞0，解得a＞2或a＜－1.8.函数f(x)＝ax－1－lnx(a≤0)在定义域内的极值点的个数为________.0所以当a≤0时，f′(x)<0在(0，＋∞)上恒成立，所以函数f(x)在(0，＋∞)上是单调递减，所以f(x)在(0，＋∞)上没有极值点.解

函数的定义域为R.令f′(x)＝0，得x＝－1，或x＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－1)－1(－1，1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)

－3

－1

由上表可以看出：当x＝－1时，函数有极小值，且极小值为f(－1)＝－3；当x＝1时，函数有极大值，且极大值为f(1)＝－1.10.设x＝1与x＝2是函数f(x)＝alnx＋bx2＋x的两个极值点. (1)试确定常数a和b的值； (2)判断x＝1，x＝2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由.解

(1)∵f(x)＝alnx＋bx2＋x，由极值点的必要条件可知：f′(1)＝f′(2)＝0，当x∈(0，1)∪(2，＋∞)时，f′(x)<0；当x∈(1，2)时，f′(x)>0；所以，x＝1是函数f(x)的极小值点，x＝2是函数f(x)的极