2024历年高考数学真题汇编：概率

历年高考数学真题精编

19概率

一、单选题

1.（2022•全国）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（）

112

A.—B.—C.-D.-

6323

2.（2022・全国）某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立.已知

该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为月,2,2,且n>P2>Pi>0.记该棋手连胜两

盘的概率为2，则（）

A.〃与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关B.该棋手在第二盘与甲比赛，〃最大

C.该棋手在第二盘与乙比赛，p最大D.该棋手在第二盘与丙比赛，p最大

3.（2023•全国）某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题

准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（）

52-11

A.-B.-C.-D.一

6323

4.（2023•全国）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名.从这4名学生中随

机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（）

,11八12

A.—B.—C."D.-

6323

5.（2022・全国）从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到

的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（）

6.（2021•全国）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）

7.（2021・全国）将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）

A.0.3B.0.5C.0.6D.0.8

8.（2019・全国）生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子

中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为

9.(2018•全国)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德

巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和“，如30=7+23.在不超过30的

素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是

11-11

A.—B.—C.—D.—

12141518

10.(2020・全国)设。为正方形45CZ)的中心，在。，4,B,C,。中任取3点，则取到的

3点共线的概率为()

二、多选题

11.(2023•全国)在信道内传输0,1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概

率为a(0<a<l),收到0的概率为1-1；发送1时，收到0的概率为£(0<£<1),收到1

的概率为1-6.考虑两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1

次，三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传

输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码(例如，若

依次收到1,0,1,则译码为1).

A.采用单次传输方案，若依次发送1,0,1,则依次收到1,0,1的概率为(1-夕)(1-/)2

B.采用三次传输方案，若发送1,则依次收到1,0,1的概率为£(1-£)2

C.采用三次传输方案，若发送1,则译码为1的概率为£(1-〃)2+(1-£)3

D.当0<a<0.5时，若发送0,则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输

方案译码为0的概率

12.(2020・山东)信息蜡是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为

1,2且?(X=z)=0>0(E=l,2,…,=1,定义X的信息嫡石(X)=-fpjog/，.()

A.若〃=1,则77(A)=0

B.若n=2,则8（X）随着p1的增大而增大

C.若R,G=1,2,…,力)，则8(X)随着〃的增大而增大

n

D.若n=2m,随机变量/所有可能的取值为1,2,…，机,P(Y=j')=p.+p2„,+1_y(j=1,2,•■w),

则H(X)gH(Y)

三、填空题

13.（2022・全国）从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的

概率为.

14.（2022•全国）从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率

为.

15.（2023•天津）把若干个黑球和白球（这些球除颜色外无其它差异）放进三个空箱子中，

三个箱子中的球数之比为5:4:6.且其中的黑球比例依次为40%,25%,50%.若从每个箱子

中各随机摸出一球，则三个球都是黑球的概率为；若把所有球放在一起，随机摸

出一球，则该球是白球的概率为.

16.（2022•浙江）现有7张卡片，分别写上数字1,2,2,3,4,5,6.从这7张卡片中随

机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为4，贝1］尸«=2）=,

.

17.（2022•全国）已知随机变量X服从正态分布N（2,〃），且尸（2<XW2.5）=0.36,则

P（X>2.5）=.

18.（2019•全国）甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该

队获胜，决赛结束）.根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设

甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立，则甲队以4：1

获胜的概率是.

四、解答题

19.（2023•全国）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投

篮，若末命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6,乙

每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概

率各为0.5.

(1)求第2次投篮的人是乙的概率；

(2)求第i次投篮的人是甲的概率；

(3)已知：若随机变量％服从两点分布，且尸=1-尸(X,=0)=q,,i=l,2,一〃，则

E=*,.记前〃次(即从第1次到第〃次投篮)中甲投篮的次数为八求后⑺.

Ii=lJi=l

20.(2022・全国)一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习

惯分为良好和不够良好两类)的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例

组)，同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组)，得到如下数据:

不够良好良好

病例组4060

对照组1090

(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异?

(2)从该地的人群中任选一人，/表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，8表示事件“选到

的人患有该疾病”.器必与鬻号的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的

P(B|A)P(B\A)

一项度量指标，记该指标为足

R尸(小2)尸(彳回

(1)证明：K=----=---------------；

P(A\B)P(A\B)

(ii)利用该调查数据，给出尸(小8),尸(小月)的估计值，并利用(i)的结果给出R的估

计值.

附片=Mad-bcY

(cz+b)(c+d)(a+c)(Z?+d)

P(K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

21.(2022・全国)在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得

到如下的样本数据的频率分布直方图：

（1）估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；

（2）估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间［20,70）的概率；

（3）已知该地区这种疾病的患病率为0.1%,该地区年龄位于区间［40,50）的人口占该地区总人

口的16%.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间［40,50）,求此人患这种疾病的概

率.（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确

到0.0001）.

22.（2021•全国）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有N,5两类问题，每位参加比赛的同

学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；

若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结

束幺类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；2类问题中的每个问题回答正确

得80分，否则得0分，已知小明能正确回答/类问题的概率为0.8,能正确回答3类问题

的概率为0.6,且能正确回答问题的概率与回答次序无关.

（1）若小明先回答N类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；

（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.

23.（2022・全国）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10

分，负方得0分，没有平局.三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军.已知甲学校

在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8,各项目的比赛结果相互独立.

（1）求甲学校获得冠军的概率；

（2）用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望.

24.（2021•全国）一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第

0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个

数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数,

P(X=i)=*=0,l,2,3).

(1)已知Po=0.4,Pi=0.3,/?2=0.2,2=0.1,求E(X)；

(2)设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：

A+0[X+°2x2=x的一个最小正实根，求证：当E(X)41时，p=1,当E(X)>1时，

。<1；

(3)根据你的理解说明(2)问结论的实际含义.

25.(2022・全国)甲、乙两城之间的长途客车均由/和8两家公司运营，为了解这两家公司

长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：

准点班次数未准点班次数

A24020

B21030

(1)根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；

(2)能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关?

n{ad-bcf

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K,同0.1000.0500.010

k2.7063.8416.635

26.(2020•全国)某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为B,

C,。四个等级.加工业务约定：对于/级品、2级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90

元，50元，20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂

可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由

哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级,

整理如下：

甲分厂产品等级的频数分布表

等级ABCD

频数4402200220020

（2）分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应

选哪个分厂承接加工业务？

参考答案:

1.D

【分析】由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解.

【详解】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有C；=21种不同的取法，

若两数不互质，不同的取法有:（2,4）,（2,6）,（2,8）,（3,6）,（4,6）,（4,8）,（6,8）,共7种,

故所求概率尸='21一-7=；2.

213

故选：D.

2.D

【分析】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘.分别求得该棋手在第二盘与甲比赛且连胜两

盘的概率。甲；该棋手在第二盘与乙比赛且连胜两盘的概率P乙；该棋手在第二盘与丙比赛且

连胜两盘的概率p丙.并对三者进行比较即可解决

【详解】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘，

记该棋手在第二盘与甲比赛，比赛顺序为乙甲丙及丙甲乙的概率均为y,

则此时连胜两盘的概率为PV

贝I°甲=g[a-%）。由3+a-n）]+g[a-n）°建2+nPia-%）]

=。1（。2+23）-2Plp203；

记该棋手在第二盘与乙比赛，且连胜两盘的概率为0乙，

贝U。乙=（1-P\）P2P3+PIPZQ-P3）=PKPI+2）-2Plp2P3

记该棋手在第二盘与丙比赛，且连胜两盘的概率为P丙

则。丙=（1-Pl）P3P2+（1-02）=+%）—2Plp2P3

则P甲一0乙=P1（P1+A）-2。戌2P3Tp2（P1+03）i2Plp2P3]=（P|一°?）°3<0

。乙一。丙=P2（Pl+P1）~2。/2。3一[。351+）-2巧02。3]=（。2-2）R<°

即。甲<P乙，。乙<。丙，

则该棋手在第二盘与丙比赛，〃最大.选项D判断正确；选项BC判断错误;

。与该棋手与甲、乙、丙的比赛次序有关.选项A判断错误.

故选：D

3.A

【分析】对6个主题编号，利用列举列出甲、乙抽取的所有结果，并求出抽到不同主题的结

果，再利用古典概率求解作答.

【详解】用1,2,3,4,5,6表示6个主题，甲、乙二人每人抽取1个主题的所有结果如

下表：

乙甲123456

1(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)

2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)

3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)

4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)

5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)

6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)

共有36个不同结果，它们等可能，

其中甲乙抽到相同结果有(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6),共6个，

因此甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的结果有30个，概率尸=3工0=35

366

故选：A

4.D

【分析】利用古典概率的概率公式，结合组合的知识即可得解.

【详解】

依题意，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，总的基本事件有C；=6件,

其中这2名学生来自不同年级的基本事件有C；C；=4,

所以这2名学生来自不同年级的概率为二=三

故选：D.

5.C

【分析】方法一：先列举出所有情况，再从中挑出数字之积是4的倍数的情况，由古典概型

求概率即可.

【详解】［方法一］:【最优解】无序

从6张卡片中无放回抽取2张，共有

(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)15种

情况，其中数字之积为4的倍数的有。,4),(2,4),(2,6),(3,4),(4,5),(4,6)6种情况,故概率为

_6__2

15-5'

［方法二］:有序

从6张卡片中无放回抽取2张，共有

(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),(2,1),

(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2),(4,3),(5,3),(6,3),(5,4),(6,4),(6,5)30种情况，

其中数字之积为4的倍数有(1,4),(2,4),(2,6),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(4,6),(5,4),(6,2),(6,4)12

种情况，故概率为1养2=2£

故选：C.

【整体点评】方法一：将抽出的卡片看成一个组合，再利用古典概型的概率公式解出，是该

题的最优解；

方法二：将抽出的卡片看成一个排列，再利用古典概型的概率公式解出；

6.C

【详解】

将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空，

若2个0相邻，则有G=5种排法，若2个0不相邻，则有=10种排法，

所以2个0不相邻的概率为910［=2

5+103

故选：C.

7.C

【分析】利用古典概型的概率公式可求概率.

【详解】解：将3个1和2个0随机排成一行，可以是：

00111,01011,01101,01110,10011,10101,10110,11001,11010,11100,

共10种排法，

其中2个0不相邻的排列方法为：

01011,01101,01110,10101,10110,11010,

共6种方法，

故2个0不相邻的概率为5=66，

故选：C.

8.B

【分析】本题首先用列举法写出所有基本事件，从中确定符合条件的基本事件数，应用古典

概率的计算公式求解.

【详解】设其中做过测试的3只兔子为a,6,c,剩余的2只为48,则从这5只中任取3只

的所有取法有{a,b,c},{a,b,A},{a,b,B},{a,c,A},{a,c,B},{a,A,B},

{b,c,A}A,B},{c,A,B}10种.其中恰有2只做过测试的取法有

{a,b,A},{a,b,B},{a,c,A},{a,c,B},{b,c,A},{b,c,B}共6种，

所以恰有2只做过测试的概率为A=|,选B.

【点睛】本题主要考查古典概率的求解，题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查.应

用列举法写出所有基本事件过程中易于出现遗漏或重复，将兔子标注字母，利用“树图法”，

可最大限度的避免出错.

9.C

【详解】分析：先确定不超过30的素数，再确定两个不同的数的和等于30的取法，最后根

据古典概型概率公式求概率.

详解：不超过30的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,共10个，随机选取两

个不同的数，共有C1=45种方法，因为7+23=11+19=13+17=30,所以随机选取两个不同的

31

数，其和等于30的有3种方法，故概率为;=；,选C.

4515

点睛：古典概型中基本事件数的探求方法：（1）列举法.（2）树状图法：适合于较为复杂的问

题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.（3）列

表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体

化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.

10.A

【分析】列出从5个点选3个点的所有情况，再列出3点共线的情况，用古典概型的概率计

算公式运算即可.

【详解】如图，从。,4民。,。5个点中任取3个有

{O,A,B},{O,A,C},{O,A,D},{O,B,C}

{O,B,D},{O,C,D},{A,B,C},{A,B,D}

{4c,。},{氏c,。}共io种不同取法,

3点共线只有{4。,。}与{B,O,D}共2种情况，

由古典概型的概率计算公式知，

取到3点共线的概率为

故选：A

二

【点晴】本题主要考查古典概型的概率计算问题，采用列举法，考查学生数学运算能力，是

一道容易题.

11.ABD

【分析】

利用相互独立事件的概率公式计算判断AB；利用相互独立事件及互斥事件的概率计算判断

C；求出两种传输方案的概率并作差比较判断D作答.

【详解】对于A,依次发送1,0,1,则依次收到1,0,1的事件是发送1接收1、发送0

接收0、发送1接收1的3个事件的积，

它们相互独立，所以所求概率为(1-£)(1-。)(1-4)=(1-。)(1-£)2,A正确；

对于B,三次传输，发送1,相当于依次发送1,1,1,则依次收到1,0,1的事件，

是发送1接收1、发送1接收0、发送1接收1的3个事件的积，

它们相互独立，所以所求概率为(1-6)。(1-6)=/?(1-外，B正确;

对于C,三次传输，发送1,则译码为1的事件是依次收到1,1,0、1,0,1、0,1,1和

1,1,I的事件和，

它们互斥，由选项B知，所以所求的概率为©；伙1-£)2+(1-夕)3=(1-/7)2(1+20,C错误;

对于D,由选项C知，三次传输，发送0,则译码为0的概率尸=(1-a)2(l+2a),

单次传输发送0,则译码为0的概率P=1-a,而0<a<0.5,

因止匕P—P=(l—a)2(l+2a)-(l-a)=a(l-a)(l—2a)>0,即尸>P,D正确.

故选：ABD

【点睛】

关键点睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成两两互斥事件的

和，相互独立事件的积是解题的关键.

12.AC

【分析】对于A选项，求得H(X),由此判断出A选项；对于B选项，利用特殊值法进行

排除；对于C选项，计算出“(X),利用对数函数的性质可判断出C选项；对于D选项，

计算出利用基本不等式和对数函数的性质判断出D选项.

【详解】对于A选项，若〃=1,则t=所以〃(X)=-(lxlog21)=0,所以A选项

正确.

对于B选项，若〃=2,贝=02=1-01，

所以〃(X)=-[0/log2P|+(l-R”og2(l-R)],

当月=^时，4+4'10§24/

当Pi=(时，H(X)=-^-log2^+~log2^,

两者相等，所以B选项错误.

对于C选项，若夕,=工«=1,2,…,〃)，则

n

77(X)=-|--log^-lxn=-log2-=log,",

\nnJn

则”(x)随着"的增大而增大，所以C选项正确.

对于D选项，若"=2加，随机变量Y的所有可能的取值为1,2,…，以，且尸（丫=j）=Pj+p2m+1_j

(j=l,2,---,m).

〃(x)=一£2•log?Pi=E2.log?—

Z=1i=\Pi

11

―11hi1h.1

=Pl，10g2一+Pl，1°g2--.•*+P2m4•1°g2----Plm^2-----

PlPlPl"Plm

1

+•-+K+A„4)log

“(y)=(A+^2„,)-iog2---+(p2+p2mi)iog2——2

Px+PimPi+Pim4Pm+Pmi

,1,1,1,

------+A,-log-

=Pl-log2-------+P2-log2.-------+,,+Pi,-1-logf-2由于

P\+Pim-PZ+PZQPz+Pz”一Px+Pm.

i

Pi>0(z=l,2,---,2m),所以—>---------，所以log2—>log2

+

PiPiPl,n+l-iPiPi+Pz

所以2•k)g2，>p「log1

•2

PiPi+plm+l-i

所以所以D选项错误.

故选：AC

【点睛】本小题主要考查对新定义“信息嫡”的理解和运用，考查分析、思考和解决问题的能

力，涉及对数运算和对数函数及不等式的基本性质的运用，属于难题.

3

13.—/0.3

10

【分析】根据古典概型计算即可

【详解】解法一：设这5名同学分别为甲，乙，1,2,3,从5名同学中随机选3名，

有：（甲，乙，1）,（甲，乙，2）,（甲，乙，3）,（甲，1,2）,（甲，1,3）,（甲，2,3）,（乙，

1,2）,（乙,1,3）,（乙,2,3）,（1.2,3）,共10种选法；

3

其中，甲、乙都入选的选法有3种，故所求概率尸=面.

故答案为：本3

解法二：从5名同学中随机选3名的方法数为C；=10

甲、乙都入选的方法数为C；=3,所以甲、乙都入选的概率尸=而

故答案为：方3

6

14.

35

【分析】根据古典概型的概率公式即可求出.

【详解】从正方体的8个顶点中任取4个，有〃=C；=70个结果，这4个点在同一个平面的

m176

有“7=6+6=12个，故所求概率尸=—=——=—.

n7035

故答案为：卷.

3

15.0.05-/0.6

【分析】先根据题意求出各盒中白球，黑球的数量，再根据概率的乘法公式可求出第一空;

根据古典概型的概率公式可求出第二个空.

【详解】设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数分别为5",4",6",所以总数为15”,

所以甲盒中黑球个数为40%X5〃=2〃，白球个数为3”；

乙盒中黑球个数为25%x4〃=〃，白球个数为3”；

丙盒中黑球个数为50%x6〃=3〃，白球个数为3〃；

记“从三个盒子中各取一个球，取到的球都是黑球”为事件A,所以，

P（^）=0.4x0.25x0.5=0.05；

记“将三个盒子混合后取出一个球，是白球”为事件8,

黑球总共有2力+〃+3〃=6”个，白球共有9〃个，

所以，p（s）=iv=r

3

故答案为：0.05；—.

1612八5

16.—/I-

3577

【分析】利用古典概型概率公式求尸6=2）,由条件求J分布列，再由期望公式求其期望.

【详解】从写有数字122,3,4,5,6的7张卡片中任取3张共有C：种取法，其中所抽取的卡片

上的数字的最小值为2的取法有C；+C；C；种，所以尸«=2）==£,

由已知可得J的取值有1,2,3,4,

尸C=1）=!1=W尸6=2）弋，

L73，JD

尸《=3）=与31

3535

x"+2X3+3X3+4J12

所以£《）=1

353535357

,,1612

故答案为：--,—.

357

7

17.0.14/—.

50

【分析】根据正态分布曲线的性质即可解出.

【详解】因为X~N（2,〃），所以尸（X<2）=P（X>2）=0.5,因此

P（X>2.5}=P（X>2）-P（2<X<2.5）=0.5-0.36=0.14.

故答案为：0.14.

18.0.18

【分析】本题应注意分情况讨论，即前五场甲队获胜的两种情况，应用独立事件的概率的计

算公式求解.题目有一定的难度，注重了基础知识、基本计算能力及分类讨论思想的考查.

【详解】前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以4:1获胜的概率是

0.63x0.5x0.5x2=0.108,

前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以4:1获胜的概率是0.4x0.62x0.52x2=0.072,

综上所述，甲队以4:1获胜的概率是q=0.108+0.072=0.18.

【点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点

之二是思维的全面性是否具备，要考虑甲队以4:1获胜的两种情况；易错点之三是是否能够

准确计算.

19.(1)0.6

2

⑵

6

2n

⑶+—

1O3

【分析】（1）根据全概率公式即可求出;

（2）设尸（4）=0,由题意可得。用=0.4~+0.2,根据数列知识，构造等比数列即可解出;

（3）先求出两点分布的期望，再根据题中的结论以及等比数列的求和公式即可求出.

【详解】（1）记“第i次投篮的人是甲”为事件4,“第i次投篮的人是乙”为事件及，

所以，尸物）=尸（4名）+尸（4与）=耳4）尺与I4）+五因4为匈

=0.5x（1—0.6）+0.5x0.8=0.6.

（2）设尸（4）=0,依题可知，尸（与）=1—Pj,则

p（4j=尸（44J+尸⑸&）=尸口尸“14卜尸6P%⑸）,

即Pi+i=0.6Pj+（1-0.8）x（1-pj=0.4Pj+0.2,

构造等比数列9+4，

设+，解得4=—；，则P'+1，

又?=!，所以彳2-4是首项为，，公比为。的等比数列，

23613165

(3)因为+g,i=l,2,--,n,

2

1-

n5n

所以当〃EN*时，E(Y^=px+p2-^--1-=—xH..——1H--'

6-I318

故£（丫）=白

lo

【点睛】本题第一问直接考查全概率公式的应用，后两问的解题关键是根据题意找到递推式,

然后根据数列的基本知识求解.

20.（1）答案见解析

（2）（i）证明见解析；（ii）尺=6；

【分析】(1)由所给数据结合公式求出K?的值，将其与临界值比较大小，由此确定是否有99%

的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异；(2Xi)根据定义结合条件概

率公式即可完成证明；(ii)根据(i)结合已知数据求R.

【详解】⑴由已知片=—四5—J。―一6。-。)［4,

(a+b)(c+d\a+c)(Z)+d)50x150x100x100

又P(K2>6.635)=0.01,24>6.635，

所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.

尸(814)P(B|A)_P(AB)尸(/)尸(血)P(A)

⑴因为尺=

(2)P(B|A)'P(B|A)~P(A)'P(AB)'P(A)'P(AB)

所以火=曳竺LS・述・迪

P(B)P(AB)P(B)P(AB)

生

P(A\B)P{A\B)

(ii)

由已知需,玖/闵=此

-60--90

又尸(m8)=空P(A\B)=—

100100

所以火=

P(A|B)P(A|B)

21.⑴47.9岁；

(2)0.89；

(3)0.0014.

【分析】(1)根据平均值等于各矩形的面积乘以对应区间的中点值的和即可求出;

(2)设/={一人患这种疾病的年龄在区间［20,70)},根据对立事件的概率公式

P(A)=1-P(A)即可解出；

(3)根据条件概率公式即可求出.

【详解】(1)平均年龄元=(5x0.001+15x0.002+25x0.012+35x0.017+45x0.023

+55x0.020+65x0.017+75x0.006+85x0,002)x10=47.9(岁).

(2)设/={一人患这种疾病的年龄在区间［20,70)},所以

P(A)=1一尸(彳)=1-(0.001+0.002+0.006+0.002)x10=1—0.11=0.89.

(3)设5="任选一人年龄位于区间［40,50)”，C=“从该地区中任选一人患这种疾病”,

则由已知得：

P⑻=16%=0.16,尸(C)=0.1%=0.001,P(B|C)=0.023x10=0.23,

则由条件概率公式可得

从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间［40,50),此人患这种疾病的概率为

P(BC)_P(C)P(B|C)_0.001x0.23

P(C\B)=-=0.0014375^0.0014.

P(B)P(B)0.16

22.(1)见解析；(2)B类.

【分析】(1)通过题意分析出小明累计得分X的所有可能取值，逐一求概率列分布列即可.(2)

与(1)类似，找出先回答B类问题的数学期望，比较两个期望的大小即可.

【详解】(1)由题可知，X的所有可能取值为0,20,100.

p(X=0)=l-0.8=0.2；

尸(X=20)=0.8(1—0.6)=0.32；

P(X=100)=0.8x0.6=0.48.

若小明先回答3问题，记y为小明的累计得分，则丫的所有可能取值为o,so,wo.

尸(丫=0)=1—0.6=0.4；

p(y=80)=0.6(1-0.8)=0.12；

p(y=100)=0.8x0.6=0.48.

所以E(Y)=0x0.4+80x0.12+100x0.48=57.6.

因为54.4<57.6,所以小明应选择先回答3类问题.

23.(1)0.6；

（2）分布列见解析,E（X）=13.

【分析】（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为4及C,再根据甲获得冠军则至少获

胜两个项目，利用互斥事件的概率加法公式以及相互独立事件的乘法公式即可求出；

（2）依题可知，X的可能取值为0,10,20,30,再分别计算出对应的概率，列出分布列，即

可求出期望.

【详解】（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为4民C,所以甲学校获得冠军的概率

为

P=P（ABC）+P（ABC]+P[ABC]+P[ABC]

=0.5x0.4x0.8+0.5x0.4x0.8+0.5*0.6*0.8+0.5x0.4x0.2

=0.16+0.16+0.24+0.04=0.6.

（2）依题可知，X的可能取值为0,10,20,30,所以，

P（X=0）=0.5x0.4x0.8=0.16,

=10）=0.5x0,4x0.8+0.5x0.6x0.8+0.5x0.4x0.2=0.44,

尸（X=20）=0.5x0,6x0.8+0.5x0.4x0.2+0.5x0.6x0.2=0.34,

p（X=30）=0.5x0.6x0.2=0.06.

即X的分布列为

X0102030

p0.160.440.340.06

期望E（X）=0x0.16+10x0.44+20x0.34+30x0.06=13

24.（1）1；（2）见解析；（3）见解析.

【分析】（1）利用公式计算可得颐X）.

（2）利用导数讨论函数的单调性，结合及极值点的范围可得/（无）的最小正零点.

（3）利用期望的意义及根的范围可得相应的理解说明.

【详解】（1）£（X）=Ox0.4+1x0.3+2x0.2+3x0.1=1.

（2）设/（力=03炉+。2日+（。1-1）X+00,

因为P3+P2+P1+P0=1，故/■3=2/+府-（2+4+。3卜+20，

若E（X）V1,则B+22+32V1,故2+2P3WP0.

2

/'（X）=3p3x+2PN-（%+A+2），

因为/''（0）=-（2+。<）+。3）<0，/⑴=。2+223-丛WO，

故/'（X）有两个不同零点X1,%，M%!<0<l<X2,

且xe（ro,xJ5x2，+co）时，/'（尤）>0；》€（