2024年湖南省长沙市中考数学模拟试卷及答案解析

2024年湖南省长沙市中考数学模拟试卷

一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项符合题意的。请在答题卡中填涂符合题

意的选项。本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1.（3分）下列实数中，为有理数的是（）

A.V3B.JIC.3^2D.1

2.（3分）若分式」_在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）

x-1

A.xWOB.x#lC.x>lD.x<l

3.（3分）下列立体图形中，俯视图与主视图不同的是（）

4.（3分）下列说法正确的是（）

A.打开电视机，正在播放“张家界新闻”是必然事件

B.天气预报说“明天的降水概率为65%”，意味着明天一定下雨

C.两组数据平均数相同，则方差大的更稳定

D.数据5,6,7,7,8的中位数与众数均为7

5.（3分）2023年前三季度全国GDP30强城市排名已经揭晓，长沙GDP约为10800亿名

列第十五，同比增速为6.32%,数据10800用科学记数法表示为()

A.0.108X105B.10.8X103C.1.08X104D.1.08X103

6.（3分）下列运算正确的是（）

A.a203=a6B.a2+a3=a5C.（a+b）2=a2+b2D.(a3)2=a6

7.（3分）在直角坐标系中，点A（2,-3）关于原点对称的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

8.（3分）如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD四条边的中点，则四边形EFGH一定是

（）

yD

F

第1页（共5页）

A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形

9.（3分）如图所示，四边形ABCD为。0的内接四边形，ZBCD=120。，则NB0D的大

小是（）

10.（3分）我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今

有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日

相逢，各穿几何“，翻译过来就是：有五尺厚的墙，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿

墙，大、小鼠第一天都进一尺，以后每天，大鼠加倍，小鼠减半，则几天后两鼠相遇，

这个问题体现了古代对数列问题的研究，现将墙的厚度改为20尺，则需要几天时间才能

打穿（结果取整数）（）

A.4B.5C.6D.7

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

11.（3分）分解因式：1-X2=.

12.（3分）如图，在。0中，圆心角NA0B=70°,那么圆周角NC=

13.（3分）睡眠管理作为“五项管理”中重要的内容之一，也是学校教育重点关注的内容.某

老师了解到某班40位同学每天睡眠时间（单位：小时）如下表所示，则该班级学生每天

的平均睡眠时间是小时.

睡眠时间8小时9小时10小时

人数62410

14.（3分）已知关于x的方程x2+3x-m=0的只有一个解，则m的值是.

15.（3分）如图所示，点A是反比例函数y=K图象上一点，作ABJ_x轴，垂足为点B,若

X

△A0B的面积为2,则k的值是.

第2页（共5页）

16.（3分）若一次函数y=x+l与y=-x-1交于A点，则A点的坐标为.

三、解答题（本大题共9小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，

第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分。解答应写出必要的文字说明、

证明过程或演算步骤）

17.（6分）计算：12-爪昼）l（&-2024）°W^・tan300・

18.（6分）先化简，再求值：（11_5_,其中x=2.

xTX2-2X+1

19.（6分）如图所示，湘府中路是一段东西走向的公路，在省政府（A处）测得小明家（P

处）在北偏东60。方向上，继续往东走3km到了德思勤（B处）测得我家（P处）在北

偏东30。方向上，请问小明家到湘府路有多远？（参考数据：V3^1.7S结果精确到

0.1km）

20.（8分）“赏中华诗词，寻文化基因，品生活之美”，某校举办了首届“中国诗词大会”，

经选拔后有50名学生参加决赛，根据测试成绩（成绩都不低于50分）绘制出如图所示

的部分频数分布直方图.

请根据图中信息完成下列各题.

（1）将频数分布直方图补充完整人数；

（2）若测试成绩不低于80分为优秀，则本次测试的优秀率是多少；

（3）现将从包括小明和小强在内的4名成绩优异的同学中随机选取两名参加市级比赛，

求小明与小强同时被选中的概率.

第3页（共5页）

21.(8分)如图，在平行四边形ABCD

(1)AABE^AAFE；

(2)ZAFD=ZECD.

22.(9分)为了响应“足球进校园”的目标，某校计划为学校足球队购买一批足球，已知

购买2个A品牌的足球和3个B品牌的足球共需380元；购买4个A品牌的足球和2个

B品牌的足球共需360元.

(1)求A,B两种品牌的足球的单价.

(2)2023年学校购买足球的预算为6400元，总共购买100个球且购买A品牌足球的数

量不多于B品牌足球数量的2倍，有几种购买方案.

23.(9分)如图，已知。0是4ABC的外接圆，AD是。0的直径，且BD=BC,延长AD

到E,且有NEBD=/CAB.

(1)求证：BE是00的切线；

(2)若BC=2几，AC=10,求圆的直径AD；

(3)在(2)的条件下求切线BE的长.

第4页(共5页)

24.(10分)我们约定：若关于x的二次函数y[=a]X2+b]X+C]与y2=a2x2+b2x+c2同时满足

a1#。，a2^0,\+a21kbi-b2+(cjc2)2=0,则称函数y1与y2互为"回旋”函数.根

据该约定，解答下列问题：

(1)求二次函数y=x2-4x+3的“回旋”函数的解析式；

(2)若关于x的二次函数y=ax2+2ax+c的顶点在它的“回旋"函数图象上，且当

时，-4WyzW4,求a,c的值；

aa~

(3)关于x的函数yi=ax2+bx+c(a>0)的图象顶点为M,与x轴的交点为A、B,当

它的“回旋”函数丫2的顶点为N,与X轴的交点为C、D,从左往右依次是D、C、B、A,

若AC=3BC,是否存在b使得AMDN为矩形？

25.(10分)如图，在平面直角坐标系中A(1,0),B(k2,o),P(x,y)为平面坐标系中

任意一点且k>0,krL

(1)若k=2且P(V2,V2),求证：PA=APB；

2

(2)若PB=k®,求证：x2+y2=k2；

(3)在问题(2)的条件下，x轴上一点C(-3,0),求|pcfpB|取得最小值时P

点的坐标.

第5页(共5页)

2024年湖南省长沙市中考数学模拟试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项符合题意的。请在答题卡中填涂符合题

意的选项。本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1.【分析】根据有理数是有限小数或无限循环小数，无理数是无限不循环小数，可得答案.

【解答】解：V3,川旭是无理数，

1是有理数，

故选：D.

【点评】本题考查了实数，正确区分有理数与无理数是解题关键.

2.【分析】分式有意义，分母不为零.

【解答】解：当分母x-IWO,即x/l时，分式」一在实数范围内有意义；

X-1

故选：B.

【点评】考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：

（1）分式无意义口分母为零；

（2）分式有意义口分母不为零；

（3）分式值为零口分子为零且分母不为零.

3.【分析】根据三视图的特点解答即可.

【解答】解：圆锥的主视图是三角形，俯视图是圆，

二圆锥的俯视图与主视图不同，

故选：D.

【点评】本题主要考查的三视图，熟练掌握三视图的特点是解答本题的关键.

4.【分析】必然事件发生的概率为1,即P（必然事件）=1；事件发生的可能性越大，概

率越接近于1,事件发生的可能性越小，概率越接近于0;平均数是指在一组数据中所有

数据之和再除以数据的个数；一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，

叫做这组数据的方差；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据

的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶

数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数；一组数据中出现次数最多的数据

叫做众数；依此即可求解.

第1页（共13页）

【解答】解：A.打开电视机，正在播放“张家界新闻”是随机事件，故A错误；

B.天气预报说“明天的降水概率为65%”，意味着明天可能下雨，故B错误；

C.两组数据平均数相同，则方差大的更不稳定，故C错误；

D,数据5,6,7,7,8的中位数与众数均为7,正确.

故选：D.

【点评】本题考查了概率及其应用，正确理解概率的意义是解题的关键.同时考查了必

然事件、平均数、方差、中位数、众数等知识点.

5.【分析】将一个数表示成aXIOn的形式，其中IWbKlO,n为整数，这种记数方法叫做

科学记数法，据此即可求得答案.

【解答】解：10800=1.08X104,

故选：C.

【点评】本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键.

6.【分析】根据同底数零的乘法法则，完全平方公式，幕的乘方公式进行运算即可；

【解答】解：a2Q3=a2+3=a5.A错误;

a2+a3=a2+a3.B错误；

(a+b)2=a2+b2+2ab；C错误；

3

(a)2=a3x2=a6.D正确；

故选：D.

【点评】本题考查整式的运算；熟练掌握同底数嘉的乘法，寡的乘方和积的乘方，完全

平方公式是解题的关键.

7.【分析】平面直角坐标系中任意一点P(X,y),关于原点的对称点是(-x,-y),即：

求关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数.据此即可确定对称点的象限.

【解答】解：,••点A(2,-3)关于原点对称的点的坐标是(-2,3),其横坐标小于0,

纵坐标大于0,

二点A(2,-3)关于原点对称的点位于第二象限.

故选：B.

【点评】本题主要考查了在直角坐标系中，关于原点对称的点的特点，以及对于点在第

几象限的判断.

8.【分析】顺次连接任意四边形四边中点所得的四边形，一组对边平行并且等于原来四边形

某一对角线的一半，说明新四边形的对边平行且相等.所以是平行四边形.

第2页(共13页)

【解答】解：如图，连接AC,口

：E、F、G、H分别是四边形ABCD边的中点，

.HG//ACHL%//AC-AC-

2EFEFT\'/\

；.EF=HG且EF〃HG；_/、/7

--------p----------C

四边形EFGH是平行四边形.

故选：A.

【点评】此题主要考查了平行四边形的判定以及三角形的中位线定理，根据已知利用三

角形中位线定理得出EH〃BD,EH=』BD,FG〃BD,FG=—BD是解决问题的关键.

22

9.【分析】根据圆内接四边形的性质求出/A,再根据圆周角定理解答.

【解答】解：：四边形ABCD为。。的内接四边形，

...NA=180°-ZBCD=60°,

由圆周角定理得，ZBOD=2/A=120。，

故选：B.

【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互

补是解题的关键.

10.【分析】设需要n天时间才能打穿，根据大、小鼠每天打洞的长度，可列出关于n的方

程，利用错位相减法，可求出1+2+22+……+2n-l=2n_1,1+1+(1)2+……+(1)n-

222

1=2-(」■)n-1,代入后可得出2n-(_L)n-i=i9,分别代入n=4,n=5,求出211-

22

(A)-I的值，对照后即可得出结论.

2

【解答】解：设需要n天时间才能打穿，

根据题意得：1+2+22+……+2n-l+l+_l+(1)2+……+(1)n一1=20.

222

令a=l+2+22+...+2n-i,则2a=2+22+...+2*1+21

；.2a-a=2+22+...+2*1+2“(1+2+22+....+2n-i)=2n-1,

/.a=2n-1.

令b=l+1+(-1)2+..........+(A)n-l,则_lb=J>+(A)2+..........+(A)n-l+(A)n,

22222222

.,.b--lb=l+A+(工)2+..........+(工)n-1_4+(A)2+..........+(_!)n-l+(』)n]=l-

22222222

第3页（共13页）

(1)n,

2

/.b=2-(—)n-l.

2

.,.2n-1+2-(A)n-i=20,

2

.,.2n-(A)n-l=19.

2

ii7

当n=4时，2n-(—)n-i=24-(A)4一i=i6-2=15-!-<20；

2288

当n=5时，2n-(—)n-i=25-(A)5-i=32-_l_=3i工>20.

221616

需要5天时间才能打穿（结果取整数）.

故选：B.

【点评】本题考查了规律型：数字的变化类以及数学常识，利用错位相减法，找出2n-

（Jl）n一1=19是解题的关键.

2

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

11•【分析】分解因式l-x2中，可知是2项式，没有公因式，用平方差公式分解即可.

【解答】解：l-x2=（1+x）（1-x）.

故答案为：（1+x）（1-X）.

【点评】本题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握平方差公式的结构特点是解题的

关键.

12.【分析】根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半列式计算即可得解.

【解答】解：：圆心角NA0B=70°,

/.ZC=—ZAOB=AX70°=35°.

22

故答案为：35°.

【点评】本题利用了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都

等于这条弧所对的圆心角的一半.

13.【分析】根据加权平均数的公式计算即可.

【解答】解：8X6+9X24+10X10=9.1（小时）,

40

即该班级学生每天的平均睡眠时间是9.1小时.

故答案为：9.L

【点评】本题考查了加权平均数，掌握加权平均数的定义是解答本题的关键.

第4页（共13页）

14•【分析】根据根的判别式的意义得到△=32-4X(-m)=0,然后解方程得到m的值.

【解答】解：根据题意得：A=32-4X(-m)=0,

解得m=-?,

4

故答案为：-9.

4

【点评】本题考查了一元二次方程的解及根的判别式的知识，解题的关键是根据题意得

A=32-4X(-m)=0,难度不大.

15.【分析】过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直

角三角形面积S是个定值，即5=上同

2

【解答】解：...点A是反比例函数y=K图象上一点，作ABLx轴，垂足为点B,

X

•••SAAOB=方=2；

△2

又..•函数图象位于一、三象限，

/.k=4,

故答案为4.

【点评】本题考查了反比例函数系数的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂

线，所得三角形面积为2L,是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，

2

做此类题一定要正确理解k的几何意义.

16.【分析】求两直线交点坐标，另两直线关系式联立，解方程组即可求解.

【解答】解：根据题意得，(y=X+1,

y=-x-l

解得卜

ly=0

；.A(-1,0).

故答案为：(-1,0).

【点评】本题考查了两直线相交的问题，解题的关键是列方程求出交点坐标.

三、解答题(本大题共9小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，

第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分。解答应写出必要的文字说明、

证明过程或演算步骤)

17.【分析】根据绝对值、负整数指数嘉、零指数嘉和特殊角的三角函数值计算.

第5页(共13页)

【解答】解：原式=n-2+2-1+向X

JI-2+2-1+1

【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法

和除法法则、零指数号和负整数指数嘉是解决问题的关键.

18.【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把x的值代入化

简后的式子进行计算，即可解答.

【解答】解：(1-^-)4-

X-lv^-9v+1

x-l+lAx-1)2

X-lX(x+1)

/2

X-1X(x+1)

_X-1

x+1

当x=2时，原式=2二［=」

2+13

【点评】本题考查了分式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键.

19.【分析】过点P作PD±AB,根据三角形的外角性质得到NBPA=NPAD,得到PB=AB

=3km,根据正弦的定义计算，得到答案.

【解答】解：如图，过点P作PDLAB,交AB的延长线于点D,

由题意得：ZPBD=60°,ZPAD=30°,

/.ZBPA=ZPBD-ZPAD=60°-30°=30°,

E：F：北

/.ZBPA=ZPAD，：：P；

；.PB=AB=3km,

在RtZkPBD中，ZPBD=30°,

BD

Vsin/PBD=西

PB

/.PD=PBQin/PBD=3*三心2.6(km),

2

答：小明家到湘府路约为2.&m.

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，熟记锐角三角函数的定义是

解题的关键.

第6页(共13页)

20.【分析】（1）根据各组频数之和等于总数可得70〜80分的人数，据此即可补全直方图;

（2）用成绩大于或等于80分的人数除以总人数可得；

（3）列出所有等可能结果，再根据概率公式求解可得.

【解答】解：（1）70到80分的人数为50-（4+8+15+12）=11人，

补全频数分布直方图如下：

50

（3）设小明和小强分别为A、B,另外两名学生为：C、D,

则所有的可能性为：AB、AC、AD、BC、BD、CD,

所以小明与小强同时被选中的概率为工.

6

【点评】本题考查了频数分布表、频数分布直方图，解题的关键是明确题意，找出所求

问题需要的条件，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作

出正确的判断和解决问题，也考查了列表法和画树状图求概率.

21.【分析】（1）根据角平分线的性质可得/1=/2,再加上条件/B=/AFE,公共边AE,

可利用AAS证明AABE^AAFE；

（2）根据平行四边形的性质可得结论.

【解答】证明：（1）VEA是NBEF的角平分线，

ZBEA=NAEF,

在4ABE和4AFE中，

'NBEA=/AEF

■ZB=ZAFE,

AE=AE

.,.△ABE^AAFE(AAS)；

第7页（共13页）

（2）..•四边形ABCD是平行四边形，

ZB+ZECD=180°,

•/ZB=ZAFE,ZAFE+ZAFD=180°,

ZAFD=ZECD.

【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，以及全等三角形的判定与性质，关键是正

确证明4ABEgZXAFE.

22.【分析】（1）设A品牌的足球的单价为x元外，B品牌的足球的单价为y元/1,根据“购

买2个A品牌的足球和3个B品牌的足球共需380元；购买4个A品牌的足球和2个B

品牌的足球共需360元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

（2）根据总价=单价X数量，列式计算，即可求出结论.

【解答】解：（1）设A品牌的足球的单价为x元/B品牌的足球的单价为y元/

'2x+3y=380

根据题意得：

4x+2y=360"

解得:x=40

y=100

答：A品牌的足球的单价为40元外，B品牌的足球的单价为100元分.

（2）设购买A品牌足球a个，则购买B品牌足球（100-a）个.则

a<2（100-a）

40a+100（100-3）<6400'

••・60"衅,

：.a可取60,61,62,63,64,65,66共7种购买方案.

答：有7种购买方案.

【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，列出

关于x、y的二元一次方程组；（2）根据总价=单价X数量，列式计算.

23.【分析】（1）先根据等弦所对的劣弧相等，再结合/EBD=ZCAB从而得到/BAD=Z

EBD,最后用直径所对的圆周角为直角即可；

（2）利用三角形的中位线先求出0F,再用平行线分线段成比例定理求出半径R,进而

得出直径AD；C

（3）最后根据相似求出BE即可.

【解答】（1）证明：如图1,连接OB,A佟-总

VBD=BC，

第8页（共13页）

ZCAB=ZBAD,

ZEBD=NCAB,

ZBAD=NEBD,

VAD是。0的直径，

ZABD=90°,0A=B0,

ZBAD=ZAB0,

/.ZEBD=ZAB0,

1•NOBE=NEBD+Z0BD=ZABD+Z0BD=ZABD=90

•・•点B在。0上，

/.BE是。0的切线，

(2)解：如图2,

设圆的半径为R,连接CD,

VAD为。。的直径，

ZACD=90°

VBC=BD,

/.OB±CD,

/.OB〃AC,

VOA=0D,

/.OF=且AC=5.

2

•・•四边形ACBD是圆内接四边形,

ZBDE=ZACB,

ZEBD=NCAB,

ADBE^ACAB,

.DB=DE

**ACBC，

.2V3_DE

"~L0~273-

.,.DE=1.2

「NOBE=Z0FD=90°,

/.DF〃BE,

第9页（共13页）

•PL=OD=DL

"OBOEBE

.OF=OD

"OBOE

.5—R

■RR+l.2'

VR>0.

，R=6,

二直径AD=12；

(3)解：如图3,

在RtTXODF中，OF=5,OD=R=6,

•'-DF=而02_"2卜=

..OFDF

'OB-BE'

图3

.♦.BE=pB・DF==.

OF

【点评】此题属于圆的综合题，主要考查了圆周角的性质，切线的判定，平行线分线段

成比例定理，相似三角形的判定和相似，圆内接四边形的性质，解答本题的关键是正确

作出辅助线.

24•【分析】（1）由新定义即可求解;

(2)求出新函数的表达式为：y=-a(x-1)2+2a,得到-1WXW2时，-4^y2^4,

再分类求解即可；

(3)证明NH2=AHEH,即可求解.

+a+(c+c)

【解答】解：(1)Vki2ltJbi-b2i22=0,

则即=_02,b1=b2,C]=-c2,

贝Iy=x2-4x+3的“回旋”函数的解析式为：y=-x2-4x-3；

(2)y=ax2+2ax+c的“回旋”函数为：y=-ax2+2ax-c,

由y=ax2+2ax+c知，其顶点坐标为：(-1,c-a),

将该点代入y=-ax2+2ax-c得：c-a=-a-2a-c,

解得：a=-c,

则函数的表达式为：y=-a（x-1）2+2a,

即-1WXW2时，-4・丫2・4,

第10页（共13页）

当a>0时，

当x=l时，y=-a(x-1)2+2a=2a=4，

解得：a=2,则c=-2；

当a<0时，

当x=l时，y=-a(x-1)2+2a=2a=-4,

解得：a=-2,则c=2；

综上，a=2,c=-2或a=-2,则c=2；

(3)如下图：

设点A、B、C、D的横坐标分别为：xPx2,x3,x4,A=b2-4ac,

b±

则点M的坐标为：(-旦，二A_)且xp2=SV^,点N的坐标为：(_L,A)

2a4a2a2a4a

日x=b±>/△

且X3，4---------

2a—

则AC=x3-乂2=上，BC=x3-X2