2024年中考数学复习 视图与投影培优讲义

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1.投影：一般地，用光线照射物体，在某个平面（地面、墙壁等）上得到的影子叫作物体的投影，照射光线叫作投影线，投影所在

的平面叫作投影面.

平行投影：有时光线是一组互相平行的射线，例如太阳光和探照灯中的光线，由平行光线形成的投影.

中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影.

平行投影与中心投影的区别与联系：

区别

联系

光线物体与投影面平行时的投影

平行投影平行的投射线全等

都是物体在光线的照射下，在某个平面内形

成的影子（即都是投影）

中心投影从一点出发的投射线放大（位似变换）

正投影：投影线垂直于投影面产生的投影。物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置和角度有关.

斜投影：投影线不平行于投影面产生的投影.

2.三视图：三视图是观测者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形.

从物体的前面向后面投射所得的视图称主视图一能反映物体的前面形状.

从物体的上面向下面投射所得的视图称俯视图--能反映物体的上面形状.

从物体的左面向右面投射所得的视图称左视图一能反映物体的左面形状.

三视图就是主视图、俯视图、左视图的总称.

3.三视图--画法：主俯长对正、主左高平齐、俯左宽相等.

俯视图

即：主视图和俯视图的长要相等；主视图和左视图的高要相等；左视图和俯视图的宽要相等.

在许多情况下，只用一个投影不加任何注解，是不能完整清晰地表达和确定形体的形状和结构的，一般必须将形体向几个方向投

影，才能完整清晰地表达出形体的形状和结构.

4.由三视图判断几何体：根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的长、宽、高.

娥

例题精讲

例1在平整的地面上，由若干个完全相同的棱长为2cm的小正方体堆成了一个几何体，如图所示.

⑴请画出这个几何体的三视图.

⑵如果在这个几何体露出的表面喷上黄色的漆，则在所有的小正方体中，有一个正方体只有一个面是黄色，有一个正方体只

有两个面是黄色，有一个正方体只有三个面是黄色.

⑶若现在你手头还有一些相同的小正方体，如果保持俯视图和左视图不变，最多可以再添加一个小正方体，这时再将此新几何

体后面全部靠墙，如果要重新给这个几何体露出的表面喷上红漆，需要喷漆的面积比原几何体增加还是减少了?增加或减少的面积是

主视图左视图俯视图

举一反三1（永州中考）如图所示是一个直四棱柱及其正视图和俯视图（等腰梯形）.

⑴根据图中所给数据，可得俯视图（等腰梯形）的高为一；

⑵在虚线框内画出其左视图，并标出各边的长.

左视图

例2阅读以下文字并解答问题.

在“测量物体的高度”活动中，某数学兴趣小组的4名同学选择了测量学校里的四棵树的高度.在同一时刻的阳光下，他们分别做

了以下工作：

图1图2图3图4

小芳：测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，甲树的影长为4.08米（如图1）.

小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图2）,墙壁上的影长为1.2米，落在地面上的影

长为2.4米.

小丽：测量的丙树的影子除落在地面上外，还有一部分落在教学楼的第一级台阶上（如图3）,测得此影子长为0.2米，一级台阶

高为0.3米，落在地面上的影长为4.4米.

小明：测得丁树落在地面上的影长为2.4米，落在坡面上影长为3.2米（如图4）.身高是1.6m的小明站在坡面上，影子也都落坡面

上，小芳测得他的影长为2m.

⑴甲树的高度为一米.

⑵画出测量乙树高度的示意图，并求出乙树的高度.

（3）丙树的高度为一.

A.6.5米B.5.75米C.6.05米D.7.25米

⑷你能计算出丁树的高度吗?试试看.

举一反三2在一个阳光明媚的上午，数学陈老师组织学生测量小山坡的一棵大树CD的高度，山坡OM与地面ON的夹角为30。

QM0N=30。）,站立在水平地面上身高1.7米的小明AB在地面的影长BP为1.2米，此刻大树CD在斜坡的影长DQ为5米，求大树

的高度.

X

BP

例3（1）如图1是两棵树在同一盏路灯下的影子.

①确定该路灯泡所在的位置O；

②如果此时小颖所在位置恰好与这两棵树所在的位置共线(三点在一条直线上),请画出图中表示小颖影子的线段AB.

⑵如图2，小明从点A出发沿AB方向匀速前进,2秒后到达点D,此时他在某一灯光下的影子为DA，继续按此速度行走2秒

到达点F,此时他在同一灯光下的影子落在其身后的线段DF上,测得此时影长MF为1.2米，然后他将速度提高到原来的1.5倍，再

行走2秒到达点H.他在同一灯光下的影子恰好是HB.图中线段CD,EF,GH表示小明的身高.

①请在图中画出小明的影子MF；

②若A,B两地相距12米，则小明原来的速度为一.

举一反三3某兴趣小组开展课外活动.如图，小明从点M出发以1.5米/秒的速度，沿射线MN方向匀速前进，2秒后到达点B,

此时他(AB)在某一灯光下的影长为MB，继续按原速行走2秒到达点D,此时他(CD)在同一灯光下的影子GD仍落在其身后，并测得

这个影长GD为1.2米，然后他将速度提高到原来的1.5倍，再行走2秒到达点F,此时点A,C,E三点共线.

(I)请在图中画出光源O点的位置，并画出小明位于点F时在这个灯光下的影长FH(不写画法)；

(2)求小明到达点F时的影长FH的长.

ACE

MBGDFN

例4(杭州中考)如图是一个几何体的三视图.

⑴写出这个几何体的名称；

⑵根据所示数据计算这个几何体的表面积；

⑶如果一只蚂蚁要从这个几何体中的点B出发，沿表面爬到AC的中点D,请你求出这个线路的最短路程.

主视图左视图

俯视图

举一反三4一个几何体的三视图如图所示.

⑴写出这个几何体的名称;

⑵求这个几何体侧面展开图的周长和面积.

俯视图

基础夯实

1.小明拿一个等边三角形木框在阳光下玩，等边三角形木框在地上的投影不可能是（）

A.线段B.一个点

C.等边三角形D.等腰三角形

2.（德阳中考）如图是一个几何体的三视图，根据图中所示数据计算这个几何体的表面积是（）

3.（呼和浩特中考）如图是某几何体的三视图，根据图中数据，求得该几何体的体积为（）

4.圆桌面（桌面中间有一个直径为1m的圆洞）正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射平行于地面的桌面后，在地面上形

成如图所示的圆环形阴影.已知桌面直径为2m,桌面离地面1m,若灯泡离地面2m,则地面圆环形阴影的面积是（）

A.2nm2

B.3nm2

C.6717n2

D.12ml2

5.（西宁中考）圆锥的主视图是边长为4cm的等边三角形，则该圆锥侧面展开图的面积是—cm?

6.（天门中考）如图，校园内有一棵与地面垂直的树，数学兴趣小组两次测量它在地面上的影子，第一次是阳光与地面成60。角时,

第二次是阳光与地面成30。角时，两次测量的影长相差8米，则树高一米.（结果保留根号）

7.如图,是由8个棱长为1cm的小正方体组合成的简单几何体.

⑴该几何体的主视图如图所示，请在下面方格纸中分别画出它的左视图和俯视图；

主视图左视图俯视图

（2）这个几何体的表面积为___cm2；

（3）如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的俯视图和主视图不变，那么请在下面的网格中画出添

加小正方体后所得几何体所有可能的左视图.

8.如图，王琳同学在晚上由路灯A走向路灯B,当他行到P处时发现，他在路灯B下的影子PC长2米，且点C恰好位于路灯A

的正下方，接着他又走了6.5米到Q处，此时他在路灯A下的影子为QD,且D点恰好位于路灯B的正下方（已知王琳身高1.8米，路

灯B高9米）.

（1）计算王琳站在Q处在路灯A下的影子QD的长度.

⑵计算路灯A的高度.

A

|\B

；＞d

E/'、/

I,彳卜、I

CPQD

9.（甘肃中考）如图，是住宅区内的两幢楼，它们的高AB=CD=30m,两楼间的距离AC=30m,现需了解甲楼对乙楼的采光的影响情

况.

⑴当太阳光与水平线的夹角为30。角时，求甲楼的影子在乙楼上有多高（精确到0.1m,V3=1.73）;

⑵若要甲楼的影子刚好不落在乙楼的墙上，此时太阳与水平线的夹角为多少度？

Q

D

10.（江苏竞赛攻口果以一组平行的“视线”观看物体，那么从物体正上方往下看可得“俯视图”，从物体正左方往右看可得“左视

图”，从物体正前方往后看可得“主视图”.图1中的正方体被经过相邻三条棱中点的平面截去一块后得到如图2的几何体.图3、图4、

图5依次是小明画的该几何体的主视图、俯视图和左视图.其中，画的正确的图有（）

俯视

左视

主视

图1

A.0个B.1个

C.2个D.3个

11.（芜湖中考）如图，上下底面为全等的正六边形礼盒，其正视图与侧视图均由矩形构成，正视图中大矩形边长如图所示，侧视图

中包含两全等的矩形，如果用彩色胶带如图包扎礼盒，所需胶带长度至少为（）

实物图

60cm~

20cm20cm

正视图侧视图

A.320cmB.395.24cm

C.431.77cmD.480cm

12.如图所示，该小组发现8米高旗杆DE的影子EF落在了包含一圆弧形小桥在内的路上，于是他们开展了测算小桥所在图的半

径的活动小刚身高1.6米，测得其影长为2.4米同时测得EG的长为3米,HF的长为1米，测得拱高(弧GH的中点到弦GH的距离.即

MN的长)为2米，则小桥所在圆的半径为一.

13.(金华中考)学习投影后，小明、小颖利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度，并探究影子长度的变化规律.如图，在

同一时间，身高为L6m的小明(AB)的影子BC长是3m,而小颖(EH)刚好在路灯灯泡的正下方H点,并测得HB=6m.

HB、BC

⑴请在图中画出形成影子的光线，并确定路灯灯泡所在的位置G；

(2)求路灯灯泡的垂直高度GH；

(3)如果小明沿线段BH向小颖(点H)走去，当小明走到BH中点B］处时，求其影子B】g的长；当小明继续走剩下路程的1到B

处时,求其影子BzC2的长；当小明继续走剩下路程的;到B3处……按此规律继续走下去，当小明走剩下路程的到B□处时，其

影子BnCn的长为—m.(直接用n的代数式表示)

电，综合创新

14.（江苏竞赛）如图1,将正方体的左上部位切去一个小三棱柱（图中M,N都是正方体的棱的中点）,得到如图2