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文档简介

2024海南中考数学二轮专题训练几何图形动点型综合题

(小题破大题)

模型再现:自旋转型全等模型

1.如图,在矩形/BCD中,点E是2C上一动点,连接。E,点尸是上一点,DF=CE,

BC=DE.求证:AFLDE.

【思维教练】由矩形48CD的性质可知N4D尸uNOEC,由BC=DE,得AD=DE,再由已

知条件。F=CE,即可证得可得NNFD=NC=90°,即可得证.

第1题图

模型再现:一线三垂直型相似模型

2.如图,在矩形4BCD中,48=4,BC=5,£是边上的一个动点,DFLAE,垂足为点

F,若AE=BC,求tanNRCE的值.

【思维教练】要求tanN尸CE的值,先过点尸作的垂线,构造直角三角形,再结合矩形

的性质和相似三角形的性质列出比例关系,即可求解.

第2题图

模型再现:8字型相似模型

3.如图,在矩形中,£是3C边上一动点,AELBD,垂足为点凡连接。£.若

-BC,求cosZAED的值.

2

【思维教练】要求cosN/即的值,即要求RtZkEED中空的值,结合矩形的性质和相似

ED

三角形的性质即可得出EF=-AE=-DE.

33

第3题图

模型再现:正A字型相似模型

4.如图,在矩形/BCD中,AB=3,BC=5,£是上一个动点,连接8。,。是对角线

的中点,连接OE,AO,当时,求/E的长.

【思维教练】由矩形/8C。的性质和勾股定理,可得8D的长,再通过角度之间的等量关系

转换,得△ODEs^ADO,结合相似的性质对应边成比例得出/£的长.

E

III

----------'c

第4题图

(对接中考)

1.四边形/BCD是边长为2的正方形,£是的中点,连接点尸是射线8C上一动

点(不与点2重合),连接NR交。E于点G

⑴如图①,当点歹是8C边的中点时,求证:LABF咨△DAE;

(2)如图②,当点尸与点C重合时,求/G的长;

(3)在点/运动的过程中,当线段AF为何值时,NG=AB?请说明理由.

田1

第1题图

0

RC

备用图

2.已知,如图①,在中,点E是42中点,连接。E并延长,交C3的延长线于点

F.

(1)求证:4ADE义ABFE;

⑵如图②,点G是边8C上任意一点(点G不与点B、。重合),连接/G交。/于点“,连

接8C,过点/作/K〃打C,交DF于点、K.

①求证:HC=2AK;

②当点G是边3c的中点时,恰有77。=n,HK(n为正整数),求n的值.

j

CFHGC

a।a<2

第2题图

(针对训练)

1.如图,边长为1的正方形48co中,点K在/。上,连接BK,过点/,C作的垂线,

垂足分别为N,点。是正方形/BCD的中心,连接(W,ON.

第1题图

(1)求证:4ABM%ABCN;

(2)请判定△0MN的形状,并说明理由;

(3)若点K在线段上运动(不包括端点),当NK=;时,求△OMN的面积.

2.如图①,在正方形/BCD中,M是的中点,点£是边上的一个动点,连接并

延长交射线CO于点R过点M作斯的垂线交射线8C于点G,连接EG、FG.

(1)求证:&4MEQADMF;

(2)在点E的运动过程中,探究:

①tanNGEF的值是否发生变化?若不变,求出这个值;

②如图②,把正方形48CD改为矩形(48V3C),BC=4,AB=k,其他条件不变,当AGEF

为等边三角形时,试求左的值.

出1

第2题图

3.在矩形/BCD中,AB=6,BC=8,P为对角线3。上一点,连接尸C,过点尸作PG_LPC

交直线48于点G,交直线BC于点"

(1)如图①,若BG=PC,求证:ABHG咨APHC;

(2)如图②,当点G在线段N2的延长线上时,连接GC

①作CEL8D于点E,求CE的长;

②设PD=m,当△尸CG的面积为“时,求优的值.

3

第3题图

4.如图,P是边长为1的正方形48CD对角线AD上一动点(尸与3、。不重合),/APE=

90°,且点E在2。边上,AE交BD于点F.

(1)求证:APAB出APCB;

(2)在点P的运动过程中,—的值是否改变?若不变,求出它的值;若改变,请说明理由;

AE

(3)设。尸=x,当x为何值时,AE//PC,并判断此时四边形E4尸C的形状.

第4题图

5.正方形/BCD的边长为4,E是C3上的一个动点,过点。作。尸,DE,交氏4的延长线

于点R斯交对角线/C所在的直线于点M,DE交AC于点、N.

(1)求证:AECD出LE4D;

(2)设CE=x,当x为何值时,的面积为1;

⑶随着点£在射线C8上的运动,M4-MC的值是否会发生变化?若不变,请求出AM-MC

的值,若变化,请说明理由.

第5题图

6.如图,在正方形N5CD中,/3=17,点£是边5c上一个动点(点£不与点8,点C重合),

连接/E,过点3作垂足为点G,交。。于点F.

(1)求证:AABE出ABCF;

⑵过点£作交入DCW的平分线于点〃,连接EH,判断四边形皮汨E的形状,并

说明理由;

(3)在(2)的条件下,若sinZEHC=~,求线段9G的长.

I)

H

第6题图

参考答案

小题破大题

1.证明:・・•四边形48CZ)是矩形,

AZC=90°,AD=BC,AD//BC,

:./ADF=/DEC,

,:BC=DE,

:.DE=AD,

在△ZQb和△DEC中,

AD=DE

ZADF=/DEC,

FD=CE

:.AADF^△QEC(SAS),

JZAFD=ZC=90°,

:.AF±DE,

2.解:如解图,过点少作用门_5C于点M

•:AE=BC=5,4B=4,

:・BE=3,即CE=BC—BE=2,

・・•四边形/BCD是矩形,且。尸,4£,

・・・ZB=ZDFA=90°,

,/ZBAF+NE4D=ZE4D+ZFDA=90°,

'NBAE=NFDA,

又,:AE=BC=DA,

:.LABE之ADE4(AAS)f

:.BE=E4=3,

:・EF=AE—FA=2,

・・•四边形/BCQ是矩形,

C.ABLBC,J.AB//FM,

:.AABEs^FME,

,4B=AE=BE

“FMFEME

・4=5=3

FM~2~ME

解得9=3,ME=~,

55

:.MC=ME+EC=~+2=^,

55

在RtZXFMC中,tanN尸C£=£"=l

MC2

第2题解图

3.解:I•四边形NBC。是矩形,

C.AD//BC,

:・/DAF=/FEB,/ADF=/FBE,

:.ADAFsABEF.

■:BE='BC,

2

.EF=BE=1

99AF~DA~2

:.EF=~AF,

2

:.EF=~AE,

3

易得LABE义4DCE,:・AE=DE,

:.EF=~DE,

3

・••在Rt△。斯中,cosZAED=^-=~.

DE3

4.解:・・•在矩形45C。中,CD=AB=3,AD=BC=5,ZBAD90°,

・••在Rt^ABD中,80=丫32+52=岳,

・・・。是AD的中点,

:.OD=OB=OA=—

2

:.ZOAD=ZODA,

•:OE=DE,

・•・/EOD=/ODE,

ZEOD=ZODE=ZOAD,

:•△ODEsAADO,

,DO=DE

DA~DO

:・DO2=DEDA,

设4E1=x,则。E=5—x,

.••(T)2=5(5—x),

_33

••X

Io'

即5

对接中考

1.(1)证明::四边形/BCD是正方形,

;.NB=NDAE=90°,AB=AD=BC.

,:E、二分别是48、3C的中点,

:.AE=-AB,BF^-BC,

22

:.AE=BF,

:.4ABFq△£M£(SAS);(4分)

(2)解:在正方形48CD中,AB//CD,ZADC^9Q°,AD=CD=2,

:.AC=^AD2+CD2=122+22=2也,

,JAB//CD,

AAGEsACGD,

.AG_AEmAG1

CGCD2\/2—AG2

解得/6=个;(8分)

(3)解:当3尸=;时,/G=/E.(1O分)

理由如下:

由(2)知,当点尸与点。重合(即AF=2)时,AG=^<1,

...点/应在8C的延长线上(即8Q2),如解图,设N尸交CO于点

若使4G=/£=1,

则有N1=N2,

■:AB〃CD,

/.Z1=Z4,

又,.・N2=N3,

AZ3=Z4,

:.DM=MG,

在RtZXZQM中,AAfi-DM2=AD2,

即(QM+iy-Dw2:22,

a

解得DM=一,

2

31

:.CM=CD-DM=2~~=-

22f

■:AB〃CD,

:.△ABFsdMCF,

.BFAB日口BFZ

CFMCBF-21

2

解得BF=~,

3

.••当8月=当时,ZG=/E.(13分)

第1题解图

2.(1)证明:・・•四边形45CQ是平行四边形,

:.AD//BC,

:・NADE=NF,NA=NEBF,

・・・E是45的中点,

:・AE=BE,

在△/QE和△5FE中,

2ADE=NF

/A=NEBF,

AE=BE

:・△ADEmABFE(AAS}(4分)

(2)①证明:在口/5CD中,AB//CD,AB=CD,

:.ZAEK=ZCDH,

“:AKIIHC,

J/AKE=/CHD,

:.AAEKs^CDH,

,AE=AK

••CD~CH'

•;E是4B的中点,

:.CD=AB=2AEf

.AK=AE=1

CH~CD~2

:.HC=2AK;(8分)

②解:当点G是8C的中点时,则丝=Z,

GF3

■:AD〃BC,

:.△ADHs^GFH,

,DH=AD=2

99FH~GF~3

又♦:DH=nHK,

3

:・DK=(n—l)HK,FH=/HK,

易得LADKs^CFH,

.DK=4D=1

FH~CF~2

(.-[)HK]

,•3=5'

-nHK*2

2

解得〃=4.(13分)

匕针对训练

1.(1)证明:・・•四边形/5CD是正方形,

:.AB=BC,ZABC=90°,

:.ZABM+ZCBM=90°,

':AM.LBMfCNLBN,

:.ZAMB=ZBNC=90°,

ZMAB+ZMBA=90°,

:.ZMAB=ZCBM,

在△48/和△8CN中,

ZAMB^ZBNC

-NMAB=/NBC,

AB=BC

,八ABM咨A5C7V(AAS);

(2)解:△OMN是等腰直角三角形,

理由:如解图,连接08,

,/点。是正方形ABCD的中心,

:.OA=OB,ZOBA=ZOAB=ZOBC=45°,

由(1)得LABMm△BCN,

:.AM=BN,NMAB=/CBM,

:.ZMAB-/OAB=NCBM-ZOBC,

:.ZMAO=ZNBO,

又YAMuBN,OA=OB,

:.LAOMW△80N(SAS),

:.M0=N0,/AOM=NBON,

•.*ZAON+ZBON=90°,

:.ZAON+ZAOM=90°,

:./MON=90°,

...△MON是等腰直角三角形;

第1题解图

(3)解:设/K=x(O<x<l),

在中,BK=yjAK^+AB2=A/X2+1,

•;SAABK=LAK/B=LAM-BK,

22

AKABx

:.AM

BK

由(1)得^XABM^△BCN,

BM=AB

VcosZABK

AB~BK

ABAB

:.BM

BK

]—x

:・MN=BM—BN=~^=

1(1—x)2Y2—2x1

•:S"=>MU-X,J〃十i(O«l),

44x2+44x2+4

将T代入得,

1—%

1

S&OMN=93

10’

-+4

9

当NK=;时,S^OMN=^-

2.(1)证明:二•四边形/BCD是正方形,

N4=/4DF=90°.

是4。的中点,

:.AM=DM.

在和△£)〃/中,

ZA^ZADF

AM=DM

NAME=ZDMF

:.丛AMEm△DMF(ASA);

(2)解:①tan/G郎的值不变.

如解图①,过点G作GN,/。,交/D的延长线于点N,

则四边形/8GN是矩形.

:.NG=AB=AD.

•:GM±EF,

,/2+/3=90°.

在Rt^M4£1中,Zl+Z3=90°,

・・・N1=N2.

・.•ZA=ZN=90°.

:.丛AMEs^NGM,

.MG=NG

EM~AM~,

.\tanZG£,F=—=2为定值不变;

EM

②如解图②,过点G作GNL4D,交的延长线于点N,

则四边形/8GN是矩形.

:.NG=AB=k.

若4G跖是等边三角形,则tan/GEF="^=3,

EM

同①的方法得,AAMEsANGM,

..芈=3=怎

AMEM

,:M是AD的中点,

:.AM=-BC^2,;.k=2\[i.

2

第2题解图

3.(1)证明::四边形/BCD为矩形,AZHBG=ZHPC=90°,

在△Af/G和△PHC中,

2HBG=AHPC

/BHG=/PHC,

BG=PC

:.AP/fC(AAS);

(2)解:①在RtZ\3C£>中,由勾股定理得

':BC=S,CD=AB=6,

:.BD=1G,

":S^BCD=^BC-DC=-BDCE,

22

,C£的长为4.8;

②•:/GBC=NGPC=90°,

:.点、B,G,C,P四点共圆,

:./DBC=/PGC,且/DCB=NGPC,

:.丛PGCs丛CBD,

.SAPGC_/PC、,

••一(),

S^CBDCD

50

・3_P。

••,

1乙。36

-x6><8

2

.-.PC2=25,

:.PC=5,

222

在Rt△尸C£中,PE=PC~CEf

BPPE2=52-4.82=1.96,

:.PE=1A,

在RtADCE中,由勾股定理得DE2=CD2~CE2,

即£)杼=62—4.82=12.96,

:.DE=3.6,

.,.加=P0=DE+PE=3.6+1.4=5.

4.(1)证明::四边形/BCD是正方形,

:.AB=BC,/ABP=/CBP.

,:PB=PB,

:.△E45之△尸CB(SAS);

(2)解:在点尸的运动过程中,"的值不改变.

由△HB0ZXPCB可知,NPAB=NPCB,PA=PC.

,/NABE=/APE=90。,

:.ZPAB+NPEB=180°,

又ZPEC+ZPEB=180。,

ZPEC=ZPAB=ZPCB,

:,PE=PC,

■:PA=PC,

:.PA=PE,

又,.・NAPE=90。,

•••△HE是等腰直角三角形,ZPAE=ZPEA=45°,

..•丝的值不变,恒为也;

AE2

(3)解:,:AE//PC,

:.NCPE=/PEA=45。,

・•・在△尸EC中,ZPC£,=ZP£,C=1(180°-45°)=67.5°.

在△尸5C中,

/BPC=l80。-ZCBP-ZPCE=180。一45。一67.5。=67.5。.

・•・/BPC=/PCE=675。,

:・BP=BC=3

:.x=BD-BP=\l2-l.

*:AE//PC,

:.ZAFP=NBPC=675。,

由△尸C5可知,/BPA=/BPC=675。,PA=PC,

:./AFP=/BPA,

:.AF=AP,

易得AAPF咨ACPF,

:.AF=FC,

:.AF=AP=FC=PC,

・・・四边形E4产。是菱形.

5.(1)证明:*:DC=DA,ADCE=ADAF,

XVZCDE+NADE=90。,DFLDE:.ZADF+ZADE=9Q°:.ZCDE=NADF,

△EC。丝△E4O(ASA);

(2)解:如解图①,过点M作MGLZ5于点G,

YCB〃MG,

:.△FGMs^FBE,

,FG=MG

*"FB~EB'

设MG=h,则±=上,

x+44-x

.j4—x

・・〃=----,

2

._14—x_

•c•i^/\AMF-一1,

22

•»X\=X2=2,

・••当x=2时,△4MF的面积为1;

第5题解图①

(3)解:不变,如解图②,过点E作E/〃48,交/C于点/,连接。

・.・AECD沿AFAD,

:・DE=DF,

・.,NEDF=90。,

・・・△EDE为等腰直角三角形,

・・•四边形45C。是正方形,

・•・/EC/=45。,

U:EI//AB,

:.ZIEM=ZAFMfZCEI=ZABC=90°,

:.ZEIC=ZECI=45°,

:・EC=EI,

♦;AF=EC,

:.EI=AF,

ZEMI=ZFMA,

:.AFAMmAEIM(AAS),

:・FM=EM,

:./DNA=45°+/CDN=ZMDC,

又丁ZDAN=ZDCM=45°,

AANDs^CDM,

.AN=AD

'CD~CM

:.NAMC=ADCD=^=\6.

第5题解图②

6.(1)证明:如解图①,•・,四边形45CZ)是正方形,

:・DC=BC=AB=\7,ZABC=ZBCD=NQ=90。,

JN1+N2=ZABC=90°,

■:AE1BF,

:.ZAGB=90°,

.,.Zl+Z3=90°,

AZ3=Z2,

在AABE与ABCF中,

N3=N2

AB=BC,

、/ABE=/BCF

:.LABEm△5CF(ASA);

第6题解图①

(2)解:四边形5£7如是平行四边形.

理由如下:如解图①,在

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