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文档简介
2024海南中考数学二轮专题训练几何图形动点型综合题
(小题破大题)
模型再现:自旋转型全等模型
1.如图,在矩形/BCD中,点E是2C上一动点,连接。E,点尸是上一点,DF=CE,
BC=DE.求证:AFLDE.
【思维教练】由矩形48CD的性质可知N4D尸uNOEC,由BC=DE,得AD=DE,再由已
知条件。F=CE,即可证得可得NNFD=NC=90°,即可得证.
第1题图
模型再现:一线三垂直型相似模型
2.如图,在矩形4BCD中,48=4,BC=5,£是边上的一个动点,DFLAE,垂足为点
F,若AE=BC,求tanNRCE的值.
【思维教练】要求tanN尸CE的值,先过点尸作的垂线,构造直角三角形,再结合矩形
的性质和相似三角形的性质列出比例关系,即可求解.
第2题图
模型再现:8字型相似模型
3.如图,在矩形中,£是3C边上一动点,AELBD,垂足为点凡连接。£.若
-BC,求cosZAED的值.
2
【思维教练】要求cosN/即的值,即要求RtZkEED中空的值,结合矩形的性质和相似
ED
三角形的性质即可得出EF=-AE=-DE.
33
第3题图
模型再现:正A字型相似模型
4.如图,在矩形/BCD中,AB=3,BC=5,£是上一个动点,连接8。,。是对角线
的中点,连接OE,AO,当时,求/E的长.
【思维教练】由矩形/8C。的性质和勾股定理,可得8D的长,再通过角度之间的等量关系
转换,得△ODEs^ADO,结合相似的性质对应边成比例得出/£的长.
E
III
----------'c
第4题图
(对接中考)
1.四边形/BCD是边长为2的正方形,£是的中点,连接点尸是射线8C上一动
点(不与点2重合),连接NR交。E于点G
⑴如图①,当点歹是8C边的中点时,求证:LABF咨△DAE;
(2)如图②,当点尸与点C重合时,求/G的长;
(3)在点/运动的过程中,当线段AF为何值时,NG=AB?请说明理由.
田1
第1题图
0
RC
备用图
2.已知,如图①,在中,点E是42中点,连接。E并延长,交C3的延长线于点
F.
(1)求证:4ADE义ABFE;
⑵如图②,点G是边8C上任意一点(点G不与点B、。重合),连接/G交。/于点“,连
接8C,过点/作/K〃打C,交DF于点、K.
①求证:HC=2AK;
②当点G是边3c的中点时,恰有77。=n,HK(n为正整数),求n的值.
j
CFHGC
a।a<2
第2题图
(针对训练)
1.如图,边长为1的正方形48co中,点K在/。上,连接BK,过点/,C作的垂线,
垂足分别为N,点。是正方形/BCD的中心,连接(W,ON.
第1题图
(1)求证:4ABM%ABCN;
(2)请判定△0MN的形状,并说明理由;
(3)若点K在线段上运动(不包括端点),当NK=;时,求△OMN的面积.
2.如图①,在正方形/BCD中,M是的中点,点£是边上的一个动点,连接并
延长交射线CO于点R过点M作斯的垂线交射线8C于点G,连接EG、FG.
(1)求证:&4MEQADMF;
(2)在点E的运动过程中,探究:
①tanNGEF的值是否发生变化?若不变,求出这个值;
②如图②,把正方形48CD改为矩形(48V3C),BC=4,AB=k,其他条件不变,当AGEF
为等边三角形时,试求左的值.
出1
第2题图
3.在矩形/BCD中,AB=6,BC=8,P为对角线3。上一点,连接尸C,过点尸作PG_LPC
交直线48于点G,交直线BC于点"
(1)如图①,若BG=PC,求证:ABHG咨APHC;
(2)如图②,当点G在线段N2的延长线上时,连接GC
①作CEL8D于点E,求CE的长;
②设PD=m,当△尸CG的面积为“时,求优的值.
3
第3题图
4.如图,P是边长为1的正方形48CD对角线AD上一动点(尸与3、。不重合),/APE=
90°,且点E在2。边上,AE交BD于点F.
(1)求证:APAB出APCB;
(2)在点P的运动过程中,—的值是否改变?若不变,求出它的值;若改变,请说明理由;
AE
(3)设。尸=x,当x为何值时,AE//PC,并判断此时四边形E4尸C的形状.
第4题图
5.正方形/BCD的边长为4,E是C3上的一个动点,过点。作。尸,DE,交氏4的延长线
于点R斯交对角线/C所在的直线于点M,DE交AC于点、N.
(1)求证:AECD出LE4D;
(2)设CE=x,当x为何值时,的面积为1;
⑶随着点£在射线C8上的运动,M4-MC的值是否会发生变化?若不变,请求出AM-MC
的值,若变化,请说明理由.
第5题图
6.如图,在正方形N5CD中,/3=17,点£是边5c上一个动点(点£不与点8,点C重合),
连接/E,过点3作垂足为点G,交。。于点F.
(1)求证:AABE出ABCF;
⑵过点£作交入DCW的平分线于点〃,连接EH,判断四边形皮汨E的形状,并
说明理由;
(3)在(2)的条件下,若sinZEHC=~,求线段9G的长.
I)
H
第6题图
参考答案
小题破大题
1.证明:・・•四边形48CZ)是矩形,
AZC=90°,AD=BC,AD//BC,
:./ADF=/DEC,
,:BC=DE,
:.DE=AD,
在△ZQb和△DEC中,
AD=DE
ZADF=/DEC,
FD=CE
:.AADF^△QEC(SAS),
JZAFD=ZC=90°,
:.AF±DE,
2.解:如解图,过点少作用门_5C于点M
•:AE=BC=5,4B=4,
:・BE=3,即CE=BC—BE=2,
・・•四边形/BCD是矩形,且。尸,4£,
・・・ZB=ZDFA=90°,
,/ZBAF+NE4D=ZE4D+ZFDA=90°,
'NBAE=NFDA,
又,:AE=BC=DA,
:.LABE之ADE4(AAS)f
:.BE=E4=3,
:・EF=AE—FA=2,
・・•四边形/BCQ是矩形,
C.ABLBC,J.AB//FM,
:.AABEs^FME,
,4B=AE=BE
“FMFEME
・4=5=3
FM~2~ME
解得9=3,ME=~,
55
:.MC=ME+EC=~+2=^,
55
在RtZXFMC中,tanN尸C£=£"=l
MC2
第2题解图
3.解:I•四边形NBC。是矩形,
C.AD//BC,
:・/DAF=/FEB,/ADF=/FBE,
:.ADAFsABEF.
■:BE='BC,
2
.EF=BE=1
99AF~DA~2
:.EF=~AF,
2
:.EF=~AE,
3
易得LABE义4DCE,:・AE=DE,
:.EF=~DE,
3
・••在Rt△。斯中,cosZAED=^-=~.
DE3
4.解:・・•在矩形45C。中,CD=AB=3,AD=BC=5,ZBAD90°,
・••在Rt^ABD中,80=丫32+52=岳,
・・・。是AD的中点,
:.OD=OB=OA=—
2
:.ZOAD=ZODA,
•:OE=DE,
・•・/EOD=/ODE,
ZEOD=ZODE=ZOAD,
:•△ODEsAADO,
,DO=DE
DA~DO
:・DO2=DEDA,
设4E1=x,则。E=5—x,
.••(T)2=5(5—x),
_33
••X
Io'
即5
对接中考
1.(1)证明::四边形/BCD是正方形,
;.NB=NDAE=90°,AB=AD=BC.
,:E、二分别是48、3C的中点,
:.AE=-AB,BF^-BC,
22
:.AE=BF,
:.4ABFq△£M£(SAS);(4分)
(2)解:在正方形48CD中,AB//CD,ZADC^9Q°,AD=CD=2,
:.AC=^AD2+CD2=122+22=2也,
,JAB//CD,
AAGEsACGD,
.AG_AEmAG1
CGCD2\/2—AG2
解得/6=个;(8分)
(3)解:当3尸=;时,/G=/E.(1O分)
理由如下:
由(2)知,当点尸与点。重合(即AF=2)时,AG=^<1,
...点/应在8C的延长线上(即8Q2),如解图,设N尸交CO于点
若使4G=/£=1,
则有N1=N2,
■:AB〃CD,
/.Z1=Z4,
又,.・N2=N3,
AZ3=Z4,
:.DM=MG,
在RtZXZQM中,AAfi-DM2=AD2,
即(QM+iy-Dw2:22,
a
解得DM=一,
2
31
:.CM=CD-DM=2~~=-
22f
■:AB〃CD,
:.△ABFsdMCF,
.BFAB日口BFZ
CFMCBF-21
2
解得BF=~,
3
.••当8月=当时,ZG=/E.(13分)
第1题解图
2.(1)证明:・・•四边形45CQ是平行四边形,
:.AD//BC,
:・NADE=NF,NA=NEBF,
・・・E是45的中点,
:・AE=BE,
在△/QE和△5FE中,
2ADE=NF
/A=NEBF,
AE=BE
:・△ADEmABFE(AAS}(4分)
(2)①证明:在口/5CD中,AB//CD,AB=CD,
:.ZAEK=ZCDH,
“:AKIIHC,
J/AKE=/CHD,
:.AAEKs^CDH,
,AE=AK
••CD~CH'
•;E是4B的中点,
:.CD=AB=2AEf
.AK=AE=1
CH~CD~2
:.HC=2AK;(8分)
②解:当点G是8C的中点时,则丝=Z,
GF3
■:AD〃BC,
:.△ADHs^GFH,
,DH=AD=2
99FH~GF~3
又♦:DH=nHK,
3
:・DK=(n—l)HK,FH=/HK,
易得LADKs^CFH,
.DK=4D=1
FH~CF~2
(.-[)HK]
,•3=5'
-nHK*2
2
解得〃=4.(13分)
匕针对训练
1.(1)证明:・・•四边形/5CD是正方形,
:.AB=BC,ZABC=90°,
:.ZABM+ZCBM=90°,
':AM.LBMfCNLBN,
:.ZAMB=ZBNC=90°,
ZMAB+ZMBA=90°,
:.ZMAB=ZCBM,
在△48/和△8CN中,
ZAMB^ZBNC
-NMAB=/NBC,
AB=BC
,八ABM咨A5C7V(AAS);
(2)解:△OMN是等腰直角三角形,
理由:如解图,连接08,
,/点。是正方形ABCD的中心,
:.OA=OB,ZOBA=ZOAB=ZOBC=45°,
由(1)得LABMm△BCN,
:.AM=BN,NMAB=/CBM,
:.ZMAB-/OAB=NCBM-ZOBC,
:.ZMAO=ZNBO,
又YAMuBN,OA=OB,
:.LAOMW△80N(SAS),
:.M0=N0,/AOM=NBON,
•.*ZAON+ZBON=90°,
:.ZAON+ZAOM=90°,
:./MON=90°,
...△MON是等腰直角三角形;
第1题解图
(3)解:设/K=x(O<x<l),
在中,BK=yjAK^+AB2=A/X2+1,
•;SAABK=LAK/B=LAM-BK,
22
AKABx
:.AM
BK
由(1)得^XABM^△BCN,
BM=AB
VcosZABK
AB~BK
ABAB
:.BM
BK
]—x
:・MN=BM—BN=~^=
1(1—x)2Y2—2x1
•:S"=>MU-X,J〃十i(O«l),
44x2+44x2+4
将T代入得,
1—%
1
S&OMN=93
10’
-+4
9
当NK=;时,S^OMN=^-
2.(1)证明:二•四边形/BCD是正方形,
N4=/4DF=90°.
是4。的中点,
:.AM=DM.
在和△£)〃/中,
ZA^ZADF
AM=DM
NAME=ZDMF
:.丛AMEm△DMF(ASA);
(2)解:①tan/G郎的值不变.
如解图①,过点G作GN,/。,交/D的延长线于点N,
则四边形/8GN是矩形.
:.NG=AB=AD.
•:GM±EF,
,/2+/3=90°.
在Rt^M4£1中,Zl+Z3=90°,
・・・N1=N2.
・.•ZA=ZN=90°.
:.丛AMEs^NGM,
.MG=NG
EM~AM~,
.\tanZG£,F=—=2为定值不变;
EM
②如解图②,过点G作GNL4D,交的延长线于点N,
则四边形/8GN是矩形.
:.NG=AB=k.
若4G跖是等边三角形,则tan/GEF="^=3,
EM
同①的方法得,AAMEsANGM,
..芈=3=怎
AMEM
,:M是AD的中点,
:.AM=-BC^2,;.k=2\[i.
2
第2题解图
3.(1)证明::四边形/BCD为矩形,AZHBG=ZHPC=90°,
在△Af/G和△PHC中,
2HBG=AHPC
/BHG=/PHC,
BG=PC
:.AP/fC(AAS);
(2)解:①在RtZ\3C£>中,由勾股定理得
':BC=S,CD=AB=6,
:.BD=1G,
":S^BCD=^BC-DC=-BDCE,
22
,C£的长为4.8;
②•:/GBC=NGPC=90°,
:.点、B,G,C,P四点共圆,
:./DBC=/PGC,且/DCB=NGPC,
:.丛PGCs丛CBD,
.SAPGC_/PC、,
••一(),
S^CBDCD
50
・3_P。
••,
1乙。36
-x6><8
2
.-.PC2=25,
:.PC=5,
222
在Rt△尸C£中,PE=PC~CEf
BPPE2=52-4.82=1.96,
:.PE=1A,
在RtADCE中,由勾股定理得DE2=CD2~CE2,
即£)杼=62—4.82=12.96,
:.DE=3.6,
.,.加=P0=DE+PE=3.6+1.4=5.
4.(1)证明::四边形/BCD是正方形,
:.AB=BC,/ABP=/CBP.
,:PB=PB,
:.△E45之△尸CB(SAS);
(2)解:在点尸的运动过程中,"的值不改变.
由△HB0ZXPCB可知,NPAB=NPCB,PA=PC.
,/NABE=/APE=90。,
:.ZPAB+NPEB=180°,
又ZPEC+ZPEB=180。,
ZPEC=ZPAB=ZPCB,
:,PE=PC,
■:PA=PC,
:.PA=PE,
又,.・NAPE=90。,
•••△HE是等腰直角三角形,ZPAE=ZPEA=45°,
..•丝的值不变,恒为也;
AE2
(3)解:,:AE//PC,
:.NCPE=/PEA=45。,
・•・在△尸EC中,ZPC£,=ZP£,C=1(180°-45°)=67.5°.
在△尸5C中,
/BPC=l80。-ZCBP-ZPCE=180。一45。一67.5。=67.5。.
・•・/BPC=/PCE=675。,
:・BP=BC=3
:.x=BD-BP=\l2-l.
*:AE//PC,
:.ZAFP=NBPC=675。,
由△尸C5可知,/BPA=/BPC=675。,PA=PC,
:./AFP=/BPA,
:.AF=AP,
易得AAPF咨ACPF,
:.AF=FC,
:.AF=AP=FC=PC,
・・・四边形E4产。是菱形.
5.(1)证明:*:DC=DA,ADCE=ADAF,
XVZCDE+NADE=90。,DFLDE:.ZADF+ZADE=9Q°:.ZCDE=NADF,
△EC。丝△E4O(ASA);
(2)解:如解图①,过点M作MGLZ5于点G,
YCB〃MG,
:.△FGMs^FBE,
,FG=MG
*"FB~EB'
设MG=h,则±=上,
x+44-x
.j4—x
・・〃=----,
2
._14—x_
•c•i^/\AMF-一1,
22
•»X\=X2=2,
・••当x=2时,△4MF的面积为1;
第5题解图①
(3)解:不变,如解图②,过点E作E/〃48,交/C于点/,连接。
・.・AECD沿AFAD,
:・DE=DF,
・.,NEDF=90。,
・・・△EDE为等腰直角三角形,
・・•四边形45C。是正方形,
・•・/EC/=45。,
U:EI//AB,
:.ZIEM=ZAFMfZCEI=ZABC=90°,
:.ZEIC=ZECI=45°,
:・EC=EI,
♦;AF=EC,
:.EI=AF,
ZEMI=ZFMA,
:.AFAMmAEIM(AAS),
:・FM=EM,
:./DNA=45°+/CDN=ZMDC,
又丁ZDAN=ZDCM=45°,
AANDs^CDM,
.AN=AD
'CD~CM
:.NAMC=ADCD=^=\6.
第5题解图②
6.(1)证明:如解图①,•・,四边形45CZ)是正方形,
:・DC=BC=AB=\7,ZABC=ZBCD=NQ=90。,
JN1+N2=ZABC=90°,
■:AE1BF,
:.ZAGB=90°,
.,.Zl+Z3=90°,
AZ3=Z2,
在AABE与ABCF中,
N3=N2
AB=BC,
、/ABE=/BCF
:.LABEm△5CF(ASA);
第6题解图①
(2)解:四边形5£7如是平行四边形.
理由如下:如解图①,在
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