2024年高考数专项复习：解三角形

一、2024年高考数专项复习解三角形

复习初中三角函数的定义

在直角三角形中

sinA=—,sinB=—,sinC=1

cc

abc

•••_____—_____一_____

sinAsinBsinC

二、用多种方法证明正弦定理

三、正弦定理的文字叙述、变形形式及其应用

在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等

即：上一=上一=」^=2尺(R为AABC外接圆半径)

sinAsinBsinC

变形：

(A\a_bb_cc_a

sinAsinB5sinBsinC'sinCsinA

(2)sinA:sinB:sinC=a:ZJ:c

从理论上,正弦定理可解决两类问题：

(1)两角和任意一边，求其他两边和一角

(2)两边和其中一边对角，求另一边的对角,进而可求其他的边和角

三、正弦定理的例题

例1.已知在AABC中，c=10,A=45,C=3O,求a力和B.

解：c=10,A=45°,C=30°,

.•.3=180°-(A+3)=105°,

,accsinA，八

由-----=-----得a=-------=10

sinAsinCsinC

由_E_=得b==20sin75°=5(逐+行)

sinAsinBsinB

例2.在AABC中，b=A/3,B=609c=l,求a,A和C.

b得小丁；

解：由得—

sinBsinC

b>c,B=60，:.C<B,C为锐角,

/.C=30°,

/.A=9(f,a-yjb2+c2=2

例3.在AABC中，NA的平分线AD与边3C相交于点O,

BDAB

求证:

~DCAC

证明：如图在△A3。和△CAO中,

由正弦定理，得

BDAB

sin(3sina

DC_AC_AC

sin[3sin(l80°-a)sina

两式相除得处=空

DCAC

四、三角形解的个数问题

若已知三角形的两边和其中一边的对角，解三角形时可能会出现无解、

唯一解、两解的情况，应注意判别解的情况.

例如已知a,6及A时

(1)若4»90°时，

当a>b时，有一解；

当。砂时，由“三角形中大边对大角”可知此时无解.

(2)若A<90°时,

五、课堂小结

用正弦定理，可以解决以下两类解斜三角形的问题：

(1)已知三角形的两角与任一边，求其他两边和一角；

(2)已知三角形的两边与其中一边的对角，求另一边的对角

(从而进一步求出其他的边和角).

余弦定理

二、复习向量的数量积及利用向量知识证明勾股定理

在直角三角形中

1、向量的数量积：«-S=|cz||Z?lCOS0

2、勾股定理：a2+b2=c2

二、用多种方法证明余弦定理

三、余弦定理的文字叙述、变形形式及其应用

余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去

这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.

«2=b2+c2-2bccosA

b2=cT+C1-laccosB

c2=a2+b2-labcosC

变形：

2bc

cos3=匕j

2bc

cosC=^±^

lab

从理论上,余弦定理可解决两类问题：

(1)已知三边求三个角

(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角

三、余弦定理的例题

1、在AABC中，已知aZu/+H+bc,则角A等于()

nTC27c7C_27r

A.—B.—C.——D.一或——

36333

2、如果等腰三角形的周长是底边边长的5倍，那么它的

顶角的余弦值为()

37

B.-D.

'A4I

3、在AABC中，A=60,Z?=1,SABC

a+b+c

则)

sinA+sinB+sinC

n2屈V39

D.--------------D.--

326

3、在AABC中，已知sinA=2cosBsinC,则三角形形状为

5、在AABC中，a=b+2,b=c+2,又最大角的正弦等于J,则

2

三边长为

6、AABC满足-c°sA=@,试判断三角形的形状

1-cosBb

7、如图，AM是AASC边3C边上的中线,

求证：AM=；J2(AB2+AC?)_5c2

正弦定理、余弦定理的综合应用

四复习三角形中有关的公式

1、内角和定理：三角形内角和为万

2、正弦定理及变式

已知三角形两边和一对角，运用正弦定理求解时，务必注意可能

有两解.

3、余弦定理及变式

4、射影定理：a=bcosC+ccosB

面积公式：S=~aK=^absinC=-^r(a+b+c)(其中厂为三

5、

角形内切圆半径)

二、典型例题分析

例1.锐角AA5c中，。,瓦。分别是角4瓦。的对边，

(1)若(a+c)(a-c)=仇人一。)，求NA的大小;

(2)y=2sin2B+sin(23+二)取最大值时，求/B的大小.

例2.在AABC中，角A5。的对边分别是。力,。，tanC=3A/7,

(1)求cosC；

(2)若CB-C4=3,且a+6=9,求c.

2

例3.设AABC的内角A,3,C的对边分别是a,dc,且A=60,c=3b,

(1)区的值；

c

(2)cotB+cotC的值.

例4.设AABC的内角A,3,C的对边分别是,且acosB=3,

bsinA=4,

(1)求边长a；

(2)若A/U3C的面积S=10,求AABC的周长/.

解三角形应用举例

五、复习

3、实际应用问题中的基本概念和术语

①仰角和俯角

②方位角

③坡角

4、解斜三角形应用题应遵循的步骤

①分析

②建模

③求解

④检验

5、解斜三角形应用题常有的几种情形

六、典型例题分析

例1：要测量对岸两点A3之间的距离，选取相距百km的

两点，并测得ZAC5=75°,ZBCD=45°,ZADC=30°,

NADB=45°,求A,3之间的距离.

变式演练1：设两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在4

所在的河岸边选定一点。，测出AC的距离为50m,

ZACB=45°,ZG4B=105°后，就可以计算A,B两点的距离为

例2：某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40米后，望见

塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为30°,求塔高.

变式演练2：为了测量上海东方明珠塔的高度，某人站在A处测得

塔尖的仰角为75.5°,前进38.5m后，到达6处测得塔尖的仰角为

80°,试计算东方明珠塔的高度(精确到1m,sin75.5°«0.96814,

sin4.5°®0.07846,sin80°»0.98481)

例3：在海岸4处发现北偏东45°方向，距4处(6-1)海里的8

处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的

我方缉私船，奉命以10通海里/小时的速度追截走私船，此时走私

船正以10海里/小时的速度，从B处向北偏东30°方向逃窜.

问：缉私船应沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时

间.

变式演练3：如图所示，海中小岛A处周围38海里内有暗礁，一

轮船正向南航行，在3处测得小岛A在船的南偏东30°,航行30

海里后，在C