2024年中考数学复习讲义：二次函数与面积

二、二次函数与面积

依据三角形的面积公式，利用“等底、等高、就等积”的原理，结合平行线的有关性质来解题.

AD

B

模型：SAABC-SADBC-

丢分题精析

例1如图(a),已知直线y=-与抛物线y=-：/+6交于A,B两点.

(1)求A,B两点的坐标.

(2)P为抛物线在直线AB上方的一点，当△PAB的面积最大时求P点坐标，并求出这个最大值.

平行线同底等高

y=x2-2x-24-=0,(x-6)(^+4)=0,

解:(1)联立=-ix2+6,化简得

A(6,-3)B(-4,2).

(2)如图(b),将直线AB向上平移，交y轴于C点与抛物线相切于P点.

设直线CP:y=-|x+b,

y---x+b,

联立\：化简得-2%+4b—24=0,

(y=--x2+6,

••.直线CP相切于抛物线，，只有一个交点，故A=4-4(4b-24)=0,

b=亳代入方程得%2-2%+1=0,(x-I)2=0,x=1,P(1)'

乂「C(0弓)，,SABC=SAOc+S”xc=9X与(4-6)=等.

125

・•,CPAB,••・SPAB=SABC=

提示：求面积最大值时，往往利用直线与曲线的相切，来找出最远距离，再利用一个交点则根的判别式为零

可求出相关值来.一次函数中平行线的k值相等.

例2已知抛物线y=-ax2+2ax+6与x轴交于A(-l,O),B(x,O)两点与y轴的负半轴交于点C,且OB=OC.

⑴求抛物线的解析式.

(2)在x轴上方的抛物线上找出点P,使得SPBC=2SOBC.

解：(1)对称轴方程x=一?代入得x=l,

2a

VA(-1,O),.*.B(3,O),

又；OB=OC,；.C(0,-3),

分别将B(3,0)和C(0,-3)代入得解析式为y=%2-2%-3.

⑵如图，将直线BC向上平移至y轴的D点使OC=OD交抛物线于P1

，则直线的解析式为

P2PiP2y=x+3,平行线6值等

y=x+3,

化简得一一3x-6=0.

y=x—2x—3,

3+733

提示：利用平行线k值相等以及三角形面积在平行线中的“等底、等高、等积”的性质可解得此题.

例3如图(a),抛物线y=aY+6久+c与x轴负半轴交于力(-1，0),B两点，与y轴负半轴交于C点，且OB=O

C=3AO.

⑴求抛物线的解析式.

⑵如图(b),D点在y轴的正半轴上，OD=OC,F点是x轴正半轴上的一动点，FE1DF交线段BC于E,设线

段OF的长度为x,SDEF=1.当F点运动时，求y与x的函数关系式，并写出自变量的取值范围.

构造全等

解:⑴：OB=OC=3AO,A(-1,0),

.♦.B(-3,0),C(0,-3)代入解析式得y=-x2-4x-3.

-DH=BF,

⑵如图(b),在y轴上截取011=0旦在4DFH^AFEB中,NFDH=乙EFB,

▲DHF=乙EBF,

：.△DFH妾△EFB(ASA),

2

DF=EF,：.DF=/+9,sDEF==((/+9),

•••y=x2+9(0<x<3).

提示：构造全等三角形、利用勾股定理即可得解.

去分题精练

1.在平面直角坐标系中，抛物线y=x2-2x-3交坐标轴分别为A,B,C三点，过点D(0,3)的直线1交抛物线于

M,N,当SAAMN=2SBMN时，求直线1的解析式.

第1题图

2.在平面直角坐标系中，抛物线y=x2-2x-3交坐标轴分别为A,B,C三点，点M在第四象限的抛物线

第2题图

3.在平面直角坐标系中，抛物线y=-必+2x+3交坐标轴分别为A,B,C三点.

(1)请在X轴下方的图象上找出点P，使s4cp=SBCP，

⑵请在X轴下方的图象上找出一点Q，使SQAC=SBAC.

2

4.已知抛物线yax+bx-8a与x轴交于A(-2,0),B(x,0)两点，与y轴正半轴交于C点，且S^B0C-S40c=4.

⑴求抛物线的解析式.

⑵若P为x轴下方抛物线上一点，直线PC交x轴于Q点，且SACQ>S^pQ.求P点横坐标的取值范围.

5.已知抛物线y=x2-2x+a与直线.y=x+1有两个交点A,B(A在B的左边),且均在x轴的上方.

⑴试求a的取值范围.

⑵若AE1x轴,.BF，x轴，E,F为垂足.当四边形ABFE的面积为争寸，求a的值

第5题图

2

6.抛物线y=ax+mx+a+2S经过点A(-l,O),B(x,O),交y轴负半轴且SABC=6.

⑴求抛物线的解析式.

⑵过。(0,-1)作直线1交抛物线于M,N两点，若SNDC=8SM/DC•求直线>的解析式.

第6题图

7.已知抛物线y=ax?一(a+m-2)久-a-2m+44与x轴交于A(--l,O),B(x,O)两点与y轴负半轴交于点C,

且(+OB=。。+1.

⑴求抛物线的解析式.

⑵过点D(0,2)作直线1交抛物线于M,N两点且S0MN=2痣求直线1的解析式.

8.如图(a)四边形OABC是矩形,0A=4,。。=8,,将矩形OABC沿直线AC折叠使点B落在D处AD交0C于

⑴求E点坐标

⑵求经过O,D,C三点抛物线的解析式.

(3)如图(b),若F为⑵中抛物线的顶点，一动点P从点A出发，沿射线AB以每秒一个单位长度的速度匀速前

行.当运动时间为t(秒)时，直线PF把△F4C分成面积之比为1:3的两部分.求t的值.

(a)(b)

第8题图

9.如图(a),直线y=Rx+(2+百)分别交坐标轴于A,C两点，点B为线段AC的中点，连接0B,将ABOC

折叠，折痕.EF||x轴，点B落在0C线段的点F处.

⑴求点E和点F的坐标.

⑵若经过点E,F的抛物线与x轴交于点G,H两点，且G的坐标为((四，0)求抛物线的解析式.

⑶如图(b),若点P是该抛物线图象在x轴下方上一点，边PF交x轴于N,且SGFN>|SGFP.求P点横坐标的

10.已知抛物线yax2+bx+c经过原点，顶点(吗),抛物线与x