2021年中考数学高频考点突破 -分式与分式方程（原卷版）

考点4.分式与分式方程

知识框架:

'分式的相关概念

分式的基本性质

约分与通分

基础知识点＜

分式的运算

分式方程的概念

分式方程的解法

'分式有意义和无意义的条件

分式值为零的条件

分式的基本性质

分式的化简求值

重难点题型＜

解分式方程

分式方程含参（一）（有增根和无解）

分式方程含参（二）（解为正数或负数）

.分式方程含参（三）（整数解问题）

基础知识点:

知识点1-1分式的相关概念

AA

（1）一般地，整式A除以整式8,可以表示成一的形式，如果除式B中含有字母，那么称一为分式.

BB

A

（2）分式一中，A叫做分子，8叫做分母.

B

AAA

注：①若用0,则一有意义；②若2=0,则一无意义；③若4=0且母0,则一=0.

BBB

知识点1-2分式的基本性质

1）分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变.

AA.CAA-C

用式子表示为一=一^（CHO）或一=—^（CwO）,其中A,B,C均为整式.

BBCBB三C

知识点1-3约分与通分

1）约分及约分法则

约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分.

约分法则：把一个分式约分，如果分子和分母都是几个因式乘积的形式，约去分子和分母中相同因式的最

低次幕；分子与分母的系数，约去它们的最大公约数.如果分式的分子、分母是多项式，先分解因式，然

后约分.

注：约分的根据是分式的基本性质.约分的关键是找出分子和分母的公因式.

2）通分及通分法则

通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这一过程

称为分式的通分.

通分法则：把两个或者几个分式通分：①先求各个分式的最简公分母（即各分母系数的最小公倍数、相同

因式的最高次募和所有不同因式的积）；②再用分式的基本性质，用最简公分母除以原来各分母所得的商

分别去乘原来分式的分子、分母，使每个分式变为与原分式的值相等，而且以最简公分母为分母的分式；

③若分母是多项式，则先分解因式，再通分.

注：通分的根据是分式的基本性质.通分的关键是确定几个分式的最简公分母.

3）最简分式

分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式.

注：约分一般是将一个分式化为最简分式，分式约分所得的结果有时可能成为整式.

4）最简公分母

几个分式通分时，通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次募的积作为公分母，这样的分

母叫做最简公分母.

知识点1-4分式的运算

1）分式的加减

nc〃+「

①同分母的分式相加减法则：分母不变，分子相加减.用式子表示为：一±—

bbb

②异分母的分式相加减法则：先通分，变为同分母的分一式，然后再加减.

acadbead+bc

用式子表示为:—1-------------------------------------

bdbdbdbd

2）分式的乘法

乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.用式子表示为：

bab-d

3）分式的除法

除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘.

由tn拿=弟ac

用式子表示为：----=-a--d-=-a—-d•

babeb-c

4）分式的乘方

乘方法则：分式的乘方，把分子、分母分别乘方.用式子表示为：（£）〃="（〃为正整数，人。。）.

5）分式的混合运算

含有分式的乘方、乘除、加减的多种运算叫做分式的混合运算.

混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减.有括号的，先算括号里的.

知识点1-5分式方程的概念

分母中含有未知数的方程叫做分式方程.

注：“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别，也是判定一个方程为分式方程的依据.

知识点1-6分式方程的解法

1）解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是去分母，即方程两边同乘以各分式的最

简公分母.

2）解分式方程的步骤：

①找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式；

②去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程；

③解整式方程；

④验根.

注：解分式方程过程中，易错点有：①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项；

②忘记验根，最后的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解.

3）增根

在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根.由于可能产生增根，所以解分

式方程要验根，其方法是将根代入最简公分母中，使最简公分母为零的根是增根，否则是原方程的根.

注：增根虽然不是方程的根，但它是分式方程去分母后变形而成的整式方程的根.若这个整式方程本身无

解，当然原分式方程就一定无解.

重难点题型

题型1分式有意义和无意义的条件

【解题技巧】分式有意义的条件：分母不等于0.反之就就是无意义的条件。

1.（2020•湖南衡阳•中考真题）要使分式,有意义，则x的取值范围是（）

x-1

A.x>lB.x^lC.x=lD.xwO

2.（2020•江苏南京•中考真题）若式子1—一匚在实数范围内有意义，则x的取值范围是.

x-1

3.（2020•云南昆明•中考真题）要使一7有意义，则x的取值范围是____.

x+1

4.（2020•湖南郴州•中考真题）若分式’的值不存在，则％=

X+1

5.（2020•贵州贵阳•中考真题）当x=l时，下列分式没有意义的是（）

Xx-lXx+1

2

6.（广西贵港•中考真题）若分式——的值不存在，则x的值为.

x+1

题型2分式值为0的条件

【解题技巧】满足分式的值为0的条件：分子为。分母不为0.

L（2020•浙江金华•中考真题）分式不v-L的5值是零，则x的值为（）

x-2

A.5B.2C.-2D.-5

X-1

2.（2020•四川雅安•中考真题）若分式—的值为0,则x的值为（）

x+1

A.0B.1C.-1D.±1

3

3.（2020•江苏淮安・）方程——+1=0的解为.

x-l

x—1

4.（2019•北京中考真题）若分式——的值为0,则x的值为.

X

1x1-1

5.（2019•山东聊城•中考真题）如果分式^^—的值为0,那么x的值为（）

x+1

A.-1B.1C.-1或1D.1或0

Y—3

6.（浙江丽水•中考真题）若分式的值为0,则X的值为（）

x+3

A.3B,-3C.3或一3D.0

7.（2020•内蒙古中考真题）下列命题正确的是（）

2

A.若分式Y^^-4~的值为0,则元的值为±2.B.一个正数的算术平方根一定比这个数小.

x-2

若…'则A震

cD.若c»2,则一元二次方程f+2x+3=c有实数根.

题型3分式的基本性质

【解题技巧】分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值

不变.

1.（2020•河北中考真题）若标b,则下列分式化简正确的是（)

1

一Q

a+2_aBct-2_aa2a7a

A.D.J=一

2

b+2bb-2bbb-1b〃b

2

Y+1

2.（2020•浙江湖州•中考真题）化简：--------=______.

x+2%+1

（2019•江苏扬州•中考真题）分式」一可变形为（）

3.

3-x

1111

A.----B.-----C.----D.-----

3+x--------------3+x-------------x-3x—3

4.（山东莱芜•中考真题）若x,y的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（）

2+xc.M2y2

A.----B.RD.

%一＞x23x2(X-»

5.(浙江义乌•中考真题)下列计算错误的是（）

0.2a+b2a+bx3y2xa-b123

A.B.「3=C.二1D.—I—=一

0.7a-b7a-bx-yyb-accc

Y+1

6.（福建三明•中考真题）化简：3.

x,-l

7.（贵州贵阳•中考真题）分式化简的结果为—.

a+2a

分式J与，的最简公分母是一

8.（广西桂林•中考真题）

题型4分式的化简求值

【解题技巧】与实数运算类似，分式的混合运算应先乘方、后乘除、最后加减，有括号时，先算括号里面

的，并恰当运用运算律简化运算。一个分式与一个整式相加减时，可以把整式视为分母为1的分式，以免

通分漏项。

1.（2020•浙江衢州•中考真题）先化简，再求值：—,其中a=3.

"Cellc1

-I-4V-I-4Y-I-9

2.（2020•四川遂宁•中考真题）先化简，一…十今-x-2）+'然后从-2WxW2范围内选取一

必-4x-2

个合适的整数作为尤的值代入求值.

（Y—1x+2、4—x

3.（2020•山东德州•中考真题）先化简：———k2/,然后选择一个合适的尤值代入求值.

I-VOvI/A\A

4.（2020•湖南怀化•中考真题）先化简，再求值：［工-一二］+学:，然后从-1,0,1中选择适当的

IVIVI11

数代入求值.

5.（2。2。•河南中考真题）先化简，再求直［1-乙卜号，其中"6+1

m（3।

6.（2020•江苏盐城•中考真题）先化简，再求值：-1+--,其中能=-2.

m-9Im-3）

7.（2020•山西中考真题）（1）计算:

（2）下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务.

X2-92X+1

x2+6x+92x+6

(x+3)(x-3)2x+l

第一步

(X+3)22(7+3)

x-32x+l

第二步

x+32(x+3)

2(x-3)2x+l

2(x+3)-2(x+3)第三步

2x—6—(2x+1)

第四步

2(x+3)

2x—6—2,x+1

―-2(1+3)-第五步

5

第六步

2x+6

任务一：填空：①以上化简步骤中，第步是进行分式的通分，通分的依据是或

填为；

②第步开始出现错误，这一步错误的原因是；

任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果；

任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一

条建议.

（4Yx）x

8.（2。2。•辽宁丹东•中考真题）先化简’再求代数式的值：二一六‘不'其中户8,6。。+6T.

（m2m]m

9.（2020糊南娄底•中考真题）先化简-----------然后从-3,0,1,3中选一个合适的数

\m+3m-3）m-9

代入求值.

10.（2020•内蒙古赤峰中考真题）先化简，再求值：根--"T+S,其中相满足：m2-/n-l=0.

m+2m+1m

题型5解分式方程

【解题技巧】分式方程的解法:①去分母（方程两边同时乘以最简公分母，将分式方程化为整式方程）;②

按解整式方程的步骤求出未知数的值;③检验（求出未知数的值后必须验根，因为在把分式方程化为整

式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根）.

X2

1.（2020•江苏常州•中考真题）解方程：--+——=2；

X—11—X

3

2.（2020•海南中考真题）分式方程——二1的解是（）

x-2

A.x=—lB.x—\C.x=5D.x=2

21

3.（2020•黑龙江哈尔滨•中考真题）方程-一的解是（）

x+5x-2

A.x=—lB.x—5C.%=7D.x=9

32

4.（2020•山东济南•中考真题）代数式——与代数式一的值相等，贝鼠=

x-1x-3

2尤4

5.（2020•黑龙江大庆•中考真题）解方程：----1=—

x-1x-1

X4

6.（2020•湖南郴州•中考真题）解方程：一=--+1

x-1x-1

r-33

7.（2020•山东日照•中考真题）解方程：-—+1=——

x-22-x

8.（2020•浙江杭州•中考真题）若分式一L的值等于1,贝卜=.

X+1

1—X1

9.（2019•山东淄博•中考真题）解分式方程一―-2时，去分母变形正确的是（）

x-22-x

A.-1+x=—1-2（x—2）B.1—x=l—2（x—2）C.-1+%=1+2（2—x）D.l—x=—1—2（%—2）

2无Q

10.（2020•内蒙古呼和浩特•中考真题）分式——与2c的最简公分母是_______方程

x-2x—2x

lx8

=1的解是.

x-2x2-lx

题型6分式方程含参（一）（有增根和无解）

【解题技巧】方程有增根，则这个根使得分式的分母为0.利用这个条件，我们可以先求解出增根的情况,

在根据题意求解出其他字母的值。

HZ3

1.（2020•四川遂宁•中考真题）关于1的分式方程------=1有增根，则根的值（）

%-22-x

A.m=2B.m=1C.m=3D.m=-3

3Yn7+3

2.（2020•山东潍坊•中考真题）若关于x的分式方程——=-^+1有增根，则加=

x-2x-2

X2^77

3.（2019•四川巴中•中考真题）若关于x的分式方程一^+——=2机有增根，则m的值为

x-22-x

|vnm+3

4.（2。18•黑龙江齐齐哈尔•中考真题）若关于x的方程三+不=?/无解’则加的值为一

x

5.（2018•四川达州•中考真题）若关于x的分式方程——+——=2。无解，则a的值为

X—33-%

6.（山东东营•中考真题）若分式方程E二上=a无解，则二的值为

X+1

3XTT1+3

7.（2019•山东烟台•中考真题）若关于x的分式方程上一-1=一^有增根，则加的值为.

x-2x-2

题型7分式方程含参（二）（解为正数或负数）

3Xryi

1.（2020•黑龙江齐齐哈尔•中考真题）若关于x的分式方程上-=——+5的解为正数，则根的取值范围

x-22-x

为（）

A.m<-10B.机WTOC.，?1'-10且机。-6D.机>-10且机。-6

m3

2.（2020•四川泸州•中考真题）已知关于x的分式方程——+2=------的解为非负数，则正整数机的所

x-11-x

有个数为（）

A.3B.4C.5D.6

11_t

3.（2020•四川眉山•中考真题）关于x的分式方程——+2=——的解为正实数，则左的取值范围是

x-22-x

4.（2020•黑龙江鹤岗•中考真题）已知关于x的分式方程一--4=一上的解为非正数，则％的取值范围

x—33—x

是（）

A.kw—12B.k>-12C.k>-12D.左<—12

x-1<11+x

5.（2020•云南中考真题）若整数。使关于x的不等式组〈行——二—,有且只有45个整数解，且使关于

4x-a>x+1

2y+a+260.

》的方程=~—+;­=1的解为非正数，则。的值为（）

y+11+y

A.-61或-58B.-61或-59C.-60或-59D.-61或-60或-59

Y+"k

6.（四川成都•中考真题）已知关于x的分式方程--——；=1的解为负数，则上的取值范围是.

x+1x-1

7.（2020•内蒙古包头•初三学业考试）若关于x的方程三£+」-=2的解为非负数，则”的取值范围是

x-22-x