2024年中考数学压轴题突破二次函数与矩形存在性问题（学生版）

专题8二次函数与矩形存在性问题

考法综述

L矩形的判定：

(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形；

(2)对角线相等的平行四边形是矩形；

(3)有三个角为直角的四边形是矩形.

2.题型分析

矩形除了具有平行四边形的性质之外，还有“对角线相等”或“一个角为直角”，因此相比起平行四边形,

坐标系中的矩形满足以下3个等式：

xA+xc=xB+xD

”+出=券+%

22

-X(.)+(为7)=f)+(几-为『

因此在矩形存在性问题最多可以有3个未知量，代人可以得到三元一次方程组，可解.

确定了有3个未知量，则可判断常见矩形存在性问题至少有2个动点，多则可以有3个.下：

同时，也可以先根据A、B的坐标求出直线AB的解析式，进而得到直线AD或BC的解析式，从而确定C

或D的坐标.

典例剖析.

【例11(2022•泸州)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=/+x+c经过/(-2,0),B

(0,4)两点，直线x=3与x轴交于点C.

(1)求a,c的值;

(2)经过点。的直线分别与线段48,直线x=3交于点。，E,且△3£>O与的面积相等，求直

线。£的解析式；

(3)产是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段OC和直线x=3上是否分别存在点用G,使2,

F,G,尸为顶点的四边形是以89为一边的矩形？若存在，求出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

【例2】(2022•绥化)如图，抛物线y=^2+bx+c交y轴于点/(0,-4),并经过点C(6,0),过点/作

轴交抛物线于点3,抛物线的对称轴为直线x=2,。点的坐标为(4,0),连接4D,BC,BD.点、

£从/点出发，以每秒、历个单位长度的速度沿着射线运动，设点£的运动时间为加秒，过点E作

EF1AB于尸，以EF为对角线作正方形EGFH.

(1)求抛物线的解析式；

(2)当点G随着£点运动到达3C上时，求此时m的值和点G的坐标；

(3)在运动的过程中，是否存在以2,G,C和平面内的另一点为顶点的四边形是矩形，如果存在，直

接写出点G的坐标，如果不存在，请说明理由.

备用图

【例3】(2022•黔东南州)如图，抛物线y=ax2+2x+c的对称轴是直线x=l,与x轴交于点A,B(3,0),

与〉轴交于点。，连接/C

(1)求此抛物线的解析式；

(2)已知点。是第一象限内抛物线上的一个动点，过点。作。轴，垂足为点DW交直线3c

于点N,是否存在这样的点N,使得以/,C,N为顶点的三角形是等腰三角形.若存在，请求出点N的

坐标，若不存在，请说明理由；

(3)已知点£是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点尸，使以点8、C、E、尸为顶点的四边

形为矩形，若存在，请直接写出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

【例4】.(2022•梁山县一模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a/+bx+c(a<0)与x轴交于/(-2,

0),5(4,0)两点，与了轴交于点C,且。C=204

(1)试求抛物线的解析式；

(2)直线》=丘+1(左>0)与y轴交于点。，与抛物线交于点尸，与直线3c交于点记加=里，试

DM

求m的最大值及此时点尸的坐标；

(3)在(2)的条件下，加取最大值时，点。是x轴上的一个动点，点N是坐标平面内的一点，是否存

在这样的点0、N,使得以P、D、。、N四点组成的四边形是矩形？如果存在，请求出点N的坐标；如

果不存在，请说明理由.

1.(2022•武功县模拟)在平面直角坐标系中，已知抛物线£i：y=-j^+bx+c(6、c为常数)与x轴交于/

(-6,0)、3(2,0)两点.

(1)求抛物线£1的函数表达式；

(2)将该抛物线Zi向右平移4个单位长度得到新的抛物线L2,与原抛物线Li交于点C点D是点C

关于x轴的对称点，点N在平面直角坐标系中，请问在抛物线上上是否存在点"，使得以点C、D、M、

N为顶点的四边形是以CD为边的矩形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

2.(2022•东莞市校级一模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=»x2+bx+c与x轴的正半轴交于点。，

6

与/轴交于点C,点/在抛物线上，轴于点3△ABC绕点8逆时针旋转90°得到△02E,连接

DE.当包x2+6x+c＜0时，x的取值范围是-3＜彳＜2.

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(1)求该抛物线的解析式；

(2)求证：四边形OBED是矩形；

(3)在线段。。上找一点N,过点N作直线加垂直x轴，交OE于点F,连接。足当△DNF的面积取

得最大值时，求点N的坐标，在此基础上，在直线机上找一点尸，连接。尸、DP.使得乙。叫+乙。OE

=90°,求点尸的坐标.

3.(2022•石家庄二模)如图，抛物线y=-f+bx+c(cWO)与x轴交于点/(-1,0),8(点/在点8左

侧)，与夕轴交于点C,连接3C

(1)点。的纵坐标为(用含b的式子表示)，AOBC=度；

(2)当6=1时，若点P为第一象限内抛物线上一动点，连接BP,CP,求△BCP面积的最大值，并求

出此时点P的坐标；

(3)已知矩形即的顶点。，尸分别在x轴、y轴上，点E的坐标为(3,2).

①抛物线的顶点为。，当的中点落在直线M上时，求点。的坐标；

②当抛物线在矩形内部的部分对应的函数值y随x的增大而减小时，请直接写出b的取值范

x2+bx+c与X轴交于点/(-1,0)、3

(4,0)两点，与y轴交于点C,连接8C,直线"W：y=2x+相交7轴于点P为直线8C上方抛物

线上一动点，过点尸作x轴的垂线，分别交直线3C、3M于点E、F.

(2)当点尸落在抛物线的对称轴上时，求△P8C的面积:

(3)①若点N为y轴上一动点，当四边形3硒F为矩形时，求点N的坐标;

②在①的条件下，第四象限内有一点。，满足QN=0“，当△QN5的周长最小时，求点。的坐标.

5.(2022•石家庄模拟)某公园有一个截面由抛物线和矩形构成的观景拱桥，如图1所示，示意图如图2,

且已知图2中矩形的长ND为12米，宽N3为4米，抛物线的最高处£距地面3c为8米.

(1)请根据题意建立适当的平面直角坐标系，并求出抛物线的函数解析式;

(2)若观景拱桥下放置两根长为7米的对称安置的立柱，求这两根立柱之间的水平距离;

(3)现公园管理处打算在观景桥侧面搭建一个矩形“脚手架”PQMN(如图2),对观景桥表面进行维护,

P,N点在抛物线上，Q,M点在2C上，为了筹备材料，需求出“脚手架”三根支杆PQ,PN,的

长度之和的最大值，请你帮管理处计算一下.

E

6.(2022•朝阳区校级一模)已知二次函数歹=，-2小-加与了轴交于点河，直线＞=切+5与y轴交于点/,

与直线x=4交于点8,直线＞=-2%与y轴交于点。(/与。不重合)，与直线x=4交于点C,构建矩

形ABCD.

(1)当点M在线段上时，求加的取值范围.

(2)求证：抛物线y=x2-2mx-m与直线y=m+5恒有两个交点.

(3)当抛物线在矩形内部的函数值y随着x的增大而增大或y随x的增大而减小时，求"的取值范围.

(4)当抛物线在矩形内部(包括边界)最高点的横坐标等于点3到x轴距离的工时，直接写出m的取

2

值范围.

7.(2022•长春一模)已知抛物线歹=，-2加x+2〃z+l.

(1)写出抛物线ynx2-2mx+2m+］的顶点坐标(用含m的式子表示).

(2)当xN1时，了随x的增大而增大，则m的取值范围是.

(3)当-1WXW2时，函数y=，-2机x+2〃z+l的图象记为G,设图象G的最低点的纵坐标为yo.当yo

=T时，求加的值.

(4)当机＞0时，分别过点/(2,1)、2(2,4)作y轴垂线，垂足分别为点。、点C,抛物线在矩形

ABCD内部的图象(包括边界)的最低点到直线y=-2的距离等于最高点到x轴的距离，直接写出m的

值.

8.(2021•咸丰县一模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-1x2+bx+1•与x轴正半轴交于点4且点

力的坐标为(3,0),过点N作垂直于x轴的直线/,P是该抛物线上一动点，其横坐标为m,过点P作

P0，/于点。，M是直线/上的一点，其纵坐标为以尸。，QM为边作矩形PQMN.

(1)求抛物线的解析式；

(2)当点Q与点M重合时，求m的值；

(3)当矩形PQMN是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求机的值；

(4)当抛物线在矩形尸内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，求m的取值范围.

9.(2022•白山模拟)在平面直角坐标系中，抛物线y=--+2x+6(6为常数，6X0)与y轴交于点/,且

点工的坐标为(0,3),过点/作垂直于y轴的直线/.P是该抛物线上的任意一点，其横坐标为机，过

点尸作尸。，/于点。，M是直线I上的一点，其横坐标为-m+1.以PQ,QM为边作矩形PQMN.

(1)求6的值；

(2)当点。与点M重合时，求m的值；

(3)当矩形尸QW为正方形时，求m的值；

(4)当抛物线在矩形尸。内的部分所对应的函数值y随x的增大而增大时，直接写出m的取值范围.

10.(2021•吉林四模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线歹=工2+乐-互■与x轴交于点/(5,0),与该

22

抛物线的对称轴/交于点3,作直线NAP是该抛物线上的任意一点，其横坐标为沉,过点尸作x轴的

垂线交N8于点0,过点P作于点N,以尸0、PN为边作矩形

(1)求抛物线的解析式；

(2)求直线N3的解析式；

(3)当该抛物线被矩形PQW截得的部分图象的最高点纵坐标与最低点纵坐标的距离为2时，求点尸

的坐标；

(4)当该抛物线与坐标轴的交点到直线MQ的距离相等时，直接写出m的值.

y

11.(2021•南关区校级二模)在平面直角坐标系中，抛物线＞=，-2"(。为常数).

(1)当(一)在抛物线上，求m的值.

2

(2)当抛物线的最低点到x轴的距离恰好是工时，求a的值.

4

(3)已知/(-1,1k5(-1,2a-A),连接NA当抛物线与线段有交点时，记交点为尸(点P

2

不与/、B重合)，将线段PB绕点P顺时针旋转90°得到线段PM,以PM、PA为邻边构造矩形PMQA.

①若抛物线在矩形PMQA内部的图象的函数值y随自变量x的增大而减小时，求a的取值范围.

②当抛物线在矩形/^，内部(包含边界)图象所对应的函数的最大值与最小值的差为当时，直接写出

。的值.

12.(2021•吉林二模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线夕=工工2-X-3与x轴正半轴交于点N,过点/

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的直线y=(4,0)与该抛物线的另一个交点3的横坐标为2,尸是该抛物线上的任意一点，其横坐

标为加+1,过点P作x轴的垂线，交直线N3于点C,在该垂线的点P上方取一点。，使尸。=1,以CD

为边作矩形CDEF,设点E的横坐标为2m.

(1)求直线48对应的函数关系式；

(2)当点P与点A重合时，求点E的坐标；

(3)当点E在该抛物线上时，求抛物线的顶点到即的距离；

(4)当矩形CDEF的一组邻边与该抛物线相交，且该抛物线在矩形内的部分所对应的函数值y

随x的增大而增大时，直接写出m的取值范围.

13.(2020•吉林)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-工？+8+旦与x轴正半轴交于点/,且点/的

22

坐标为(3,0),过点N作垂直于x轴的直线/.尸是该抛物线上的任意一点，其横坐标为加，过点尸作

g/于点。，/是直线/上的一点，其纵坐标为-呜■.以PQ,为边作矩形

(1)求6的值.

(2)当点。与点M重合时，求m的值.

(3)当矩形PQVW是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求”的值.

(4)当抛物线在矩形儿W内的部分所对应的函数值7随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围.

(备用图)

14.(2022•长春模拟)在平面直角坐标系中，已知抛物线y=/+6x+c(6、c是常数)经过点(0,-1)和

(2,7),点/在这个抛物线上，设点A的横坐标为m.

(1)求此抛物线对应的函数表达式并写出顶点C的坐标.

(2)点3在这个抛物线上(点B在点A的左侧)，点B的横坐标为-1-2m.

①当4ABC是以AB为底的等腰三角形时，求OABC的面积.

②将此抛物线/、8两点之间的部分(包括/、8两点)记为图象G,当顶点C在图象G上，记图象G

最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为氏求力与加之间的函数关系式.

(3)设点。的坐标为(加,2-加)，点£的坐标为(1-%，2-%),点尸在坐标平面内，以/、D、E、

厂为顶点构造矩形，当此抛物线与矩形有3个交点时，直接写出m的取值范围.

15.(2022•丹东)如图1,抛物线y=ax2+x+c(a关0)与x轴交于N(-2,0),B(6,0)两点，与y轴交

于点C,点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作轴，垂足为D,PD交直线BC于点E,

设点P的横坐标为m.

(1)求抛物线的表达式；

(2)设线段PE的长度为肌请用含有m的代数式表示h;

(3)如图2,过点尸作P/UCE,垂足为尸，当CP=即时，请求出加的值；

(4)如图3,连接CP,当四边形OCPD是矩形时，在抛物线的对称轴上存在点。，使原点。关于直线

C。的对称点O'恰好落在该矩形对角线所在的直线上，请直接写出满足条件的点。的坐标.

图1图2图3

16.如图,已知抛物线Ci：y=aix2+6ix+ic和C2：>（|也|=㈤）都经过原点，顶点分别为

3,；与x轴的另一交点分别为M,N,如果四边形㈤VBM是平行四边形，则称抛物线Ci和C2为对称抛物

线.

（1）观察图象，写出对称抛物线两条特征；（如：抛物线开口大小相同）

（2）若抛物线Ci的解析式为>=-/+2x,确定对称抛物线C2的解析式.

（3）若MN=4,且四边形/VftW■是矩形时，确定对称抛物线G和C2的解析式.

17.（2022•福田区校级模拟）如图，抛物线.y=ax2+3x+c与x轴交于点/,B,直线y=x+l与抛物线交于点

A,C（3,〃）.点尸为对称轴左侧抛物线上一动点，其横坐标为m.

（1）求抛物线的解析式及其顶点的坐标.

（2）已知直线/：x=a+5与直线/C交于点D,过点尸（横坐标为"）,作PE，/于点£,以PE,DE为

边作矩形PEDF.

①当抛物线的顶点在矩形PEDF内部时，机的取值范围为（请直接写出）

②在①的条件下，求矩形尸9的周长的最小值.

2223

18.(2022•绿园区模拟)已知二次函数y=-yX+nx-y«+«-,点N、点3均在此二次函数的图象上，

点A的横坐标为1,点3的横坐标为2〃-2,在点A和点B之间的图象为G.

(1)当〃=2时，

①求二次函数图象的顶点坐标；

②当-1WXW3时，求y的取值范围.

(2)/8所在的直线交y轴于点C,过点/作轴于点。，以40、CD为邻边构造矩形4DCE,直

接写出当抛物线的顶点落在矩形ADCE的边上时〃的值.

(3)当图象G上存在两个点到直线y=3〃-4的距离为3,直接写出满足条件的〃的取值范围.

19.(2022•罗湖区二模)【实践与探究】九(1)班数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经

历了实践一一应用一一探究的过程：

(1)实践：他们对一条公路上横截面为抛物线的单向双车道的隧道进行测量，测得隧道的路面宽为10加，

隧道顶部最高处距地面6.25加，并画出了隧道截面图，建立了如图①所示的直角坐标系，则该抛物线的

解析式为.

(2)应用：按规定，机动车辆通过隧道时，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为0.5%为

了确保安全，问该隧道能否让最宽3加、最高3.5加的两辆厢式货车居中并列行驶(两车并列行驶时不考

虑两车之间的空隙)？

(3)探究：该课题学习小组为进一步探索抛物线的有关知识，他们借助上述抛物线模型，提出了以下两

个问题，请予解答：

I.如图②，在抛物线内作矩形/3CD,使顶点C、。落在抛物线上，顶点/、3落在x轴上.设矩形

48czi的周长为/,求/的最大值.

H.如图③，过原点作一条y=x的直线。河，交抛物线于点交抛物线对称轴于点N,尸为直线。河

上一动点，过P点作X轴的垂线交抛物线于点。.问：在直线上是否存在点P,使以尸、N、。为顶

点的三角形是等腰直角三角形？若存在，请求出尸点的坐标；若不存在，请说明理由.

20.(2022•安徽模拟)如图；已知抛物线y=af+Bx+c与直线y=x+l交于两点3(3,n),且点/在x

轴上.

(1)求a,c,n的值；

(2)设点尸在抛物线上，其横坐标为m.直线/：x=机+5与直线AB交于点C,过点P作尸于点D,

以PD,CD为边作矩形PDCE,使得抛物线的顶点在矩形尸DCE内部.

①直接写出：加的取值范围是;

②求尸。+CD的最小值.

21.(2022春嘲阳区校级月考)已知抛物线2：y=-x2+4x+a(aT^O).

(1)抛物线A的对称轴为直线.

(2)当抛物线L上到x轴的距离为3的点只有两个时，求。的取值范围.

(3)当。＜0时，直线x=a、x=-3a与抛物线上分别交于点/、C,以线段/C为对角线作矩形4BCD,

且轴.若抛物线L在矩形/3CD内部(包含边界)最高点的纵坐标等于2,求矩形N3CA的周长.

(4)点河的坐标为(4,-1