2024年中考数学试题分类汇编：圆的有关计算与证明（29题）（解析版）

专题24圆的有关计算与证明（29题）

一、单选题

1.（2024.安徽.中考真题）若扇形AOB的半径为6,ZAOB=120°,则四的长为（）

A.2%B.3兀C.4万D.6TT

【答案】C

【分析】此题考查了弧长公式，根据弧长公式计算即可.

【详解】解：由题意可得，A8的长为与等=4万,

lol）

故选：C.

2.（2024.贵州・中考真题）如图，在扇形纸扇中，若NAO3=150。,04-24,则AB的长为（）

A.30兀B.25TIC.2071D.IOTT

【答案】C

【分析】本题考查了弧长，根据弧长公式：/=覆求解即可.

lot）

【详解】解：408=150。，04=24,

・AAizAL1507ix24__

••AB的长为———=20兀,

ioU

故选：C.

3.（2024.云南・中考真题）某校九年级学生参加社会实践，学习编织圆锥型工艺品.若这种圆锥的母线长

为40厘米，底面圆的半径为30厘米，则该圆锥的侧面积为（）

A.700兀平方厘米B.900兀平方厘米

C.1200兀平方厘米D.1600兀平方厘米

【答案】C

【分析】本题考查了圆锥的侧面积，先求出圆锥底面圆的周长，再根据圆锥的侧面积计算公式计算即可求

解，掌握圆锥侧面积计算公式是解题的关键.

【详解】解：圆锥的底面圆周长为271x30=60兀厘米，

圆锥的侧面积为,x60nx40=1200兀平方厘米，

2

故选：C.

4.（2024.四川甘孜.中考真题）如图，正六边形ABCDEF内接于＞0,OA=1,则48的长为（）

A.2B.招C.1D,3

【答案】C

【分析】本题考查了正六边形的性质，等边三角形的判定和性质，由正六边形的性质得到4408=60。,

得到A03为等边三角形，进而得至！JQ4=AS=1,判断出—AC®为等边三角形是解题的关键.

【详解】解：：ABCDM是正六边形,

360°

ZAOB=——=60°,

6

OA=OB,

A03为等边三角形,

Q4=AB=1,

故选：C.

5.（2024・广东广州•中考真题）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为72。的扇形，若扇形的半径/是5,

则该圆锥的体积是（）

28

C.2娓TID.

3

【答案】D

【分析】本题考查了弧长公式，圆锥的体积公式，勾股定理，理解圆锥的底面周长与侧面展开图扇形的弧

长相等是解题关键，设圆锥的半径为「，则圆锥的底面周长为2仃，根据弧长公式得出侧面展开图的弧长，

进而得出r=l,再利用勾股定理，求出圆锥的高，再代入体积公式求解即可.

【详解】解：设圆锥的半径为人则圆锥的底面周长为2万r,

圆锥的侧面展开图是一个圆心角为72。的扇形，且扇形的半径/是5,

•.•扇形的弧长为胃”=2万，

lot）

圆锥的底面周长与侧面展开图扇形的弧长相等,

2

2yir=2乃，

...r=1,

圆锥的高为-、=2后，

圆锥的体积为x2#=友"，

33

故选：D.

6.（2024.四川遂宁•中考真题）工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积.如图所示，排污管道的横截面

是直径为2米的圆，为预估淤泥量，测得淤泥横截面（图中阴影部分）宽48为1米，请计算出淤泥横截面

的面积（）

【答案】A

【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，等边三角形的判定和性质，求不规则图形的面积，过点。作

0/），至于。，由垂径定理得位＞=2。=142=l01,由勾股定理得。。=心m,又根据圆的直径为2米

222

可得。4=0B=AB,得到，A03为等边三角形，即得NAC®=60。，再根据淤泥横截面的面积

=5扇W微-5AOB即可求解，掌握垂径定理及扇形面积计算公式是解题的关键.

【详解】解：过点。作ODLAB于。，则===ZADO=90°,

\/D<V

A™B

•••圆的直径为2米,

•*.OA=OB=Im,

••在RtAOD中，OD=

OA=OB=AB,

・・・为等边三角形,

・•・ZAOB=60°,

2[15

60KxI-lxlx^=2

J淤泥横截面的面积=S扇形AOB-Sas—71---------m,

36022"4J

故选：A.

.四川广安・中考真题）如图,

7.（2024在等腰三角形A3C中,AB=AC=10fNC=70。，以AB为直径作

半圆，与AC,分别相交于点。,E,则DE的长度为（)

5兀c25兀

c,也D.——

9999

【答案】C

【分析】本题考查了求弧长.根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求得NA的度数，证明O£〃AC,

再由。4=OD,再由等腰三角形的性质和平行线的性质求得NOO石的度数，利用弧长公式即可求解.

【详解】解：连接。。，OE,

：.ZABC=ZC=70°f

9：OE=OB,

：.ZOEB=ZB=70°,

・・・ZOEB=ZC=7Q°

：.OE//AC,

在，ABC中，ZA+ZABC+ZC=180°,

・•・ZA=180°-ZABC-ZC=180°-70°-70°=40°,

XOA=OD=-AB=5

2f

•：OEAC

：.ZA=ZADO=40°=ZDOE,

4

,,[/^40Kx510K

的长度为一k

loU~9~

故选：C.

8.（2024.山东威海.中考真题）如图，在扇形AQB中，NAO5=90。，点。是AO的中点.过点。作CELAO

交AB于点E，过点E作石。垂足为点O.在扇形内随机选取一点尸，则点尸落在阴影部分的概率

2

C.D.

~23

【答案】B

【分析】本题考查的是求不规则图形的面积，几何概率，根据阴影部分面积等于扇形QBE的面积，即可求

解.

【详解】解：VZAOB=90°,CELAO,EDVOB

••四边形OCD石是矩形,

q—q

uQCE~0,ODE

S阴影部分=SODE+SBDE=S扇形OBE

•,点。是AO的中点

\OC=-OE=DE

2

•・sinZEOD=—=-

OE2

•・/EOD=30。

s工s_30TIXAO2_KXAO290KxAO27ixAO2

»阴影部分一》ODE+)BDE一》扇形QBE-公正八~S扇形A08

1o3604

7ixAO2

点P落在阴影部分的概率是?W=-=：

S扇形AOB兀一3

4

故选：B.

二、填空题

9.（2024.四川成都.中考真题）如图，在扇形A03中，OA=6,ZAOB=120°,则A8的长为

o

【分析】此题考查了弧长公式，把已知数据代入弧长公式计算即可.

【详解】解：由题意得的长为

故答案为：471

10.（2024•黑龙江齐齐哈尔•中考真题）若圆锥的底面半径是1cm,它的侧面展开图的圆心角是直角，则该

圆锥的高为cm.

【答案】岳

【分析】本题考查了圆锥的计算.设圆锥的母线长为R,根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧

长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到2万-1=兰警，然后解方程即可得

lot）

母线长，然后利用勾股定理求得圆锥的高即可.

【详解】解：设圆锥的母线长为R,

根据题意得2万•1=3罂，

lot）

解得：R=4.

即圆锥的母线长为4cm,

...圆锥的高="2_12=后cm,

故答案是：V15.

11.（2024・吉林・中考真题）某新建学校因场地限制，要合理规划体育场地，小明绘制的铅球场地设计图如

图所示，该场地由一。和扇形03C组成，分别与（。交于点OA=\m,OB=10m,ZAOD=40°,

则阴影部分的面积为n?（结果保留兀）.

6

【答案】117

【分析】本题考查了扇形面积公式，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键.

利用阴影部分面积等于大扇形减去小扇形面积，结合扇形面积公式即可求解.

【详解】解：由题意得：SEH舀=40万（1°一一二）=11万,

阴影360

故答案为：11%.

12.（2024.内蒙古呼伦贝尔.中考真题）为了促进城乡协调发展，实现共同富裕，某乡镇计划修建公路.如

图、42与C。是公路弯道的外、内边线，它们有共同的圆心。，所对的圆心角都是72。，点A,C,。在同

一条直线上，公路弯道外侧边线比内侧边线多36米，则公路宽AC的长是一米.（兀取3.14,计算结果精

确到0.1）

【答案】28.7

【分析】本题考查了弧长公式，解一元一次方程等知识，利用弧长公式并结合题意可得出

72：，"-72：?=36,进而得出72：°,C=36,然后解方程并按要求取近似数即可.

lol）lot）loU

•、“左RY54•口4•口口K上/日71271OA772%•°C

【详斛】解：根据意思，倚&=-180'%=180，

•・•公路弯道外侧边线比内侧边线多36米，

.72/0472兀.0C“

>•—36,

180180

.72TT-(OA-OC)_必"=36

>•-30

180180

解得心—90丹90。28.7,

713.14

故答案为：28.7.

13.（2024•江苏盐城・中考真题）已知圆锥的底面圆半径为4,母线长为5,则圆锥的侧面积是

【答案】20万

【分析】结合题意，根据圆锥侧面积和底面圆半径、母线的关系式计算，即可得到答案.

【详解】解：•••圆锥的底面圆半径为4,母线长为5

/.圆锥的侧面积S=;rx4x5=20万

故答案为：20万.

【点睛】本题考查了圆锥的知识，解题的关键是熟练掌握圆锥的性质，从而完成求解.

14.（2024・江苏扬州•中考真题）若用半径为10cm的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆

的半径为—cm.

【答案】5

【分析】本题考查了圆锥的计算.用到的知识点为：圆锥的侧面展开图弧长等于底面周长.

根据题意得圆锥的母线长为10cm,以及圆锥的侧面展开图的弧长，也就是圆锥的底面周长，除以2万即为

圆锥的底面半径.

【详解】解：圆锥的侧面展开图的弧长为2万xl0+2=10万（cm）,

圆锥的底面半径为10万+2%=5（cm）,

故答案为：5.

15.（2024.四川自贡・中考真题）龚扇是自贡“小三绝”之一.为弘扬民族传统文化，某校手工兴趣小组将一

个废弃的大纸杯侧面剪开直接当作扇面，制作了一个龚扇模型（如图）.扇形外侧两竹条AB,AC夹角为

120°.48长30cm,扇面的8。边长为18cm,则扇面面积为cm?（结果保留万）.

【答案】252乃

【分析】根据扇形公式进行计算即可.本题考查了扇面面积计算，掌握扇面面积等于两个扇形面积相减是

解题的关键.

【详解】解：扇面面积=扇形的面积-扇形D4E的面积

120x万><3。2120X^X（30—18）2

360360

=300»-48»

=252»（皿2）,

故答案为：252%.

16.（2024.甘肃.中考真题）甘肃临夏砖雕是一种历史悠久的古建筑装饰艺术，是第一批国家级非物质文化

遗产.如图1是一块扇面形的临夏砖雕作品，它的部分设计图如图2,其中扇形03。和扇形Q4O有相同

的圆心0,且圆心角N0=100。，若Q4=120cm,OB=60cm,则阴影部分的面积是cn?.（结果用

乃表示）

8

0

【答案】3000万

【分析】根据扇形面积公式计算即可.本题考查了扇形面积公式，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键.

【详解】•••圆心角NO=100°,04=120cm,<9B=60cm,

阴影部分的面积是log"]?。？「00X"X602

360360

=3000TTcm2

故答案为：3000万.

17.（2024•黑龙江绥化•中考真题）用一个圆心角为126。，半径为10cm的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆

锥的底面圆的半径为cm.

【答案】47

2

【分析】本题考查了弧长公式，根据圆锥的底面圆的周长等于侧面的弧长，代入数据计算，即可求解.

【详解】解：设这个圆锥的底面圆的半径为Rem,由题意得，黑xl0xn=2兀R

lot）

解得：口七7

7

故答案为：—.

18.（2024•广东深圳•中考真题）如图，在矩形A3C。中，BC=&AB,。为3C中点，OE=AB=4,则扇

形EOF的面积为.

【分析】本题考查了扇形的面积公式，解直角三角形.利用解直角三角形求得=45。，NCOF=45。,

得到NEO尸=90。，再利用扇形的面积公式即可求解.

【详解】解：：=,AB=4,

8C=4夜，

为BC中点，

OB=OC=-BC=2y/2,

2

•/OE=4,

在RtOBE中,cosNBOE=^=^=也,

OE42

：./3OE=45°,

同理NCO产=45°,

ZEOF=180°-45°-45°=90°,

扇形EO尸的面积为9°"=4"，

360

故答案为：4万.

19.（2024•吉林长春•中考真题）一块含30。角的直角三角板ABC按如图所示的方式摆放，边A3与直线/重

合，48=12cm.现将该三角板绕点3顺时针旋转，使点C的对应点。'落在直线/上，则点A经过的路径

长至少为cm.（结果保留万）

【分析】本题主要考查了旋转的性质、弧长公式等知识点，掌握弧长公式成为解题的关键.

由旋转的性质可得//由。=/4'3。=60。,即乙34=120°,再根据点A经过的路径长至少为以B为圆心,

以43为半径的圆弧的长即可解答.

【详解】解：：将该三角板绕点8顺时针旋转，使点C的对应点C'落在直线/上，

ZABC=ZABC=60°,即ZA'B4=120°,

.1,2一口门后21/k1sr1200-7T-1020乃

..点A经过的路径长至少为———.

1oU3

故答案为：-

20.（2024.江苏苏州・中考真题）铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素.如图是一个花瓣造型的花窗示意

图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点。，所在圆的圆心C恰好

是；ASO的内心，若AB=26,则花窗的周长（图中实线部分的长度）=.（结果保留兀）

10

【答案】87t

【分析】题目主要考查正多边形与圆，解三角形，求弧长，过点C作CELAB,根据正多边形的性质得出

AO3为等边三角形，再由内心的性质确定NC4O=/C4E=/CBE=30。，得出NACB=120。，利用余弦

得出AC=f^=2,再求弧长即可求解，熟练掌握这些基础知识点是解题关键.

cos30

【详解】解：如图所示：过点C作

O

六条弧所对应的弦构成一个正六边形,

/.NAOB=60°,OA=OB,

A03为等边三角形，

:圆心C恰好是ABO的内心，

NCAO=NCAE=NCBE=30°,

』ACB=120。，

A5=2A/3,

/.AE=BE=布,

4

•••花窗的周长为：—7ix6=8K,

故答案为：8兀.

21.（2024•甘肃临夏・中考真题）如图，对折边长为2的正方形纸片ABC。，为折痕，以点。为圆心，OM

为半径作弧，分别交AD,BC于E,尸两点，则厮的长度为（结果保留兀）.

AED

■Mr山.2%,2

【答案】—/j^-

【分析】本题主要考查了弧长的计算、正方形的性质及翻折变换（折叠问题），解直角三角形，熟知正方

形的性质、图形翻折的性质及弧长的计算公式是解题的关键.

由对折可知，AEOM=ZFOM,过点E作。W的垂线，进而可求出/EO加的度数，则可得出NEO尸的度

数，最后根据弧长公式即可解决问题.

【详解】解：：折叠，且四边形ABCD是正方形

四边形AQMD是矩形，ZEOM=ZFOM,

贝1JOM=AT>=2,DM=-CD=1.

2

过点E作£P_LOA/于P,

OE=OM=AT)=2,CD=AD=2,

:.EP=-OE.

2

EP1

在RtEOP中，sin/EOP=——=

OE2

:.ZEOP=30°f

贝IJN石O尸=30。乂2=60。，

故答案为：号-.

22.（2024•黑龙江大兴安岭地•中考真题）若圆锥的底面半径为3,侧面积为36兀，则这个圆锥侧面展开图

的圆心角是°.

12

【答案】90

【分析】此题主要考查了圆锥的侧面积公式以及与展开图扇形面积关系，求出圆锥的母线长是解决问题的

关键.根据圆锥的侧面积公式S=71〃求出圆锥的母线长，再结合扇形面积公式即可求出圆心角的度数.

【详解】根据圆锥侧面积公式：S-nrl,可得兀x3x/=36兀

解得：/=12,

解得〃=90,

•••侧面展开图的圆心角是90。.

故答案为：90.

23.（2024.吉林长春・中考真题）如图，A3是半圆的直径，AC是一条弦，。是AC的中点，DEJ.AB于

点E,交AC于点尸，交AC于点G,连结&£>.给出下面四个结论:

®ZABD=ZDAC；

®AF=FG；

③当DG=2,G3=3时，FG=—；

2

④当80=240，AB=6时，_DFG的面积是6.

上述结论中，正确结论的序号有.

【分析】如图：连接DC,由圆周角定理可判定①；先说明NBDE=ZAGD、ZADE=4MC可得DF=FG、

AFi,即AF"G可判定②；先证明的-的可得/器，即上嚼,代入数据可得

AD=®然后运用勾股定理可得AG=巧，再结合AF=FG即可判定③；如图：假设半圆的圆心为O,

连接CO,CD,易得NAOD=NDO。=60。，从而证明二是等边二角形，即ADCO是菱形,

然后得到4MC=NQ4C=30。，再解直角三角形可得DG=26，根据三角形面积公式可得S,.,

最后根据三角形的中线将三角形平分即可判定④.

【详解】解：如图：连接。C,

B

是AC的中点,

AD=DC9

：.ZABD=ZDACf即①正确;

・.•A3是直径，

：.ZADB=9Q°f

：.ZDAC+ZAGD=9Q0,

*.*DE±AB

：.?BDE1ABD90?,

ZABD=ZDAC,

：.ZBDE=ZAGD,

：.DF=FG,

•:?BDE1ABD90?,NBDE+ZADE=900,

：.ZADE=ZABD,

9：ZABD=ZDAC,

：.ZADE=ZDAC,

:・AF=FD,

・・・AF=/G,即②正确；

在△ADG和△©!,

[ZADG=ZBDA=90°

[ZDAG=ZDBA

：.ADG^BDA,

.ADGDADGD

••---=---,即nn--------=---,

BDADDG+BGAD

「・AG=YJAD2-^DG2

•：AF=FG,

14

FG=-AG=—,即③正确;

22

如图：假设半圆的圆心为O,连接OD,CO,CD,

7BD=2AD-AB=6，。是AC的中点，

AD=DC=-AB,

3

ZAOD=ZDOC=60°,

'：OA=OD=OC,

.•…AOD,_ODC是等边三角形，

AOA=AD=CD=OC=OD=6,即ADCO是菱形，

ADAC=ZOAC=-ZDAO=30°,

2

VZADB=90°,

AtanZJDAC=tan30°=—,即且=空，解得：DG=2瓜

AD36

5ADG=1A£>-DG=1X6><2V3=6V3,

'：AF=FG

【点睛】本题主要考查了圆周角定理、解直角三角形、相似三角形的判定与性质、勾股定理、菱形的判定

与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键.

三、解答题

24.（2024・广东•中考真题）综合与实践

【主题】滤纸与漏斗

【素材】如图1所示：

①一张直径为10cm的圆形滤纸；

②一只漏斗口直径与母线均为7cm的圆锥形过滤漏斗.

H7cm-d

图1

【实践操作】

步骤1:取一张滤纸；

步骤2：按如图2所示步骤折叠好滤纸；

步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形；

步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如图1所示漏斗中.

图2

【实践探索】

(1)滤纸是否能紧贴此漏斗内壁(忽略漏斗管口处)？用你所学的数学知识说明.

(2)当滤纸紧贴漏斗内壁时，求滤纸围成圆锥形的体积.(结果保留兀)

【答案】(1)能，见解析

【分析】本题考查了圆锥，解题的关键是：

(1)利用圆锥的底面周长=侧面展开扇形的弧长求出圆锥展开图的扇形圆心角，即可判断；

(2)利用圆锥的底面周长=侧面展开扇形的弧长，求出滤纸围成圆锥形底面圆的半径，利用勾股定理求

出圆锥的高，然后利用圆锥体积公式求解即可.

【详解】(1)解：能，

理由：设圆锥展开图的扇形圆心角为〃。，

rjTT•7

根据题意，得黑*=7兀，

loO

解得九=180?,

.♦•将圆形滤纸对折，将其中一层撑开，围成圆锥形，此时滤纸能紧贴此漏斗内壁；

(2)解：设滤纸围成圆锥形底面圆的半径为rem,高为/zem,

16

ti"«口工打,口1807rx5

根据题意，得2仃=,

lol)

解得，=4,

2

••"二卜-0=2

；•圆锥的体积为工万厂％=工万、e丫x*百=更病n?.

33Uj224

25.(2024.黑龙江大兴安岭地.中考真题)如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度,

在平面直角坐标系中，ABC的三个顶点坐标分别为A(-M),川-2,3),C(-5,2).

(1)画出,45。关于Y轴对称的44耳£,并写出点用的坐标；

⑵画出.ABC绕点A逆时针旋转90。后得到的ABC,并写出点B2的坐标；

(3)在(2)的条件下，求点8旋转到点层的过程中所经过的路径长(结果保留兀)

【答案】(1)作图见解析，4(2,3)

⑵作图见解析，B2(-3,0)

(3)事

2

【分析】本题考查了利用旋转变换作图，轴对称和扇形面积公式等知识，熟练掌握网格结构准确找出对应

点的位置是解题的关键.

(1)根据题意画出即可；关于y轴对称点的坐标横坐标互为相反数，纵坐标不变；

(2)根据网格结构找出点8、C以点A为旋转中心逆时针旋转90。后的对应点，然后顺次连接即可；

(3)先求出=再由旋转角等于90。，利用弧长公式即可求出.

【详解】(1)解：如图，为所求；点4的坐标为(2,3),

（2）如图，AB2C2为所求；B2（-3,0）,

⑶AB=Vl2+22=A/5>

点2旋转到点区的过程中所经过的路径长跑亘=更万.

■1802

26.（2024・山东・中考真题）如图，在四边形A3CD中，AD//BC,ZDAB=60°,AB=BC=2AD=2.以

点A为圆心，以AD为半径作交于点E,以点B为圆心，以BE为半径作项所交于点尸，连接尸。

交环于另一点G,连接CG.

（1）求证：CG为如■所在圆的切线；

（2）求图中阴影部分面积.（结果保留万）

【答案】（1）见解析

（2）

43

【分析】本题考查平行四边形的性质和判定，圆的性质，扇形面积，等边三角形的性质等知识点，证明四

边形ABFD是平行四边形是解题关键.

（1）根据圆的性质，证明3/=3E=AD=AE=b,即可证明四边形MED是平行四边形，再证明BFG

是等边三角形，再根据圆的切线判定定理即可证得结果.

（2）先求出平行四边形的高根据扇形面积公式三角形面积公式，平行四边形面积公式求解即可.

【详解】（1）解：连接BG如图，

18

D

根据题意可知：AD=AE,BE=BF

又•：AB=BC,

：.CF=AE=ADf

,:BC=2AD,

：.BF=BE=AD=AE=CF,

AD//BC,

・・・四边形ABED是平行四边形，

：.ZBFD=ZDAB=60°,

•：BG=BF,

・•・班G是等边三角形，

：.GF=BF,

：.GF=BF=FC,

・・・G在以BC为直径的圆上，

ZBGC=90°,

・・・CG为〃所在圆的切线.

(2)过。作于点”，

由图可得：S阴影=SABFD-S扇AE£>-$扇BEG-'BFG,

在中，AD=1,ZDAB=6Q0,

DH=ADsinZDAB=lx^=^-,

22

**•SABFD=AB•DH=2x=^/3»

由题可知：扇形ADE和扇形8GE全等,

nTvr160»（AD）260xxI27i

S扇AED=S扇BGE

360360―360~~6

等边三角形5尸G的面积为：-GFDH=-xlx^=^~,

2224

•C_C_C_C_C_/o_3'^_工

*,»阴影—»ABFD-»扇AED一»扇BEG->BFG~~~§

27.（2024・福建・中考真题）如图，在.ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,以A3为直径的。交BC于点D,

AE±OC,垂足为EBE的延长线交AD于点下.

⑴求二”的值；

AE

(2)求证：AAEB^ABEC；

(3)求证：A£＞与EF互相平分.

【答案】⑴!

(2)证明见解析

(3)证明见解析

【分析】(1)先证得AC=2AO,再在RtAOC中，tanZAOC=——=2.在RtzXAOE中，tanZAOC=——,

AOOE

AE

可得==2,再证得结果；

OE

(2)过点与作交EO延长线于点M,先证明AOE^,BOM,可得AE=5M,OE=OM,再

证得ZBAE=NCBE,再由相似三角形的判定可得结论；

AFAB2ADAO

(3)如图，连接。£,。产，由(2)AAEBsABEC,可得一=—=—=—,Z£AO=ZEBD,从而

BEBC2BDBD

得出AOEs,BDE,得出N5KD=NAR9=90。，得出NAra=NDEF,再由平行线判定得出AF〃。后，

AE//FD,从而得出四边形血正是平行四边形，最后由平行四边形的性质可得结果.

【详解】(1)AB=AC,且AB是f。的直径，

:.AC=2AO.

ABAC=90°,

20

.,.在RtAOC中，tanZAOC=—=2.

AO

AE±OC,

AF

••・在Rt"O£中，tanZAOC=——

OE

OE_1

~AE~2

(2)过点3作交E。延长线于点M.

:.ZBAE=ZABM,ZAEO=NBMO=90°

AO=BO,

・•.AAOE学乙BOM,

:.AE=BM,OE=OM.

OE_1

AE-2?

:.BM=2OE=EM,

:.ZMEB=ZMBE=45°f

二.ZAEB=ZAEO+ZMEB=135。,ZBEC=180°-ZMEB=135°,

.\ZAEB=ZBEC.

AB=AC,ZBAC=90°,

:.ZABC=45°,

:.ZABM=/CBE,

:.ZBAE=/CBE,

AAEfisABEC.

(3)如图，连接。厂.

D

回是的直径,

B

/.ZADB=ZAFB=90°,AB=2AO.

AB=AC,ZBAC=90°f

BC=2BD,ZDAB=45°.

由（2）知，AAEB^ABEC,

器BC需嚼㈤皿

:.“OEsABDE,

ZBED=ZAEO=90°.

:.ZDEF=9Q°.

:.ZAFB^ZDEF,

:.AF//DE.

由（2）知，ZA£S=135°,

ZAEF=180°-ZAEB=45°.

ZDFB=NDAB=45°,

：.ZDFB=ZAEF,

:.AE//FD,

四边形A£Z用是平行四边形,

.:AD与E尸互相平分.

【点睛】本小题考查等腰三角形及直角三角形的判定与性质、锐角三角函数、全等三角形的判定与性质、

相似三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、平行四边形的判定与性质、圆的基本性质等基础知识,

考查推理能力、几何直观、运算能力、创新意识等，熟练掌握相关图形的性质定理是关键.

28.（2024・陕西・中考真题）问题提出

（1）如图1,在中，AB=15,NC=30°,作一ABC的外接圆：O.则AC2的长为;（结果

保留兀）

22

问题解决

(2)如图2所示，道路A5的一侧是湿地.某生态研究所在湿地上建有观测点D,E,C,线段AD,AC和

3c为观测步道，其中点A和点8为观测步道出入口，已知点E在AC上，且AE=EC,ZZMS=60°,

NABC=120。，AB=1200m,AD=BC=900m,现要在湿地上修建一个新观测点P,使/DPC=60。.再

在线段A3上选一个新的步道出入口点?并修通三条新步道尸尸，PD,PC,使新步道PF经过观测点E,

并将五边形ABCPD的面积平分.

请问：是否存在满足要求的点尸和点F?若存在，求此时PF的长；若不存在，请说明理由.(点A,B,C,

P,。在同一平面内，道路48与观测步道的宽、观测点及出入口的大小均忽略不计，结果保留根号)

【答案】(1)25万；(2)存在满足要求的点尸和点凡此时尸尸的长为9006+1200)m.

【分析】(1)连接。4、OB,证明，等边三角形，再利用弧长公式计算即可求解；

(2)点尸在以。为圆心，圆心角为120。的圆上，如图，由题意知直线尸尸必经过的中点得到四边

形AFMD是平行四边形，求得句W=4)=900m,作于点N,解直角三角形求得CN和的长，

再证明Z\PMCs/\DPC,利用相似三角形的性质求得尸。2=720000,据此求解即可.

【详解】解：(1)连接。4、OB,

;ZC=30°,

JZAOB=60°,

OA=OB,

・•・O钻等边三角形,

•：AB=15,

：.OA=OB=15f

300%•15

.**ACB的长为=257r；

180

故答案为：25万；

（2）存在满足要求的点尸和点凡此时竹的长为卜00际+1200）m.理由如下,

解：VZZMfi=60°,ZASC=120°,

：.ZDAB+ZABC=180°,

：.AD//BC,

AD=3C=900m,

四边形ABCD是平行四边形，

要在湿地上修建一个新观测点P,使ZDPC=60°,

.••点尸在以。为圆心，CD为弦,圆心角为120。的圆上，如图,

"?AE=EC,

经过点E的直线都平分四边形MCD的面积，

•••新步道尸产经过观测点E,并将五边形ABCPD的面积平分,

直线PF必经过。的中点M,

ME■是的中位线，

ME//AD,

'：MF//AD,DM//AF,

；•四边形ARWD是平行四边形，

FM=AD=900m,

作CNLPF于点N,

24

•・,四边形AfTWD是平行四边形，ZDAB=6Q°f

：.ZPMC=ZDMF=ZDAB=60°,

CM=^CD=^AB=600(m)

：.MN=CMcos60°=300(m),CN=CM.sin60°=300g(m),

ZPMC=ZDPC=60°,

:.Z\PMC^Z\DPC,

.PCCMPC600

••=,艮nnIJ=，

CDPC1200PC

/.PC-=720000，

在RtAPCN中，PN=y]PC2+CN2=V720000-270000=300方(m),

PF=300A+300+900=(300君+1200)m.

答：存在满足要求的点P和点F,此时PF的长为（3006+1200）m.

【点睛】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，平行四边形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判

定和性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键.

29.（2024•江苏连云港・中考真题）【问题情境】

（1）如图1,圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面

积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转45°（如图2）,