人教版中考数学一轮复习：七八九年级6册教材知识清单

人教版中考数学一轮复习：七八九年级6册教材知识清单

七年级上

第一章有理数

1.1正数和负数

1.2有理数

(1)有理数

整数和分数统称为有理数。

(2)数轴

在数学中，可以用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。

(3)相反数

像2和-2,5和-5这样，只有符号不同的两个数叫做互为相反数。

(4)绝对值..

同

①一般地，数轴上表不数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作。

「同

②如果a>0,那么।=a。

-\a\

如果a=0,那么=a

时o

如果a<0,那么=-ao

③a.正数大于0,0大于负数，正数大于负数。

b.两个负数，绝对值大的反而小。

(异号两数比较大小，要考虑它们的正负；同号两数比较大小，要考虑它们的绝对值。)

1.3有理数的加减法

(1)有理数的加法

①有理数加法法则：

a.同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。

b.绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减

去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0.

c.一个数同0相加，仍得这个数.

②加法交换律：a+b=b+a

③加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)

(2)有理数的减法

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有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即a-b=a+(-b)«

1.4有理数的乘除法

(1)有理数的乘法

①乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

任何数与0相乘，都得0。

②乘积是1的两个数互为倒数。

③乘法交换律：ab=ba

④乘法结合律：(ab))c=a(be)

⑤乘法分配律：a(b+c)=ab+ac

(2)有理数的除法

①除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。

②两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数,

都得0。

1.5有理数的乘方

(1)乘方

①求n个相同因数积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做嘉。在an中，a叫做底数，n

叫做指数。

②负数的奇次塞是负数，负数的偶次基是正数。显然，正数的任何次赛都是正数，0

的任何正整数次幕都是0.

③有理数混合运算的运算顺序：

a.先乘方，再乘除，最后加减；

b.同级运算，从左到右进行；

c.如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行.，

(2)科学记数法

把一个大于10的数表示成aXICT的形式(其中a大于或等于1且小于10,n是正整数)，

使用的是科学记数法。

(3)近似数

第二章整式的加减

2.1整式

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(1)单项式

数、字母、数或字母的积叫做单项式。单项式中数字因数叫做单项式的系数。单项

式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。

(2)多项式

①几个单项式的和叫做多项式。其中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫

做常数项。

②多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。

(3)单项式与多项式统称整式。

2.2整式的加减

(1)所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。

(2)把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。

(3)合并同类项后，所得项的系数是合并前同类项的系数的和，且字母连同它的指

数不变。

(4)如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；

如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符

号相反。

(5)一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。

第三章一元一次方程

3.1从算式到方程

(1)一元一次方程

①列方程时，要先设字母表示未知数，然后根据问题中的相等关系，写出含

有未知数的等式一一方程。

②方程都只含有一个未知数(元)，未知数的次数都是1,等号两边都是整式，这样的

方程叫做一元一次方程。

(2)等式的性质

①等式的性质1：如果a=b,那么a+c=b+Co

/7h

②等式的性质2：如果a=b,那么ac=bc；如果a=b(cWO),那么一=一。

CC

3.2解一元一次方程(一)一一合并同类项与移项

(1)把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。

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（2）把等式一边的某项变号后移项到另一边，叫做移项。

3.3解一元一次方程（二）一一去括号与去分母

3.4实际问题与一元一次方程

设未知数，列方程（一元一次方程）一解方程（一元一次方程的解（x=a））一检验

（实际问题的答案）设、歹（解、检、答

第四章几何图形初步

4.1几何图形

（1）立体图形与平面图形

①有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一平面

内，它们是立体图形。

②有些几何图形（如线段、角、三角形、长方形、圆等）的各部分都在同一平面内，

它们是平面图形。

③有些立体图形是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面

图形。这样的平面图形称为相应立体图形的展开图。

（2）点、线、面、体

①长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体，几何体也简称体。

②包围着体的是面。面有平的面和曲的面两种。

③夜晚流星划过天空时留下一道明亮的光线，节日的焰火画出的曲线组成优美的图案,

这些都给我们以线的形象。面和面相交的地方形成线。

④天上的星星、世界地图上的城市等都给我们以点的形象。线和线相交的地方是点。

4.2直线、射线、线段

（1）两点确定一条直线。

（2）当两条不同的直线有一个公共点时，我们就称这两条直线相交，这个公

共点叫做它们的交点。

（3）画一条线段等于已知线段a,可以先量出线段a的长度，再画一条等于这个长度

的线段。在数学中，我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图。

（4）点M把线段AB分成相等的两条线段AM与MB,点M叫做线段AB的中点。

类似地，还有线段的三等分点、四等分点等。

（5）两点之间，线段最短。

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（6）连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离。

4.3角

（1）角

①角也是一种基本的几何图形。

②把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记作1°;把1度的角60等分，每一

份的角叫做1分的角，记作1,；把1分的角60等分，每一份的角叫做1秒的角，

记作1〃o

（2）角的比较与运算

一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做角平分线。

（3）余角和补角

①如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一

个角的余角。

②如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，即其中一个角是另

一个角的补角。

③余角性质：同角（等角）的余角相等。

④补角性质：同角（等角）的补角相等。

4.4课题学习（设计制作长方体形状的包装纸盒）

七年级下

第五章相交线与平行线

5.1相交线

（1）相交线

①/I和/2有一条公共边OC,它们的另一边互为反向延长线（/I和N2互补），具

有这种关系的两个角，互为邻补角。

②/I和/3有一个公共顶点0,并且/I的两边分别是/3的两边的反向延长线，具

有这种位置关系的两个角，互为对顶角。（对顶角相等）

（2）垂线

①a与b互相垂直，记作a，b。

②两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。

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③同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

④连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。直线外一点到这条直线

的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。

（3）同位角、内错角、同旁内角

①图中的和N5,这两个角分别在直线AB,CD的同一方

（上方），并且都在直线EF的同侧（右侧），具有这种

位置关系的一对角叫做同位角。

②N3和N5,这两个角都在直线AB,CD之间，并且分别在

直线EF两侧（/3在直线EF左侧，Z5在直线EF右侧），

具有这种位置关系的一对角叫做内错角。

③图中/3和/6也都在直线AB,CD之间，但它们在直线

EF的同一旁（左侧），具有这种位置关系的一对角叫做

同旁内角。

5.2平行线及其判定

（1）平行线

①A与b互相平行，记作a〃b。

②经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。

③如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

也就是说：如果b〃a,c〃a,那么b//c

（2）平行线的判定

①判定方法1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。

简单说成：同位角相等，两直线平行。

②判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。

简单说成：内错角相等，两直线平行。

③判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。

简单说成：同旁内角互补，两直线平行。

5.3平行线的性质

（1）平行线的性质

①性质1：两直线平行，同位角相等。

②性质2：两直线平行，内错角相等。

③性质3：两直线平行，同旁内角互补。

（2）命题、定理、证明

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①判断一件事情的语句，叫做命题。

②如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题。

③如果题设成立，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题。

④如果命题的正确性是经过推理证实的，这样得到的真命题叫做定理。

⑤一个命题的正确性需要经过推理才能做出判断，这个推理过程叫做证明。

5.4平移

(1)图形的平移，不限于是水平的。

(2)连接对应点可画出平移后的图形。

第六章实数

6.1平方根

(1)一般地，如果一个正数的x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x叫a的算术

平方根。a的算术平方根记为后，读作“根号a”，a叫做被开方数。

(2)0的算术平方根是0。

(3)一般地，如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根或二次方根。

(4)求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。

6.2立方根

(1)一般地，如果一个数的立方等于a,即x2=a,那么这个数叫做a的立方根或三次

方根。

(2)求一个数a的立方根的运算，叫做开立方。

(3)一个数a的立方根，用符号“痴”表示，读作“三次根号a"。其中a是被开

方数，3是根指数。

6.3实数

(1)无限不循环小数又叫做无理数。

(2)有理数和无理数统称实数。

(3)分类：「正有理数一

-有理数-0-有限小数或无限循环小数-正实数

实数.I负有理数-

实数-o

r正无理数一

-无理数--无限不循环小数-负实数

-负无理数-

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（4）数a的相反数是-a。

（5）一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对

值是Oo

第七章平面直角坐标系

7.1有序数对

把有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作（a,b）。

7.2平面直角坐标系

（1）在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。水平的数

轴成为X轴或横轴，取向右为正方向；竖直的数轴为y轴或纵轴，取向上方向为正

方向；两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。

（2）建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成四个部分，每个部

分称为象限。分别叫做第一象限（右上）、第二象限（左上）、第三象限（左下）、

第四象限（右下）。

7.2坐标方法的简单应用

（1）用坐标表示地理位置

（2）用坐标表示平移

第八章二元一次方程组

8.1二元一次方程组

（1）每个方程中都含有两个未知数（x和y）,并且含有未知数的项的次数都是1,像

这样的方程叫做二元一次方程。

（2）把两个方程合在一起，就组成了一个方程组。方程组中含有两个未知数，含有未

知数的项的次数都是1,并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组。

（3）一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的

解。

（4）一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。

8.2消元一一解二元一次方程组

（1）二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一

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次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程。我们可以先求出一个未知数，然后再求

另一个未知数。这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想。

（2）把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来,

再代人另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。这种方法叫做代

入消元法，简称代入法。

（3）当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方

程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程。这种方法

叫做加减消元法，简称加减法。

8.3实际问题与二元一次方程组

8.4三元一次方程组的解法

（1）方程组中含有三个未知数，每个方程中含有未知数的项的次数都是1,并且一共

有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组。

（2）解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减"进行消元，把“三元”

化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元

一次方程。

第九章不等式与不等式组

9.1不等式

（1）不等式及其解集

①用符号或表示大小关系的式子，叫做不等式。

②把使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。

③一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集。求不等式

解集的过程叫做解不等式。

（2）不等式的性质

①不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。

②不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

③不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

9.2一元一次不等式

（1）含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式。

（2）利用不等式的性质，采取与解一元一次方程组类似的步骤，就可以求出一元一

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次不等式的解集。

9.3一元一次不等式组

（1）类似于方程组，把这两个不等式合起来，组成一个一元一次不等式组。

（2）一般地，几个不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集。

（3）解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的

公共部分。利用数轴可以直观地表示不等式组的解集。

第十章数据的收集、整理与描述

10.1统计调查

（1）考察全体对象的调查叫做全面调查。

（2）抽样调查是只抽取一部分对象进行调查，然后根据调查数据推断全体对象的情

况。

（3）抽取样本的过程中，总体中的每一个个体都有相等的机会被抽到，像这样的抽

样方法是一种简单随机抽样。

10.2直方图

（1）把所有数据分成若干组，每个小组的两个端点之间的距离（组内数据的取值范

围）称为组距。

（2）对落在各个小组内的数据进行累计，得到各个小组内的数据的个数叫做频数。

（3）直方图中：小长方形面积=组距＞＜翳=频数

组距

10.3课题学习（从数据谈节水）

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八年级上

第十一章三角形

11.1与三角形有关的线段

（1）三角形的边

①由不在同一条直接上的三条线段收尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

②分类（按动的相笺*奈）•

一三边都不相等的三角形

三角形-「底边和腰不相等的三角形

等腰三角形-

［等边三角形

图1

③三角形两边的和大于第三边。三角形两边的差小于第三边。

（2）三角形的高、中线与角平分线

①从4ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D,所得线段AD叫做△

ABC的边BC上的高。（图1）

②连接4ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D,所得线段AD叫做4ABC的边BC上

的中线。（图2）

③三角形三条中线的交点叫做三角形的重心。（图3）

④画/A的平分线AD,交/A所对的边BC于点D,所得线段AD叫做4ABC的角平分线。

图4

（3）三角形的稳定性

三角形具有稳定性，而四边形没有稳定性。

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11.2与三角形有关的角

（1）三角形的内角

①三角形的内角和定理：三角形三个内角的和等于180°。

②直角三角形的两个锐角互余。

③有两个角互余的三角形是直角三角形。

（2）三角形的外角

①像图5这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做

三角形的外角。

②三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。

11.3多边形及其内角和

（1）多边形

①在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。

②连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。

③各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。

（2）多边形的内角和

①n边形内角和等于（n-2）X180°

②多边形的外角和等于360。。

第十二章全等三角形

12.1全等三角形

（1）形状、大小完全相同的图形能够完全重合。能够完全重合的两个图形叫做全等

形。

（2）能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

（3）把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对

应边，重合的角叫做对应角。

（4）全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。

12.2三角形全等的判定

（1）全等三角形的判定L三边分别相等的两个三角形全等。（SSS）

（2）全等三角形的判定2：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。（SAS）

（3）全等三角形的判定3：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等。（ASA）

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(4)全等三角形的判定4：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形

全等。(AAS)

(5)全等三角形的判定5(直角三角形)：斜边和一条直角边分别相等的两个直角

三角形全等。(HL)

12.3角的平分线的性质

(0角的平分线上的点到角的两边的距离相等。

(2)角的内部到角的两边的距离相等的点在角平分线上。

第十三章轴对称

13.1轴对称

(0轴对称

①如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫

做轴对称图形。

②把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个

图形关于这条直线(成轴)对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，

叫做对称点。

③经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。

④如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连接线段的垂直

平分线。

⑤轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

(2)线段的垂直平分线的性质

①线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。

②与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。

13.2画轴对称图形

(1)由一个平面图形可以得到与它关于一条直线I对称的图形，这个图形与原图形

的形状、大小完全相同;新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线I的对称点；

连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分。

(2)几何图形都可以看作由点组成。对于某些图形，只要画出图形中的一

些特殊点(如线段端点)的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形

的轴对称图形。

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13.3等腰三角形

（1）等腰三角形

①性质1：等腰三角形的两个底角相等。（等边对等角）

②性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。（三线合

③判定方法：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。（等角

对等边）

（2）等边三角形

①等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°。

②三个角都相等的三角形是等边三角形。

③有一个角是60。的等腰三角形是等边三角形。

④在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边一半，

13.4课题学习（最短路径问题）

第十四章整式的乘法与因式分解

14.1整式的乘法

（1）同底数基的乘法

同底数塞相乘，底数不变，指数相加。°叫优=。""（私"都是正整数）

（2）幕的乘方

幕的乘方，底数不变，指数相乘。武（私"都是正整数）

（3）积的乘方

积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的事相乘。

（而（〃为正整数）

（4）整式的乘法

①单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幕分别相乘，对于只在一个单项式里

含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

②单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式式的每一项，再把所得的积相加。

③多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所

得的积相加。（a+b）（p+q）=ap+aq+bp+bq

0m;a"=am~n（a丰0,m,〃都是正整数,并且m>ri）

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④同底数暴相除，底数不变，指数相减。

⑤任何不等于0的数的。次幕都等于1。

⑥单项式相除，把系数与同底数累分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的

字母，则连同它的指数作为商的一个因式。

⑦多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。

14.2乘法公式

(1)平方差公式

两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。

(a+b)(a—b)—u—b

(2)完全平方公式

①两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍。

(a+b)2=矿+2ab+b

(a-by=a2-lab+b2

②添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如

果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号。

14.3因式分解

把一个多项式化成了几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因

式分解，也叫做把这个多项式分解因式。

(1)提公因式法

一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公

因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

pa+pb+pc=p(a+b+c)

(2)公式法

把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特

殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法。

①两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。

“2―b2—(a+b)(a—b)

第15页共33页

②两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)

a~+2ab+b"=(a+

的平方。

a2-lab+b2=(a-Z?)2

补充：

十字相乘分解因式：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；

再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然分11求代数和，使

其等于一次项系数。如：/+3%+2=(%+1)(%+2)

1X2+1X1=3

第十五章分式

15.1分式

(1)从分数到分式

A90

一般地,如果A、B表示两个整式,并且B中含有字母,那么式子后叫做分式。(如)

匕30+v

A

分式电中，A叫做分子，B叫做分母，BW0。分式比分数更具有一般性。

(2)分式的基本性质

①分式的分子与分母而同一个不等于0的整式，分式的值不变。

△=A=*CH0)

BB•CBB+C

②根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。

分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。

③根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分

式，叫做分式的通分。

15.2分式的运算

(1)分式的乘除

①分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，夕母呼作为积的分母。

乘法法则A-=—除法法则卜三=智=?

bdb-cbdbeb-c

②分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

③分式乘方：分式乘方要把分子、分母分别乘方。

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（2）分式的加减

①同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。

②异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。

a।ba±b

-—±-—=-------

CCC

a,cad,bead±bc

——---21Z-----------

bdbdbdbd

（3）整数指数哥

①分式的乘方法则：£）"=%（〃是正整数）

②一般地，当n时正整数时，成"=，7（。#0）,也就是说屋”（“/°）是屋的倒数。

③运算性质：八，=am+n（m,”是整数）

（废）是整数）

（ab）"=优方'（〃是整数）

如000001=105；0.0000257=2.57x105

④小于1的正数用科学计数法表示：

痛90_60

15.3分式方程如:可；=犷；

（1）像这样分母中含有未知数的方程叫做分式方程。

（2）解分式方程的一般方法：将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，

即方程两边乘最简公分母。

（3）解分式方程的检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不

为0,则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。

（4）解分式方程的一般步骤：去分母，化成整式方程一解整式方程，x=a-检验（最

简公分母不为0,x=a是分式方程的解；最简公分母为0,x=a不是分式方程的解）

八年级下

第十六章二次根式

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16.1二次根式

(1)一般地，我们把形如、份(。20)的式子叫做二次根式。“，”称为二次根号。

(2)—■般地，(y)2=a(aN0)

(3)一般地，根据算术平方根的意义：病=。(。20),

(4)如5,。,”+"-a。,？,-丁,爪,、石它们都是用基本运算符号(基本运算

包括加、减、乘、除、乘方和开方)把数或表示数的字母连接起来的式子，我们

称这样的式子为代数式。

16.2二次根式的乘除

(1)一般地，4a-4b=4ab{a0,Z?>0)»

(2)把右•%=疝反过来，就得到，4ab^4^-4b,利用它可以进行二次根式的

化简。

(3)一般地，二次根式的除法法则是展=8>0)

(4)把展=/|反过来，就得到，|=卷(。之08>0)

(5)最简二次根式：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，

把满足这两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。

16.3二次根式的加减

(1)一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方

数相同的二次根式进行合并。

第十七章勾股定理

17.1勾股定理

命题1(勾股定理)：如果直角三角形的两条直角边长分别为a1斜边长为c,那

么〃+/=。2。

17.2勾股定理的逆定理

(1)命题2：如果三角形的边长a,b,c,满足4+。2=02,那么这个三角形是直角

三角形，我们把这个定理叫做勾股定理的逆定理。

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（2）如果两个命题的题设、结论正好相反，我们把像这样的两个命题叫做互逆命题。

如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。

第十八章平行四边形

18.1平行四边形

两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，用“口”表示。如平行四边形ABCD

口

记作“ABCD”。

（1）平行四边形的性质

①性质1：平行四边形的对边相等。

②性质2：平行四边形的对角相等。

③两条平行线之间的任何两条平行线段都相等。

④两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的

距离。

⑤性质3：平行四边形的对角线互相平分。

（2）平行四边形的判定

①判定定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

②判定定理2：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

③判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形。

④判定定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

⑤在如图l^ABC中，D,E分别是AB,AC的中点，连接DE,像DE这样，连接「五吆

两边中点的线段叫做三角形的中位线。

⑥三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。

18.2特殊的平行四边形

（1）矩形

①有一个角是直角的平行四边形是矩形，也就是长方形。

②矩形的性质1：矩形的四个角都是直角。

③矩形的性质2：矩形的对角线相等。

④直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。（另外补充：在直

角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半；在直角三角形中，45°角所对的边与斜

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边的比等于二）

2

⑤矩形的判定1：有一个角是直角的平行四边形是矩形。

⑥矩形的判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形。

⑦矩形的判定定理3：有三个角是直角的四边形是矩形。

（2）菱形

①有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

②菱形的四边形都相等。

③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。

④菱形的面积：,X对角线的积

2

⑤菱形的判定1：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

⑥菱形的判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

⑦菱形的判定定理3：四条边相等的四边形是菱形。

（3）正方形

正方形的四条边都相等，四个角都是直角。正方形既是矩形，又是菱形。既有矩形的

性质，又有菱形的性质。

第十九章一次函数

19.1函数

（1）变量与函数

①我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量。

②一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y,并且对于x的每一个确定的

值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。如果当

x=a时y=b,那么匕叫做当自变量为。时的函数值。

③像y=50-O.lx这样，用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是

描述函数的常用方法。这种式子叫做函数的解析式。

（2）函数的图象

①一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐

标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象。

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②描点法画函数图像的一般步骤如下：

第一步，列表一一表中给出一些自变量的值及其对应的函数值。

第二步，描点一一在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐

标，描出表格中数值对应的各点。

第三步，连线一一按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起

来。

③写出函数解析式，或者列表格，或者画出函数图象，都可以表示具体的函数。这三种

表示函数的方法，分别称为解析式法、列表法和图象法。

19.2一次函数

（1）正比例函数

①一般地，形如y=左是常数，左，0）的函数，叫做正比例函数，其中左叫做比例

系数。

②一般地，正比例函数y=依（左是常数，左，0）的图象是一条经过原点的直线，我们

称它为直线,当左>0时，直线y=Qc经过第三、第一象限，从左向右上升，即随

着x的增大y也增大；当左V0时，直线y=经过第二、第四象限，从左向右下降，即

随着x的增大y反而减小。

③因为两点确定一条直线，所以可用两点法画正比例函数,=左耳左H0）的图象。一般

地，过原点和点（1,k）（左是常数，左W0）的直线，即正比例函数,=左忒左H0）的图象。

（2）一次函数

①一般地，形如y=左力都是常数，左N0）的函数，叫做一次函数。当b=0时，

y=kx+b即y=而，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数。

②一次函数,=入+双左/0）的图象可以由直线y=京平移网个单位长度得到（当b

>0,向上平移；当b<0,向下平移）。

③一次函数,=履+/人力都是常数，左W0）具有如下性质：当k>0,y随着x的增

大而增大；当k<0,y随着x的增大而减小。

④先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得到函数解析式的

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方法，叫做待定系数法。

应根据具体情况灵活地把它们结合起来考虑。

19.3课题学习（选择方案）

第二十章数据的分析

20.1数据的集中趋势

（1）平均数

①根据实际需要对不同类型的数据赋予与其重要程度相应的比重，其中2,1,3,4分别称

为听、说、读、写四项成绩的权，相应的平均数分别称为听、说、读、写四项成绩的加

权平均数。

②一般地，若n个数%,当,…%的权分别是吗,吗,…吗，则”"+%叼+…+1明

wl+w2+...+wn

叫做这n个数的加权平均数。

③在求n个数的平均数时，如果占出现力次，%出现人次，…，4出现九次（这里

/+上+~+人="），那么这n个数的平均数、=x/+Z力+…，也叫做

n

不，々，…，与这k个数的加权平均数，其中几力，…，人分别叫做A：”马,…,X*的权。

（2）中位数和众数

①将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则

称处于中间位置的数为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则称中间两个数据

的平均数为这组数据的中位数。

②一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数。

（3）平均数、中位数、众数的特点：

①平均数的计算要用到所有的数据，它能够充分利用数据提供的信息，因此在现实生

活中较为常用。但它受极端值（一组数据中与其余数据差异很大的数据）的影响较

大。

②当一组数据中某些数据多次重复出现时，众数往往是人们关心的一个量，众数不易

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受极端值的影响。

③中位数只需要很少的计算，它也不易受极端值的影响。

20.2数据的波动程度

（1）设有〃个数据司,々….，当，各数据与它们的平均数最的差的平方分别是

（菁―£）2,区—£）2,…，（X—£）2，我们用这些值的平均数。即用

+卜2-力2+…+（当-1，］来衡量这组数据波动的大小，并把它叫做这组数

据的方差，记作52。

（2）方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小。

20.3课题学习（体质健康测试中的数据分析）

九年级上

第二十一章一元二次方程

21.1一元二次方程

（1）等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2

（二次）的方程，叫做一元二次方程。一元二次方程的一般形式是

ax1+bx+c^0（a0）,其中是二次项，。是二次项系数；是一次项，b是一

次项系数；c是常数项。

（2）使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程

的解也叫做一元二次方程的根。

21.2解一元二次方程

（1）配方法

①一般地，对于方程必=2°,

a.当p>0时，根据平方根的意义，方程炉=2。有两个不等的实数根

b..当夕=0时，方程/=2。有两个相等的实数根为=々=0；

C.当p<0时，因为对任意实数无，都有V20,所以方程必=2。无实数根。

②把方程中的二次项的次数从二降为一的过程，就是“降次”。

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③通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法。配方是为了降次，

把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解。

④一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成(X+")2=2的形式，那么就有：

a.当p>0时，方程(x+〃)2=。有两个不等的实数根/=-n-y[p,x2=~n+y[p;

b..当p=0时，方程(x+〃)2=p有两个相等的实数根X]=x2=-n;

C.当p<0时，因为对任意实数x,都有(x+〃)2NO,所以方程(x+〃)2=p无实数根。

(2)公式法

①一般地，式子。2-4ac叫做一元二次方程0根的判别式，通常用希腊

字母“△”表示它，即△=/—4ac。

②由上可知：

a.当A>0时，方程。必+/^+。=0(。/0)有两个不等的实数根；

b..当A=0时，方程af+6x+c=0(aw0)有两个相等的实数根；

c.当△V0时，方程ax2+bx+c=0(a^0)无实数根。

—b+J〃2—℃

③当A>0时，方程以2+'+c=0(a丰0)的实数根可写为x=——........的形

2〃

式，这个式子叫做一元二次方程OX?+加；+。=0的求根公式。

③解一个具体的一元二次方程时，把各系数直接代入求根公式，可以避免配方过程而直

接得出根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法。

(3)因式分解法

解方程过程中，不是用开方降次，而是先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等

于。的形式，再使这两个一次式分别等于0,从而实现降次。这种解一元二次方程的方法

叫做因式分解法。

归纳：配方法要先配方，再降次；通过配方法可以推出求根公式，公式法直接利用

求根公式解方程；因式分解法要先将方程一边化为两个一次因式相乘，另一边为0,

再分别使各一次因式等于。.配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法在

解某些一元二次方程时比较简便。总之，解一元二次方程的基本思路是：将二次方程

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化为一次方程，即降次。

（4）一元二次方程的根与系数的关系

bc

方程的两个根玉,羽和系数”,反c有如下关系：Xj+%2=——,x1x2=­o

aa

21.3实际问题与一元二次方程

第二十二章二次函数

22.1二次函数的图象和性质

（1）二次函数

一般地，形如丁=融2+陵+。（。,仇。是常数，awO）的函数，叫做二次函数。其中，

x是自变量，a,瓦。分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。

（2）二次函数>=ar2的图象和性质

归纳：一般地，抛物线>=。必的对称轴是y轴，顶点是原点。当a>0时，抛物线的开口

向上，顶点是抛物线的最低点；当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点。

对于抛物线>=。必，时越大，抛物线的开口越小。

（3）二次函数丁=。（%-/?）2+上的图象和性质

归纳：

一般地，抛物线y=a