2024历年高考数学真题汇编：双曲线

历年高考数学真题精编

14双曲线

一、单选题

22—

1.(2023•全国)已知双曲线C:二-二=l(a>0,6>0)的离心率为右，C的一条渐近线与圆

ab

(x-2)2+(y-3)2=l交于N,8两点，则|/0=()

AV5n2囱03指n4石

5555

2.(2023•全国)设/,8为双曲线-=1上两点，下列四个点中，可为线段中点的是

()

A.(1,1)B.(-1,2)C.(1,3)D.(-1,-4)

22

3.(2023•天津)已知双曲线二-与=l(a>0,6>0)的左、右焦点分别为片、F2.过此向一

ab

条渐近线作垂线，垂足为尸.若|尸鸟|=2,直线2片的斜率为变，则双曲线的方程为()

4

Ax2/

A.----------=1RD.----------=1

8448

2222

C.匕-匕=1D.二一匕=1

4224

4.(2008•湖南)若双曲线g-1=l(a>0,b>0)上横坐标为学的点到右焦点的距离大于它到

ab2

左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是()

A.(1,2)B.(2,+与C.(1,5)D.(5,-Ke)

5.(2007•福建)以双曲线/一/=2的右焦点为圆心，且与其右准线相切的圆的方程是()

A.x~+y~—4x—3=0B.x~+y~—4x+3=0

C.%2+y~+4x—5=0D.x2+y2+4x+5=0

6.(2005•天津)设双曲线以椭圆《+己=1长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点,

259

则双曲线的渐近线的斜率为()

A.±2B-4c-4D.3

7.（2021•全国）已知耳，匕是双曲线C的两个焦点，尸为。上一点，且

47犯=60。,|尸耳|=3|尸闾，则。的离心率为（）

A.遮B.巫

C.V?D.V13

22

尤2/-I

8.（2019•全国）设/为双曲线C：晨『1（a>0,b>0）的右焦点，。为坐标原点，以

。月为直径的圆与圆x2+j?=/交于尸、。两点.^\PQ\=\OF\,则。的离心率为

A.72B.出

C.2

9.（2022•天津）已知抛物线/=46:，片，耳分别是双曲线|y-g=l（a>°力>°）的左、右焦

点，抛物线的准线过双曲线的左焦点月，与双曲线的渐近线交于点4若/耳月/=\,则

双曲线的标准方程为（）

A.——/=1B.x2—=1

1016

22

C.产—匕=1D.—-/=1

44

10.（2021•天津）已知双曲线1■-1=1伍>0/>0）的右焦点与抛物线V=2pxO>0）的焦点

ab

重合，抛物线的准线交双曲线于/,2两点，交双曲线的渐近线于C、。两点，若

\CD\=4I\AB\.则双曲线的离心率为（）

A.V2B.V3C.2D.3

二、多选题

n.（2022・全国）双曲线C的两个焦点为片,8，以C的实轴为直径的圆记为。，过百作。

3

的切线与。交于N两点,且cos/GNB=w，则。的离心率为（）

•o•。.----\-）.---

2222

12.（2020•山东）已知曲线。：小2+即2=].（）

A.若加>心0,则C是椭圆，其焦点在y轴上

B.若冽=〃>0,则。是圆，其半径为五

C.若旭”0,则C是双曲线，其渐近线方程为y=

Vn

D.若冽=0,〃>0,则。是两条直线

三、填空题

13.（2023•全国）已知双曲线口「-1=1（°>0,6>0）的左、右焦点分别为昂巴.点A在C上,

ab

点B在了轴上，F\ALF\B,F\A=-^B,则C的离心率为.

丫2

14.（2022•全国）若双曲线j=i（%〉o）的渐近线与圆—+3=0相切，贝

m

m=.

22

15.（2020•全国）己知尸为双曲线C:，-4=l（a>0,6>0）的右焦点，/为。的右顶点，B为

ab

C上的点，且3尸垂直于X轴.若AB的斜率为3,则C的离心率为.

16.（2022•浙江）已知双曲线£-4=1（“>0/>0）的左焦点为尸，过尸且斜率为3的直线

ab24Q

交双曲线于点/（XQJ,交双曲线的渐近线于点3（%,%）且玉<0<起.若［F8|=3|E4|,则

双曲线的离心率是.

17.（2019•全国）已知双曲线C：二-4=1（。>0力>0）的左、右焦点分别为B,尸2,过B

ab

的直线与。的两条渐近线分别交于/,3两点.若瓦5=而，耶耳二0,则。的离心率

为.

22

18.（2020•北京）已知双曲线C：L一匕=1,则C的右焦点的坐标为；C的焦点

63

到其渐近线的距离是.

19.（2020・山东）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点下与双曲线二-今=1（。>0,10）的左

ab

焦点重合，若两曲线相交于"，N两点，且线段的中点是点尸，则该双曲线的离心率

等于.

四、解答题

20.（2023•全国）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为卜2瓶,0）,离心率为石.

（1）求C的方程;

(2)记C的左、右顶点分别为4，4,过点(-4,0)的直线与c的左支交于M,N两点，M在

第二象限，直线与此交于点尸.证明:点尸在定直线上.

21.(2022•全国)已知双曲线。：£-4=1(。>0/>0)的右焦点为尸(2,0),渐近线方程为

ab

y=±y/ix.

(1)求。的方程；

(2)过户的直线与。的两条渐近线分别交于4,3两点，点尸(再,必),。(乙,力)在C上，且

网>%>0,%>0.过P且斜率为一行的直线与过Q且斜率为V3的直线交于点”.从下面

①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：

①M在上；©PQ//AB-③

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

22.(2021•全国)在平面直角坐标系尤Oy中，已知点川-后,0)、匕乙|=2,

点W的轨迹为C.

(1)求C的方程；

(2)设点T在直线尤=1上，过T的两条直线分别交C于A、8两点和P,。两点，且

\TA\]TB\=\TP\]TQ\,求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.

22

23.(2008•湖北)已知双曲线C:二-二=1(°>0,6>0)的两个焦点为

ab

F:(-2,0),F:(2,0),点P(3,历的曲线C上.

(1)求双曲线C的方程；

(2)记O为坐标原点，过点0(0,2)的直线/与双曲线。相交于不同的两点E、F,若△。所

的面积为2拒,求直线/的方程

参考答案:

1.D

【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长.

—22/2/2

【详解】由e=6,则二=巴*=1+(=5,

aaa

解得2=2,

a

所以双曲线的一条渐近线为y=2x,

|2x2-3|

则圆心(2,3)到渐近线的距离d=

A/22+15

所以弦长|N8|=2A/7二户=2心|=竽

故选：D

2.D

【分析】

根据点差法分析可得BB•笈=9,对于A、B、D：通过联立方程判断交点个数，逐项分析判

断；对于C：结合双曲线的渐近线分析判断.

【详解】设/(玉,乂),/马,%),则43的中点

可得3g八士二4

X{-x2演+%2X]+x2

2

9

因为48在双曲线上，贝卜’2,两式相减得

xi--1

[9

所以心心=*=9.

对于选项A：可得左=1也B=9,则A8:y=9x-8,

y=9尤-8

联立方程{2/消去V得72尤2-2X72X+73=0,

[9

止匕时A=(—2x72了―4x72x73=—288<0,

所以直线与双曲线没有交点，故A错误；

995

对于选项B：可得左=一2,“=一5,则=-5工一万，

95

V=——X--

,22,

联U方程12,消去》得45x2+2x45x+61=0,

JV—1

X----------1

[9

止匕时A=（2x45）2—4x45x61=-4x45x16<0,

所以直线45与双曲线没有交点，故B错误；

对于选项C：可得上=3,左”=3,贝iJ4S:y=3x

由双曲线方程可得。=1/=3,则:y=3x为双曲线的渐近线，

所以直线45与双曲线没有交点，故C错误；

9Q7

对于选项D：k=4,k,则48:歹二:工一了，

AB444

’97

y=—x——

联立方程1424，消去歹得63/+126x-193=0,

f一匕=1

19

此时A=126?+4x63x193>0,故直线45与双曲线有交两个交点，故D正确;

故选：D.

3.D

ebb||

【分析】先由点到直线的距离公式求出6,设/尸。月=6,由tane=^=]得至“0尸|=。，

|OR|=c.再由三角形的面积公式得到力，从而得到马，则可得到=Y1,解出0,代

。~+24

入双曲线的方程即可得到答案.

【详解】如图，

因为乙(c,0),不妨设渐近线方程为y=2x,即&-即=0,

a

所以户闾=/%J,

7cl+bc

所以6=2.

PFbb

设/尸。巴=6,则tand=2,所以|OP|=a,所以|0闾=二

~OP~\OP\^~a

ab

ah2

因为x•外，所以孙=竺，所以2,所以x尸二幺

Ctan0=-=-

a2ab

所以P

因为耳(-c,0),

ab

ab2aaV2

所以扁4=1产

Q?+C?Q?_(_4+24

——+c

c

所以血(/+2)=4a,解得°=6,

22

所以双曲线的方程为土-匕=1

24

故选：D

4.B

【分析】根据题设条件可得基本量的关系，从而可求离心率.

【详解】根据双曲线的第二定义，双曲线上横坐标为的点到右焦点的距离为e-a--

212c

而该点到左准线的距离为1=|«+—.

2IcJ2c

,,,_..,(33a2

故由条件知e——>-^+一.

(2c)2c

整理得23。一1>3巳+1匕.

22e

综合e〉l,解得e>2.

故选：B

5.B

【分析】首先将双曲线化简成标准形式，然后求出右焦点坐标以及右准线方程，即可求解.

22

【详解】由题意可得，2=2=土_匕=1,根据求得°=2,则双曲线的

22

2

右焦点坐标为(2,0),右准线方程幺=1,

C

由此可知，圆的圆心为(2,0),半径为1,则圆的方程为/+/一以+3=0.

故选：B

6.C

22

【分析】由已知可得椭圆的长轴端点和焦点坐标，设双曲线的方程为5=1,

ab

可得a、b的方程组，求出a、6的值，可得双曲线的渐近线斜率.

【详解】解：由题意可得：椭圆的长轴端点为(5,0),(-5,0),且k?=4,所以焦点坐标

(4,0),(-4,0),

/+笊=25

22a2

设双曲线的方程为0-5=1,可得—=4，

ab2C

c=5

解得：a=2^5,b=y[s,

可得左=±—=±—,

a2

故选：C.

7.A

【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出忸耳|,忸£|,结合余弦定理可得答案.

【详解】因为|尸耳|=3|尸工|，由双曲线的定义可得|尸耳|-|尸阊=2|尸居|=2°,

所以|尸闾=a,阂=3a；

因为4尸互=60。,由余弦定理可得4c2=9a2+a2-2x3a-a-cos60°，

整理可得4c2=7/,所以e2=《=Z,即6=立.

a242

故选：A

【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立。，。间的等量关系是求解的

关键.

8.A

【分析】准确画图，由图形对称性得出P点坐标，代入圆的方程得到c与a关系，可求双曲

线的离心率.

【详解】设尸。与x轴交于点A,由对称性可知轴，

Xv|P0|=|OF|=c,:\PA\=^,二川为以。尸为直径的圆的半径,

A为圆心||=.

.')[,彳],又尸点在圆/+必=/上，

2222

21

-------1=a,即—=a,e~=--=2.

442a2

e—y/1.>故选A.

【点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几

何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中

的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来.

9.C

【分析】由已知可得出c的值，求出点A的坐标，分析可得H周=|耳月|,由此可得出关于。、

b.c的方程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的标准方程.

【详解】抛物线V=4石尤的准线方程为x=-石，则,=若，则片卜石,0）、鸟（右,0）,

'=_?x[x=-cb、

不妨设点A为第二象限内的点，联立厂―厂，可得be,即点/-C,匕，

y=——Ia）

"=-。Ia

TT

因为/耳，耳&且ZF,F2A==,则△耳月/为等腰直角三角形，

且M耳1=1耳段,即如=2c,可得2=2,

aa

所以，卜=石，解得6=2,因此，双曲线的标准方程为=1.

c2=a2+b2c=V?4

故选：C.

10.A

【分析】设公共焦点为(c,0),进而可得准线为》=-。，代入双曲线及渐近线方程，结合线段

长度比值可得/=|c2,再由双曲线离心率公式即可得解.

【详解】设双曲线4-［=1(。>0/>0)与抛物线V=2px(p>0)的公共焦点为(c,0),

ab

则抛物线r=2px(p>0)的准线为X=-c,

又因为双曲线的渐近线方程为夕=±2式，所以|。|=竺£,

aa

所以"£=冬生，即°=叵，所以片=。2-/=92,

aa2

所以双曲线的离心率e=£=&.

故选：A.

11.AC

【分析】依题意不妨设双曲线焦点在x轴，设过耳作圆。的切线切点为G,利用正弦定理

结合三角变换、双曲线的定义得到2b=3。或a=26,即可得解，注意就在双支上还是

在单支上分类讨论.

【详解】［方法一］:几何法，双曲线定义的应用

M、N在双曲线的同一支，依题意不妨设双曲线焦点在x轴，设过力作圆。的切线切点为B,

3

所以OBL耳N,因为cos乙0\q=1>0,所以N在双曲线的左支,

0B=«,\OF]=c,F,B=b,"F\NF[=a,由即cosa=M则sina=1,

35

NA=-a,NF2=-a

NF2-NFj=2a

2【2)

2b=a,:.e=—

2

选A

情况二

*

3

若M、N在双曲线的两支，因为cos/GN£=《〉0,所以N在双曲线的右支，

所以|OB|=Q,\OF\=C,|F]B|=b,设/不归二a,

33.4

由cos/GM^=丁即cosa=《，贝(jsina=w，

35

NA=-a,NF2=-a

NFj-NF2=2a

-a+2b--a=2a,

22

所以助=3a,即2=3,

a2

所以双曲线的离心率e=£==巫

a}a22

选C

［方法二卜答案回代法

A选项e=-

2

特值双曲线

2

——y2=1,「.耳(-\/吕,0卜耳(>/3,©,

过耳且与圆相切的一条直线为y=2(x+弱■卜

两交点都在左支,，,

.心2|=5,|阿=1,|*=2氐

3

则

C选项e=^

2

22

特值双曲线\-(■=1,.渭(-TH,o),月(VI5,o),

过耳且与圆相切的一条直线为y=g(x+/i),

・•,两交点在左右两支，N在右支，.屈，/

.-.|NF2|=5,^1=9,^1=241,

3

则co”.%',

［方法三］:

依题意不妨设双曲线焦点在x轴，设过耳作圆。的切线切点为G,

若M,N分别在左右支，

3

因为。G_Lg,且cos/片八里=不〉0,所以N在双曲线的右支,

又|OG|="，|O£|=c,\GF^=b,

没HNE=a,AF2FXN=(3,

2c

在△月叫中,KI

sin(3sin(a+/)sina

阿日"I2ca_c

sin(a+尸)-sin/7sinasin(a+〃)一sin〃sina

sinacosP+cosasinp-sin/?sina

-3.门ab.4

向cosa=—,sinp=—,cospn=—,故sina=一,

5cc5

代入整理得到助=3a,即2=3,

a2

若M,N均在左支上,

_HI-RI_工即a=上

sin'-sin(a+/)sinasin"-sinacos'-cosasin,sina

代入cosa=3,sin/7=-,sina=±,整理得到：—~T>

5c54b-{-2a4

故选：AC.

12.ACD

【分析】结合选项进行逐项分析求解，加〉〃>0时表示椭圆，加=〃>0时表示圆,

表示双曲线，加=0,〃〉。时表示两条直线.

J____i_£__1

【详解】对于A,若m〉几>0,则加/+盯2=］可化为11,

mn

因为加>〃〉0,所以一<一，

mn

即曲线。表示焦点在歹轴上的椭圆，故A正确；

对于B,若加=〃>0,贝!J冽％2+盯2=1可化为％2+>2=j_,

n

此时曲线C表示圆心在原点，半径为正的圆，故B不正确；

n

...2+匚1

对于C,若加〃<0,贝！J冽+砂2=1可化为11,

mn

此时曲线。表示双曲线，

由mx2+盯2=0可得y=±-—X,故C正确；

Vn

对于D,若加=0,〃>0,贝！J冽X?+"y2=1可化为「=,

n

y=+—,此时曲线C表示平行于x轴的两条直线，故D正确；

n

故选：ACD.

【点睛】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重

考查数学运算的核心素养.

13.迪/-45

55

【分析】方法一：利用双曲线的定义与向量数积的几何意义得到M阊，忸阊，忸周,以国关于

的表达式，从而利用勾股定理求得。=机，进而利用余弦定理得到的齐次方程，从

而得解.

方法二：依题意设出各点坐标，从而由向量坐标运算求得与=［5，,%=-：2/,r=402,将点

A代入双曲线C得到关于a,b,c的齐次方程，从而得解；

【详解】方法一：

依题意，设|/闾=2冽,贝!］忸闾=3加=|班/耳|=2。+2加,

在月中，9加之+（2〃+2%y=25加2,则（。+3加）（。—流）=0,故〃=加或。=一3加（舍去），

所以M娟==2a,忸闾=忸周二3"，则|/却二5二,

AF,

故cos/片/乙二方14a4

5a5

+a

所以在△力耳工中，cosZF,AF2=^——竺—=+,整理得5c2=9Q2,

~2x4qx2〃5

依题意，得G(-c,0),鸟(c,0),令/(%,%),5(0,f),

,2__»252

因为鸟4=-所以(与-c/o)=-§(-c/),则%o=%=-9，

又用n而，所以五才耶=1|G-：>(cJ)=|c2-|f2=0,则Ue?,

生H25r24产25c216r2

又点A在。上，贝!|9921,整理得空-%=1，则笺—是=1,

=19a29b29a29b2

—a2--brr

222222

所以25c2b2-16//=9a2b2,即25c『叫-16ac=9a(c-a)f

整理得25°J50/，+9/=0,则夕/—叱小^—叫二。，^Sc2=9a2^5c2=a2,

又e>l,所以e=迈或e=@(舍去)，^e=—.

555

故答案为：述.

5

【点睛】关键点睛：双曲线过焦点的三角形的解决关键是充分利用双曲线的定义，结合勾股

定理与余弦定理得到关于a/,c的齐次方程，从而得解.

14.日

【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半

径，依题意圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可.

2*

【详解】解：双曲线必-jr=l（加>0）的渐近线为了=±2，即工±叼=0,

不妨取x+7〃y=0,圆X?+/-4y+3=0,即x?+（_y-2y=1,所以圆心为（0,2）,半径r=l,

依题意圆心（0,2）到渐近线工+叼=0的距离d=尸，=1,

y/1+m2

解得加='^或加（舍去）.

33

故答案为：立

3

15.2

【分析】根据双曲线的几何性质可知，忸尸|=），I/尸卜即可根据斜率列出等式求解

即可.

x=c

(X-C

【详解】联立｛5-捺=1,解得=+且，所以阿卜?

c2=b2+a210

BF£

依题可得,=3,\AF\=c-a,即hJ，变形得c+a=3ac=2a,

AFc-aa(c-a)

因此，双曲线。的离心率为2.

故答案为：2.

【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的求法，以及双曲线的几何性质的应用，属于基础题.

376

16.---

4

【分析】联立直线Z8和渐近线/,：y=2x方程，可求出点3,再根据|£8|=3|9|可求得点

a

A,最后根据点A在双曲线上，即可解出离心率.

【详解】过下且斜率为3的直线=二（x+c）,渐近线/,:y=2x,

4Q4aa

b

——（x+c）/7/07

联立y=4\，得台仁力、，由1尸9=3倒I，得、

b<33a）V99aJ

y——x

Ia

而点A在双曲线上，于是空-上!1=1,解得：==旦，所以离心率e=地.

81a281/^2a2244

故答案为：巫.

4

17.2.

【分析】通过向量关系得到片Z=和片/,得至1」44。5二44。耳，结合双曲线的渐

近线可得/B0F?=NAOK,NBOF,=ZAOF{=ZBOA=60°,从而由9=tan60°=百可求离心

a

率.

【详解】如图，

由用=荏,得月/=.又。£=。旦,得OA是三角形gB的中位线，即

BF2/!OA,BF2=204由耳瓦瓦方=0,得片B_LF2B,OA1FtA,则。8=O4有NAOB=乙40耳，

又OA与OB都是渐近线，得NBOF]=ZAOF1,又ZBOF2+ZAOB+ZAOFt=万，得

ZBOF2=ZAOFt=ABOA=60°,.又渐近线OB的斜率为白=tan60°=百，所以该双曲线的

【点睛】本题考查平面向量结合双曲线的渐近线和离心率，渗透了逻辑推理、直观想象和数

学运算素养.采取几何法，利用数形结合思想解题.

18.（3,0）V3

【分析】根据双曲线的标准方程可得出双曲线C的右焦点坐标，并求得双曲线的渐近线方程,

利用点到直线的距离公式可求得双曲线的焦点到渐近线的距离.

【详解】在双曲线C中，a=4e,b=Q,则C=J7==3,则双曲线C的右焦点坐标为

(3,0),

双曲线C的渐近线方程为＞=土等x,即x土岳=0,

3

所以，双曲线C的焦点到其渐近线的距离为=6.

,7+2

故答案为：(3,0)；G

【点睛】本题考查根据双曲线的标准方程求双曲线的焦点坐标以及焦点到渐近线的距离，考

查计算能力，属于基础题.

19.V2+1

【分析】利用抛物线的性质，得到M的坐标，再带入到双曲线方程中，即可求解.

【详解】由题意知：-g=-c,:.p=2c,

•••抛物线方程为：y2=-2px=-4cx,

••・M在抛物线上，所以M(-c,2c),

在双曲线上,

••/卞

b2=c2-a2,:.c4-6a2c2+a4=0

"=3±2也，又ee(l,+co),.”=拒+1.

故答案为：V2+1

22

20.⑴土-匕=1

416

(2)证明见解析.

【分析】(1)由题意求得。力的值即可确定双曲线方程；

(2)设出直线方程，与双曲线方程联立，然后由点的坐标分别写出直线朋4与拓42的方程,

联立直线方程，消去V,结合韦达定理计算可得士=-±,即交点的横坐标为定值，据此

x-23

可证得点尸在定直线尸-1上.

22_

【详解】（1）设双曲线方程为十分•二地〉。/〉。），由焦点坐标可知°=2君,

则由£=£=后可得〃=2,b=y/c2-a2=4，

a

22

双曲线方程为二-匕=1.

416

（2）由⑴可得4（—2,0）,4（2,0）,设必）,N（%2，%）,

显然直线的斜率不为0,所以设直线九W的方程为x=”y-4,且一［＜加＜二,

22

22

与二一匕=1联立可得（4加2歹2_32即+48=0,且A=64（4冽2+3）〉0,

直线的方程为kf（x+2）,直线尺的方程为V=上7卜-2）,

Xj+ZL

联立直线MAX与直线N4的方程可得:

x+2="+2)=y?(优必一2)=〃沙/2—21]+12-2%

x-2yl(x2-2)%(my2-6)myly2-6yt

48「32mc-16m仁

m「------2——+2J1

4加2]4加2]4「加2——一]

4848m「3

mx—6%病丁6%

4m2—1

x+21

由上上=_上可得x=_l,即Xp=_l,

尤-23

据此可得点尸在定直线x=-1上运动.

【点睛】关键点点睛:求双曲线方程的定直线问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和

综合应用能力，其中根据设而不求的思想，利用韦达定理得到根与系数的关系可以简化运算,

是解题的关键.

21.⑴/一(=1

(2)见解析

【分析】(1)利用焦点坐标求得。的值，利用渐近线方程求得6的关系，进而利用。也c的

平方关系求得6的值，得到双曲线的方程；

(2)先分析得到直线AB的斜率存在且不为零,设直线的斜率为匕M(xo,yo),由③

等价分析得到％+如。=《；；由直线尸〃和四的斜率得到直线方程，结合双曲线的方程,

两点间距离公式得到直线尸。的斜率加=也，由②尸Q///5等价转化为0o=3x。，由①M

在直线48上等价于W。=左2(%-2),然后选择两个作为已知条件一个作为结论，进行证明

即可.

【详解】(1)右焦点为尸(2,0),.•.c=2「.•渐近线方程为y=±6x,.・.2=百，.♦"=耳，

a

c2=a2+b~=4a2=4,•*•<?=1,b=V3.

2

•..C的方程为：必-匕=1；

3

(2)由已知得直线PQ的斜率存在且不为零，直线43的斜率不为零，

若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线N3的斜率存在且不为零；

若选①③推②，则W为线段的中点，假若直线的斜率不存在，则由双曲线的对称性

可知M在x轴上，即为焦点厂，此时由对称性可知P、。关于x轴对称，与从而无1=迎，已

知不符；

总之，直线的斜率存在且不为零.

设直线AB的斜率为k，直线AB方程为y=k(x-2),

则条件①〃■在48上，等价于%=左伉-2)O纵=尸伉-2)；

两渐近线的方程合并为3/-/=0,

联立消去/并化简整理得：g-3*-4Fx+4廿=0

设/的力),现匕，%),线段中点为"(赖，〃),则％=匕4=等:,%=左鼠-2)=告,

2k-3k-3

设M(x(),%),

则条件③|，|T3M等价于伍—三)2+(%-%)2=(%-匕)2+(%74)2,

移项并利用平方差公式整理得:

（X3-X4）［2X0-（X3+尤4）］+（%—%）［2%-（%+%）］=0，

［2%—（电+9）］+%_居［2j0-（%+J；）］=C,即%—X、+左（＞o—了可）=°,

%3—14

日n78k2

即/+伙=算3;

由题意知直线9的斜率为-6，直线加的斜率为百，

・••由必—歹0=一百（%—X。），＞2—歹0=枢62一％0）,

•*•弘_%=-V3（再+/-2%）,

所以直线尸。的斜率加=（…+%-2陶,

石-x2X1_x2

直线PM:y=-0（x-x0）+y0,§.\ly=y0+拒x广43x,

代入双曲线的方程3/-/-3=0,即（6尤+＞）（屈一〉）=3中,

得：（%+后0）［2后-（%+后0）］=3,

y0

条件②PQHAB等价于m=kokyo=3x§,

综上所述:

条件①M在N5上，等价于如。=左2n。-2)；

条件②PQHAB等价于ky0=3x0；

Qz^2

条件③MM=忸M等价于x0+ky0=；

k—3

选①②推③：

12072

由①②解得：/=—x+ky=4x=------，，③成立；

K-J0Q0K—3

选①③推②：

由①③解得：x=—，ky。=-f--，

°QF-3°k?-3

：.kyQ=3x0,・♦•②成立；

选②③推①：

由②③解得：/二，幻0=x-2=p-->

K—3K—5oK7

00=/（/-2）,.•.①成立.

2

22.（1）x2-^--l（x>l）；（2）0.

【分析】（1）利用双曲线的定义可知轨迹C是以点片、耳为左、右焦点双曲线的右支，求出

。、6的值，即可得出轨迹C的方程；

（2）方法一：设出点的坐标和直线方程，联立直线方程与曲线C的方程，结合韦达定理求得

直线的斜率，最后化简计算可得匕+七的值.

【详解】⑴因为|町|-|%|=2<］£闾=2如，

所以，轨迹C是以点片、区为左、右焦点的双曲线的右支，

22_________

设轨迹。的方程为♦一点■=0,6〉0）,贝！］2〃=2,可得。=1,b--a2=4，

2

所以，轨迹。的方程为炉暇=1（H）.

（2）［方法一］【最优解】：直线方程与双曲线方程联立

如图所示，设

设直线48的方程为y-〃=K（x-g）,N（Xi，弘）,8（尤2，刈）•

化简得（16-左；）%2+（左;一2左〃）、一；左；一〃2+左〃—16=0.