2023年中考数学压轴题突破：二次函数与角度问题

2023年中考数学高频压轴题突破——二次函数与角度问题

1.如图1,抛物线工尤+c交无轴于A,B两点,交y轴于点C.直线y=-?x+3

44

经过点2,C.

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点P为直线8c下方的抛物线上一动点(不与点8,C重合)，则4PBC的面积

能够等于△BOC的面积吗？若能，求出相应的点尸的坐标；若不能，请说明理由；

(3)如图2,现把△BOC平移至如图所示的位置，此时三角形水平方向一边的两个端点

点。'与点"都在抛物线上，称点和点次为△BOC在抛物线上的一“卡点对”；

如果把△BOC旋转一定角度，使得其余边位于水平方向然后平移，能够得到这个三角形

在抛物线上新的“卡点对”.请直接写出△BOC在已知抛物线上所有“卡点对”的坐

标.

交此抛物线于点C,动直线与抛物线交于点。，分别过点3、C作BE、CF垂

直动直线＞=近于点E、F.

(1)求此抛物线的解析式；

(2)当直线y=质把NAOC分成的两个角的度数之比恰好为1：2时，求人的值；

(3)8E+CP是否存在最大值？若存在，请直接写出此最大值和此时左的值；若不存在，

备用图

3.如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(-1,0),3(3,0)两点，与y轴交于点C,

顶点为D.

(1)求此抛物线的函数表达式；

(2)以点B为直角顶点作直角三角形8CE,斜边CE与抛物线交于点P,且CP=EP,

求点P的坐标；

(3)4BOC绕着它的顶点2顺时针在第一象限内旋转，旋转的角度为a,旋转后的图形

为△801C1.当旋转后的△BO1C1有一边在直线BD上时，求△BOiCi不在3D上的顶点

的坐标.

-近/-我x+生应交x轴A,

4.如图1,在平面直角坐标系中，已知抛物线yB两点,

33

交y轴于点C,抛物线上一点D的横坐标为-5.

(1)求直线8。的解析式;

(2)点E是线段80上的动点，过点E作x轴的垂线分别交抛物线于点R交x轴于点

G.当折线段跖+BE最大时，在直线E尸上任取点P,连接BP,以3尸为斜边向上作等

腰直角△2P。，连接C。、QG,求CQ+与。G的最小值.

(3)如图2,连接BC,把△OBC沿x轴翻折，翻折后的△OBC记为△OBC',现将△

OBC'沿着x轴平移，平移后的△OBC'记为A。'B'C",连接。。,、CB,记C〃

B与无轴形成较小的夹角度数为a,当/O'DB=a时，直接写出此时C〃的坐标.

5.如图1,抛物线与x轴交于A(-3,0)、5(1,0)两点，与y轴交于点C(0,-\於).

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)如图1,抛物线上点D的横坐标为-4,且DD'±x轴于点D',ZDBD'=

30°.点E是线段8。上的动点，过点E作x轴的垂线交抛物线于点尸，当EF+EB取得最

大值时，在抛物线对称轴上找一点P,使EP+fP的值最小，求：EP+FP的最小值及点P

的坐标；

(3)如图2,在(2)的条件下，连接BC,把△OBC沿x轴翻折，翻折后的△OBC记为

/XOBG,现将aOBG沿着无轴向左平移，△OBG平移后记为△MNK,连接。M、KB,

记KB与x轴形成的较小夹角度数为4当时，求出此时K的坐标.

6.如图1,在平面直角坐标系中，抛物线y」x22&X-3与尤轴交于A、8两点(点A

33

在点8左侧)，与y轴交于C点，点E在第一象限且四边形ACBE为矩形.

(1)求/8CE的度数;

(2)如图2,F为线段BC上一动点，尸为第四象限内抛物线上一点，连接CP、FP、BP、

EF,M,N分别是线段CP,EP的中点，连接脑V,当△8C尸面积最大，且MN+EP最小

时，求PF的长度；

(3)如图3,将△AOC绕点O顺时针旋转一个角度a(0°<a<180°)，点A,C的

对应点分别为A,C,直线4C与x轴交于点G,G在x轴正半轴上且OG[.线段KH

在直线AC上平移(K在H左边),且KH=5,△KMC是否能成为等腰三角形？若能，

请求出所有符合条件的点K的坐标；若不能，请说明理由.

7.如图，抛物线y=-x2+(m+2)x+粤■与x轴交于A(-2-〃，0),B(4+m0)两点

(A在8的左侧)，与y轴交于点C,顶点为。.

(1)求此抛物线的解析式；

(2)以点8为直角顶点作直角三角形8CE,斜边CE与抛物线交于点P,且CP=EP,

求点P的坐标;

(3)将△80C绕着它的顶点B顺时针在第一象限内旋转，旋转的角度为a,旋转后的图

形为△BO'C.当旋转后的△80'C有一边与BO重合时，求ABO'C不在上

的顶点的坐标.

8.如图1,在平面直角坐标系中，抛物线2分别与尤轴交于A,B两点,

23

与y轴交于C点，直线垂直平分线段8C,分别交8C于点E,y轴于点足

(1)判定△ABC的形状;

(2)在线段BC下方的抛物线上有一点P,当△BCP面积最大时，点尸沿适当的路径运

动到直线AC上的点M处，再沿垂直于AC的方向运动到直线EF上的点N处，最后沿

适当的路径运动到点8处停止运动，当点尸的运动路径最短时，求点N的坐标及点尸经

过的最短路径长.

(3)如图2,过点石作硒上犬轴于点X,将绕点E逆时针旋转一个角度a(0°

WaW90°),/。即的两边分别交80,C。于点T,点K,当△KET为等腰三角形时，

求此时KT的值.

9.如图，直线/：y=-3x+3与无轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线^二。%2-2czx+a+4

（a<0）经过点8.

（1）求该抛物线的函数表达式;

（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM,设点

M的横坐标为他，的面积为S,求S与机的函数表达式，并求出S的最大值；

（3）在（2）的条件下，当S取得最大值时，动点〃相应的位置记为点.

①写出点的坐标；

②将直线/绕点A按顺时针方向旋转得到直线,当直线/'与直线AM'重合时停止旋

转，在旋转过程中，直线/'与线段交于点C,设点8、M'到直线/'的距离分别

为力、必，当力+必最大时，求直线/'旋转的角度（即N3AC的度数）.

10.如图1,在平面直角坐标系中，已知抛物线>=-工3/-«*+线■交x轴于A,8两

33

点，交y轴于点C,抛物线上一点。的横坐标为-5.

（1）求直线BD的解析式;

（2）点、E是线段BD上的动点，过点E作x轴的垂线交抛物线于点F,当折线EF+BE

最大时，在对称轴上找一点P,在y轴上找一点。，连接QE、OP、PQ,求OP+PQ+QE

的最小值；

（3）如图2,连接BC,把△OBC沿x轴翻折，翻折后的△02C记为△OBC',现将△

OBC'沿着无轴平移，平移后△OBC'记为Zk。'B'C",连接。O'、C"B,记C"B

与无轴形成较小的夹角度数为a,当N。'OB=a时，求出此时C"的坐标.

过点P的直线y

x+m与对称轴交于点Q.

(1)这条抛物线的对称轴是,直线PQ与x轴所夹锐角的度数是；

(2)若两个三角形面积满足打「02=」1以0,求相的值；

3

(3)当点P在x轴下方的抛物线上时，过点C(2,2)的直线AC与直线PQ交于点

求：①PZJ+DQ的最大值；②P/ADQ的最大值.

12.已知：直线y=-争+3与x轴y轴分别交于点4、点B,抛物线y=-1x2+bx+c经过

点A和点艮

(1)求抛物线的解析式；

(2)点C(0,2),点P(m,0)是线段。4上的一点(不与。、A重合)，过点尸作

PM垂直x轴，交抛物线于点连接8/、AC,AM,设四边形ACBM的面积为S,求

S与机的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围)；

(3)在(2)的条件下，点。是线段OP的中点，连接8D,当S取最大值时，试求直线

8。与AC所成的锐角度数.

13.已知抛物线＞=0?-2"+.-4与方轴分别交于4,B,与y轴交于C点，顶点为P.

（1）直接写出此抛物线的对称轴.

（2）连接BP,Q点是抛物线上一动点（不与P点重合），过。点的直线y=-3x+6与

直线BP相交所成的锐角为45度，求此抛物线的解析式；

（3）平移（2）中的抛物线，使抛物线的顶点在直线CP上滑动，滑动之后的抛物线顶

点记为点P,且与PC交于另一点R.若点M在直线AC上方，且为（2）中的抛物线上

点，当以M,P,,R三点为顶点的三角形是含30°角的直角三角形时，求出所有符合条

件的M的坐标.

14.如图，抛物线y=/+6x-4a经过A（-1,0）、C（0,4）两点，与尤轴交于另一点艮

（1）求抛物线的解析式；

（2）已知点D（租，机+1）在第一象限的抛物线上，M为抛物线的顶点，试在直线BC

上找一点N,使△”小步的周长最小，求此时的N点坐标；

（3）在（2）的条件下，在抛物线是上找一点P,使△PB。中有一个角为45度，求点P

的坐标.

14.如图，己知△A3。中，点B在x轴上，ZABO^90°,点A（1,愿），把△AB。绕

点A按逆时针方向旋转到△AC。的位置，使点。的对应点。在x轴上，抛物线以点A

为顶点且经过点C.

（1）求旋转角的度数，并求点C的坐标；

（2）求出抛物线的解析式；

（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使PC+尸。的值最小？若存在，求出点P的

坐标；若不存在，说明理由.

16.张亮是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线（a>0）的

性质时，将一把直角三角形的直角顶点平面直角坐标系的原点O,两直角边与该抛物线

交于A、8两点，请解答以下问题：

（1）若测得。4=。2=2/5，（如图1）,求a的值；

（2）对于同一条抛物线，张亮将三角板绕点。旋转到如图2位置时，过8作3D，尤轴

于点。，测得。。=1,写出此时点8的坐标，并求点A的横坐标；

（3）对该抛物线，张亮将三角板绕点。旋转任意角度时惊奇地发现，交点A、8的连线

段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标.

17.如图，直角NAOB顶点置于平面直角系的原点O,两直角边与抛物线C1；>=-•1/

2

交于A,8两点.

(l)NAOB绕点旋转到如图位置时，过2作BFLx轴于点R测得。尸=1,写出此时B

点的坐标，并求出点A的横坐标；

(2)NAQB绕点。旋转任意角度时，交点A,8的连线段总经过一个固定的点，试说明

理由，并求出该点的坐标；

(3)若将抛物线C1右移1个单位后在向上移2个单位得到抛物线C2,其顶点为G,与

x轴交于M,N两点(M左N

右)，现已知点尸(1,力(f>0),是否存在实数3使得以点尸为圆心的OP恰好与线

段和线段NG相切？若存在，求出/的值；若不存在，说明理由.

18.把一块三角板置于平面直角坐标系中，三角板的直角顶点为P,两直角边与x轴交于A、

B,如图1,测得AB=2.以尸为顶点的抛物线y=-(x-2)恰好经过A、

B两点，抛物线的对称轴x=a与x轴交于点E.

x=a

(1)填空：a=,k=，点E的坐标为：

(2)设抛物线与y轴交于点C,过尸作直线PMLy轴，垂足为M.如图2,把三角板绕

着点P旋转■定角度，使其中■条直角边恰好过点C,另一条直角边与抛物线的交点为

D,试问：点C、。、E三点是否在同一直线上？请说明理由.

(3)在(2)的条件下，若。(m,n)为抛物线上的一动点，连接CF、QC,过0作

QFLPM,垂足为足试探索：是否存在点。，使得△QCP是以。C为腰的等腰三角形？

若存在，请求出机的值；若不存在，请说明理由.

19.如图，将矩形0ABe置于平面直角坐标系xOy中，A(K巧，。)，C(0,2).

(1)抛物线y=-/+6x+c经过点8、C,求该抛物线的解析式；

(2)将矩形。18C绕原点顺时针旋转一个角度a(0°<a<90°),在旋转过程中，当

矩形的顶点落在(1)中的抛物线的对称轴上时，求此时这个顶点的坐标；

(3)如图(2),将矩形04BC绕原点顺时针旋转一个角度9(0°<0<180°),将得

到矩形。4'B'C,设A'C的中点为点E,连接CE,当。=。时，线段CE

的长度最大，最大值为.

-3).

(1)求直线BC及二次函数的解析式；

(2)设抛物线的顶点为。，与无轴的另一个交点为人点尸在抛物线的对称轴上，且/

APD=ZACB,求点P的坐标;

参考答案：

1•【分析】（1）分别把x=0,y=0代入一次函数表达式得：点C、2的坐标分别为（0,3）、

（4,0）,同理将点8、C的坐标代入二次函数表达式即可求解；

（2）直线y=-旦尤和直线BC平行，直线y=-2x和抛物线的交点就是满足条件的点

44

P,即可求解；

（3）分。'B'在水平位置时、O'C在水平位置时、B'C在水平位置时，三种情况

分别求解即可.

【解答】解：（1）分别把x=0,y=0代入一次函数表达式得：点C、8的坐标分别为（0,

3）、（4,0）,

将点8、C的坐标代入二次函数表达式得：，16a-15+c=0,解得：产气，

1c=3c=3

故抛物线的表达式为：丫=旦/-至户3；

-44

（2）直线y=和直线BC平行，

"4

直线y=-lx和抛物线的交点就是满足条件的点P,

4

J44

则c,解得：iy=-3，

即当（2,-1）时，两个三角形面积相同；

2

（3）抛物线的对称轴为：x=—,

2

①当O'B'在水平位置时，如图2所示，

O'B'=4,则点正和的横坐标分别为工、旦,

22

将横坐标代入二次函数表达式得：y=21,

16

故此时的“卡点对”坐标为（工，21）和（过，骂）；

216216

②当O'C在水平位置时，

O'C=3,则点/和的横坐标分别为4、1,

将横坐标代入二次函数表达式得：y=0,

故此时的“卡点对”坐标为（1,0）和（4,0）；

③当BC在水平位置时，

同理可得：此时的“卡点对”坐标为（0,3）和（5,3）；

故抛物线上所有“卡点对”的坐标是（［，生）和（且，旦）、（1,0）和（4,0）、

216216

（0,3）和（5,3）.

【点评】本题为二次函数综合运用题，涉及到一次函数、图形面积计算等知识点，其中

（3）,要注意分类求解，避免遗漏.

2•【分析】（1）过点B作尤轴于点”，求出点8的坐标，用待定系数法可求出解析式；

（2）先求出点C的坐标，分两种情况：；.①当/4。。=30°时，过点。作。尸，无轴于

点P,可求出k的值；②当时，如图，设CQ与的交点为K,过点D

作。尸_Lx轴于点P,过点K作KALLOC于N,证明△。。F6△。长。，求出CMCK、KQ

的长，则左的值可求出；

（3）连接2C,由垂线段最短可知8E+CPWBC,当且仅当直线y=乙与垂直，即点

E、尸重合时，BE+CF=BC,此时BE+CF取得最大值，可求出最大值和女的值.

【解答】解：（1）VA（4,0）,

；.OA=4,

过点5作3”，九轴于点H,如图1,

VZAOB=45°,

：.ZOBH=ZAOB=45°,

：・0H=BH=2,

・••点5的坐标为(2,-2),

...[16a+4b=0,

14a+2b=-2

解得,a节,

b=-2

2

此抛物线的解析式为y=yX-2x-

(2)如图2,过点C作C。，无轴于点。,

:.CQ=OQ,

2

•*.—X-2X=X,解得，X1=O,X2=6,

...点C的坐标为(6,6),

•••直线y=fcv把/AOC分成的两个角的度数之比恰好为1：2,

二①当乙4。。=30°时，过点。作。轴于点P,

X

Z,,DDP+9.0V3

k----=—=tan30

yDOP3

：.DP//CQ,/CNK=/ONK=92°,

/.AODPcoAOKQ,ON/KN,

.一_DP_KQ

yDOPOQ

又；NOCQ=45°,

：.CN=KN,CK=&CN，

OC=ON+NC=(V3+1)CN,

：NBOC=90°,点3、C的坐标分别为(2,-2),(6,6)ZCOF=ZAOB=45°,

•■•OB=V22+22=2V2,OC=V62+62=6V2,

；.(我+1)CN=6&，

:.CN=3娓-342>

•••CK=V2(376-3V2)=6A/3-6,

:.KQ=CQ-CK=6-(S/5-6)=12-6通，

.一XDDPKQ12-673

=2-73-

yDOPOQ6

(3)如图4,连接BC,由垂线段最短可知8E+CPW8C,

当且仅当直线y=fcv与3c垂直，即点E、尸重合时，BE+CF=BC,此时8E+CP取得最

BE+CF=7(2V2)2+(6V2)2=4V5，

。点的坐标为(3,-1.5).

仁」

2

【点评】本题是二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，二

次函数的性质，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数及相似三角形的判定与性质等知

识点.

3.【分析】(1)将A、B两点的坐标代入抛物线y=-/+6x+c,即可求6、c的值；

(2)过点尸作P”_L无轴于H,PG_Ly轴于G,连接由条件可证得PC=PE=PB,

证明△PCG经△PBH,得出PG=PH,则P点坐标易求；

(3)有两种可能：当BC1在直线3。上时，过点。1作。1M，。'证明

得出比例线段可求出2M、。1〃的长，则点。1的坐标可求出；当5。1与2力重合时，过

点B作x轴的垂线BN,过点C1作C1N_L8N于点N,易证△NBCv^CBD,可求出2N、

NC1的长，则Ci的坐标可求出.

【解答】解：(1)把A(-1,0),8(3,0)两点代入＞=-^+bx+c,

得：尸-b+c=O,

I-9+3b+c=0

解得匕=2,c=3,

...抛物线的函数表达式为y=-/+2尤+3；

(2)如图1,(2)过点P作PH,无轴于反，PGLy轴于G,连接尸2,

设尸(相，-〃，+2加+3),易知C(0,3),

'JOC^OB,

：.ZOCB=ZOBC=45°,

•:PC=PB,

:・/PBC=/PCB,

：.ZPCG=ZPBCf

XVPC=PB,

RtAPCG^RtAPBH(AAS),

:.PG=PH,

.*.m=-m+2m+3,

解得：m=1±垣.

2___

・•.P为或(1^,；

2222

(3)如图2,当BQ在直线8。上时，过点Oi作OiM_LOB,由y=-/+2x+3可得ZX1,

4).

：.DC=®BC=3近,DB=2炳,

：.DC2+BC2^BD2,

...△BC。为直角三角形，且/BCO=90°

•/ZDBC+ZCBOi=ZCBO1+ZABOi=450,

ZABOi^ZDBC,

.,.△MBOis^cBD,

.BM^°1H_BQ1

^BC=DC-W

：.BM=w715.

・••点Oi的坐标为（3-^Vi3)

如图3,当8。1与8。重合时，过点8作无轴的垂线BN,过点Ci作CiNLBN于点N,

易证ANBCisACBD,

.BN^WC1_BC1

"BC=CD=~BD'

.BNNC1372

,,啦Fw

：.BN=^/s，NCi=^Js，则Ci的坐标为（3+可§,且旄）.

【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、全等三角形的判定与性质、相似三

角形的判定与性质、二次函数图象上点的坐标特征、勾股定理以及解一元二次方程，解

题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用二

次函数图象上点的坐标特征求出点P的坐标；（3）根据相似三角形的性质求出线段的

长.

4.【分析】（1）先求出点A、B、C的坐标，再由。点横坐标求出。点坐标，即可求解；

（2）先通过折线段EF+BE最大，求出点E的坐标，再通过证明△PMQgZkBNQCAAS）,

确定四边形M0NG为正方形，得出MQ=Y2MG,当C、M、。三点共线，且尸

_2

时，CQ+亚。G取得最小值，即可求解；

（3）利用△（?'MDsAC"o'B,求出线段。O'的长度，即可求解.

【解答】解：（1）令y=0,则x=-4或1,令x=0,贝仃=考2,

故：点A、B、C的坐标分别为（-4,0）、（1,0）、（0,生巨），

3

当尤=-5时，y=-2«,即点。（-5,-2«）,

设直线BD的表达式为：y=kx+b,

-5k+b=-2«,解得:

则

k+b=O

则直线的表达式为：y=V3X_V3.

33

（2）如图，设8。交y轴于点K,则K（0,-卑），设：点E（相，近相-近），

33

-叵-m2-、门81+医区),tan/A3£)=返，/.ZABZ)=30°,

点F(m,

333

*岖-&-返）+2（近-&）

EF+EB-旦2_如

333333

一近

1

3E2+粤，

此时，点£（-3,-生巨）；

故：当初=-3时，折线段EF+BE最大,

3

如图，过点。分别作QNLx轴交于点N,作QMLy轴交于点M,

VZMQP+ZPQN=90°,ZPQN+ZNQB=90°,ZNQB=ZPQM,

又/PMQ=/QNB=90°,QP=QB,

:.丛PMQQXBNQ(AAS),：.QM=QN,

.•.GMQN为正方形，QM=

QM+QC,

当C、M、。三点共线，且。时，CQ+*>QG取得最小值，最小值为3；

（3）如图，作。'于点设：O'B=a,则O'M=」a,MB=^-a,

22

NO'MD=ZBO'C"=

.♦.△O'MDsAC"o'B,.O'M=DM

"oycy/"BO7-

-4«

.2与2

,,屹二a-'

3

解得：a=4或-8（负值相当于点O'在点8的右侧），

故：点C〃的坐标为（-3,-生巨）或（9,-生巨）.

33

【点评】本题考查的是二次函数综合应用，涉及到三角形全等、相似、平移、正方形性

质等诸多知识点，其中（2）,确定四边形MQNG为正方形是本题解题的关键，该题难

度很大.

5.【分析】（1）由题意，设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x-1）,将点C（0,-弧）

代入y=a（x+3）（x-1）即可得到结论;

（2）根据已知条件得到ZX-4,包巨），求得直线BZ）的解析式为：>=-1.计返;

333

：2

y-m4^m-V3），得至EF+EB=-与（m+

尸（m,

5）2+49愿,当机=-$时，EF+EB取得最大值49依,求得£（二，二巨），F

21221226

（至,于是得到结论；

212

（3）过M作MHLBD于点H,记BM=t,根据勾股定理得到BD=

,（1+4）2+（当1）2=也料，根据相似三角形的性质即可得到结论.

【解答】解：（1）由题意，设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x-1）,将点C（0,-、四）

代入y=a（x+3）（x-1）中，得

；.丫=近（x+3）（x-1）,

3

即尸返r+Rlx-V3；

33

（2）:点。的横坐标为-4,

.5a

7F'_

：.D（-4,,

3_

直线BD的解析式为：y=-1x+返；

33_

则设E（m,冬m■哼），尸（叫亨m2呼^-«），

'：ZDBD'=30°,

：.EF+EB=-近加+近-（近m2+_^^%-«）+2（-近"+返）

333333

=-返机2_上返加+2加

33

一近加+为2+里近，

3212_

，当m=-$时，EF+EB取得最大值,电士；，

212

此时E（兰，,F（至，-2^）,

26212

抛物线尸返/+汉3尤-向的对称轴是直线%=-1,

33

作点E关于对称轴尤=-1的对称点E',由对称性可知E'（1,上返）

26

连接E'尸交对称轴x=-1于点P,则EP+FP=E'P+FP,

当E',F,尸三点共线时，E,尸+尸尸的值最小，

4

由作图可知点尸是线段E'尸的中点，所以点P(-l,口^);

24_

(3)过M作MH_LBD于点”，记8M=/,因NDBD'=30°,则〃〃=_1七B//=—

22

2________________

(1+4)2+(率)2=12^1,

Voo

：.DH=BD-BH=-运t，

32

•:/MDH=/KBM=8,ZMHD=ZKMB=90°,

△MDHsAKBM,

DH=DH

BM丽’

10V3V3l工

，点K（乎M）.

【点评】本题考查了待定系数法确定函数关系式，勾股定理，相似三角形的判定和性质,

最值问题，正确的作出辅助线是解题的关键.

6.【分析】（1）在Rt/XOBC中，tan/O8C=£=1*,推出/O8C=30°,由四边形AC8E

0B3

是矩形，推出。8=QC,可得/8CE=/QBC=30°；

（2）如图2中，作C£»_Ly轴，FH_LCD于H,EH'LCD于H'交.BC于P.设P（m,

—tn2-0m-3),根据SAPBC=S&POC+S&POB-S&OBC,构建二次函数，了也重合时

33

的性质，确定点尸坐标，由CM=MP,FN=NP,推出MN=』CR在RtZkFCH中，易

2

知NFCH=30°,推出FH=^-CF,推出FH=MN,推出MN+EF=EF+FH,推出当F

2

马P重合，H与卫重合时，MN+EP的值最小，求出点尸的坐标即可解决问题；

(3)如图3中，作。M_LKH于M,直线K”交y轴于P,作CNLKH于N.首先确定

直线KH的解析式，求出点N的坐标，分三种情形分别求解即可解决问题.

【解答】解：(1)如图1中，设A8交CE于。.

令y=0,得到工/-汉1_-3=0,

33

解得尤=-或3«,

.1.A(-V3-0),B(3展，0),

在RtZXOBC中，tan/08C=旦＞=退

0B3

：.ZOBC=3Q°,

:四边形AC8E是矩形，

：.QB=QC,

：.ZBCE^ZQBC^30°.

(2)如图2中，作CO_Ly轴，FH_LCD于H,EH'_LCZ)于交BC于F'.

SAPBC=SAPOC+SAPOB-S&OBC=-X3Xm+—X3-/3义(-—m2+'-'''m+'i)-AX3X

22332

3Vs

=-1川+2相

22_

=一近(入逅了+空1,

228

：-返＜o,

2_

.•.m=芭叵时，△P2C的面积最大，此时巨，-」巨)，

224

•；CM=MP,FN=NP,

：.MN=^-CF,

2

在RtZXFCH中，易知/FCH=30°,

：.FH=­CF,

2

：.FH=MN,

：.MN+EF=EF+FH,

当尸与尸重合，H与H'重合时，MN+EF的值最小.

易知E(2«,3),F'(2愿，-1),

(3)如图3中，作。M_LKH于直线KH交y轴于P,作CNLKH于N.

在Rt/XOMG中，易知，OM=3,OG=5,

-MG=VOG2-OM2=2，

3

.op=y

•.5~2

直线PG的解析式为尸-%羊，

：CALLPG,

直线CN的解析式为尸$-3,

f315f117

y=—x-t-z-

5025

①当CK=CH时，NK=NH=>,

2

点N向上平移旦个单位，向左平移2个单位得到K,

②当CK=K8时，设K（»J,-3形+工）,

48

m2+(-^-m+—+3)2=52,

48

解得加=117±4标，

50

.长(117-4V9796+3V979)或(豆1业瓯6-3V979

,・50'50―5050'

③当CH=KH=5时，同法可得H(117-4V979_>6+3V979)或(117+4V^,

505050

6-3V979)

-50，

点8向上平移3个单位，向左平移4个单位得到K,

.K(-83-47979156+3V979)或(咨型四亘156-3西西、

"50’50-50’50'

综上所述，满足条件的点K的坐标为K(卫，区1)或(117-47^,6+37979)

50505050

或(生应恒6-3日丙)或,-83-4/？河156+3西西)或,-83+4万

〜50'50--50'50〜50'

156-3V979)

-50'

【点评】本题考查二次函数综合题.一次函数的应用、垂线段最短、等腰三角形的判定

和性质，平移变换的性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会

利用垂线段最短，解决最短问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题.

7•【分析】(1)利用根与系数的关系，列出方程求出〃2即可解决问题；

(2)如图1中，设尸(“Z,-m2+2m+3).易知A(-l,0),B(3,0),C(O,3).根

据PC=PB,利用两点间距离公式，列出方程即可解决问题；

(3)应分两种情况考虑：1)BC与重合，止匕时。'为所求点.过。'作x轴的垂

线，设垂足为D,在①中已证得/C80=/C'BO'=45°,这两个等角同时减去/

CBO,后可得到NP2C=N。'BD,即可证得△PBCs/x。'BD,根据尸C、BC的比例

关系，可求得。'D、8。的比例关系，进而可由勾股定理和。8(即。8)的长求出O

D、BD的长，即可得到点O'的坐标；

2)当80,与8尸重合时，C为所求的点.可过8作直线BELx轴，过C'作C'E±

BE于E,按照1)的思路，可证△班C's^CBP,同样能得到C'E、BE的比例关系，

进而由勾股定理出这两条线段的长，即可得到点C'的坐标.

【解答】解：(1)由题意-2-〃+4+几=祖+2,

解得m=0,

；・y=-X2+2X+3

(2)如图1中，设尸(m,-m2+2m+3).易矢口A(-1,0),B(3,0),C(0,3).

:,PB=PC=PE,

m2+(-m2+2m+3-3)2=(m-3)2+(-m2+2m+3)2

整理得：m2-m-3=0,

坦逗，

2

\P(±vn_,上叵或P(小叵Wil).

2222

(3)如图2中,当BC'与2尸重合时，过点。'作。于。.

因为/PBC+/CB。'=ZCBO'+ZABO'=45°,

所以/ABO=NPBC.

则△OB。'S^CBP,

所以理=旦二』，

BCPC

所以_^=埠匕

3V2V2

所以BD=3。'D.

设。'D=x,则BD=3x,根据勾股定理，得/+（3无）2=32,

解得x=得后5，

所以BD=2匹,

10

所以点。'的坐标为（3-磊，13，-^-710）.

如图3中，当BO'与BP重合时，过点B作无轴的垂线3E,过点C'ELBE于E,

图3

因为NPBE+/EBC'=NPBE+NCBP=45°,

所以/£BC'=NPBC.

所以△EBUSACBP,

?

所以BE_CE

BCPC

y

所以BE_CE

3V2V2

所以BE=3C'E.

设C'E为y,则3E=3y,根据勾股定理,

得y2+（3y）2=（3近）2,

解得了=3而，

5

所以3石=9遥，

5

所以C'的坐标为（3+工、石，与代）.

55

【点评】此题考查了二次函数解析式的确定、直角三角形的判定、图象的旋转变换、相

似三角形的判定和性质、勾股定理的应用等知识.在(3)中，能够通过辅助线正确的构

建与所求相关的出相似三角形是解决问题的关键.

8.【分析】(1)结论：AABC是直角三角形.求出A、B、C