2024-2025学年新教材高中数学模块素养检测二含解析新人教B版选择性必修第三册

PAGE模块素养检测(二)(120分钟150分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的)1.已知f(x)的定义域为R,f(x)的导函数f′(x)的图像如图所示,则 ()A.f(x)在x=1处取得微小值B.f(x)在x=1处取得极大值C.f(x)是R上的增函数D.f(x)是(-∞,1)上的减函数,(1,+∞)上的增函数【解析】选C.由导函数f′(x)的图像知,在R上f′(x)≥0恒成立,故f(x)是R上的增函数.2.等比数列{an}的通项公式为an=2·3n-1,现把每相邻两项之间都插入两个数,构成一个新的数列{bn},那么162是新数列{bn}的 ()A.第5项 B.第12项C.第13项 D.第6项【解析】选C.162是数列{an}的第5项,则它是新数列{bn}的第5+(5-1)×2=13项.3.在如图的表格中,假如每格填上一个数后,每一横行成等差数列,每一纵列成等比数列,那么x+y+z的值为 ()2412xyzA.1 B.2 C.3 【解析】选B.由表格知,第三列为首项为4,公比为QUOTE的等比数列,所以x=1.依据每行成等差数列得第四列前两个数字分别为5,QUOTE,故第四列所成的等比数列的公比为QUOTE,所以y=5×QUOTE=QUOTE,同理z=6×QUOTE=QUOTE,所以x+y+z=2.4.已知函数fQUOTE的导函数f′QUOTE的图像如图,则下列叙述正确的是 ()A.函数fQUOTE在QUOTE上单调递减B.函数fQUOTE在x=-1处取得极大值C.函数fQUOTE在x=-4处取得极值D.函数fQUOTE只有一个极值点【解析】选D.由导函数的图像可得,当x<2时,f′QUOTE≥0,函数fQUOTE单调递增;当x>2时,f′QUOTE<0,函数fQUOTE单调递减.对于选项A,由于函数的单调减区间为QUOTE,所以A不正确;对于选项B,由题意可得函数当x=2时取得极大值,所以B不正确;对于选项C,由题意当x=-4时函数无极值,所以C不正确;对于选项D,由题意可得只有当x=2时函数取得极大值,所以D正确.5.若a>2,则方程QUOTEx3-ax2+1=0在(0,2)上恰好有 ()A.0个根 B.1个根C.2个根 D.3个根【解析】选B.设f(x)=QUOTEx3-ax2+1,则f′(x)=x2-2ax=x(x-2a),当x∈(0,2)时,f′(x)<0,f(x)在(0,2)上为减函数,又f(0)f(2)=1×QUOTE=QUOTE-4a<0,所以f(x)=0在(0,2)上恰好有一个根.6.已知数列{an}的通项公式an=-n2+10n-21,前n项和为Sn,若m>n,则Sm-Sn的最大值是 ()A.5 B.10 C.15 【解析】选B.依题意,Sm-Sn=an+1+an+2+…+am,所以要使Sm-Sn的值最大,则an+1+an+2+…+am包含全部的正项,令an=-n2+10n-21>0,得4≤n≤6,代入得Sm-Sn=a4+a5+a6=3+4+3=10.7.已知数列{an}满意an+1+(-1)nan=2n-1,Sn为其前n项和,则S60= ()A.3690 B.1830C.1845 D.3660【解析】选B.因为an+1+(-1)nan=2n-1,所以a2=1+a1,a3=2-a1,a4=7-a1,所以a1+a2+a3+a4=10.同理a5=a1,a6=9+a1,a7=2-a1,a8=15-a1,所以a5+a6+a7+a8=26,同理可得a9+a10+a11+a12=42.由此可知,S4,S8-S4,S12-S8,…成等差数列,首项为10,公差为16,所以S60=15×10+QUOTE×16=1830.8.已知函数f(x)=QUOTE把方程f(x)=x的根按从小到大的依次排列成一个数列{an},则该数列的通项公式为 ()A.an=QUOTE(n∈N*)B.an=n(n-1)(n∈N*)C.an=n-1(n∈N*)D.an=n-2(n∈N*)【解析】选C.令2x-1=x(x≤0),易得x=0.当0<x≤1时,由已知得f(x-1)+1=x,即2x-1-1+1=2x-1=x,则x=1.当1<x≤2时,由已知得f(x)=x,即f(x-1)+1=x,即f(x-2)+1+1=x,故2x-2+1=x,则x=2.因此,a1=0,a2=1,a3=2,结合各选项可知该数列的通项公式为an=n-1(n∈N*).二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)9.数列{an}的前n项和为Sn,若数列{an}的各项按如下规律排列:QUOTE,QUOTE,QUOTE,QUOTE,QUOTE,QUOTE,QUOTE,QUOTE,QUOTE,QUOTE…,QUOTE,QUOTE,…,QUOTE,…,以下运算和结论正确的是()A.a24=QUOTEB.数列a1,a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9+a10,…是等比数列C.数列a1,a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9+a10,…的前n项和为Tn=QUOTED.若存在正整数k,使Sk<10,Sk+1≥10,则ak=QUOTE【解析】选ACD.以2到7为分母的数共有1+2+3+…+6=21个,故a22=QUOTE,a23=QUOTE,a24=QUOTE,故A正确;QUOTE+QUOTE+…+QUOTE=QUOTE=QUOTE为等差数列,B错误;数列QUOTE的前n项和为Tn=QUOTE,C正确;可得T6=QUOTE=10.5,即S21=10.5>10;S20=QUOTE-QUOTE<10,此时a20=QUOTE,D正确.10.定义在(0,+∞)上的函数f(x)的导函数为f′(x),且(x+1)f′(x)-f(x)<x2+2x对x∈(0,+∞)恒成立.下列结论正确的是 ()A.2f(2)-3f(1)>5B.若f(1)=2,x>1,则f(x)>x2+QUOTEx+QUOTEC.f(3)-2f(1)<7D.若f(1)=2,0<x<1,则f(x)>x2+QUOTEx+QUOTE【解析】选CD.设函数g(x)=QUOTE,则g′(x)=QUOTE=QUOTE,因为(x+1)f′(x)-f(x)<x2+2x,所以g′(x)<0,故g(x)在(0,+∞)上单调递减,从而g(1)>g(2)>g(3),整理得2f(2)-3f(1)<5,f(3)-2f(1)<7,故A错误,C正确.当0<x<1时,若f(1)=2,因为g(x)在(0,+∞)上单调递减,所以g(x)>g(1)=QUOTE,即QUOTE>QUOTE,即f(x)>x2+QUOTEx+QUOTE.故D正确,从而B不正确.11.将n2个数排成n行n列的一个数阵,如图:a11a12a13……a21a22a23……a31a32a33…………an1an2an3……ann该数阵第一列的n个数从上到下构成以m为公差的等差数列,每一行的n个数从左到右构成以m为公比的等比数列(其中m>0).已知a11=2,a13=a61+1,记这n2个数的和为S.下列结论正确的有 ()A.m=3B.a67=17×37C.aij=3(i-1)×3j-1D.S=QUOTEn(3n+1)(3n-1)【解析】选ACD.由题意,该数阵第一列的n个数从上到下构成以m为公差的等差数列,每一行的n个数从左到右构成以m为公比的等比数列,且a11=2,a13=a61+1,可得a13=a11m2=2m2,a61=a11所以2m2=2+5m解得m=3或m=-QUOTE(舍去),所以选项A是正确的;又由a67=a61m6=(2+5×3)×36=17×36又由aij=ai1mj-1=[(a11+(i-1)×m]×mj-1=[2+(i-1)×3]×3j-1=(3i-1)×3j-1,所以选项C是正确的;又由这n2个数的和为S,则S=(a11+a12+…+a1n)+(a21+a22+a2n)+…+(an1+an2+…+ann)=QUOTE+QUOTE+…+QUOTE=QUOTE(3n-1)·QUOTE=QUOTEn(3n+1)(3n-1),所以选项D是正确的.12.设函数f(x)=QUOTE,则下列说法正确的是 ()A.f(x)定义域是(0,+∞)B.x∈(0,1)时,f(x)图像位于x轴下方C.f(x)存在单调递增区间D.f(x)在区间(1,2)上有最大值【解析】选BC.由题意,函数f(x)=QUOTE满意QUOTE解得x>0且x≠1,所以函数f(x)=QUOTE的定义域为(0,1)∪(1,+∞),所以A不正确;因为f(x)=QUOTE,当x∈(0,1)时,lnx<0,所以f(x)<0,所以f(x)在(0,1)上的图像都在x轴的下方,所以B正确;因为f′(x)=QUOTE,所以f′(x)>0在定义域上有解,所以函数f(x)存在单调递增区间,所以C是正确的;由g(x)=lnx-QUOTE,得g′(x)=QUOTE+QUOTE(x>0),所以g′(x)>0,函数g(x)单调递增,且g(1)=-1<0,g(2)=ln2-QUOTE>0,所以函数f(x)在(1,2)上先减后增,没有最大值,所以D不正确.三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.已知函数y=xf′(x)的图像如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数),给出以下说法:①函数f(x)在区间(1,+∞)上是增函数;②函数f(x)在区间(-1,1)上无单调性;③函数f(x)在x=-QUOTE处取得极大值;④函数f(x)在x=1处取得微小值.其中正确的说法有________.

【解析】由题图知,当x∈(1,+∞)时,xf′(x)>0,于是f′(x)>0,故f(x)在区间(1,+∞)上是增函数,故①正确;当x∈(-1,1)时,f′(x)≤0,所以函数f(x)在区间(-1,1)上是减函数,②错误,③也错误;f(x)在区间(0,1)上是减函数,而在区间(1,+∞)上是增函数,所以函数f(x)在x=1处取得微小值,故④正确.答案:①④14.设曲线y=xn+1(n∈N*)在(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn,则log2015x1+log2015x2+…+log2015x2014的值为________.

【解析】因为y′|x=1=n+1,所以切线方程为y-1=(n+1)(x-1),令y=0,得x=1-QUOTE=QUOTE,即xn=QUOTE.所以log2015x1+log2015x2+…+log2015x2014=log2015(x1·x2·…·x2014)=log2015QUOTE=log2015QUOTE=-1.答案:-115.在数表中,已知每行、每列中的数都成等差数列,那么位于表中的第n行第n+1列的数是________.

第1列第2列第3列…第1行123…第2行246…第3行369………………【解析】由题中数表,知第n行中的项分别为n,2n,3n,…,组成一等差数列,设为{an},则a1=n,d=2n-n=n,所以an+1=n+n·n=n2+n,即第n行第n+1列的数是n2+n.答案:n2+n16.函数y=x2(x>0)的图像在点(ak,QUOTE)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak+1,其中k∈N*.若a1=16,则a1+a3+a5的值是________.

【解析】因为y′=2x,所以过点(ak,QUOTE)处的切线方程为y-QUOTE=2ak(x-ak),又该切线与x轴的交点为(ak+1,0),所以ak+1=QUOTEak,即数列{ak}是等比数列,首项a1=16,其公比q=QUOTE,所以a3=4,a5=1,所以a1+a3+a5=21.答案:21四、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知{an}是公差为d的无穷等差数列,其前n项和为Sn.又______,且S5=40,是否存在大于1的正整数k,使得Sk=S1?若存在,求k的值;若不存在,说明理由.

从①a1=4;②d=-2这两个条件中任选一个,补充在上面问题中并作答.【解析】若选①,a1=4,因为{an}是等差数列,所以S5=5×4+10d=40,故d=2,Sk=4k+QUOTEk(k-1)×2=k2+3k,S1=a1=4,由Sk=S1可得k2+3k=4,可得k=1或k=-4(舍),故不存在k>1使得Sk=S1.若选②,d=-2,因为{an}是等差数列,由S5=5a1+10×(-2)=40,可得a1=12,Sk=12k+QUOTE×(-2)=13k-k2,因为Sk=S1,所以13k-k2=12,解可得k=1或k=12,因为k=12>1,存在k>1使得Sk=S1.18.(12分)设函数f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax+8,其中a∈R.已知f(x)在x=3处取得极值.(1)求f(x)的解析式;(2)求f(x)在点A(1,16)处的切线方程.【解析】(1)f′(x)=6x2-6(a+1)x+6a.因为f(x)在x=3处取得极值,所以f′(3)=6×9-6(a+1)×3+6a=0,解得a=3.所以f(x)=2x3-12x2+18x+8.(2)A点在f(x)上,由(1)可知f′(x)=6x2-24x+18,f′(1)=6-24+18=0,所以切线方程为y=16.19.(12分)已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn,且满意:a3·a4=117,a2+a5=22.(1)求数列{an}的通项公式an;(2)若数列{bn}是等差数列,且bn=QUOTE,求非零常数c.【解析】(1){an}为等差数列,因为a3+a4=a2+a5=22,又a3·a4=117,所以a3,a4是方程x2-22x+117=0的两个根.又公差d>0,所以a3<a4,所以a3=9,a4=13.所以QUOTE所以QUOTE所以an=4n-3.(2)由(1)知,Sn=n·1+QUOTE·4=2n2-n,所以bn=QUOTE=QUOTE,所以b1=QUOTE,b2=QUOTE,b3=QUOTE,因为{bn}是等差数列,所以2b2=b1+b3,所以2c2+c=0,所以c=-QUOTE(c=0舍去).20.(12分)数列{an}的前n项和为Sn,数列{bn}中,b1=a1,bn=an-an-1(n≥2),若an+Sn=n,cn=an-1.(1)求证:数列{cn}是等比数列;(2)求数列{bn}的通项公式.【解析】(1)因为a1=S1,an+Sn=n,①所以a1+S1=1,得a1=QUOTE.又an+1+Sn+1=n+1,②由①②两式相减得2(an+1-1)=an-1,即QUOTE=QUOTE,也即QUOTE=QUOTE,故数列{cn}是等比数列.(2)因为c1=a1-1=-QUOTE,所以cn=-QUOTE,an=cn+1=1-QUOTE,an-1=1-QUOTE.故当n≥2时,bn=an-an-1=QUOTE-QUOTE=QUOTE.又b1=a1=QUOTE,即bn=QUOTE.21.(12分)(2024·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)=2lnx+1.(1)若f(x)≤2x+c,求c的取值范围;(2)设a>0时,探讨函数g(x)=QUOTE的单调性.【解析】(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f(x)≤2x+c⇒f(x)-2x-c≤0⇒2lnx+1-2x-c≤0(*),设h(x)=2lnx+1-2x-c(x>0),则有h′(x)=QUOTE-2=QUOTE,当x>1时,h′(x)<0,h(x)单调递减,当0<x<1时,h′(x)>0,h(x)单调递增,所以当x=1时,函数h(x)有最大值,即h(x)max=h(1)=2ln1+1-2×1-c=-1-c,要想不等式(*)在(0,+∞)上恒成立,只需h(x)max≤0⇒-1-c≤0⇒c≥-1.(2)g(x)=QUOTE=QUOTE(x>0且x≠a),因