2023-2024学年安徽省六安二中高二（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年安徽省六安二中高二（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={−1,0,1,2,3}，B={x|x<2}，则A∩(∁RB)=A.{3} B.{2,3} C.{−1,0,1} D.{−1,0,1,2}2.已知复数z2i=1+2i(i是虚数单位)，则z−A.−4−2i B.−4+2i C.4−2i D.4+2i3.已知双曲线x2a2−y2b2A.2 B.22 C.24.已知函数f(x)=ln(1+x2)−1A.(−23,23) B.(0,+∞)5.“a=−5”是“直线l：x+3y+a=0被圆(x−1)2+(y−2A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.已知正实数x，y满足x2+4xy−2=0，则x+y的最小值为(

)A.3 B.32 C.7.已知直三棱柱ABC−A1B1C1的各顶点都在同一球面上，且AB=3，AC=5，∠BAC=120°A.2563π B.76π C.78π 8.已知集合A={−4,−3,−2,12,13,14,2,3}，若a，b，c∈A且互不相等，则使得指数函数y=ax，对数函数A.36 B.42 C.72 D.84二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知向量a=(sinθ,cosθ),b=(A.若θ=π6，则a⊥b B.若θ=2π3，则a//b10.已知在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N，P，Q分别是AA1，CC1，C1DA.PQ//平面MBN

B.平面PMN⊥平面BB1D1

C.三棱锥P−MBN的体积为34

D.若点E到直线11.已知函数f(x)及其导函数f′(x)，若∀x∈R，f(x+3)=f(3−x)，f′(x)=f′(8−x)，则(

)A.f(−1)=f(7) B.f′(−1)+f′(3)=2

C.i=12024f′(i)=0三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知某种零件的尺寸(单位：mm)在[5.12,5.28]内的为合格品.某企业生产的该种零件的尺寸X服从正态分析N(5.2,σ2)，且P(X>5.28)=0.08，则估计该企业生产的100013.已知函数f(x)=cos(ωx−π3)(ω>0)，将f(x)的图象向左平移π6个单位长度行到函数g(x)的图象，若g(x)是偶函数，f(x)在(0,π)上恰有414.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，A，B是椭圆上两点，四边形AF四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知函数f(x)=x2−x+1ex．

(1)求曲线y=f(x)在(0,f(0))处的切线方程；

(2)16.(本小题15分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，△ABP为等边三角形，E为PB的中点，AB=4,BC=42,DP=43．

(1)证明：平面BDP⊥平面ADE；

(2)17.(本小题15分)

过抛物线C：y2=2px(p>0)焦点F的直线l交C于A，B两点，特别地，当直线l的倾斜角为π3时，|AB|=163．

(1)求抛物线C的方程；

(2)已知点P(−1,2)，若PA⊥PB，求△OAB的面积(O18.(本小题17分)

某工厂生产某款电池，在满电状态下能够持续放电时间不低于10小时的为合格品，工程师选择某台生产电池的机器进行参数调试，在调试前后，分别在其产品中随机抽取样本数据进行统计，制作了如下的2×2列联表：产品合格不合格合计调试前451560调试后35540合计8020100(1)根据表中数据，依据α=0.01的独立性检验，能否认为参数调试与产品质量有关联；

(2)现从调试前的样本中按合格和不合格，用分层随机抽样法抽取8件产品重新做参数调试，再从这8件产品中随机抽取3件做对比分析，记抽取的3件中合格的件数为X，求X的分布列和数学期望；

(3)用样本分布的频率估计总体分布的概率，若现在随机抽取调试后的产品1000件，记其中合格的件数为Y，求使事件“Y=k”的概率最大时k的取值．

参考公式及数据：χ2=n(ad−bc)α0.0250.010.0050.001x5.0246.6357.87910.82819.(本小题17分)

如果无穷数列{an}满足“对任意正整数i，j(i≠j)，都存在正整数k，使得ak=ai⋅aj”，则称数列{an}具有“性质P”．

(1)若等比数列{an}的前n项和为Sn，且公比q>1，S2=12，S4=120，求证：数列{an}具有“性质P”；

(2)若等差数列{bn}的首项b1=1，公差参考答案1.B

2.A

3.C

4.D

5.A

6.D

7.B

8.C

9.ABD

10.AB

11.AC

12.840

13.4

14.215.解：(1)易知f(x)的定义域为R，

可得f′(x)=(2x−1)ex−ex(x2−x+1)e2x=−x2+3x−2ex=−(x−1)(x−2)ex，

此时f′(0)=−(0−1)(0−2)e0=−2，

又f(0)=02−0+1e0=1，

则曲线y=f(x)在(0,f(0))处的切线方程为y=−2x+1，

即2x+y−1=0；

(2)由(1)知f′(x)=−(x−1)(x−2)ex，

当x<1时，f′(x)<016.解：(1)证明：因为△ABP为等边三角形，E为PB的中点，所以BP⊥AE，

又因为底面ABCD为矩形，AB=4,BC=AD=42，所以BD=43，

又因为DP=43，所以BD=DP，

因为E为PB的中点，所以BP⊥DE，

又因为BP⊥AE，DE∩AE=E，DE⊂平面ADE，AE⊂平面ADE，

所以BP⊥平面ADE，

又因为BP⊂平面BDP，所以平面BDP⊥平面ADE；

(2)因为BP⊥平面ADE，AD⊂平面ADE，

所以BP⊥AD，又因为BC/​/AD，所以BC⊥BP，

因为△ABP为等边三角形，AB=4，所以BP=4，

又因为BC=42，所以CP=43，

过点E作EF/​/BC交PC于点F，

因为BC⊥BP，所以EF⊥BP，

又因为BP⊥DE，EF⊂平面PBC，ED⊂平面PBD，平面PBC∩平面PBD=PB，

所以∠FED就是二面角D−BP−C的平面角，

因为点E是PB中点，EF/​/BC，

所以点F是PC中点，EF=12BC=12×42=22，

因为BP⊥DE，EB=12PB=2，BD=43，

所以DE=48−4=211，

因为在三角形PCD中，PC=PD=43，CD=AB=4，

所以cos∠DCP=48+16−482⋅43⋅417.解：(1)易知抛物线C的焦点F(p2,0)，

当直线l的倾斜角为π3时，

直线l：x−p2=33y，

联立x=33y+p2y2=2x，消去x并整理得y2−233py−p2=0，

此时Δ>0，

设A(x1,y1)，B(x2,y2)，

由韦达定理得y1+y2=233p,y1y2=−p2，

则|AB|=1+13|y1−y2|=233(y1+y2)2−4y1y2=233(233p)18.解：(1)零假设H0：假设依据α=0.01的独立性检验，认为参数调试与产品质量无关联，

此时χ2=100(45×5−35×15)280×20×40×60≈2.344<x0.01=6.635，

则依据α=0.01的独立性检验，没有充分证据说明零假设H0不成立，

所以可认为H0成立，

即认为参数调试与产品质量无关联；

(2)在用分层随机抽样法抽取的8件产品中，

合格产品有8×4560=6件，不合格产品有2件，

从这8件产品中随机抽取3件，其中的合格品件数X的所有可能取值为1，2X123P31510故E(X)=1×328+2×1528+3×1028=94；

(3)易知因随机抽取调试后的产品的合格率为3540=78，

即Y～B(1000,78)，

则P(Y=k)=C1000k(78)k(18)1000−k,k=0,1,⋯,1000，

因为P(Y=k+1)P(Y=k)=C1000k+1(7819.解：(1)S2=a1+a2=a1+a1q=12,S4=a1+a2+a3+a4=a1+a1q+a1q2+a1q3=120，

解得：a1+a2+(a1+a2)q2=120，则12+12q2=120，即1+q2=10，

且q>1，q=3，a1=3,an=3n，

若ak=ai⋅aj，则3k=3i⋅3j=3i+j，

则当k=i+j，对任意正整数i，j(i≠j)，都存在正整数k使得ak=ai⋅aj，

则等比数列{an}满足性质P．

(2)证明：因为数列{bn}具有“性质P”：bn=b1+(n−1)d，

则bk=b1+(k+1)d，bi=b1+(i−1)d，bj=b1+(j−1)d，

若数列具有性质P，则b1+(k−1)d=[b1+(i−1)d][b1+(j−1)d]，

则b1+(k−1)d=b12+b1⋅d⋅[(j−1)+(i−1)]+(i−1)(j−1)d2，

又b1=1，则1+(k−1)d=12+d[(j−1)+(i−1)]+(i−1)(j−1)d2，

则(k−1)d=d[(j−1)+(i−1)]+(i−1)(j−1)d