专题17.2 勾股定理的应用（压轴题专项讲练）（人教版）（解析版）-八年级数学下册

专题17.2勾股定理的应用思想方法思想方法数形结合思想：是把数、式图形结合起来用代数的方法分析图形，图形的来直观的理解数、式的关系，称作数形结合。数形结合思想是中学一个重要的思想方法，其对解题和分析问题有很大的意义。有些时候通过题意直接分析题求解时很不直观，不能直接找到突破口；或者求解时计算量很大、很费时间；或者有时根本就无法求解。这个时候就要求我们学会分析转化题意的能力了，因此恰当的运用数形结合思想就显得很有必要了，灵活的运用属性思想不仅可以化解题目难度，还可以做到快、准等意想不到的收获。典例分析典例分析【典例1】背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明门庭若市，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法．小试牛刀：把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a、b、c．显然，∠DAB=∠B=90°，AC⊥DE．请用a、b、c分别表示出梯形ABCD、四边形AECD、△EBC的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理：S梯形S△EBCS四边形则它们满足的关系式为______，经化简，可得到勾股定理a2知识运用：（1）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A、B，AD=25千米，BC=16千米，则两个村庄的距离为______千米（直接填空）；（2）在（1）的背景下，若AB=40千米，AD=24千米，BC=16千米，要在AB上建造一个供应站P，使得PC=PD，求出AP的距离．知识迁移：借助上面的思考过程与几何模型，求代数式x2+9+【思路点拨】小试牛刀：根据三角形的面积和梯形的面积可以表示出相应部分面积；知识运用：（1）连接CD，过点C作AD的垂线，根据垂直得到边长之间的关系，再用勾股定理即可求得CD．（2）作CD的垂直平分线，交AB于点P，分别在Rt△APD和Rt△PBC中用勾股定理表示出CP与知识迁移：运用数形结合根据“轴对称-最短路径问题”求解即可．【解题过程】解：小试牛刀：S梯形ABCDS△EBC=S四边形AECD则它们满足的关系式为：12知识运用：（1）如图2①，连接CD，作CE⊥AD于点E，

∵AB=EC=40，AE=BC=16，∴ED=9，有勾股定理得到：D∴CD=D∴两个村庄相距41千米．（2）连接CD，作CD的垂直平分线交AB于点P，

设AP=x千米，则BP=40−x在Rt△ADP中，D在Rt△BPC中，C∵PC=PD，∴x2解得，x=16，即AP=16千米．知识迁移：如图3，过AB作点C的对称点C′，连接DC′交AB过C′作C

根据对称性：AE=BC设PB=x，则AP=16−x，有勾股定理得，PCDP=16−x∴代数式x2DC学霸必刷学霸必刷1．（2023上·山东威海·七年级校联考期末）如图，教室墙面ADEF与地面ABCD垂直，点P在墙面上，若PA=17米，AB=2米，点P到AF的距离是4米，一只蚂蚁要从点P爬到点B，它的最短行程是（

A．3 B．4 C．5 D．6

【思路点拨】本题考查平面展开—最短路径问题及勾股定理的应用，可将教室的墙面ADEF与地面ABCD展开，连接PB，根据两点之间线段最短，利用勾股定理求解即可．正确利用立体图形中的最短距离，通常要转换为平面图形的两点间的线段长来进行解决是解题的关键．【解题过程】解：如图，过P作PG⊥BF于G，连接PB，此时PB的长为这只蚂蚁从点P爬到点B的最短行程，∵PA=17米，AB=2米，点P到AF的距离是4∴PG=4米，∴AG=P∴BG=GA+AB=1+2=3（米），∴PB=G∴这只蚂蚁的最短行程应该是5米．故选：C．2．（2024上·山西太原·八年级校考阶段练习）如图，长方体的长为20cm，宽为15cm，高为10cm，点B离点C为5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（

）A．529cm B．25cm C．537cm

【思路点拨】分三种情况讨论：把上面展开到左侧面上，连结AB，如图1；把上面展开到正面上，连结AB，如图2；把侧面展开到正面上，连结AB，如图3，然后利用勾股定理分别计算各情况下的AB，再进行大小比较．【解题过程】解：把上面展开到左侧面上，连结AB，如图1，AB＝(10+20)2把上面展开到正面上，连结AB，如图2，AB＝202把侧面展开到正面上，连结AB，如图3，AB＝102∵925＞725＞25所以一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离为25cm．故选：B．3．（2023下·山东潍坊·七年级统考期中）如图，一根笔直木棒（不计粗细）的一端固定在一竖直墙面上的A点，另一端可以绕A点自由转动，在墙面上画一条水平直线l，当木条另一端逆时针从点B转动到点C的过程中，在直线l下方木条长度的变化情况是（）

A．不变 B．变大 C．先变大再变小 D．先变小再变大

【思路点拨】过点A作AH⊥直线l，根据勾股定理表示出AE的长，从而表示出EB的长，在转动过程中，EH先变小再变大，根据AH固定不变，于是AE先变小再变大，从而得出EB先变大再变小．【解题过程】解：过点A作AH⊥直线l，垂足为H，设AB与直线l交于点E，

∵点A和直线l的位置固定，∴点A到直线l的距离不变，即AH的长不变，设直线l下方木条长度为EB，∴EB=AB−AE，在Rt△AHE中，由勾股定理得：AE=∴EB=AB−AE=AB−AH2+EH①当木条从点B往H点方向转动时，EH不断减小，则AH2+E所以EB=AB−AE不断变大；②当木条从H点往C点方向转动时，EH不断增大，则AH2+E所以EB=AB−AE不断变小；综上，木条从B点转动到C点的过程中，在直线l下方木条的长度先变大再变小．故选：C．4．（2023下·江苏镇江·八年级统考期末）如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为2米，顶端距离地面1.5米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2.4米，则小巷的宽度为米．

【思路点拨】在Rt△ABE中，根据勾股定理求出AE的长，再在Rt△CDE中，求出CE的长，最后由【解题过程】解：如图，

，根据题意得：AE=DE，在Rt△ABE中，AB=1.5米，BE=2∴AE=A在Rt△CDE中，DE=2.5米，CD=2.4∴CE=D∴BC=BE+CE=2+0.7=2.7米，∴小巷的宽度为2.7米，故答案为：2.7．5．（2024上·广东河源·八年级统考期末）如图，在一棵树的10米高的B处有两只猴子为抢吃池塘边水果，一只猴子爬下树跑到A处（离树20米）的池塘边，另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，若两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高米．

【思路点拨】本题主要考查了勾股定理的应用，理解题意，构造直角三角形是解题关键．设BD=x米，则CD=10+x米，结合两只猴子所经过的距离相等，可得AD=30−x米，然后在【解题过程】解：根据题意，BC=10米，AC=20米，设BD=x米，则CD=BC+BD=10+x∵两只猴子所经过的距离相等，∴AC+BC=BD+AD，即20+10=x+AD，∴AD=30−x在Rt△ACD中，可有A即202解得x=5，∴CD=10+5=15米，即这棵树高15米．故答案为：15．6．（2023下·浙江台州·八年级校考期中）如图，老农门前有一块三角形土地，AB=5m，BC=6m，AC=7m

【思路点拨】过点A作AD⊥BC于点D，设BD=x，在Rt△ABD和Rt△ACD中，利用勾股定理可得52−x【解题过程】解：过点A作AD⊥BC于点D，设BD=x，在Rt△ABD中，A在Rt△ACD中，A∴52解得x=1，∴AD=5∴S△ABC∴这块土地的面积为66故答案为：667．（2023上·江苏无锡·八年级统考期中）爱动脑筋的小明某天在家玩遥控游戏时遇到下面的问题：已知，如图一个棱长为8cm无盖的正方体铁盒，小明通过遥控器操控一只带有磁性的甲虫玩具，他先把甲虫放在正方体盒子外壁A处，然后遥控甲虫从A处出发沿外壁面正方形ABCD爬行，爬到边CD上后再在边CD上爬行3cm，最后在沿内壁面正方形ABCD上爬行，最终到达内壁BC的中点M，甲虫所走的最短路程是cm

【思路点拨】将正方形ABCD沿着CD翻折得到正方形A'B'CD，过点M在正方形ABCD内部作MM'⊥BC，使MM'=3cm，连接QM，过M'作M'N⊥A'B'于点N，此时AP+PQ+QM=A'P+PQ+PM'=A'M'+PQ【解题过程】解：如图，将正方形ABCD沿着CD翻折得到正方形A'B'CD，过点M在正方形ABCD内部作MM'⊥BC，使MM'=3cm，连接QM，过M'作M'N⊥A'B'于点N，则四边形MM'NB'是矩形，四边形PQMM'∴M'N'=MB'，PM'=QM，B'N=MM'，∠A'NM'=90°，此时AP+PQ+QM=A'P+PQ+PM'=A'M'+PQ最小，∵点M是BC中点，∴CM=1∴M'N=MB'=12cm，A'N=A'B'−B'N=5cm，在Rt△A'M'N中，A'M'=A'∴A'M'+PQ=16cm，故答案为：16．8．（2023上·浙江温州·八年级校联考期中）人字梯的原理是三角形的稳定性，梯子顶端A与脚底两端点B，C构成等腰三角形AB=AC．图甲是梯子两脚架夹角A为90°时的示意图，图乙是由图甲当点B与点C的距离缩小120cm，而点A与地面的距离增大40cm时的示意图，若点A与地面的距离为170cm时，则此时点B与点C的距离是

【思路点拨】本题主要考查勾股定理的应用，等腰三角形的性质；图甲，过点A作AD⊥BC于点D，根据等腰直角三角形的性质BD=DC=AD，设AB=AC=x，利用勾股定理得到BC=2x，进而得到AD，图乙，根据题意得出B′C′，A′E，B′E，在Rt△A【解题过程】解：如图甲，由题意可知，△ABC为等腰直角三角形，∴∠B=∠D=45°，过点A作AD⊥BC于点D，∴∠BAD=∠DAC=∠B=∠C=45°∴BD=DC=AD，设AB=AC=x，由勾股定理得：BC∴BC=2∴AD=BD=1如图乙，过点A′作A′E⊥∵图乙是由图甲当点B与点C的距离缩小120cm，而点A与地面的距离增大40∴B′C∴B∵梯子长度不变，∴A在Rt△A′∴x解得：x=1302∴AB=1302若点A与地面的距离为170cm过点A作AF⊥BC于点F，AB=1302，AF=170在Rt△ABF中，A∴130解得：BF=70cm∴BC=2BF=140cm此时点B与点C的距离是140cm故答案为：140．9．（2023下·新疆乌鲁木齐·八年级新疆生产建设兵团第一中学校考期中）某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图所示，∠ACB=90°，AC=120m，BC=50m．线段CD是一条水渠，且D点在边AB上，已知水渠的造价为130元/m

【思路点拨】根据“垂线段最短”可得，当CD⊥AB时，CD最短，用等面积法求解即可．再乘以单价，即可得出造价．【解题过程】解：根据题意可得：当CD⊥AB时，CD最短，∵∠ACB=90°，AC=120m，BC=50∴根据勾股定理可得：AB=A∵S△ABC∴AC⋅BC=AB⋅CD，即120×50=130CD，解得：CD=600∴最低造价=600答：CD长为6001310．（2023下·辽宁大连·八年级校考阶段练习）如图所示，AB为一棵大树，在树上距地面10m的D处有两只猴子，它们同时发现地面上的C处有一筐水果，一只猴子从D处向上爬到树顶A处，利用拉在A处的滑绳AC，滑到C处，另一只猴子从D处滑到地面B处，再由B处跑到C处．已知两只猴子所经过的路程都是15m，求树高AB的距离．

【思路点拨】Rt△ABC中，∠B=90°，则满足AB2+BC2=AC【解题过程】解：Rt△ABC中，∠B=90°，BD=10,

设AD=x，则BC=15−10=5,AC=15−x,AB=10+又在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB∴(15−x)2解得，x=2，即AD=2（米）∴AB=AD+DB=2+10=12（米）答：树高AB为12米．11．（2023上·河南南阳·八年级统考期末）如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船，河岸上一男孩拽着绳子另一端向右走，绳端从点C移动到点E，同时小船从点A移动到点B，且绳长始终保持不变，回答下列问题：（1）根据题意，可知AC________BC+CE（填“>”“<”“=”）；（2）若CF=5米，AF=12米，AB=4米，求男孩需向右移动的距离CE（结果保留根号）．

【思路点拨】（1）由绳长始终保持不变即可求解；（2）由勾股定理求出AC、BC的长，然后根据CE=AC−BC即可求解．【解题过程】（1）解：∵AC的长度是男孩未拽之前的绳子长，(BC+CE)的长度是男孩拽之后的绳子长，绳长始终保持不变，∴AC=BC+CE，（2）解：连接AB，则点A、B、F三点共线，在Rt△CAF中，AC=AF∵BF=AF−AB=12−4=8（米)，在Rt△CBF中，BC=CF∵AC=BC+CE，∴CE=AC−BC=13−89（米∴男孩需向右移动的距离为13−8912．（2023上·江苏泰州·八年级统考期中）为节约用电，某住宅楼将单元门厅照明灯更换为人体感应灯，当人体进入感应灯感应范围内（即人体头顶与感应灯的距离小于或等于感应距离）时，感应灯亮．如图，当身高1.9m的成年人CD与感应灯A的水平距离为4m时，感应灯刚好亮；当身高0.9m的小朋友EF与感应灯A的水平距离为3m时，感应灯A也刚好亮，求感应灯

【思路点拨】本题考查的是勾股定理的应用，正确构造直角三角形、掌握勾股定理是解题的关键．过点C作CM⊥AB，EN⊥AB交AB于点M、N，则CD=MB=1.9m,EF=BN=0.9m，设AM=xm，则【解题过程】解：过点C作CM⊥AB，EN⊥AB交AB于点M

则CD=MB=1.9m,设AM=xm，则AN=由题意得AC=AE，在Rt△AMC和Rt△ENA中：AC∴CMx解得x=3，∴AB=AM+MN+BN=4.9m13．（2023上·广东深圳·八年级南山实验教育麒麟中学校考开学考试）如图，一个无盖长方体小杯子放置在桌面上，AB=BC=6cm，CD=16

（1）一只蚂蚁从A点出发，沿小杯子外表面爬到D点，求蚂蚁怎样走最短，最短路程是多少？（2）为了怕杯子落入灰尘又方便使用，现在需要给杯子盖上盖子，并把一双筷子放进杯子里，请问，筷子的最大长度是多少？

【思路点拨】（1）利用勾股定理求解即可；（2）求得长方体盒子的体对角线即可求解。【解题过程】（1）解：如图所示：

由题意得：AB=BC=6cm，CD=16∴AC=AB+BC=12cm在Rt△ACD中，由勾股定理得AD=∴最短路程是20cm；（2）将筷子斜着放，

∵AB=BC=6cm，CD=16∴AC=6∴AD=A即筷子的最大长度是28214．（2023上·江苏苏州·八年级星海实验中学校考期中）如图，公路上A、B两点相距50km，C、D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=30km，CB=20km，现在要在公路AB上建一个土特产品市场E，使得C、D两村庄到市场E的距离相等，则市场E应建在距A

【思路点拨】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定；设AE=x，则BE=50−x，根据勾股定理可得：在直角△ADE中，DE2=302+x2，在直角△BCE中，CE2=50−x2+202，则【解题过程】解：设AE=x，则BE=50−x，在直角△ADE中，DE在直角△BCE中，CE∴302解得：x=20，即AE=20km∴市场E应建在距A的20千米处；∵AE=BC=20km，BE=50−20=30在△DAE和△EBC中，AE=BC∠DAE=∠EBC可得△DAE≌△EBCSAS∴∠AED=∠BCE，又∵∠BEC+∠BCE=90°，∴∠BEC+∠AED=90°，∴∠DEC=90°又∵DE=EC，∴△DEC是等腰直角三角形．15．（2023上·湖南岳阳·八年级校考期末）勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一，如图，有一架秋千，当它静止在AD的位置时，踏板离地的垂直高度为0.6m，将秋千AD往前推送3m，到达AB的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为1.6m，秋千的绳索始终保持拉直的状态．

（1）求秋千AD的长度；（2）如果想要踏板离地的垂直高度为2.6m，则需要将秋千AD往前推送多少米？

【思路点拨】此题考查了勾股定理的应用，正确理解题意，由勾股定理求出秋千的长度是解题的关键．（1）由题意得BF=1.6m，BC=3m，DE=0.6m，证四边形BCEF是矩形，得CE=BF=1.6m，则CD=CE−DE=1m，；设秋千的长度为x（2）当BF=2.6m时，CE=2.6m，则CD=2m，得AC=3m，然后在【解题过程】（1）解：由题意得：BF=1.6m，∵BF⊥EF，AE⊥EF，BC⊥AE，∴四边形BCEF是长方形，∴CE=BF=1.6m∴CD=CE−DE=1.6−0.6=1m∵BC⊥AC，∴∠ACB=90°，设秋千的长度为xm则AB=AD=xm，AC=AD−CD=在Rt△ABC中，由勾股定理得：A即x−12解得：x=5，即秋千的长度是5m（2）当BF=2.6m时，CE=2.6∵DE=0.6m∴CD=CE−DE=2.6−0.6=2m由（1）可知，AD=AB=5m∴AC=AD−CD=5−2=3m在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC=即需要将秋千AD往前推送4m16．（2023下·山东济南·七年级统考期末）如图，A中学位于南北向公路l的一侧，门前有两条长度均为100米的小路通往公路l，与公路l交于B，C两点，且B，C相距120米．（1）现在想修一条从公路l到A中学的新路AD（点D在l上），使得学生从公路l走到学校路程最短，应该如何修路（请在图中画出）？新路AD长度是多少？（2）为了行车安全，在公路l上的点B和点E处设置了一组区间测速装置，其中点E在点B的北侧，且距A中学170米．一辆车经过BE区间用时5秒，若公路l限速为60km/h（约16．7m/s），请判断该车是否超速，并说明理由．

【思路点拨】（1）根据垂线段最短可画出图形，根据三线合一可求出BD=60，然后利用勾股定理可求出新路AD长度；（2）先根据勾股定理求出DE的长，再求出BE的长，然后计算出速度判断即可．【解题过程】（1）过点A作AD⊥l，交l于点D．

∵AB=AC∴BD=12BC=在Rt△ABD中，∠ADB=90°，由勾股定理得A∵AB=100,BD=60，∴AD=80

∴新路AD长度是80米．（2）该车超速

在Rt△ADE中，∠ADE=90°由勾股定理得A∵AE=170，∴DE=170∴BE=DE−DB=90∵该车经过BE区间用时5s∴该车的速度为905∵18∴该车超速．17．（2023上·四川成都·八年级校考阶段练习）2023年7月五号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受到严重影响．据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径250km（即以台风中心为圆心，250km为半径的圆形区域都会受台风影响）．如图，线段BC是台风中心从C市移动到B市的大致路线，A是某个大型农场，且AB⊥AC．若A，C之间相距300km，A，B（1）判断农场A是否会受到台风的影响，请说明理由；（2）若台风中心的移动速度为20km/h

【思路点拨】本题考查勾股定理，三角形的面积，关键是由以上知识点求出AH的长，求出台风从开始影响农场，到结束影响农场，所移动的距离．（1）过A作AH⊥BC于H，由勾股定理得BC=500km，由三角形面积公式得到AH=240km，由AH<250km（2）台风从点M开始影响该农场，到点N以后结束影响，连接AN，AM，得到AM=AN=250km，由勾股定理求出MH=NH=70km，得到【解题过程】（1）解：农场A会受到台风的影响，理由如下：过A作AH⊥BC于H，

∵AB⊥AC，∴∠BAC=90°，∴BC=A∵△ABC的面积=∴500AH=300×400，∴AH=240km∵AH<250km∴农场A会受到台风的影响；（2）如图，台风从点M开始影响该农场，到点N以后结束影响，连接AN，AM，∴AM=AN=250km∵AM=AN，AH⊥BC，∴MH=NH，由勾股定理得MH=NH=250∴MN=2×70=140km∵台风中心的移动速度为20km/h∴台风影响该农场持续时间是140÷20=7（小时）．18．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级统考期中）如图，某渔船向正东方向以12海里时的速度航行，在A处测得岛C在北偏东60°方向，1小时后渔船航行到B处，测得岛C在北偏东30°方向，已知该岛C上有一部信号发射塔，方圆20海里内的船只能够收到它发射的信号．

（1）求B处离岛C的距离；（2）求该渔船在整个航行过程中收到岛C发射信号的时间．

【思路点拨】（1）如图1，作CD⊥AB的延长线于D，由题意知，∠CAD=30°，∠CBD=60°，AB=12，由∠ACB=∠BCD−∠CAD=30°=∠CAD，可得BC=AB=12；（2）如图2，在AB找点M、N，连接CM、CN，使CM=CN=20，则MD=ND=12MN，BD=12BC=6，由勾股定理得【解题过程】（1）解：如图1，作CD⊥AB的延长线于D，

由题意知，∠CAD=90°−60°=30°，∠CBD=90°−30°=60°，AB=12，∵∠ACB=∠BCD−∠CAD=30°=∠CAD，∴BC=AB=12，∴B处离岛C的距离为12海里；（2）解：如图2，在AB找点M、N，连接CM、CN，使CM=CN=20，

∴MD=ND=1由题意知，∠BCD=30°，BC=12，∴BD=1由勾股定理得CD由勾股定理得，MD=C∴MN=473∴473∴该渔船在整个航行过程中收到岛C发射信号的时间为73319．（2023上·山东东营·九年级校考期末）如图，甲，乙两条轮船同时从港口A出发，甲轮船以每小时30海里的速度向东北方向航行，乙船以每小时15海里的速度沿着北偏东75°方向航行，1小时后，甲船接到命令要与乙船会合，于是甲船在B处改变航向，沿南偏东60°方向航行，结果甲，乙两船在小岛C处相遇．假设乙船的速度和航向保持不变，求：（结果保留根号）

（1）港口A与小岛C之间的距离；（2）甲船从B处行至小岛C的速度．

【思路点拨】（1）自B作BM⊥AC，垂足为M，根据题意知AB=30，可推知∠BAC=30°，∠MBC=45°，分别在Rt△ABM与Rt△BCM中依据已知的特殊角、已知边AB，可逐一求出BM、AM、MC、BC的长，于是（2）先依据AC的距离与乙船航行的速度可求得乙船航行的时间，然后求出甲船从B处行至小岛C的时间