2023-2024学年江苏省南京市鼓楼区求真中学八年级（上）期初数学试卷（9月份）

第1页（共1页）2023-2024学年江苏省南京市鼓楼区求真中学八年级（上）期初数学试卷（9月份）一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分。）1．（2分）已知a+b﹣2＝0，则3a•3b的值是（）A．6 B．9 C． D．﹣92．（2分）如果（x﹣3）x＝1，则x的值为（）A．0 B．2 C．4 D．以上都有可能3．（2分）下列各式从左到右的变形中，因式分解正确的是（）A．x3﹣x＝x（x﹣1） B．x2﹣y2＝（x﹣y）2 C．4x2﹣9y2＝（2x+3y）（2x﹣3y） D．x2+9x+9＝（x+3）24．（2分）小明将一块直角三角板摆放在直尺上，如图所示，则∠ABC与∠DEF的关系是（）A．互余 B．互补 C．同位角 D．同旁内角5．（2分）已知1≤ax+b＜3的解集为2≤x＜3，则1≤a（1﹣x）+b＜3的解集为（）A．2＜x＜3 B．2＜x≤3 C．﹣2≤x＜﹣1 D．﹣2＜x≤﹣16．（2分）若关于x的不等式组仅有3个整数解，则a的取值范围是（）A．﹣4≤a＜﹣2 B．﹣3＜a≤﹣2 C．﹣3≤a≤﹣2 D．﹣3≤a＜﹣2二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。）7．（3分）命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”写成“如果…，那么…”的形式为：如果，那么．8．（3分）比较大小：（﹣3）2（﹣2）﹣2（填“＞”或“＜”）．9．（3分）若4x＝a，8y＝b，则22x﹣3y可表示为．（用含a、b的代数式表示）10．（3分）若在x2+mx﹣15＝（x+3）（x+n）中，m、n是常数，则m+n的值为．11．（3分）已知关于x的不等式2x﹣m＜1﹣x的正整数解是1，2，3，则m的取值范围是．12．（3分）若关于x的不等式组的所有整数解的和是﹣11，则a的取值范围是．13．（3分）将一副三角尺按如图所示方式摆放，若斜边DF∥AB，则∠1的度数为．14．（3分）如图，∠ABC+∠C+∠CDE＝360°，直线FG分别交AB、DE于点F、G．若∠1＝110°．15．（3分）如图，在△ABC中，BO，∠ACB，交于点O，BO的延长线交CE于点E．以下结论①∠OCE＝90°，②∠1＝2∠2，③，其中正确的是（填序号）．16．（3分）如图，把7个长和宽分别为a，b的小长方形（图1），则图中阴影部分的面积为．（用含有a，b的代数式表示）三、解答题（本大题共7小题，共58分）17．（8分）计算：（1）；（2）（﹣a）3•a4﹣a8÷a2+（a3）2．18．（8分）因式分解（1）﹣2a3+12a2﹣18a（2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）19．（8分）（1）解方程组；（2）解不等式组，并将它的解集在数轴上表示出来．20．（8分）如图，AB＝AE，AB∥DE，∠E＝36°．（1）求∠DAE的度数；（2）若∠B＝30°，求证：AD＝BC．21．（8分）某学校准备购买甲、乙两种文具奖励品学兼优的学生，已知购买20套甲文具和25套乙型文具共需1350元，购买14套甲文具和15套乙文具共需880元．（1）求甲、乙两种文具每套各是多少元？（2）若该学校准备购买两种文具共200套，且购买的总费用不超过6280元，那么最多可以购买多少套甲种文具？此时购买这两种文具的总费用是多少元？22．（8分）阅读下列材料：我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方公式，如果一个多项式不是完全平方公式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，再减去这个项，使整个式子的值不变，可以求代数式的最大值或最小值．例如：求代数式x2+2x﹣4的最小值．x2+2x﹣4＝（x2+2x+1）﹣5＝（x+1）2﹣5，可知当x＝﹣1时，x2+2x﹣4有最小值，最小值是﹣5．再例如：求代数式﹣3x2+6x﹣4的最大值．﹣3x2+6x﹣4＝﹣3（x2﹣2x+1）﹣4+3＝﹣3（x﹣1）2﹣1，可知当x＝1时，﹣3x2+6x﹣4有最大值，最大值是﹣1.（1）【直接应用】代数式x2+4x﹣3的最小值为；（2）【类比应用】若多项式M＝a2+b2﹣2a+3b+2023，试求M的最小值；（3）【知识迁移】如图，学校打算用长20米的篱笆围一个长方形的菜地，菜地的一面靠墙（墙足够长）23．（10分）如图，是某道路停车泊位收费公示牌．现从该收费公示牌中摘录其收费标准，并注解如图表．一级支路计时时段/车型白天时段夜间时段小型车连续停放6小时封顶连续停放6小时封顶首小时内（15﹣60分钟）首小时后（60分钟后）20：00至次日8：002元/15分钟2元/15分钟1元/小时大型车2.5元/15分钟3元/15分钟1.5元/小时注解1．白天时段，车辆进入停车泊位15分钟以内免费，第15分钟开始收费．以小型车为例，当0≤a＜15时不收费，当a＝15时收费2元，当30＜a≤45时收费6元，当45＜a≤60时收费8元，以此类推．2．夜间时段，不足1小时按1小时收费．3．“连续停放6小时封顶”是指当车辆连续停放的时间超过6小时时，只收6小时的停车费．【初步理解】（1）夜间时段，一辆小型车在该道路停车泊位连续停放8小时，需缴费元；（2）白天时段，一辆大型车在该道路停车泊位连续停放1小时36分钟，需缴费元；【综合应用】（3）白天时段，一辆小型车在该道路停车泊位连续停放一段时间后缴费26元，则该车最多停放了多长时间？（用一元一次不等式解决问题）【深入探索】（4）已知一辆小型车与一辆大型车在该道路停车泊位都连续停放5小时，小型车在白天时段停放m分钟，大型车在白天时段停放n分钟，m随n的变化而变化，请直接写出n的范围及其相应的m的范围．

2023-2024学年江苏省南京市鼓楼区求真中学八年级（上）期初数学试卷（9月份）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分。）1．（2分）已知a+b﹣2＝0，则3a•3b的值是（）A．6 B．9 C． D．﹣9【解答】解：∵a+b﹣2＝0，∴a+b＝2，∴3a•3b＝7a+b＝32＝2．故选：B．2．（2分）如果（x﹣3）x＝1，则x的值为（）A．0 B．2 C．4 D．以上都有可能【解答】解：x＝0时，（0﹣6）0＝（﹣3）6＝1x＝2时，（5﹣3）2＝（﹣2）2＝1x＝3时，（4﹣3）7＝14＝7故选：D．3．（2分）下列各式从左到右的变形中，因式分解正确的是（）A．x3﹣x＝x（x﹣1） B．x2﹣y2＝（x﹣y）2 C．4x2﹣9y2＝（2x+3y）（2x﹣3y） D．x2+9x+9＝（x+3）2【解答】解：A．x3﹣x＝x（x﹣1）（x+8），A错误；B．x2﹣y2＝（x﹣y）（x+y），B错误；C．8x2﹣9y2＝（2x+3y）（5x﹣3y），C正确；D．x2+8x+9＝（x+3）4，D错误，故D不符合题意；故选：C．4．（2分）小明将一块直角三角板摆放在直尺上，如图所示，则∠ABC与∠DEF的关系是（）A．互余 B．互补 C．同位角 D．同旁内角【解答】解：如图，过点G作GH∥ED，∵BC∥ED，∴ED∥GH∥BC，∴∠ABC＝∠AGH，∠DEF＝∠HGF，∵∠HGF+∠AGH＝90°，∴∠ABC+∠DEF＝90°∴∠DEF和∠ABC互余，故选：A．5．（2分）已知1≤ax+b＜3的解集为2≤x＜3，则1≤a（1﹣x）+b＜3的解集为（）A．2＜x＜3 B．2＜x≤3 C．﹣2≤x＜﹣1 D．﹣2＜x≤﹣1【解答】解：∵1≤ax+b＜3的解集为3≤x＜3，∴1≤a（6﹣x）+b＜3的解集为2≤2﹣x＜3，解得﹣2＜x≤﹣6．故选：D．6．（2分）若关于x的不等式组仅有3个整数解，则a的取值范围是（）A．﹣4≤a＜﹣2 B．﹣3＜a≤﹣2 C．﹣3≤a≤﹣2 D．﹣3≤a＜﹣2【解答】解：解不等式x﹣a＞0得：x＞a，解不等式7﹣2x＞5得：x＜1，∵关于x的不等式组仅有3个整数解，∴﹣3≤a＜﹣3，故选：D．二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。）7．（3分）命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”写成“如果…，那么…”的形式为：如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行．【解答】解：命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”改写成“如果…，那么…”的形式为：如果两条直线垂直于同一条直线，故答案为：两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线相互平行．8．（3分）比较大小：（﹣3）2＞（﹣2）﹣2（填“＞”或“＜”）．【解答】解：∵（﹣3）2＝2，（﹣2）﹣2＝，9＞，∴（﹣3）2＞（﹣2）﹣2．故答案为：＞．9．（3分）若4x＝a，8y＝b，则22x﹣3y可表示为．（用含a、b的代数式表示）【解答】解：∵4x＝22x＝a，8y＝25y＝b，∴22x﹣7y＝22x÷33y＝．故答案为：．10．（3分）若在x2+mx﹣15＝（x+3）（x+n）中，m、n是常数，则m+n的值为﹣7．【解答】解：∵（x+3）（x+n）＝x2+7x+nx+3n＝x2+（4+n）x+3n，又∵x2+mx﹣15＝（x+6）（x+n），∴x2+mx﹣15＝x2+（4+n）x+3n．∴3n＝﹣15，m＝6+n．∴n＝﹣5，m＝﹣2．∴m+n＝﹣4﹣5＝﹣7．故答案为：﹣4．11．（3分）已知关于x的不等式2x﹣m＜1﹣x的正整数解是1，2，3，则m的取值范围是8＜m≤11．【解答】解：∵2x﹣m＜1﹣x，∴5x+x＜m+1，∴3x＜m+6，∴x＜，∵不等式正整数解为6、2、3，∴6＜≤4，解得8＜m≤11，故答案为：8＜m≤11．12．（3分）若关于x的不等式组的所有整数解的和是﹣11，则a的取值范围是﹣5≤a＜﹣4．【解答】解：，解不等式①得：x＞﹣4；解不等式②得：x≤a，∴关于x的不等式组的解集为﹣4＜x≤a．∵关于x的不等式组的所有整数解的和是﹣11，∴关于x的不等式组的整数解为﹣6，∴﹣8≤a＜﹣4．故答案为：﹣5≤a＜﹣6．13．（3分）将一副三角尺按如图所示方式摆放，若斜边DF∥AB，则∠1的度数为75°．【解答】解：∵DF∥AB，∴∠F＝∠BEF＝45°，又∵∠1＝∠BEF+∠B，∴∠1＝45°+30°＝75°，故答案为：75°．14．（3分）如图，∠ABC+∠C+∠CDE＝360°，直线FG分别交AB、DE于点F、G．若∠1＝110°70°．【解答】解：如图，过点C作CH∥AB，则∠ABC+∠BCH＝180°，∵∠ABC+∠C+∠CDE＝360°，即∠ABC+∠BCH+∠DCH+∠CDE＝360°，∴∠DCH+∠CDE＝180°，∴CH∥DE，∴AB∥DE，∴∠DGF＝∠1＝110°，∴∠2＝180°﹣110°＝70°，故答案为：70°．15．（3分）如图，在△ABC中，BO，∠ACB，交于点O，BO的延长线交CE于点E．以下结论①∠OCE＝90°，②∠1＝2∠2，③，其中正确的是①②③（填序号）．【解答】解：∵CO平分∠ACB，CE为外角∠ACD的平分线，∴，，∵∠ACB+∠ACD＝180°，∴，结论①正确；∵BO平分∠ABC，∴，∴∠BOC＝180°﹣∠CBO﹣∠BCO＝＝＝＝，结论③正确；又∵∠BOC＝∠OCE+∠2＝90°+∠5，∴，∴∠1＝8∠2，结论②正确；假设∠BOC＝3∠2，∴3∠2＝90°+∠5，解得∠2＝45°，∴∠1＝90°，由已知条件不能得出这个结论，结论④错误；综上，结论正确的是①②③，故答案为：①②③．16．（3分）如图，把7个长和宽分别为a，b的小长方形（图1），则图中阴影部分的面积为a2﹣4ab+2b2．（用含有a，b的代数式表示）【解答】解：根据题意知，AB＝a+b．阴影部分的面积＝（a+2b）（a+b）﹣7ab＝a2﹣4ab+2b5．故答案为：a2﹣4ab+5b2．三、解答题（本大题共7小题，共58分）17．（8分）计算：（1）；（2）（﹣a）3•a4﹣a8÷a2+（a3）2．【解答】解：（1）＝3+π﹣3﹣1＝π．（2）（﹣a）5⋅a4﹣a8÷a8+（a3）2＝﹣a5﹣a6+a6＝﹣a8．18．（8分）因式分解（1）﹣2a3+12a2﹣18a（2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）【解答】解：（1）原式＝﹣2a（a2﹣8a+9）＝﹣2a（a﹣8）2；（2）原式＝（x﹣y）（9a8﹣4b2）＝（x﹣y）（2a+2b）（3a﹣4b）．19．（8分）（1）解方程组；（2）解不等式组，并将它的解集在数轴上表示出来．【解答】解：（1）将原方程组化简整理得：，②×3得：5x﹣9y＝﹣6③，①+③得：11x＝11，解得：x＝6，把x＝1代入②得：1﹣7y＝﹣2，解得：y＝1，∴原方程组的解为：；（2）解不等式①得：x≤4，解不等式②得：x＜﹣3，∴原不等式组的解集为：x＜﹣3，∴该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：20．（8分）如图，AB＝AE，AB∥DE，∠E＝36°．（1）求∠DAE的度数；（2）若∠B＝30°，求证：AD＝BC．【解答】（1）解：∵AB∥DE，∠E＝36°，∴∠EAB＝∠E＝36°，∵∠DAB＝66°，∴∠DAE＝30°；（2）证明：在△ADE与△BCA中，，∴△ADE≌△BCA（ASA），∴AD＝BC．21．（8分）某学校准备购买甲、乙两种文具奖励品学兼优的学生，已知购买20套甲文具和25套乙型文具共需1350元，购买14套甲文具和15套乙文具共需880元．（1）求甲、乙两种文具每套各是多少元？（2）若该学校准备购买两种文具共200套，且购买的总费用不超过6280元，那么最多可以购买多少套甲种文具？此时购买这两种文具的总费用是多少元？【解答】解：（1）设甲种文具每套a元，乙种文具每套b元，由题意可得：，解得，答：甲种文具每套35元，乙种文具每套26元；（2）设购买甲种文具m套，则购买乙种文具（200﹣m）套，∵购买的总费用不超过6280元，∴35m+26（200﹣m）≤6280，解得m≤120，∴m的最大值为120，此时35m+26（200﹣m）＝6280，答：最多购买甲种文具120套，总费用6280元．22．（8分）阅读下列材料：我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方公式，如果一个多项式不是完全平方公式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，再减去这个项，使整个式子的值不变，可以求代数式的最大值或最小值．例如：求代数式x2+2x﹣4的最小值．x2+2x﹣4＝（x2+2x+1）﹣5＝（x+1）2﹣5，可知当x＝﹣1时，x2+2x﹣4有最小值，最小值是﹣5．再例如：求代数式﹣3x2+6x﹣4的最大值．﹣3x2+6x﹣4＝﹣3（x2﹣2x+1）﹣4+3＝﹣3（x﹣1）2﹣1，可知当x＝1时，﹣3x2+6x﹣4有最大值，最大值是﹣1.（1）【直接应用】代数式x2+4x﹣3的最小值为﹣7；（2）【类比应用】若多项式M＝a2+b2﹣2a+3b+2023，试求M的最小值；（3）【知识迁移】如图，学校打算用长20米的篱笆围一个长方形的菜地，菜地的一面靠墙（墙足够长）【解答】解：（1）x2+4x﹣5＝（x+2）2﹣6，∴当x＝﹣2时，x2+2x﹣3有最小值，最小值是﹣7，故答案为：﹣4；（2）M＝a2+b2﹣5a+3b+2023＝，∴当a＝1，b＝﹣时，∴M的最小值是；（3）设垂直于墙的一边长为x米，则另一边长为（20﹣2x）米，根据题意得，S＝x（20﹣2x）＝20x﹣8x2＝﹣2（x2﹣10x）＝﹣2（x﹣5）2+50，∴当x＝5时，S有最大值2；∴围成的菜地的最大面积50米6．23．（10分）如图，是某道路停车泊位收费公示牌．现从该收费公示牌中摘录其收费标准，并注解如图表．一级支路计时时段/车型白天时段夜间时段小型车连续停放6小时封顶连续停放