第4章 正弦交流电路

第4章正弦交流电路4.1正弦交流电的基本概念4.2正弦量的相量表示法4.3单一参数的交流电路4.4RLC串联电路4.5阻抗的串联与并联4.6谐振电路4.7功率因数的提高4.1正弦交流电的基本概念图4.1.1直流、交流(1)交流电大小和方向随时间做周期性变化的电流、电压、电动势。(2)正弦交流电大小和方向均按正弦规律变化的交流电。4.1正弦交流电的基本概念波形与正方向_+

2

0tuiImRLi+–uRLi+–u正半周负半周Ө⊕Ө⊕图4.1.2正弦电压和电流4.1正弦交流电的基本概念正弦量的频率、幅值、初相位正弦量三要素正弦量的特征快慢、大小、初始值

正弦量：正弦电压电流和电动势等物理量，统称为正弦量。4.1正弦交流电的基本概念周期(T)：正弦量变化一次所需要的时间s频率(f)：每秒内变化的次数赫兹(Hz)角频率(

)：

弧度/秒（rad/s）4.1.1正弦量的周期、频率和角频率工频：50Hz、60Hz中频：400Hz4.1正弦交流电的基本概念4.1.2正弦量的瞬时值、最大值和有效值瞬时值：正弦量在任一瞬间的值e、i、u最大值或振幅：瞬时值中最大的值Im

、Um

20tiIm图4.1.3正弦波形有效值4.1正弦交流电的基本概念周期电流i的有效值均方根值RiRI

有效值是一个在效应上（热效应）与周期量在一个周期内的平均效应相等的直流量。4.1正弦交流电的基本概念若周期电流为正弦量，即i=Imsinωt，则有效值的表示方法与直流电相同，但其本质与直流电不同!耐压为250V电容器能否接在电压为220V的电源上？?4.1正弦交流电的基本概念u’

tu

0ab相位（角）：

t和

t+

初相位（角）：t=0时的相位角4.1.3正弦量的初相位4.1正弦交流电的基本概念相位差：两个同频率正弦量的相位之差1.同相——初相位之差0tuiui4.1正弦交流电的基本概念2.反相0tuiui3.超前或滞后ui0tui

1

2

12

>0，u超前i

i滞后u

4.1正弦交流电的基本概念【例4.1.1】指出正弦电流

，的最大值，角频率、初相位、有效值、频率和周期。【解】，，

4.1正弦交流电的基本概念【解】

【例4.1.2】已知

，求u与i的相位差并指出超前滞后关系。u的初相位为i的初相位为表明u滞后于i或i超前于u4.2正弦量的相量表示法

相量表示正弦量是相量法的基础a.复数的有关概念

r0ba(a，jb)A+j+1A=a+jb1复数的表示形式虚数单位4.2.1复数的基本特性4.2正弦量的相量表示法欧拉公式直角坐标式三角函数式指数式极坐标式a.复数的有关概念4.2正弦量的相量表示法【例4.2.1】写出下列复数的极坐标形式。(1)(2)【解】(1)(2)4.2正弦量的相量表示法【例4.2.2】

写出下列复数的代数形式。(1)(2)【解】(1)(2)4.2正弦量的相量表示法b.复数的运算+1+j★加减运算4.2正弦量的相量表示法★

乘除运算

复数的相等!b.复数的运算4.2正弦量的相量表示法【例4.2.3】已知复数

,。求

，

，和。【解】4.2正弦量的相量表示法+1+j0

t1t1ABab4.2.2正弦量的相量表示法用复数表示正弦量4.2正弦量的相量表示法相量只是表示正弦量，而不是等于正弦量！!1.正弦量的相量表示法4.2正弦量的相量表示法2.相量图按照各个正弦量的大小和相位关系画出的若干个相量的图形+1+j+1+j只有正弦周期量才能用相量表示只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上!4.2正弦量的相量表示法1.相量只能表示正弦量，但不等于正弦量3.只有同频率的正弦量才能画在同一个相量图中正弦量的几种表示方法1.函数表示法2.波形图法3.相量4.相量图!2.只有正弦周期量才能用相量法表示4.2正弦量的相量表示法【例4.2.4】将下列正弦量用相量表示。(1)(2)(3)【解】(1)(2)(3)4.2正弦量的相量表示法【例4.2.5】将下列相量转化为正弦量。设角频率为(1)【解】(2)(3)(4)(1)(2)(3)4.2正弦量的相量表示法【例4.2.5】将下列相量转化为正弦量。设角频率为(1)【解】(2)(3)(4)(4)4.2正弦量的相量表示法【例4.2.6】已知两个正弦电压分别为：试用相量法求：【解】4.2正弦量的相量表示法【例4.2.6】已知两个正弦电压分别为：试用相量法求：【解】4.2正弦量的相量表示法【例4.2.7】已知两个相同频率的正弦电流分别为：利用相量图平行四边形法则求总电流：【解】相量图如图所示：4.3单一参数的交流电路4.3.1

电阻元件交流电路Rui0ui

t

同频率、同相位的正弦量1.电压电流关系4.3单一参数的交流电路二.功率关系1)

瞬时功率0u、i

tp耗能元件4.3单一参数的交流电路2)平均功率单位：瓦（W）0u、i、p

tP4.3单一参数的交流电路3.相量关系与相量图（表明没有相位差）4.3单一参数的交流电路4、结论

电压与电流是频率相等、初相位相同的正弦量

电阻从电源中吸收的能量全部转化为热量消耗P=UI电压与电流的相量、幅值、有效值和瞬时值之比都为电阻R4.3单一参数的交流电路【例4.3.1】的电阻，流过的正弦电流。试求电阻的端电压U与u，以及电阻的功率。解：4.3.2电感元件的交流电路Lui1.电压电流关系

t0uiiu4.3.2电感元件的交流电路感抗2.功率关系1)瞬时功率用相量表示4.3.2电感元件的交流电路放能储能i-+i-+i-+i-+储能放能p3T/4T/2T/40Ttiu4.3.2电感元件的交流电路2)平均功率3)无功功率单位：乏（Var）3.相量关系与相量图4.3.2电感元件的交流电路电感的电压与电流频率相等，电压超前于电流90

4、结论电感元件和电源之间只存在能量交换的关系，而无功耗，储能元件，能量交换的大小为无功功率电压与电流的幅值、有效值之比为感抗XL4.3.2电感元件的交流电路【例4.3.2】把一个0.1H的电感元件接到频率为50Hz，电压有效值为10V的正弦电源上，问电流是多少？如果保持电压值不变，而电源频率变为5000Hz，这时候电流为多少？解：当f=50Hz时当f=5000Hz时4.3.3电容元件的交流电路Cu1.电压电流关系

t0u

iiui4.3.3电容元件的交流电路容抗

2.功率关系1)瞬时功率用相量表示4.3.3电容元件的交流电路放能储能i储能放能-+-+i-+i-+p3T/4T/2T/40Ttiui4.3.3电容元件的交流电路2)平均功率3)无功功率单位：乏（Var）3.相量关系与相量图4.3.3电容元件的交流电路4.3.3电容元件的交流电路电容的电压与电流频率相等，电流超前于电压90

电容元件和电源之间只存在能量交换的关系，而无功耗，能量交换的大小为无功功率。储能元件4.结论电压与电流的幅值、有效值之比为容抗XC4.3.3电容元件的交流电路【例4.3.3】将大小为0.2uF的电容与0.5mH的电感，并联连接在正弦电压源

的两端。试求电感与电容的无功功率。解：4.3.3电容元件的交流电路瞬时值参数相量图有效值相量关系RLC4.4RLC串联的交流电路4.4.1相量形式的基尔霍夫定律基尔霍夫电流定律(KCL)

瞬时值形式相量形式基尔霍夫电压定律(KVL)瞬时值形式相量形式4.4RLC串联的交流电路【例4.4.1】图(a)(b)所示电路中，已知电流表A1A2的读数均为5A，试求电路中电流表A的读数。ii1i2+-(a)ii1i2+-(b)4.4RLC串联的交流电路【例4.4.2】图(a)(b)所示电路中，已知电流表V1V2的读数均为100V，试求电路中电压表V的读数。+-iuu1u2++--(a)i+-uu1+--u2+(b)4.4RLC串联的交流电路4.4.2RLC串联电路的分析1.电压电流的瞬时关系CLiR++–u–+–+–uCuLuR-jXCjXLR++––+–+–2.电压电流的相量关系Z：阻抗（）4.4RLC串联的交流电路阻抗角阻抗模电压和电流之间的相位差3.

阻抗4.4RLC串联的交流电路

：阻抗角，由电路参数决定阻抗三角形

XRX=XL-XC称为电抗(Ω)，它反映了电感和电容共同对电流的阻碍作用，X可正可负4.4RLC串联的交流电路用相量图求解!4.4RLC串联的交流电路电压三角形

UXUR4.4RLC串联的交流电路单一参数交流电路的阻抗!★阻抗Z是关联参考方向下，电压相量与电流相量之比★阻抗不是正弦量★

Z的实部R为电路的电阻，虚部X为电路的电抗4.4RLC串联的交流电路1.感性电路当XL>XC时,

>0，电路呈感性；称为感性电路2.容性电路3.阻性电路当XL<XC时，

<0，电路呈容性；称为容性电路当XL=XC时，

电压、电流同相，

=0，电路呈电阻性4.RLC电路性质4.4RLC串联的交流电路

>0

<0

=04.4RLC串联的交流电路【解】【例4.4.3】在电阻、电感与电容元件串联的交流电路中，已知R=30Ω，

L

=127mH，C=40μF，电源电压；(1)

求电流i以及各部分电压uR，uL，uC；(2)作相量图;（3）求功率P和Q。（1）4.4RLC串联的交流电路【解】【例4.4.3】在电阻、电感与电容元件串联的交流电路中，已知R=30Ω，

L

=127mH，C=40μF，电源电压；(1)

求电流i以及各部分电压uR，uL，uC；(2)作相量图;（3）求功率P和Q。（1）4.4RLC串联的交流电路【解】【例4.4.3】在电阻、电感与电容元件串联的交流电路中，已知R=30Ω，

L

=127mH，C=40μF，电源电压；(1)

求电流i以及各部分电压uR，uL，uC；(2)作相量图;（3）求功率P和Q。(2)作相量图4.4RLC串联的交流电路【解】【例4.4.3】在电阻、电感与电容元件串联的交流电路中，已知R=30Ω，

L

=127mH，C=40μF，电源电压；(1)

求电流i以及各部分电压uR，uL，uC；(2)作相量图;（3）求功率P和Q。（3）4.4RLC串联的交流电路【例4.4.4】某电感线圈在施加220V的工频电压时，流过0.5A电流，且在相位上滞后电压。试求电感线圈串联形式的等效参数。解：4.4RLC串联的交流电路5.RLC串联电路的功率67（1）瞬时功率（2）平均功率瓦（W）4.4RLC串联的交流电路（3）

无功功率乏（Var）（4）

视在功率伏安（VA）4.4RLC串联的交流电路69

:功率因数角功率因数QPSRX|Z|UUXUR

功率、电压、阻抗三角形4.4RLC串联的交流电路【例4.4.5】RLC串联电路中，R=40Ω，L=223mH，C=80μF。电源电压

。试求：（1）电路中各元件的端电压；（2）各元件的功率与电路的总功率。解：（1）4.4RLC串联的交流电路【例4.4.5】RLC串联电路中，R=40Ω，L=223mH，C=80μF。电源电压。试求：（1）电路中各元件的端电压；（2）各元件的功率与电路的总功率。解：4.4RLC串联的交流电路【例4.4.5】RLC串联电路中，R=40Ω，L=223mH，C=80μF。电源电压。（2）各元件的功率与电路的总功率。（2）解：4.5阻抗的串联和并联4.5.1阻抗的串联Z1Z2-+++--Z-+4.5阻抗的串联和并联744.5.1阻抗的串联Z1Z2-+++--Z-+多个阻抗串联：分压：4.5阻抗的串联和并联75Z1Z2-+++--【例4.5.1】

电路如图所示，Z1=(6.16+j9)

和Z2=(2.5-j4)

，求：【解】总阻抗它们串联接在的电源上，。4.5阻抗的串联和并联4.5.2阻抗的并联Z1Z2-+Z1-+4.5阻抗的串联和并联4.5.2阻抗的并联Z1Z2-+分流：多个阻抗并联Z1-+4.5阻抗的串联和并联【例4.5.2】它们并联接在的电源上。【解】Z1Z2-+电路如图所示，有两个阻抗和试计算电路中的电流。4.5阻抗的串联和并联【例4.5.2】它们并联接在的电源上。【解】Z1Z2-+电路如图所示，有两个阻抗和试计算电路中的电流。4.5阻抗的串联和并联【例4.5.3】电路如图所示，已知支路电流，且

，，，。试求：

（1）电路等效阻抗Z;（2）电路的有功功率、无功功率与功率因数。4.5阻抗的串联和并联解：（1）（2）（2）4.5阻抗的串联和并联4.5阻抗的串联和并联另解电路功率：4.6

谐振电路4.6.1串联谐振RLC串联电路中，在某一特定频率上，电压与电流同相，电路呈现纯电阻性，这种现象称为串联谐振。1.串联谐振的条件LCR谐振角频率谐振频率4.6

谐振电路(1)

电路的阻抗模在谐振时达到最小，电源电压不变时，电路中的电流在谐振时达到最大。2.串联谐振的特征图

阻抗模与电流等随频率变化的曲线4.6

谐振电路(2)

由于电源电压与电路中电流同相，因此电路对电源呈现电阻性。电源供给的能量全部被电阻消耗，电源与电路之间不再发生能量交换，能量的交换只发生在电感线圈与电容器之间。串联谐振的特征4.6

谐振电路(3)串联谐振的特征由于XL=XC，于是UL=UC。而与在相位上相反，因此电源电压UL和UC的单独作用不容忽视4.6

谐振电路(3)Q称为电路的品质因数或简称Q值。串联谐振的特征UC或UL与电源电压U的比值，通常用Q来表示Q的意义是表示在谐振时电容或电感元件上的电压是电源电压的Q倍。4.6

谐振电路3.串联谐振的应用4.6

谐振电路LC选择信号，抑制干扰串联谐振的应用RCL

e1e2e3f1f2f3接收机的输入电路L14.6

谐振电路f1f0I00.707Iff2通频带的宽度

f=f2

-f14.选择性(串联谐振的频率特性)4.6

谐振电路fQ大IQ小

Q的大小，影响着谐振曲线的尖锐程度，代表着谐振电路的选择性的好坏。Q越大。曲线越尖锐，选择性越好；Q越小，曲线越平滑，选择性也就越差。4.6

谐振电路【例4.6.1】电感线圈与电容器的串联电路中，已知，

，。正弦电压源。求谐振频率，电路的品质因数，与谐振时的、。【解】4.6

谐振电路【例4.6.2】一收音机输入回路的电感线圈

，电容器为可变电容，变化范围32～

310pF。试求此电路的谐振频率范围。若接收信号的频率为

，则电容调至多大时电路发生谐振？

【解】～则输入回路的谐振频率范围是522kHz~1625kHz4.6

谐振电路【例4.6.2】一收音机输入回路的电感线圈

，电容器为可变电容，变化范围32～

310pF。试求此电路的谐振频率范围。若接收信号的频率为

，则电容调至多大时电路发生谐振？

【解】～4.6

谐振电路964.6.2并联谐振

线圈RL与电容器C并联的电路，

其等效阻抗为：1.谐振的条件4.6

谐振电路974.6.2并联谐振当将电源角频率ω调到ω0时或发生并联谐振4.6

谐振电路982.并联谐振的特征阻抗模与电流的谐振曲线(1)谐振时电路的阻抗模为其值最大，因此在因此在电源电压U一定的情况下，电流I将在谐振时达到最小值，即4.6

谐振电路99(2)电源电压与电路中电流同相，因此电路对电源呈现电阻性。谐振时电路的阻抗模相当于一个电阻。(3)谐振时各并联支路的电流为因为并联谐振的相量图4.6

谐振电路(3)IC或I1与总电流I0的比值为电路的品质因数在谐振时，支路电流IC或I1是总电流I0的Q倍。在L和C值不变时R值愈小，品质因数Q值愈大，阻抗模也愈大，阻抗谐振曲线也愈尖锐，选择性也就愈强。并联谐振的相量图4.6

谐振电路【例4.6.3】电路如图所