贵州省贵阳市2024年中考数学二模试题按知识点分层汇编-04图形的性质

第1页（共1页）贵州省贵阳市2024年中考数学二模试题按知识点分层汇编-04图形的性质一．选择题（共15小题）1．（2024•云岩区二模）如图，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，∠C＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，与AB交于点D，再分别以A、D为圆心，大于12AD的长为半径画弧，两弧交于点M、N，作直线MN，分别交AC、AB于点E、F，则AEA．52 B．3 C．22 2．（2024•观山湖区二模）如图，为了测量一个池塘的宽BC，小明在池塘一侧的平地上选一点A，再分别找出线段AB、AC的中点D，E，若小明测得DE的长是20米，则池塘宽BC的长度为（）米．A．25 B．30 C．35 D．403．（2024•南明区二模）风铃，又称铁马，古称“铎”，常见于中国传统建筑屋檐下（如图①），如图②是六角形风铃的平面示意图，其底部可抽象为正六边形ABCDEF，连接CF，则∠AFC的度数为（）A．30° B．45° C．60° D．75°4．（2024•南明区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，按以下步骤作图：①以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AC于点D和点E；②以点B为圆心，AD长为半径作弧，交AB于点F；③以F为圆心，DE长为半径作弧，在∠ABC内部交前面的弧于点G；④过点G作射线BG交AC于点H．若BC＝6，∠A＝36°，则AH的长为（）A．4 B．5 C．6 D．75．（2024•南明区二模）如图，三角板的直角顶点落在矩形纸片的一边上．若∠1＝42°，则∠2的度数是（）A．42° B．48° C．58° D．84°6．（2024•云岩区二模）若等腰三角形的顶角是大于60°的锐角，则底角度数可以是（）A．30° B．45° C．55° D．65°7．（2024•观山湖区二模）如图，已知AB∥CD，点E在线段AD上（不与点A，点D重合），连接CE，若∠C＝20°，∠CED＝120°，则∠A的度数为（）A．10° B．20° C．30° D．40°8．（2024•花溪区二模）四边形ABCD的边长如图所示，对角线AC的长度随四边形形状的改变而变化．当△ABC为等腰三角形时，对角线AC的长为（）A．2 B．3 C．4 D．59．（2024•花溪区二模）已知AB∥CD，点E在直线AB上，点F，G在直线CD上，EG⊥EF于点E，∠AEF＝40°，则∠EGF的度数是（）A．40° B．45° C．50° D．60°10．（2024•云岩区二模）如图，分别过△ABC的顶点A，B作AD∥BE．若∠CAD＝25°，∠EBC＝80°，则∠ACB的度数为（）A．65° B．75° C．85° D．95°11．（2024•南明区二模）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，连接OE，若OB＝4，S菱形ABCD＝16，则OE的长为（）A．25 B．4 C．2 D．512．（2024•花溪区二模）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于12BC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交AC于点D，连接BD．若AC＝6，AD＝2，则BDA．2 B．3 C．4 D．613．（2024•南明区二模）如图，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，DE⊥AB，垂足为E，DE与AC交于点F，则sin∠DFC的值为（）A．34 B．43 C．3514．（2024•南明区二模）如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于12BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N②作直线MN交AB于点D，连接CD．若CD＝AC，∠B＝25°，则∠ACB的度数为（）A．90° B．95° C．100° D．105°15．（2024•观山湖区二模）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠A＝40°，观察图中尺规作图的痕迹，可知∠BCG的度数为（）A．40° B．45° C．50° D．60°二．填空题（共5小题）16．（2024•花溪区二模）在如图所示的网格纸中，有A，B两个格点，试取格点C，使得△ABC是等腰三角形，则这样的格点C有个．17．（2024•南明区二模）如图，在矩形ABCD中，∠BCD的角平分线CE与边AD交于点E，∠AEC的角平分线与边CB的延长线交于点G，与边AB交于点F，如果AB=32，AF＝2BF，那么GB＝18．（2024•观山湖区二模）如图，以边长为2的等边△ABC顶点A为圆心、一定的长为半径画弧，恰好与BC边相切，分别交AB、AC于D、E，则图中⊙A的半径长是．19．（2024•云岩区二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，将矩形ABCD绕点C旋转，点A、B、D的对应点分别为A′、B′、D′，当A′落在边CD的延长线上时，边A′D′与边AD的延长线交于点F，联结CF，那么线段CF的长度为．20．（2024•白云区二模）公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”．如图，设勾a＝6，弦c＝10，则小正方形ABCD的面积是．三．解答题（共10小题）21．（2024•南明区二模）如图，在正方形ABCD中，E是边CD的中点，点P是边AD上一点（与点A，D不重合），射线PE与BC的延长线交于点Q．（1）求证：△PDE≌△QCE；（2）过点E作EF∥BC交PB于点F，连接AF，当PB＝PQ时．求证：四边形AFEP是平行四边形．22．（2024•南明区二模）如图，AB是⊙O的一条弦，⊙O的直径CD⊥AB于点E，连接AC，BO，延长BO交AC于点F，交⊙O于点G，连接AG．（1）求证：△AGF∽△COF；（2）若劣弧AB对应的圆心角的度数为120°，求∠ACD的度数；（3）若tan∠CAE＝2，探究线段AE，OE之间的数量关系，并说明理由．23．（2024•南明区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，以CB，CD为边作▱DCBE，DE交AB于点F．（1）若∠A＝50°，求∠E的度数．（2）若AD＝3CD，BC＝6，求EF．24．（2024•云岩区二模）如图，等边△ABC内接于⊙O，P是AB上任一点（点P不与点A、B重合），连接AP、BP，过点C作CM∥BP交PA的延长线于点M．（1）求∠APC和∠BPC的度数；（2）求证：△ACM≌△BCP；（3）若PA＝1，PB＝2，求四边形PBCM的面积．25．（2024•南明区二模）综合与实践：综合与实践课上，老师带领同学们以“矩形和平行四边形的折叠”为主题开展数学活动．（1）操作判断：如图1，先用对折的方式确定矩形ABCD的边AB的中点E，再沿DE折叠，点A落在点F处，把纸片展平，延长DF，与BC交点为G．请写出线段FG与线段BG的数量关系；（2）迁移思考：如图2，把▱ABCD按照（1）中的操作进行折叠和作图，请判断FG，BG这两条线段之间的数量关系，并仅就图2证明你的判断．（3）拓展探索：如图1，若AB＝2，按照（1）中的操作进行折叠和作图，请直接写出当CG＝1时AD的值．26．（2024•观山湖区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，且AE∥CD，CE∥AB．（1）证明：四边形ADCE是菱形；（2）若∠B＝60°，BC＝6，求菱形ADCE的面积．（计算结果保留根号）27．（2024•观山湖区二模）如图，在△ABC的边BC上取一点O，以O为圆心，OC为半径画⊙O，⊙O与边AB相切于点D，AC＝AD，连接OA交⊙O于点E，连接CE，并延长交线段AB于点F．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若BC＝6，cosB=35，求⊙（3）在（2）的条件下，若F是AB的中点，求CE•CF的值．28．（2024•观山湖区二模）小瑞同学在进行数学探究活动中发现：将矩形ABCD绕点C顺时针方向旋转α（0＜α＜180°）得到矩形EFGC．[探究1]如图①，当α＝30°时，点E在AD上，连接BE，求∠AEB的度数；[探究2]如图②，连结BD，FC，过点E作EM∥FC交BD于点M．证明：BM＝EM；[探究3]在探究2的条件下，射线BD分别交EC，FC于点P，N，如图③，探究线段BN，MN，PN之间的数量关系．29．（2024•云岩区二模）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，点O为对角线BD的中点，过点O的直线l分别与AD、BC所在的直线相交于点E、F．（点E不与点D重合）（1）求证：△DOE≌△BOF；（2）当直线l⊥BD时，连结BE、DF，试判断四边形EBFD的形状，并说明理由．30．（2024•南明区二模）如图，以线段AB为直径作⊙O，交射线AC于点C，AD平分∠CAB交⊙O于点D，过点D作直线DE⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．连接BD并延长交AC于点M．（1）求证：直线DE是⊙O的切线；（2）求证：AB＝AM；（3）若ME＝1，∠F＝30°，求BF的长．

贵州省贵阳市2024年中考数学二模试题按知识点分层汇编-04图形的性质参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．（2024•云岩区二模）如图，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，∠C＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，与AB交于点D，再分别以A、D为圆心，大于12AD的长为半径画弧，两弧交于点M、N，作直线MN，分别交AC、AB于点E、F，则AEA．52 B．3 C．22 【解答】解：由题意得，BC＝BD＝6，直线MN为线段AD的垂直平分线，∵BC＝6，AC＝8，∠C＝90°，∴AB=6∴AD＝AB﹣BD＝4，∴AF=12∵∠EAF＝∠BAC，∠AFE＝∠ACB＝90°，∴△AEF∽△ABC，∴AEAB即AE10解得AE=5故选：A．2．（2024•观山湖区二模）如图，为了测量一个池塘的宽BC，小明在池塘一侧的平地上选一点A，再分别找出线段AB、AC的中点D，E，若小明测得DE的长是20米，则池塘宽BC的长度为（）米．A．25 B．30 C．35 D．40【解答】解：∵线段AB，AC的中点为D，E，∴DE=12∵DE＝20米，∴BC＝40米，故选：D．3．（2024•南明区二模）风铃，又称铁马，古称“铎”，常见于中国传统建筑屋檐下（如图①），如图②是六角形风铃的平面示意图，其底部可抽象为正六边形ABCDEF，连接CF，则∠AFC的度数为（）A．30° B．45° C．60° D．75°【解答】解：∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠AFE=(6-2)×180°∴由对称性可知∠AFC＝∠EFC=12∠故选：C．4．（2024•南明区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，按以下步骤作图：①以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AC于点D和点E；②以点B为圆心，AD长为半径作弧，交AB于点F；③以F为圆心，DE长为半径作弧，在∠ABC内部交前面的弧于点G；④过点G作射线BG交AC于点H．若BC＝6，∠A＝36°，则AH的长为（）A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：由作图痕迹知∠ABH＝∠A，∴AH＝BH，∠BHC＝∠ABH+∠A＝72°，在△ABC中，AB＝AC，∠A+∠ABC+∠C＝180°，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠C＝72°，∠ABH＝36°，∴∠BHC＝∠A+∠ABH＝72°，∴∠BHC＝∠C，∴BH＝BC，∴AH＝BH＝BC＝6．故选：C．5．（2024•南明区二模）如图，三角板的直角顶点落在矩形纸片的一边上．若∠1＝42°，则∠2的度数是（）A．42° B．48° C．58° D．84°【解答】解：如图，∵∠1+∠3＝180°﹣90°＝90°，∠1＝42°，∴∠3＝90°﹣∠1＝48°，∵AB∥CD，∴∠2＝∠3＝48°．故选：B．6．（2024•云岩区二模）若等腰三角形的顶角是大于60°的锐角，则底角度数可以是（）A．30° B．45° C．55° D．65°【解答】解：设等腰三角形的底角为x，则顶角为（180°﹣2x），由题意可得：60°＜180°﹣2x＜90°，∴45°＜x＜60°，∴底角度数的取值范围是45°＜x＜60°，故选：C．7．（2024•观山湖区二模）如图，已知AB∥CD，点E在线段AD上（不与点A，点D重合），连接CE，若∠C＝20°，∠CED＝120°，则∠A的度数为（）A．10° B．20° C．30° D．40°【解答】解：∵∠C＝20°，∠CED＝120°，∴∠D＝180°﹣20°﹣120°＝40°，∵AB∥CD，∴∠A＝∠D＝40°．故选：D．8．（2024•花溪区二模）四边形ABCD的边长如图所示，对角线AC的长度随四边形形状的改变而变化．当△ABC为等腰三角形时，对角线AC的长为（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：∵△ABC为等腰三角形，∴AB＝AC或AC＝BC，当AC＝BC＝4时，AD+CD＝AC＝4，此时不满足三角形三边关系定理，当AC＝AB＝3时．满足三角形三边关系定理，∴AC＝3．故选：B．9．（2024•花溪区二模）已知AB∥CD，点E在直线AB上，点F，G在直线CD上，EG⊥EF于点E，∠AEF＝40°，则∠EGF的度数是（）A．40° B．45° C．50° D．60°【解答】解：∵EG⊥EF，∴∠FEG＝90°，∵∠AEF+∠FEG+∠BEG＝180°，∠AEF＝40°，∴∠BEG＝180°﹣∠AEF﹣∠FEG＝50°，∵AB∥CD，∴∠EGF＝∠BEG＝50°．故选：C．10．（2024•云岩区二模）如图，分别过△ABC的顶点A，B作AD∥BE．若∠CAD＝25°，∠EBC＝80°，则∠ACB的度数为（）A．65° B．75° C．85° D．95°【解答】解：∵AD∥BE，∴∠ADC＝∠EBC＝80°，∵∠CAD+∠ADC+∠ACB＝180°，∠CAD＝25°，∴∠ACB＝180°﹣25°﹣80°＝75°，故选：B．11．（2024•南明区二模）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，连接OE，若OB＝4，S菱形ABCD＝16，则OE的长为（）A．25 B．4 C．2 D．5【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，OB＝OD=12BD，BD⊥∴BD＝2OB＝8，∵S菱形ABCD=12AC•∴AC＝4，∵AE⊥BC，∴∠AEC＝90°，∴OE=12故选：C．12．（2024•花溪区二模）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于12BC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交AC于点D，连接BD．若AC＝6，AD＝2，则BDA．2 B．3 C．4 D．6【解答】解：由作图知，MN是线段BC的垂直平分线，∴BD＝CD，∵AC＝6，AD＝2，∴BD＝CD＝4，故选：C．13．（2024•南明区二模）如图，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，DE⊥AB，垂足为E，DE与AC交于点F，则sin∠DFC的值为（）A．34 B．43 C．35【解答】解：设AC与BD相交于O，∵四边形ABCD是菱形，AC＝8，BD＝6，AD＝AB，∴AC⊥OD，AO=12AC＝4，DO＝BO=由勾股定理得到：AD＝AB=A在Rt△ABO中，sin∠ABO=AO∵∠EAF+∠AFE＝90°，∠FAE+∠ABO＝90°，∴∠ABO＝∠AFE＝∠DFC，∴sin∠DFC=4故选：D．14．（2024•南明区二模）如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于12BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N②作直线MN交AB于点D，连接CD．若CD＝AC，∠B＝25°，则∠ACB的度数为（）A．90° B．95° C．100° D．105°【解答】解：由题意可得：MN垂直平分BC，则DC＝BD，故∠DCB＝∠DBC＝25°，则∠CDA＝25°+25°＝50°，∵CD＝AC，∴∠A＝∠CDA＝50°，∴∠ACB＝180°﹣50°﹣25°＝105°．故选：D．15．（2024•观山湖区二模）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠A＝40°，观察图中尺规作图的痕迹，可知∠BCG的度数为（）A．40° B．45° C．50° D．60°【解答】解：由作法得CG⊥AB，∵AC＝BC，∴CG平分∠ACB，∠A＝∠B，∵∠ACB＝180°﹣40°﹣40°＝100°，∴∠BCG=12∠故选：C．二．填空题（共5小题）16．（2024•花溪区二模）在如图所示的网格纸中，有A，B两个格点，试取格点C，使得△ABC是等腰三角形，则这样的格点C有8个．【解答】解：如图所示：AB上方4个格点，下方4个格点构成8个等腰三角形，故答案为：8．17．（2024•南明区二模）如图，在矩形ABCD中，∠BCD的角平分线CE与边AD交于点E，∠AEC的角平分线与边CB的延长线交于点G，与边AB交于点F，如果AB=32，AF＝2BF，那么GB＝2-【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴△AFE∽△BFG，∴AFBF∵AF＝2BF，∴AE＝2BG，设BG＝a，则AE＝2a，∵CE平分∠DCB，EF平分∠AEC，∴∠DCE＝∠ECB，∠AEF＝∠CEF，∵AD∥CG，∴∠AEF＝∠G，∠DEC＝∠ECG，∴∠CEF＝∠G，∠DEC＝∠DCB，∴CD＝DE＝AB＝32，CE＝CG=2CD=∴a+2a+32=∴a＝2-2∴GB＝2-2故答案为：2-218．（2024•观山湖区二模）如图，以边长为2的等边△ABC顶点A为圆心、一定的长为半径画弧，恰好与BC边相切，分别交AB、AC于D、E，则图中⊙A的半径长是3．【解答】解：由题意，以A为圆心、一定的长为半径画弧，恰好与BC边相切，设切点为F，连接AF，则AF⊥BC，等边△ABC中，AB＝AC＝BC＝2，∠BAC＝60°，∴CF＝BF＝1．在Rt△ACF中，AF=A∴⊙A的半径长是3．故答案为：3．19．（2024•云岩区二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，将矩形ABCD绕点C旋转，点A、B、D的对应点分别为A′、B′、D′，当A′落在边CD的延长线上时，边A′D′与边AD的延长线交于点F，联结CF，那么线段CF的长度为352【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝3，AD＝BC＝4，∠ADC＝90°，∴∠A'DF＝∠CDF＝90°，由旋转的性质得：CD＝CD'＝3，A'D'＝AD＝4，∠ADC＝∠A'D'C＝90°，∴A'C=3∴A'D＝A'C﹣CD＝5﹣3＝2，在Rt△CDF和Rt△CD'F中，CF=CFCD=CD'∴Rt△CDF≌Rt△CD'F（HL），∴DF＝D'F，设DF＝D'F＝x，则A'F＝4﹣x，在Rt△A'DF中，由勾股定理得：22+x2＝（4﹣x）2，解得：x=3∴DF=3∴CF=C故答案为：3520．（2024•白云区二模）公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”．如图，设勾a＝6，弦c＝10，则小正方形ABCD的面积是4．【解答】解：∵勾a＝6，弦c＝10，∴股=1∴小正方形的边长＝8﹣6＝2，∴小正方形的面积＝22＝4故答案为：4三．解答题（共10小题）21．（2024•南明区二模）如图，在正方形ABCD中，E是边CD的中点，点P是边AD上一点（与点A，D不重合），射线PE与BC的延长线交于点Q．（1）求证：△PDE≌△QCE；（2）过点E作EF∥BC交PB于点F，连接AF，当PB＝PQ时．求证：四边形AFEP是平行四边形．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝∠BCD＝90°，∴∠ECQ＝90°＝∠D．∵E是CD的中点，∴DE＝CE．在△PDE和△QCE中，∠D=∴△PDE≌△QCE（ASA）；（2）∵PB＝PQ，∴∠PBQ＝∠Q，∵AD∥BC，∴∠APB＝∠PBQ＝∠Q＝∠EPD，∵△PDE≌△QCE，∴PE＝QE，∵EF∥BC，∴EF是△PBQ的中位线，∴PF＝BF，即F为PB中点，∴在Rt△PAB中，AF＝PF＝BF，∴∠APF＝∠PAF，∴∠PAF＝∠EPD，∴PE∥AF，∵EF∥BQ∥AD，∴EF∥AP，∴四边形AFEP是平行四边形．22．（2024•南明区二模）如图，AB是⊙O的一条弦，⊙O的直径CD⊥AB于点E，连接AC，BO，延长BO交AC于点F，交⊙O于点G，连接AG．（1）求证：△AGF∽△COF；（2）若劣弧AB对应的圆心角的度数为120°，求∠ACD的度数；（3）若tan∠CAE＝2，探究线段AE，OE之间的数量关系，并说明理由．【解答】（1）证明：∵AB⊥CD，∴∠AEC＝90°，∵BG为⊙O的直径，∴∠GAB＝90°，∴∠AEC＝∠GAB＝90°，∴GA∥CD，∴∠GAF＝∠OCF，又∵∠GFA＝∠OFC，∴△AGF∽△COF；（2）解：连接OA，如图，∵劣弧AB对应的圆心角的度数为120°，∴∠AOB＝120°，∵OD⊥AB，∴AD=∴∠AOD＝∠BOD=12∴∠ACD=12∠（3）解：OE=34∵tan∠CAE＝2，tan∠CAE=CE∴CEAE设AE＝x，则CE＝2x，设圆的半径为r，∵OC为⊙O半径，∴OC＝OA＝r，∴OE＝2x﹣r，在Rt△AOE中，由勾股定理得：OA2＝OE2+AE2，∴r2＝（2x﹣r）2+x2，∴r=54∴OA=54∴OE=O∴OE=3423．（2024•南明区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，以CB，CD为边作▱DCBE，DE交AB于点F．（1）若∠A＝50°，求∠E的度数．（2）若AD＝3CD，BC＝6，求EF．【解答】解：（1）在△ABC中，∵∠A＝50°，AB＝AC，∴∠C＝∠ABC＝（180°﹣50°）÷2＝65°，∵四边形BCDE是平行四边形，∴∠E＝∠C＝65°；（2）∵AD＝3CD，∴ADAC∵四边形DCBE是平行四边形，∴DE∥BC，DE＝BC＝6．∴DFBC∴DF=34∵BC＝6，∴DF=9∴EF＝ED﹣DF＝6-924．（2024•云岩区二模）如图，等边△ABC内接于⊙O，P是AB上任一点（点P不与点A、B重合），连接AP、BP，过点C作CM∥BP交PA的延长线于点M．（1）求∠APC和∠BPC的度数；（2）求证：△ACM≌△BCP；（3）若PA＝1，PB＝2，求四边形PBCM的面积．【解答】（1）解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，∵BC=BC，∴∠APC＝∠ABC＝60°，∠BPC＝∠BAC＝60°；（2）证明：∵CM∥BP，∴∠BPM+∠M＝180°，∠PCM＝∠BPC，∵∠BPC＝∠BAC＝60°，∴∠PCM＝∠BPC＝60°，∴∠M＝180°﹣∠BPM＝180°﹣（∠APC+∠BPC）＝180°﹣120°＝60°，∴∠M＝∠BPC＝60°，又∵A、P、B、C四点共圆，∴∠PAC+∠PCB＝180°，∵∠MAC+∠PAC＝180°∴∠MAC＝∠PBC∵AC＝BC，在△ACM和△BCP中，∠M=∴△ACM≌△BCP（AAS）；（3）解：∵CM∥BP，∴四边形PBCM为梯形，作PH⊥CM于H，∵△ACM≌△BCP，∴CM＝CP，AM＝BP，又∠M＝60°，∴△PCM为等边三角形，∴CM＝CP＝PM＝PA+AM＝PA+AMB＝1+2＝3，在Rt△PMH中，∠MPH＝30°，∴PH=3∴S四边形PBCM=12（PB+CM）×PH=125．（2024•南明区二模）综合与实践：综合与实践课上，老师带领同学们以“矩形和平行四边形的折叠”为主题开展数学活动．（1）操作判断：如图1，先用对折的方式确定矩形ABCD的边AB的中点E，再沿DE折叠，点A落在点F处，把纸片展平，延长DF，与BC交点为G．请写出线段FG与线段BG的数量关系FG＝BG；（2）迁移思考：如图2，把▱ABCD按照（1）中的操作进行折叠和作图，请判断FG，BG这两条线段之间的数量关系，并仅就图2证明你的判断．（3）拓展探索：如图1，若AB＝2，按照（1）中的操作进行折叠和作图，请直接写出当CG＝1时AD的值．【解答】解：（1）连接EG，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝90°，∵点E是AB的中点，∴AE＝BE，由折叠知，AE＝EF，∴EF＝EB，在Rt△EFG和Rt△EBG中，EF=EBEG=EG∴Rt△EFG≌Rt△EBG（HL），∴FG＝BG，故答案为：FG＝BG；（2）FG＝BG，证明如下：连接FB，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A+∠B＝180°，∵点E是AB的中点，∴AE＝BE，由折叠知，AE＝EF，∠A＝∠DFE，∠DFE+∠EFG＝180°，∴EF＝EB，∠EBG＝∠EFG，∴∠EFB＝∠EBF，∵∠EFB+∠BFG＝∠EBF+∠FBG，∴∠BFG＝∠FBG，∴FG＝BG；（3）∵四边形ABCD是矩形，AB＝2，∴CD＝AB＝2，∴DG=C令AD＝x，则DF＝AD＝x，由（1）知FG＝BG＝x﹣1，∴x+x﹣1=5解得x=5即AD的长为5+126．（2024•观山湖区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，且AE∥CD，CE∥AB．（1）证明：四边形ADCE是菱形；（2）若∠B＝60°，BC＝6，求菱形ADCE的面积．（计算结果保留根号）【解答】（1）证明：∵AE∥CD，CE∥AB，∴四边形ADCE是平行四边形，又∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，∴CD=12AB＝BD＝∴平行四边形ADCE是菱形；（2）解：过点D作DF⊥CE，垂足为点F，如图所示：DF即为菱形ADCE的高，∵∠B＝60°，CD＝BD，∴△BCD是等边三角形，∴∠BDC＝∠BCD＝60°，CD＝BC＝6，∵CE∥AB，∴∠DCE＝∠BDC＝60°，又∵CD＝BC＝6，在Rt△CDF中，DF＝CDsin60°＝6×32=∴菱形ADCE的面积为6×33=18327．（2024•观山湖区二模）如图，在△ABC的边BC上取一点O，以O为圆心，OC为半径画⊙O，⊙O与边AB相切于点D，AC＝AD，连接OA交⊙O于点E，连接CE，并延长交线段AB于点F．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若BC＝6，cosB=35，求⊙（3）在（2）的条件下，若F是AB的中点，求CE•CF的值．【解答】（1）证明：连OD，在△AOC和△AOD中，AC=ADAO=AO∴△AOC≌△AOD（SSS），∴∠ACO＝∠ADO，∵AB与⊙O相切，∴OD⊥AB，∴∠ADO＝90°，∴∠ACO＝90°，∴OC⊥AC，∵OC为半径，∴AC是⊙O切线；（2）解：连接OD，∵cosB=BCAB=∴AB＝10，∴AC=A∴AD＝AC＝8，∴BD＝2，∵cosB=BD∴OB=10∴OC＝BC﹣OB=8∴⊙O半径为83（3）解：∵F为AB的中点，∠ACB＝90°，∴AF＝CF＝BF，∴∠FCB＝∠FBC，∵OC＝OE，∴∠OCE＝∠OEC，∴∠OEC＝∠FBC，∴△OCE∽△FCB，∴CEBC∴CEBC∴CE•CF＝OE•BC=828．（2024•观山湖区二模）小瑞同学在进行数学探究活动中发现：将矩形ABCD绕点C顺时针方向旋转α（0＜α＜180°）得到矩形EFGC．[探究1]如图①，当α＝30°时，点E在AD上，连接BE，求∠AEB的度数；[探究2]如图②，连结BD，FC，过点E作EM∥FC交BD于点M．证明：BM＝EM；[探究3]在探究2的条件下，射线BD分别交EC，FC于点P，N，如图③，探究线段BN，MN，PN之间的数量关系