2024年广东省惠州市惠阳区崇雅中学中考数学三模试卷

第1页（共1页）2024年广东省惠州市惠阳区崇雅中学中考数学三模试卷一.选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）2024的相反数是（）A．2024 B．﹣2024 C． D．2．（3分）下列运算正确的是（）A．a2+a3＝2a6 B．（b2）3＝b5 C．a6÷a2＝a3 D．（﹣2a）2＝4a23．（3分）5G是第五代移动通信技术，5G网络理论下载速度可以达到每秒1300000KB以上．用科学记数法表示1300000是（）A．13×105 B．1.3×105 C．1.3×106 D．1.3×1074．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．5．（3分）已知关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣（2k+1）x+k﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（）A． B．k≠﹣1 C．且k≠﹣1 D．且k≠﹣16．（3分）如图所示，直线a∥b，∠2＝31°，则∠1＝（）A．61° B．60° C．59° D．58°7．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数（k为常数，k＞0，x＞0），过点A作x轴的垂线，垂足为B，则k的值（）A． B． C． D．8．（3分）某学校开办学校足球联赛，规定每两个班级球队之间都要进行一场比赛，共要比赛15场，根据题意，下面列出的方程正确的是（）A． B． C．x（x﹣1）＝15 D．x（x+1）＝159．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D，若∠AED＝20°，则∠BCD的度数是（）A．110° B．115° C．120° D．125°10．（3分）如图，在正方形ABCD中，点E是CD边上一点，过点P作PF⊥AE交BC于点F，连接AF交BD于点G；②DE+BF＝EF；③PB﹣PD＝；④S△APG＝．其中正确结论个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二.填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）分解因式：a3﹣a＝．12．（3分）在半径为6的圆中，100°的圆心角所对的扇形面积等于（结果保留π）．13．（3分）若+|y+1|＝0，则yx＝．14．（3分）若点（m，n）在函数y＝2x+1的图象上，则2m﹣n的值是．15．（3分）如图1，小言用七巧板拼了一个对角线长为6的正方形，再用这副七巧板拼成一个矩形（如图2所示）．16．（3分）如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时．三.解答题（一）（本大题4小题，第17，18题各4分，第19，20各6分，共20分）17．（4分）计算：．18．（4分）先化简，再求值：，请在﹣2，0，1中选择一个你喜欢的数作为x的值代入，并求代数式的值．19．（6分）如图，已知△ABC．（1）实践与操作：利用尺规作边AC的垂直平分线，交边BC于点D（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）；（2）应用与计算：连接AD，若∠B＝50°，∠C＝30°20．（6分）在学习《解直角三角形》一章时，小明同学对互为倍数的两个锐角正切三角比产生了浓厚的兴趣，进行了一些研究．（1）初步尝试：我们知道：tan60°＝，tan30°＝，发现结论：tan2A2tanA；（选填“＝”或“≠”）（2）实践探究：如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，求的值；小明想构造包含的直角三角形：延长CA至点D，使得DA＝AB，所以，即转化为求∠D的正切值．请按小明的思路求解四.解答题（二）（本大题3小题，第21题8分，第22，23题10分，共28分）21．（8分）3月14日被定为“国际数学日”，某校数学兴趣小组为调查学生对相关知识的了解情况，从全校学生中随机抽取n名学生进行测试，并绘制成如下的频数分布直方图和扇形统计图．（1）m＝，n＝，补全频数分布直方图；（2）在扇形统计图中，“70～80”这组的扇形圆心角为；（3）测试结束后，九年级一班从本班获得优秀（测试成绩≥80分）的甲、乙、丙、丁四名同学中随机抽取两名宣讲数学知识22．（10分）新能源汽车有着动力强油耗低的特点正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车4S店决定采购新能源甲型和乙型两款汽车，已知每辆甲型汽车的进价是每辆乙型汽车的进价的1.2倍，若用1800万元购进甲型汽车的数量比1400万元购进乙型汽车的数量多10辆．（1）甲型和乙型汽车的进价分别为每辆多少万元？（2）该公司决定用不多于1120万元购进甲型和乙型汽车共100辆，最多可以购买多少辆甲型汽车？23．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）过A（﹣2，0），B（6，0），其对称轴交x轴于点D，CF⊥AE于点F．（1）求抛物线的函数关系式；（2）判断△ABC的形状，并证明；（3）是否存在点E的位置，使△ACF与△BOC相似？若存在，请求出所有满足条件的点E的坐标，请说明理由．五.解答题（三）：（本大题共2小题，每小题12分，共24分）24．（12分）约定：若三角形一边上的中线将三角形分得的两个小三角形中有一个三角形与原三角形相似，我们则称原三角形为关于该边的“优美三角形”．例如，如图1，AD为边BC上的中线，△ABD与△ABC相似（1）在图2中的△ABC中，若，则△ABC（填“是”或“不是”）关于边BC的“优美三角形”；（2）如图3，已知△ABC为关于边BC的“优美三角形”，点D是△ABC边BC的中点；（3）已知△ABC为关于边BC的“优美三角形”，BC＝4，∠B＝30°25．（12分）在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝5，AD＝2，点P为BC边上一点，将DP绕点D逆时针旋转90°得到线段DQ，连接PQ．（1）BD＝，DP的最小值是；（2）当∠BPQ＝15°时，求BP的长；（3）连接BQ，若△BDQ的面积为3，求tan∠BDQ的值．

2024年广东省惠州市惠阳区崇雅中学中考数学三模试卷参考答案与试题解析一.选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）2024的相反数是（）A．2024 B．﹣2024 C． D．【解答】解：2024的相反数是﹣2024，故选：B．2．（3分）下列运算正确的是（）A．a2+a3＝2a6 B．（b2）3＝b5 C．a6÷a2＝a3 D．（﹣2a）2＝4a2【解答】解：A、a2与a3不是同类项，不能进行合并，不符合题意；B、（b4）3＝b6，故B项运算错误，不符合题意；C、a2÷a2＝a4，故C项运算错误，不符合题意；D、（﹣7a）2＝4a7，故D项运算正确，符合题意；故选：D．3．（3分）5G是第五代移动通信技术，5G网络理论下载速度可以达到每秒1300000KB以上．用科学记数法表示1300000是（）A．13×105 B．1.3×105 C．1.3×106 D．1.3×107【解答】解：1300000＝1.3×104，故选：C．4．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；B、是轴对称图形，故此选项不合题意；C、是轴对称图形，故此选项正确；D、是轴对称图形，故此选项不合题意；故选：C．5．（3分）已知关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣（2k+1）x+k﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（）A． B．k≠﹣1 C．且k≠﹣1 D．且k≠﹣1【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣（4k+1）x+k﹣1＝2有实数根，∴b2﹣4ac＝[﹣（5k+1）]2﹣3（k+1）（k﹣1）≥8，k+1≠0，解得：k≥﹣且k≠﹣1．故选：D．6．（3分）如图所示，直线a∥b，∠2＝31°，则∠1＝（）A．61° B．60° C．59° D．58°【解答】解：∵a∥b，∴∠1＝∠DBC，∵∠DBC＝∠A+∠2，＝28°+31°＝59°．故选：C．7．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数（k为常数，k＞0，x＞0），过点A作x轴的垂线，垂足为B，则k的值（）A． B． C． D．【解答】解：△AOB的面积为，所以．故选：A．8．（3分）某学校开办学校足球联赛，规定每两个班级球队之间都要进行一场比赛，共要比赛15场，根据题意，下面列出的方程正确的是（）A． B． C．x（x﹣1）＝15 D．x（x+1）＝15【解答】解：根据题意得：x（x﹣8）＝15．故选：A．9．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D，若∠AED＝20°，则∠BCD的度数是（）A．110° B．115° C．120° D．125°【解答】解：连接AC，如图，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠ACD＝∠AED＝20°，∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°+20°＝110°．故选：A．10．（3分）如图，在正方形ABCD中，点E是CD边上一点，过点P作PF⊥AE交BC于点F，连接AF交BD于点G；②DE+BF＝EF；③PB﹣PD＝；④S△APG＝．其中正确结论个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，PF⊥AP，∴∠APF＝∠ABC＝∠ADE＝∠C＝90°，AD＝AB，∵∠ABC+∠APF＝180°，∴∠BAP+∠BFP＝180°，∴点A、B、F、P四点共圆，∴∠AFP＝∠ABD＝45°，∴△APF是等腰直角三角形，∴AP＝PF，故①正确；②把△AED绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，如图所示：∴DE＝BH，∠DAE＝∠BAH，AH＝AE，∴∠HAF＝∠EAF＝45°，∵∠ABH+∠ABF＝180°，∴H、B、F三点共线，又∵AF＝AF，∴△AEF≌△AHF（SAS），∴HF＝EF，∠AFE＝∠AFB∵HF＝BH+BF，∴DE+BF＝EF，故②正确；③连接AC交BD于O，在BP上截取BM＝DP，如图所示：∴OB＝OD，BD⊥AC，∴OP＝OM，△AOB是等腰直角三角形，∴，由①可得点A、B、F、P四点共圆，∴∠APO＝∠AFB，∵∠ABF＝∠AOP＝90°，∴△AOP∽△ABF，∴，∴，∵BP﹣DP＝BP﹣BM＝PM＝7OP，∴，故③正确；④由③可得，∵∠AFB＝∠AFE＝∠APG，∠FAE＝∠PAG，∴△APG∽△AFE，∴，∴，∴，故④正确；综上所述：以上结论正确的有①②③④；故选：D．二.填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）分解因式：a3﹣a＝a（a+1）（a﹣1）．【解答】解：a3﹣a，＝a（a2﹣7），＝a（a+1）（a﹣1）．故答案为：a（a+4）（a﹣1）．12．（3分）在半径为6的圆中，100°的圆心角所对的扇形面积等于10π（结果保留π）．【解答】解：根据扇形的面积公式S扇形＝πr2，得S扇形＝π×62＝10π．故答案为：10π．13．（3分）若+|y+1|＝0，则yx＝1．【解答】解：∵+|y+1|＝2，∴x﹣2＝0且y+6＝0，解得x＝2，y＝﹣8，则yx＝（﹣1）2＝7，故答案为：1．14．（3分）若点（m，n）在函数y＝2x+1的图象上，则2m﹣n的值是﹣1．【解答】解：∵点（m，n）在函数y＝2x+1的图象上，∴7m+1＝n，即2m﹣n＝﹣4．故答案为：﹣1．15．（3分）如图1，小言用七巧板拼了一个对角线长为6的正方形，再用这副七巧板拼成一个矩形（如图2所示）3．【解答】解：∵正方形对角线为6，∴①和②的直角边为3，∴长方形的长为3，宽为3，∴长方形的对角线长为＝8，故答案为：3．16．（3分）如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时60°．【解答】解：如连接BE，与AD交于点P，∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，∴PC＝PB，∴PE+PC＝PB+PE＝BE，即BE就是PE+PC的最小值，∵△ABC是等边三角形，∴∠BCE＝60°，∵BA＝BC，AE＝EC，∴BE⊥AC，∴∠BEC＝90°，∴∠EBC＝30°，∵PB＝PC，∴∠PCB＝∠PBC＝30°，∴∠CPE＝∠PBC+∠PCB＝60°，故答案为60°．三.解答题（一）（本大题4小题，第17，18题各4分，第19，20各6分，共20分）17．（4分）计算：．【解答】解：，＝＝2﹣7﹣1++3＝．18．（4分）先化简，再求值：，请在﹣2，0，1中选择一个你喜欢的数作为x的值代入，并求代数式的值．【解答】解：＝＝＝；∵x+1≠7，x+2≠0，∴x不能为﹣3，﹣1，2，∴x可取7或1，当x＝0时，原式＝．（或：当x＝1时，原式．）19．（6分）如图，已知△ABC．（1）实践与操作：利用尺规作边AC的垂直平分线，交边BC于点D（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）；（2）应用与计算：连接AD，若∠B＝50°，∠C＝30°【解答】解：（1）如图，EF即为所求；（2）∵点D为边AC的垂直平分线与BC的交点，∴DA＝DC，∴∠DAC＝∠C＝30°，∴∠ADC＝180°﹣∠C﹣∠DAC＝120°．∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∴∠BAD＝∠ADC﹣∠B＝70°．20．（6分）在学习《解直角三角形》一章时，小明同学对互为倍数的两个锐角正切三角比产生了浓厚的兴趣，进行了一些研究．（1）初步尝试：我们知道：tan60°＝，tan30°＝，发现结论：tan2A≠2tanA；（选填“＝”或“≠”）（2）实践探究：如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，求的值；小明想构造包含的直角三角形：延长CA至点D，使得DA＝AB，所以，即转化为求∠D的正切值．请按小明的思路求解【解答】解：（1）根据特殊角的三角函数值可知，tan60°＝，tan30°＝，由此可见，tan60°≠tan30°．故答案为：，，≠．（2）在Rt△ABC中，AB＝，因为DA＝AB，所以DA＝，∠D＝∠ABD，所以CD＝+2．又因为∠BAC＝∠D+∠ABD，所以∠D＝∠BAC．在Rt△BCD中，tanD＝＝，即tan∠BAC＝．四.解答题（二）（本大题3小题，第21题8分，第22，23题10分，共28分）21．（8分）3月14日被定为“国际数学日”，某校数学兴趣小组为调查学生对相关知识的了解情况，从全校学生中随机抽取n名学生进行测试，并绘制成如下的频数分布直方图和扇形统计图．（1）m＝16，n＝50，补全频数分布直方图；（2）在扇形统计图中，“70～80”这组的扇形圆心角为72°；（3）测试结束后，九年级一班从本班获得优秀（测试成绩≥80分）的甲、乙、丙、丁四名同学中随机抽取两名宣讲数学知识【解答】解：（1）n＝12÷24%＝50．m%＝×100%＝16%，∴m＝16．故答案为：16；50．测试成绩为90～100（含100）的人数为50﹣4﹣8﹣10﹣12＝16（人）．补全频数分布直方图如图所示．（2）在扇形统计图中，“70～80”这组的扇形圆心角为360°×．故答案为：72°．（3）画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中恰好抽到甲、乙甲，∴恰好抽到甲、乙两名同学的概率为．22．（10分）新能源汽车有着动力强油耗低的特点正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车4S店决定采购新能源甲型和乙型两款汽车，已知每辆甲型汽车的进价是每辆乙型汽车的进价的1.2倍，若用1800万元购进甲型汽车的数量比1400万元购进乙型汽车的数量多10辆．（1）甲型和乙型汽车的进价分别为每辆多少万元？（2）该公司决定用不多于1120万元购进甲型和乙型汽车共100辆，最多可以购买多少辆甲型汽车？【解答】解：（1）设乙型汽车的进价为每辆x万元，则甲型汽车的进价为每辆1.2x万元，依题意得：，解得：x＝10，经检验，x＝10是方程的解，答：甲型汽车的进价为每辆12万元，乙型汽车的进价为每辆10万元；（2）设购买m辆甲型汽车，则购买（100﹣m）辆乙型汽车，依题意得：12m+10（100﹣m）≤1120，解得：m≤60，答：最多可以购买60辆甲型汽车．23．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）过A（﹣2，0），B（6，0），其对称轴交x轴于点D，CF⊥AE于点F．（1）求抛物线的函数关系式；（2）判断△ABC的形状，并证明；（3）是否存在点E的位置，使△ACF与△BOC相似？若存在，请求出所有满足条件的点E的坐标，请说明理由．【解答】解：（1）由题意，y＝a（x+2）（x﹣6）＝a（x7﹣4x﹣12）＝ax2+bx+7，则﹣12a＝2，解得：a＝﹣，∴函数关系式为；（2）△ABC直角三角形，理由：证明：由题意，OA＝2，，∵，∠AOC＝∠COB＝90°∴∠AOC∽△COB，∴∠ACO＝∠OBC，∵∠OBC+∠OCB＝90°，∴∠ACO+∠OCB＝90°，即∠ACB＝90°，∴△ABC是直角三角形；（3）存在，理由：由题意，，则，∴∠CAB＝60°，∠ACO＝30°，∴∠ABC＝30°，∠OCB＝60°，则AC＝2OA＝4，∵△ACF与△BOC相似，则∠CAF＝30°或60°，如图，当∠CAF＝30°时，设AE交y轴于点H，作HN⊥AC于点N，在△ACH中，AC＝8，则CH＝＝，则点H（0，），由点A、H的坐标得x+，当x＝2时，y＝＝，即点E的坐标为；当∠CAF＝60°时，则AF和x轴重合，此时，故点E的坐标为：（6，0）；综上，点E的坐标为，6）．五.解答题（三）：（本大题共2小题，每小题12分，共24分）24．（12分）约定：若三角形一边上的中线将三角形分得的两个小三角形中有一个三角形与原三角形相似，我们则称原三角形为关于该边的“优美三角形”．例如，如图1，AD为边BC上的中线，△ABD与△ABC相似（1）在图2中的△ABC中，若，则△ABC是（填“是”或“不是”）关于边BC的“优美三角形”；（2）如图3，已知△ABC为关于边BC的“优美三角形”，点D是△ABC边BC的中点；（3）已知△ABC为关于边BC的“优美三角形”，BC＝4，∠B＝30°【解答】（1）解：∵AD为边BC上的中线，，∴，∴，∵∠B＝∠B，∴△ABD∽△CBA，∴△ABC是关于边BC的“优美三角形”，故答案为：是．  （2）证明：如图，∵△ABC为关于边BC的“优美三角形”，∴△CAD∽△CBA，∴∠CAD＝∠CBA，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠CBA，∴∠CAD＝∠OAB，∵BD是⊙O的直径，∴∠OAB+∠OAD＝90°，∴∠CAD+∠OAD＝90°，∴OA⊥AC，∵OA是⊙O的半径，∴直线AC与⊙O相切；（3）解：如图，过点A作AE⊥BC于E，∵△ABC为关于边BC的“优美三角形”，BC＝4，∴，若△BAD∽△BCA，则AB8＝