TITO系统的PID控制器设计方法

TITO系统的PID控制器设计方法作者：M.Zhuang，D.P.Atherton

关键词：控制理论，控制系统，过程控制摘要：本文提供了一种双输入双输出系统（TITO）的对角线PID控制器的设计方法。首先，给出了一种新的TITO系统自整定程序，这种设计方法是基于通过移动临界点，补偿特征值的方法，从而达到期望的状态。其次，提供了一种利用积分标准的优化方法。通过下面的例子来说明两种方法。概述虽然控制理论取得了令人瞩目的进步，但数十年前就出现的PID控制器，至今广泛应用于流程工业。对于一个单输入单输出的系统，有很多途径来被用来确定PID控制器的参数。一些方法使用了开环设备的单步反馈信息。例如，Coon-Cohen反馈曲线法，以及其它一些方法，都使用了Nyquist曲线法的知识，现在常常用来自动控制，例如Ziegler-Nichols、Astrom-Hagglund、和Zhuang-Atherton频率响应法。其它一些方法用积分执行标准优化，举例来说，时间加权积分的误差平方和准则，是可能提供良好的PID控制器的设置，但需要了解一个设备的传递函数模型。多于一个可变量必需要控制的过程，称为多输入多输出（MIMO）过程，这是经常会遇到的。相比于一个SISO系统，MIMO系统的PID控制器更难设计，因为在MIMO系统的内部，存在着不同的控制回路，之间相互影响。一种SISO系统的自整定方法不一定适用于MIMO系统。最常见的MIMO系统形式就是双输入双输出系统（TITO），本文的目的就是为了报告对于这种系统一种新的PID自整定方法。假设，对于耦合系统，对角线PID控制器可以提供令人满意的控制结果。如果不是，那么控制器可能需要提供一个解耦或对角占优开环响应，使独立的回路调节都可以使用。首先，一种新的自整定程序已经给出，这个程序用于调整TITO系统的对角PID控制器参数。在程序中，两个实时控制器用于确定临界点的参数，然后从实测的临界点数据计算PID控制器参数。这种方法使用了Ziegler-Nichols整定公式，并采用了一种新的整定程序，本文中将对其进行介绍，它使用了过程的特征点。在此方法中，PID控制器参数，建立在移动临界点到一个理想的位置上，从而补偿特征值或者特征点的概念上。其次，参考文献3中的优化程序，是确定TITO系统的PID控制器参数的扩展。提出了使用整体性能准则损失函数的几种形式的，其中考虑了两个环路之间的互动关系。自整定的优势在于，当过程中没有数学模型有效时仍能够使用。一个衡量有效性的方法是，对这些已经优化的结果进行比较。TITO系统的PID控制器的自整定自整定技术，在SISO系统中对PID控制器进行整定已经成功地采用，这在参考文献1中有过介绍。在中继控制器中，被用来确定临界点的数据，这些数据也是用来确定PID参数。本文将这种方法扩展到TITO系统。一般性的Ziegler-Nichols方法Ziegler-Nichols设计方法是一种非常受欢迎的启发式工具，用在过程控制工程中确定SISO系统的PID控制器参数。1971年，Niederlinski提出了一种将确定MIMO系统的临界频率和临界增益进行扩展的方法，用于给出对角PID控制器的参数。这种程序方法，也称为一般性的Ziegler-Nichols方法，简要介绍如下：为N个控制变量的相对控制质量选择N个加权因子Ci（i=1,……,n）使用最好的输入输出配对配置，然后把P-控制系统提到一个稳定的振荡器中，在闭环增益中保持以下关系确定临界频率Q，从振荡周期T，和临界控制增益Kc,i，对于给定的系统振荡刚开始时的Kp.i。确定控制器参数，通过一般Ziegler-Nichols整定公式，列于表1。表SEQ表\*ARABIC1Ziegler-Nichols整定的一般规则检查相对的质量控制是否满意的。如果不，则适当地改变ci的值，并返回到步骤2。ci的选择对控制器性能产生影响，这一点将在后面详细讨论。自整定程序为使用一般性的Ziegler-Nichols整定公式来确定PID控制器的参数，必须得到多变量系统的临界频率和临界增益。在Niederlinski比例控制器提供的设计方法中，被用于在每个回路中，通过增加控制器增益，以获取一个稳定的振荡。这个程序不容易自动运行，也难以保持振幅在一个合理的水平。因此，提出了一个使用两个中继控制器来替换TITO系统的对角PID控制器在临界点的数据。该自整定程序的流程如下：给定过程的稳态增益，可以由开环响应和最佳配对设置确定。最佳配对设置可以通过改变输入输出得到，这在参考文献5中有描述。当系统设置为整定模式，两个对角中继控制器用来取代两个对角规管（图1），并且通过调整中继控制器的开关幅度来得到每个回路的临界点。因此2个对角回路的Kci和ωc.i可以被替换掉。当系统还在整定模式中，把中继控制器的两个高峰间的比值（η=h1/h2）调整到一个合适的值，从而计算得到周期Tcr和振幅Ai。η的取值稍后介绍，但一个好的初始值能够满足h1/A1=h2/A2。然后临界频率Ωc、临界增益Kc.i由下式近似导出。对角PID控制器的参数可通过表1中的Ziegler-Nichols整定公式的一般形式得到，其中用于比例增益的系数ai，可以使用式1种的α1替代，或者使用特制点设计法，这将在下一节介绍。PID控制器完成整定，并替代了控制模式。合适的检查方式是确认控制质量是否满意。如果不满意，则返回到第3步，通过2个峰值之间的比值η，来改变Ziegler-Nichols整定公式的一般形式中的系数ci。极限环的确定可能存在于TITO系统中，确定一个极限环的一般问题时相当复杂，已经有多种程序已经编写出来解决这种情况。没有见到的规则可以用来确定极限环是否存在一个主要频率，或者存在联合模式振荡、锁定谐波振荡的现象，甚至混沌运动的发生可能。图1所示的系统可能发生这些现象。例如，两个耦合回路的振荡频率大约为1到3，然后一个小数值的耦合通常会导致两个频率继续存在，而大数值的耦合将产生一个1到3的同步频率。典型的控制形式传递函数，但设备的传递矩阵的传递函数的带宽往往相似，根据这种情况，如图1中的两个中继，通常是一个有主要单频的极限环。为在这种情况下，描述函数方法可以用来近似地分析多变量系统与非线性元件的行为特点。图SEQ图\*ARABIC1TITO系统的自整定假设输入信号金融中继器是正弦波，用向量x表示，那么中继设备可以用函数矩阵N(a)=diag{N1,N2}表示。如果存在振荡，则需要G(jw)N(a)x=-x，或者因此，极限环存在的条件是：这就是所谓的特征方程系统，对于TITO系统可以写成：其中Ni是第i个中继设备的等效频率传递函数。然后得到频率和振幅，因为如果回路中的极限环被假设为，在相同的频率下输入信号的向量x可以表示为：且式4可写为因此，4个未知变量ω1，a1，a2和Φ可以通过式7得到，通过将其转换为正弦或者余弦，并使用几种数值计算方法，如下：这表明式6和式8的解是相同的，因此振荡频率相同，而临界增益可以用式3得到。另一方面，实际上中继控制的输入不会是严格的正弦，所以通过式3得到的临界增益只是近似值。选择两个中继峰值间的比值将影响PID控制器参数的确定。一般来说，较大的比值hi/hj用来确定临界点的数据，从而整定PID控制器，得到更好的回路i的效果，以回路j作为代价。在特殊情况下，当两个回路的输入端振荡有相同的相位，则表明两者的临界增益可以由下式得到：当系统处于一个稳态的极限环时，上式可以很容易的从式7和式3导出。式9中的Kij(i,j=1,2)是过程传递函数的稳态增益。从式9可以发现，对某一特定的系统而言，两个临界增益的比值取决于两个中继峰值因此，TITO系统的比例控制器的稳定区域，可以由中继控制近似导出。通过改变两个中继设备峰值的比值，可以确定两个回路的临界增益，并且稳态区域可以由一个回路的临界增益来划定。考虑将一个三阶TITO系统的传递函数：其中正耦合k12=1，负耦合k12=-1。图2显示了该过程的稳态区域。图SEQ图\*ARABIC2一个三阶TITO系统的稳态区域使用特征轨迹的设计方法移动一个过程的开环Nyquist曲线的临界点到一个理想位置的想法，已经被用于确定SISO系统的PID控制器参数，在第1和第10参考文献中有介绍。在这节中，这个方法将进一步推广，用于设计TITO系统的对角线PID控制器。多变量系统的稳态可以从它的特征值或者特征点来确定，类似与一个SISO系统，它的稳态可以从Nyquist轨迹来推导得到。特征点的方法也可以推广，通过非线性对角矩阵来确定TITO系统的极限环。当系统处于中继控制下，由中继输出等级确定的振荡频率，改变了每个回路的临界增益，来实现耦合振荡。当振荡频率Ωc为h1A2/h2A1=1时，临界增益Kc.1和Kc.2相等。通常，频率位于设备传递函数的特征点，且是一个较大的规模相互交错的负面实轴上，如图3所示。对于特殊情况，当过程传递函数矩阵有一个共同点，并常数项，则频率Ωc位于双方特征点提供的特征轨迹的-180图SEQ图\*ARABIC3TITO过程的特征轨迹该设计方法的目的是在近似的特征轨迹上修改增益和相位，以改善闭环响应。此外，通过自整定程序，在没有先验知识的动态过程，也可为TITO过程确定PID控制器参数。假设过程开环稳定，且临界频率和临界增益Ωc、Kc.1、Kc.2和对角PID控制器的传递函数如下所示：系统返回比例矩阵G(s)Gc(s)有下式得出：其中µi(s)为系统特征点。在临界频率，控制器传递函数矩阵可表示为两个对角矩阵，例如：控制器增益和相位的选择，将影响补偿系统的特征点。如果选择两个相同的控制器，那么每个过程的特征值乘以控制器的传递函数，可得到补偿系统的特征值，如：其中λ是过程的特征点，Gcj(jω)是控制器设备的传递函数。这意味着，通过控制器独立地调整补偿系统的两个特征点，临界频率可以移动到振荡频率所产生的特征轨迹上的任意位置。进而，控制器增益由临界增益选择，且两个相位相同，如：然后有：若Kb=I，特征点之一将相交在负实轴的(-1,0)上，而Kc.1和Kc.2时临界增益。在大多数情况下，这是外特征轨迹，但是否是可证明由极限环确定的情况，需要一个设备传递矩阵。这将在例1中进一步讨论。给予所需的在频率R下，特征轨迹的参数Φ和规模m，如下得到：去Tii=αTdi，然后得到：其中下标i表明，回路i中的控制器，与积分时间和微分时间之间是独立的。当m的值由特征轨迹的相位差Φ获得。如果增益差Gm是必需的，对于特定PID控制器的特征轨迹，则由下式确定：如果控制器的两个相位不等，那么补偿系统特征轨迹的运动方式无法确定。总而言之，在过程特征点λ上，对角PID控制器的作用可用式10的对数表示，分为规模和相位，分别为：和这些方程式表明，控制器产生的增益和相位分享两个特征点λi(jω)，组成新的特征点µi(jω)，所以补偿的特征点不能被转移到一个理想的位置。优化方法当知道过程模型的情况下，通过减少某些积分性能指标，可以得到最优的PID控制器设置。拟议时间加权的ISE准则，在参考文献3中已经成功地用于整定SISO系统的PID控制器。本节中，相同的程序将被用来整定TITO系统的控制器。假设TITO系统的结构如图1所示，那么TITO系统的错误信号矢量可以用返回不同矩阵表示，例如：其中R和Y是2×1的向量，G是2×2的给定过程传递函数矩阵，Gc是控制器传递函数矩阵。E(s)可由下式得到：其中Δ＝det|1+G(s)Gc(s)|通过减少积分性能来获取最优的PID设定，这是式19的功能之一。有很多种可能，在此，我们提出最接近实现的3种。首先，尽量减少通过约束其中ei/i是回路i的错误信号，yj/i是回路j的输出，当回路i有一个阶跃输入信号且其它回路没有输出时。或者最小化再次假设回路i仅有一个阶跃输入。或者最后使用目标函数的形式其中ei/i的定义与上面一致，而βi是F(ei/i)的权重因子。当第一组的两个目标函数被使用，且其中之一从期望的准则出发，那么通常会使第i个回路的表现好于其它回路。当两个回路之一比另一个更重要时，这些标准是有用的。下一节中所举的例子，仅考虑了第3个目标函数。当优化是使得所有参数不同，解决的方法也可能不是唯一的。唯一性的问题常常可以通过限制一两个参数来解决。有很多不同的标准可以被选做优化的目的。一些典型的如：所有这些表明，IAE可以用于再频率域中的评价分析；最近的结果表明ISTE一般可取。显然，如果某一个积分性能指标减至最低，有不同的输入输出控制器参数导致。例子软件实现的设计算法，已经作为一个Matlab程序的菜单了，这要求用Fortran写的程序，如使用NAG库程序的优化程序，雇用了序列二次规划算法。该程序的使用，以尽量减少任意光滑函数受到如式21范围内的变量、线形、非线性的限制。下面的3个例子说明了3种设计方法，称为一般性的Ziegler-Nichols，该方法使用了特征点和优化方法。例1：该例，在参考文献3种提到：其中D(s)=(1+0.1s)(1+0.2s)2。这不是一个典型的过程控制问题，因为设备不是对角域且有一个大且负的对角增益。在参考文献4中，给出的临界频率是8.6rd/s，两个临界均为8.25(C1/C2=1)。该频率大约在外特征轨迹的180°相位。首先考虑PI控制设计使用一般性的Ziegler-Nichols方法，在a2=0.45且βi=1时J3的ISTE优化。得到的控制器参数结果列在表2中，且相应阶跃响应显示在图4中。表SEQ表\*ARABIC2例1的PI控制器参数从这些响应看出，ISTE设计产生很好的结果，但是一般性的Ziegler-Nichols方法产生相当不理想的高频振动反应。PID控制器的设计方法均使用了上述两种方法，也使用了特征点。图SEQ图\*ARABIC4PI控制器的阶跃响应结果是对于3种设计方法的PID控制器设置在表3中给出。相应的设备特征点和使用这种方法的补偿系统在图5中给出。“*”表示在外特征轨迹的临界点位于1－135°，此处频率是8.6，从该设计方法确定的PID设置使用了特征点。表SEQ表\*ARABIC3例1的PID控制器设置图SEQ图\*ARABIC5临界点的移动图6显示了阶跃响应曲线，并显示了这种方法使用了特征点；且优化提供了更好的闭环特性，相对于一般性的Ziegler-Nichols方法在稳定时间减少方面。响应被认为是要明显优于那些PI控制。图SEQ图\*ARABIC6例1的阶跃响应，使用8.6rads/s作为临界频率图SEQ图\*ARABIC7例1中过程的特征点例2：一个四阶系统。过程的传递函数矩阵是其中D(s)=(1+s)(1+2s)2(1+0.5s)。若η=1，为测量振幅使用DF方法得到的两个中继算法增益是10.12和10.91，分别为在1.65rd/s的频率下。表4列出了在α3=0.6下，使用一般性Ziegler-Nichols方法得到的PID控制器参数，该设计方法使用了特征点，且使用目标函数的ISTE优化方法如前例一样。表SEQ表\*ARABIC4例2的PID控制器参数设置图SEQ图\*ARABIC8例1使用12.13rads/s作为临界频率的阶跃响应因为设计方法使用了特征点，临界点频率被移动到位于补偿特征轨迹在135°相位处，且一个数量级，使补偿特征轨迹有45°的相位裕度，这些在图9中有显示。图SEQ图\*ARABIC9例2的特征点对于优化方法，控制器增益的上限以经被设置为8，作为优化准则，而没有这个限制将收敛到高增益。一个更高的增益限制值，将产生更快的响应，但是会伴随更高的过冲，这在实际情况中可能是不能被接受的。闭环系统的阶跃增益结果显示在图10中。图SEQ图\*ARABIC10例2的阶跃响应这些表明使用特征点的方法，达到比使用一般性Ziegler-Nichols设置更好的响应时间，在过冲传感和减少稳定时间方面。优化方法提供最好的结果，但是这需要设备的完整数学模型。下面的整定结果可被考虑，当不同的η用于特征点方法。图11a显示了过程的稳定范围。选择3种不同的η值，即1.181、1/3和3，这些都在图中标注了。图11中，过程特征轨迹上-180°的点，是η=1.181时的临界频率，因为通过中继的增益此时相等。图SEQ图\*ARABIC11特征轨迹方法进而，对于这三种情况，在Ф=45°和m=1下，使用特征点方法确定PID控制器参数。结果统一列于表5，且系统的动态特性通过响应阶跃响应显示在图11c-h中，其中c、e和g表明了回路1在单位阶跃下的阶跃响应，d、f和h表明了回路2在单位阶跃下的阶跃响应。这清楚地表明，η的选择将影响闭环系统的特性，但并不显著。当给