2023年高考数学一模试卷

第=page11页，共=sectionpages11页2023年高考数学一模试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________题号一二三四总分得分注意事项:

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。

3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。第I卷（选择题）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知集合M={x|x(x−2)<0}，N={x|x−1<0}，则下列Venn图中阴影部分可以表示集合{x|1≤x<2}的是(

)A. B.

C. D.2.已知一个圆锥和圆柱的底面半径和高分别相等，若圆锥的轴截面是等边三角形，则这个圆锥和圆柱的侧面积之比为(

)A.12 B.22 C.3.已知函数f(x)=2x,x≥0−(12)xA.(−3,+∞) B.(−∞,−3) C.(3,+∞) D.(−∞,3)4.如图所示是中国2012−2021年汽车进、出口量统计图，则下列结论错误的是(

)

A.2012−2021年中国汽车进口量和出口量都是有增有减的

B.从2018年开始，中国汽车的出口量大于进口量

C.2012−2021年中国汽车出口量的第60百分位数是106万辆

D.2012−2021年中国汽车进口量的方差大于出口量的方差5.在复平面内，已知复数z满足|z−1|=|z+i|(i为虚数单位)，记z0=2+i对应的点为点Z0，z对应的点为点Z，则点Z0与点ZA.22 B.2 C.36.如图，在两行三列的网格中放入标有数字1，2，3，4，5，6的六张卡片，每格只放一张卡片，则“只有中间一列两个数字之和为5”的不同的排法有(

)A.96种 B.64种 C.32种 D.16种7.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，点B的坐标为(0,b)，若CA.(1,5+12] B.[8.水平桌面上放置了4个半径为2的小球，4个小球的球心构成正方形，且相邻的两个小球相切.若用一个半球形的容器罩住四个小球，则半球形容器内壁的半径的最小值为(

)A.4 B.22+2 C.2二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.如图，弹簧下端悬挂着的小球做上下运动(忽略小球的大小)，它在t(s)时刻相对于平衡位置的高度ℎ(cm)可以田ℎ=2sin(π2t+π4A.小球运动的最高点与最低点的距离为2cm

B.小球经过4s往复运动一次

C.t∈(3,5)时小球是自下往上运动

D.当t=6.5时，小球到达最低点

10.在四棱锥S−ABCD中，SD⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，若SD=AD，则(

)A.AC⊥SD

B.AC与SB所成角为60°

C.BD与平面SCD所成角为45°

D.BD与平面SAB所成角的正切值为11.已知抛物线E：y2=8x的焦点为F，点F与点C关于原点对称，过点C的直线l与抛物线E交于A，B两点(点A和点C在点B的两侧)，则下列命题正确的是(

)A.若BF为△ACF的中线，则|AF|=2|BF|

B.若BF为∠AFC的角平分线，则|AF|=6

C.存在直线l，使得|AC|=2|AF|

D.对于任意直线12.已知定义在R上的函数f(x)，对于给定集合A，若∀x1，x2∈R，当x1−x2∈A时都有f(xA.f(x)=x2是“[−1,1]封闭”函数

B.定义在R上的函数f(x)都是“{0}封闭”函数

C.若f(x)是“{1}封闭”函数，则f(x)一定是“{k}封闭”函数(k∈N∗)

D.若f(x)是“[a,b]封闭”函数(a,b∈第II卷（非选择题）三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量a,b满足|a|=2,|b|=4,(b−a)⋅a14.在平面直角坐标系中，等边三角形ABC的边AB所在直线斜率为23，则边AC所在直线斜率的一个可能值为

．15.已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)在[0,2]上单调递减，f(x+2)为偶函数，若f(x)=m在[0,12]上恰好有4个不同的实数根x1，x2，x3，x4，则x1+16.已知动圆N经过点A(−6,0)及原点O，点P是圆N与圆M：x2+(y−4)2=4的一个公共点，则当∠OPA最小时，圆N的半径为四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题10.0分)

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2A+cos2B−cos2C=1−2sinAsinB．

(1)求角C的大小；

(2)求sinA+sinB+sinC的取值范围．18.(本小题12.0分)

已知各项都是正数的数列{an}，前n项和Sn满足an2=2Sn−an(n∈N∗)．

(1)求数列{an}的通项公式．

(2)记Pn19.(本小题12.0分)

如图所示的在多面体中，AB=AD，EB=EC，平面ABD⊥平面BCD，平面BCE⊥平面BCD，点F，G分别是CD，BD中点．

(1)证明：平面AFG//平面BCE；

(2)若BC⊥BD,BC=BD=2,AB=2,BE=5，求平面AFG20.(本小题12.0分)

某商场为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放10个大小相同的小球，其中5个为红色，5个为白色.抽奖方式为：每名顾客进行两次抽奖，每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球.如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖，两个小球颜色不同即为不中奖．

(1)若规定第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，求中奖次数X的分布列和数学期望；

(2)若规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，求中奖次数Y的分布列和数学期望；

(3)如果你是商场老板，如何在上述问两种抽奖方式中进行选择？请写出你的选择及简要理由．21.(本小题12.0分)

已知点A，点B和点C为椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)上不同的三个点.当点A，点B和点C为椭圆的顶点时，△ABC恰好是边长为2的等边三角形．

(1)求椭圆C标准方程；

22.(本小题12.0分)

已知函数f(x)=xex+1．

(1)求f(x)的极值；

(2)当x>0时，f(x)≥(a+1)x+lnx+2，求实数a的取值范围．

答案和解析1.【答案】B

【解析】解：集合M={x|x(x−2)<0}={x|0<x<2}，N={x|x−1<0}={x|x<1}，

∴∁RM={x|x≤0或x≥2}，∁RN={x|x≥1}，

对于A，Venn图中阴影部分可以表示集合为M∩N={x|0<x<1}，故A错误；

对于B，Venn图中阴影部分可以表示集合为M∩(∁RN)={x|1≤x<2}，故B正确；

对于C，Venn图中阴影部分可以表示集合为N∩(∁RM)={x|x≤0}，故C错误；

对于D，Venn图中阴影部分可以表示集合为{x|x∈M∪N，且x∉M∩N}，

∵M∪N={x|x<2}，M∩N={x|0<x<1}，

∴{x|x∈M∪N，且x∉M∩N}={x|x≤0或1≤x<2}，故D错误．

故选：B．2.【答案】C

【解析】解：设圆锥和圆柱的底面半径为r，

因为圆锥的轴截面是等边三角形，

所以圆锥的母线长为l=2r，

则圆锥和圆柱的高为ℎ=4r2−r2=3r，

所以圆锥的侧面积为S1=12×2πr×l=2πr23.【答案】D

【解析】解：根据函数f(x)的图象，可得f(x)在R上单调递增，

若f(a)<f(6−a)，则有a<6−a，

∴2a<6，∴a<3，

则实数a的取值范围是(−∞,3)．

故选：D．

结合图象，可知f(x)在R上单调递增，由此解不等式f(a)<f(6−a)．

本题考查分段函数的单调性，属于基础题．

4.【答案】D

【解析】解：由条形图可知2012−2021年中国汽车进口量和出口量都是有增有减的，所以选项A正确；

由条形图可知从2018年开始，中国汽车的出口量大于进口量，所以选项B正确；

2012−2021年中国汽车出口量由小到大排列为：72.3，73，89.7，92，99，104，108，115，121.5，212，因此第60百分位数是104+1082=106，所以选项C正确；

由条形图可知2012−2021年中国汽车进口量的波动小于出口量的波动，因此2012−2021年中国汽车进口量的方差小于出口量的方差，所以选项D不正确，

故选：D．

根据条形图，结合百分位数、方差的性质逐一判断即可．

5.【答案】C

【解析】解：设z=x+yi(x,y∈R)，

∵|z−1|=|z+i|，

∴|x−1+yi|=|x+(y+1)i|，即(x−1)2+y2=x2+(y+1)2，化简整理可得，x+y=0，

∴复数z的对应点的轨迹x+y=0，

∵z0=2+i对应的点为点Z0(2,1)，

∴6.【答案】B

【解析】解：根据题意，分3步进行，

第一步，要求“只有中间一列两个数字之和为5”，则中间的数字只能为两组数1，4或2，3中的一组，共有2A22=4种排法；

第二步，排第一步中剩余的一组数，共有A41A21=8种排法；

第三步，排数字5和6，共有A22=2种排法；

由分步计数原理知，共有不同的排法种数为7.【答案】A

【解析】解：设P(x,y)，|PB|≥b⇒x2+(y−b)2≥b⇒x2+y2−2by≥0(∗)，

由x2a2−y2b2=1⇒x2=a2(1+8.【答案】C

【解析】解：要使半球形容器内壁的半径的最小，只需保证小球与18球各面(含球面部分)都相切，

此时，如上图示，O为半球的球心，A为其中一个小球球心，则OA是棱长为2的正方体的体对角线，且该小球与半球球面上的切点与O，A共线，

所以半球形容器内壁的半径的最小值为小球半径与OA长度之和，即23+2，

故选：C．

根据题设要使半球形容器内壁的半径的最小，保证小球与18球各面(含球面部分)9.【答案】BD

【解析】解：小球运动的最高点与最低点的距离为2−(−2)=4cm，所以选项A错误；

因为2ππ2=4，所以小球经过4s往复运动一次，因此选项B正确；

当t∈(3,5)时，π2t+π4∈(7π4,11π4)，所以是自下往上到最高点，再往下运动，因此选项C错误；

当t=6.510.【答案】ACD

【解析】解：选项A，因为SD⊥底面ABCD，AC⊂面ABCD，

所以AC⊥SD，因为四边形ABCD是正方形，

所以AC⊥BD，又BD∩SD=D，BD，SD⊂平面SBD，

所以AC⊥平面SBD，又SB⊂面SBD，

所以AC⊥SB，选项A正确；

选项B，因为AC⊥平面SBD，又SB⊂面SBD，

所以AC⊥SB，故选项B错误；

选项C，因为SD⊥底面ABCD，BC⊂面ABCD，

所以BC⊥SD，又四边形ABCD是正方形，

所以BC⊥CD，又CD∩SD=D，CD，SD⊂平面SCD，

所以BC⊥平面SCD，所以BD与平面SCD所成角为∠BDC，

易知∠BDC=45°，故选项C正确；

选项D，如图，取SA中点K，连DK，BK，

因为SD⊥底面ABCD，AB⊂面ABCD，所以AB⊥SD，

双四边形ABCD是正方形，所以AB⊥AD，又AD∩SD=D，

所以AB⊥平面SAD，DK⊂面SAD，所以AB⊥DK，

又SD=AD，所以DK⊥SA，SA∩AB=A，所以DK⊥面SAB，

所以BD与平面SAB所成角为∠DBK，

不妨设SD=AD=a，易知DK=2a2,BK=6a2，

在Rt△DKB，tan∠DBK=DKBK=2a26a2=33，故选项D正确．

故选：ACD．

对于选项A11.【答案】AD

【解析】解：由题意，不妨令A(x1,y1)，B(x2,y2)都在第一象限，

又C(−2,0)，F(2,0)，设l：x=ky−2，

联立E：y2=8x，可得y2−8ky+16=0，

则Δ=64(k2−1)>0，即k2>1，

∴y1+y2=8k，y1y2=16，

∴x1+x2=8k2−4,x1x2=4，如图所示，

A：若BF为△ACF的中线，则y2=y12，

∴y1=42，所以x1=4，故A(4,42)，

∴B(1,22)，则|AF|=2|BF|=6，故A正确；

B：若BF为∠AFC的角平分线，则|BC||AB|=|CF||AF|，

作AD，BE垂直准线x=−2于D，E，则|AF|=|AD|且|BC||AB|=|CE||DE|，

∴|CF||AD|=|CE||DE|，∴|CF||AD|+|CF|=|CE||CD|=|BE||AD|，

∴4x1+6=x12.【答案】BC

【解析】解：A：当x1=4，x2=3时，x1−x2=1∈[−1,1]，而f(x1)−f(x2)=16−9=7∉[−1,1]，错误；

B：对于区间{0}，∀x1，x2∈R使x1−x2=0，即x1=x2，必有f(x1)−f(x2)=0，

所以定义在R上的函数f(x)都是“{0}封闭”函数，正确；

C：对于区间{1}，∀x1，x2∈R使x1−x2∈{1}，则x1=x2+1，

而f(x)是“{1}封闭”函数，则f(x2+1)−f(x2)=1，即∀x∈R，都有f(x+1)=f(x)+1，

对于区间{k}，∀x1，x2∈R使x1−x2∈{k}，则x1=x2+k，k∈N∗，

而f(x2+k)=f(x2+k−1)+1，f(x2+k−1)=f(x2+k−2)+1，...，f(x2+1)=f(x2)+1，

所以f(x2+k)+f(x2+k−1)+...+f(x2+1)=f(x2+k−1)+f(x2+k−2)+...+f(x2)+k−1，

即f(x2+k)=f(x2)+k13.【答案】π3【解析】解：由(b−a)⋅a=0⇒b⋅a−a2=0⇒b⋅a=4，

设a与b的夹角为θ，则cosθ=a14.【答案】−33【解析】解：设直线AB的倾斜角为α，由已知得kAB=tanα=23，

设直线AC的倾斜角为θ，则kAc=tanθ，

因为在等边三角形ABC中，∠BAC=60°，所以θ=α±60°，

当θ=α+60°，tanθ=tan(α+60°)=tanα+tan60°1−tanαtan60∘=23+31−23×3=−335，

15.【答案】24

【解析】解：由f(x+2)为偶函数，则f(−x+2)=f(x+2)，故f(−x)=f(x+4)，

又f(x)是定义在R上的奇函数，则f(x)=−f(−x)，

所以f(x)=−f(x+4)，故f(x+4)=−f(x+8)，即有f(x)=f(x+8)，

综上，f(x)的周期为8，且关于x=2对称的奇函数，

由f(x)在[0,2]上单调递减，结合上述分析知：在[2,6]上递增，[6,10]上递减，[10,12]上递增，

所以f(x)在[0,12]的大致草图如下：

要使f(x)=m在[0,12]上恰好有4个不同的实数根，即f(x)与y=m有4个交点，

所以，必有两对交点分别关于x=2，x=10对称，则x1+x2+x3+x4=24．

故答案为：24．

由题设可得f(x)的周期为8，且关于x=2对称的奇函数，结合区间单调性判断[0,12]16.【答案】5

【解析】解：如图：

记圆N半径为R，∠OPA=θ，则∠ANO=2θ，∠BNO=θ，

所以sin∠OPA=sin∠BNO=|BO||ON|=3R，

当∠OPA最小时，R最大，此时两圆内切．

由已知设动圆N的圆心为N(−3,t)，

又圆心M(0,4)可得R−2=|MN|，

即(−3−0)2+(t−0)2−2=(−3−0)2+(t−4)2，

解得17.【答案】解：(1)因为cos2A+cos2B−cos2C=1−2sinAsinB，

所以1−2sin2A+1−2sin2B−(1−2sin2C)=1−2sinAsinB，

整理得sin2A+sin2B+sin2C=sinAsinB，

由正弦定理得a2+b2−c2=ab，

由余弦定理得cosC=a2+b2−c22ab=12，

因为C∈(0,π)，所以C=π【解析】(1)根据三角恒等变换和正弦定理得到a2+b2−c2=ab，进而由余弦定理得到C∈(0,π)，求出C=π3；18.【答案】解：(1)当n=1时，a12=2S1−a1=a1，所以a1=1或a1=0(舍去)，

当n≥2时，有an2=2Sn−an,an−12=2Sn−1−an−1,

两式相减得an2−an−12=2an−an+an−1=an+an−1，

整理得(an+a【解析】(1)根据Sn与an的关系，结合等差数列的通项公式进行求解即可；

(2)根据裂项相消法，结合等比数列前n项和、二项式定理进行求解即可．

19.【答案】解：(1)证明：如图，取BC中点H，连接EH，因为EB=EC，所以EH⊥BC，

又因为平面BCE⊥平面BCD，平面BCE∩平面BCD=BC，EH⊂平面BCE，

所以EH⊥平面BCD，

同理可得AG⊥平面BCD，

所以EH//AG，

又因为AG⊄平面BCE，EH⊂平面BCE，所以AG//平面BCE，

因为点F，G分别是CD，BD中点，所以FG//BC，

又因为FG⊄平面BCE，BC⊂平面BCE，所以FG//平面BCE，

又因为AG∩FG=G，AG，FG⊂平面AFG，所以平面AFG//平面BCE．

(2)因为BC⊥BD，BC//FG，所以FG⊥BD，

由(1)知AG⊥BD，AG⊥平面BCD，GF⊂平面BCD，

所以AG⊥GF，

所以GF，GB，GA两两相互垂直，

如图，以点G为坐标原点，GF，GB，GA分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

因为AB=2,BE=5，所以GA=GB=1，EH=2，BH=1，

则A(0,0,1)，C(2,1,0)，E(1,1,2)，

平面AFG的一个法向量为DB=(0,2,0)，

设平面ACE的法向量为n=(x,y,z)，

由AC=(2,1,−1),CE=(−1,0,2)，

得n⋅AC=0n⋅CE=0，即2x+y−z=0−x+2z=0，解得y=−3x2z=x2，

取x=2，得n=(2,−3,1)【解析】(1)利用面面垂直的性质定理和线面平行及面面平行的判定定理即可完成证明；

(2)先建系求法向量，再利用向量法求两平面的夹角即可．

本题考查面面平行的判定定理，考查利用空间向量求解二面角的余弦值，考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力，考查直观想象和数学运算等核心素养，属于中档题．

20.【答案】解：(1)若第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，

则每次中奖的概率为C52+C52C102=49，

因为两次抽奖相互独立，所以中奖次数X服从二项分布，即X～B(2,49)，

所以X的所有可能取值为0，1，2X012P254016所以X的数学期望为E(X)=2×49=89；

(2)若第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，中奖次数Y的所有可能取值为0，1，2，

则P(Y=0)=C51C5Y012P201013所以Y的数学期望为E(Y)=1×1021+2×1363=89．

(3)因为(1)(2)两问的数学期望相等，第(1)问中两次奖的概率比第(2)问的大，

即1681<1363，第(1)不中奖的概率比第(2)【解析】(1)根据古典概型的运算公式，结合二项分布的性质进行求解即可；

(2)根据古典概型的运算公式，结合数学期望公式进行求解即可；

(3)根据数学期望的性质，结合商场老板希望进行判断即可．

本题主要考查离散型随机变量期望与分布列的求解，考查转化能力，属于中档题．

21.【答案】解：(1)当点A，点B和点C为椭圆的顶点时，△ABC恰好构成边长为2的等边三角形，

①当点A，点B和点C中有两个点为上顶点和下顶点，一个点为左顶点或右顶点时，

不妨设点A，