椭圆的简单几何性质PTT课件

2.1.2椭圆的简单几何性质

平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a（2a>|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两个焦点的距离叫做焦距2c.特别注意:当2a>|F1F2|时,轨迹是椭圆;当2a=|F1F2|时,轨迹是线段F1F2;当2a<|F1F2|时,轨迹不存在.

F10F2XYM1.椭圆的定义温故知新分母哪个大，焦点就在哪个轴上标准方程图形焦点坐标a、b、c的关系焦点位置的判断xyF1F2POxyF1F2PO2.椭圆的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上oyx椭圆的简单几何性质观图，你看到了什么？一、椭圆的范围即-a≤x≤a-b≤y≤b结论:椭圆位于直线x＝±a和y＝±b围成的矩形里.oxy-aab-b1、范围：6YXOP（x，y）P2（-x，y）P3（-x，-y）P1（x，-y）关于x轴对称关于y轴对称关于原点对称2、对称性：7从图形上看，椭圆关于x轴、y轴、原点对称。从方程上看：（1）把x换成-x方程不变，图象关于y轴对称；（2）把y换成-y方程不变，图象关于x轴对称；（3）把x换成-x，同时把y换成-y方程不变，图象关于原点成中心对称。即标准方程的椭圆是以坐标轴为对称轴，坐标原点为对称中心。练习：1.已知点P(3，6)在上,则(

)(A)点(-3,-6)不在椭圆上(B)点(3,-6)不在椭圆上(C)点(-3,6)在椭圆上(D)无法判断点(-3,-6),(3,-6),(-3,6)是否在椭圆上三、椭圆的顶点顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点。oxyB1(0,b)B2(0,-b)A1(-a,0)A2(a,0)令x=0,得y=？说明椭圆与y轴的交点为(0,b)、(0,-b)令y=0,得x=？说明椭圆与x轴的交点为(a,0)、(-a,0)3、顶点：三、椭圆的顶点长轴、短轴：线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴。oxyB1(0,b)B2(0,-b)A1A2a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。思考：椭圆的焦点与椭圆的长轴、短轴有什么关系？焦点落在椭圆的长轴上长轴：线段A1A2；长轴长|A1A2|=2a短轴：线段B1B2；短轴长|B1B2|=2b焦距|F1F2|=2c①a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长；③焦点必在长轴上；②

a2=b2+c2，oxyB2(0,b)B1(0,-b)A2(a,0)A1(-a,0)bac椭圆的简单几何性质aF2F1|B2F2|=a；注意12巩固提升：1、已知椭圆方程16x2+25y2=400,108680分析：椭圆方程转化为标准方程为：

a=5b=4c=3

oxy

oxy它的长轴长是：

。短轴长是：。焦距是

。离心率等于：。焦点坐标是：

。顶点坐标是：。

外切矩形的面积等于：

。

由椭圆的范围、对称性和顶点，再进行描点画图，只须描出较少的点，就可以得到较正确的图形.四、椭圆的离心率离心率:椭圆的焦距与长轴长的比,叫做椭圆的离心率.离心率的取值范围：因为a>c>0，所以0<e<14、离心率：因为a>c>0，所以0<e<1.离心率越大，椭圆越扁离心率越小，椭圆越圆Oxyab●c[2]离心率对椭圆形状的影响：1）e越接近1，c就越接近a，从而b就越小，

椭圆就越扁2）e越接近0，c就越接近0，从而b就越大，

椭圆就越圆16思考：当e＝0时，曲线是什么？当e＝1时曲线又是什么？如果a=b，则c=0，两个焦点重合，椭圆的标准方程就变为圆的方程：e=0，这时两个焦点重合，图形变为圆．e=1,为线段。[3]e与a,b的关系:17结论：离心率e越大，椭圆越扁；

离心率e越小，椭圆越圆.巩固提升：

1.说出椭圆的范围,长轴长,短轴长,焦点坐标,顶点坐标:2.比较下列每组中两个椭圆的形状,哪一个更扁?根据：离心率e越大，椭圆越扁；离心率e越小，椭圆越圆3.已知椭圆方程为则它的长轴长是：

;短轴长是：

;焦距是：

;离心率等于：

;焦点坐标是：（0，）＿＿＿;顶点坐标是：

＿＿＿＿＿＿＿;

外切矩形的面积等于：

。

2

xyＯA2(a,0)A1(-a,0)B2(0,b)B1(0,-b)一个框，四个点，注意光滑和圆扁,莫忘对称要体现．用曲线的图形和方程来研究椭圆的简单几何性质小结：基本元素{1}基本量：a、b、c、e、（共四个量）{2}基本点：顶点、焦点、中心（共七个点）{3}基本线：对称轴（共两条线）oxyB1(0,b)B2(0,-b)A1(-a,0)A2(a,0)︱︱F1F2方程

图形

范围对称性顶点离心率

xyB1B2A1A2∣∣F1

F2A2A1B1B20关于x轴，y轴，原点对称xyF1F2O例1.求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点坐标.解：把已知方程化成标准方程因此，椭圆的长轴长和短轴长分别是离心率焦点坐标分别是四个顶点坐标是例2．求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）经过点、；（2）长轴长等于,离心率等于．解:（1）由题意，,又∵长轴在轴上，所以，椭圆的标准方程为（2）由已知，，∴，，∴，所以椭圆的标准方程为或．已知椭圆的离心率，求的值由，得：解：当椭圆的焦点在轴上时，，，得．

当椭圆的焦点在轴上时，，，得．由，得，即．∴满足条件的或．思考：例3：酒泉卫星发射中心将一颗人造卫星送入到距地球表面近地点(离地面近的点)高度约200km,远地点(离地面最远的点)高度约350km的椭圆轨道(将地球看作一个球，其半径约为6371km),求椭圆轨道的标准方程。(注:地心(地球的中心)位于椭圆轨道的一个焦点，且近地点、远地点与地心共线)例4、如图，在圆上任取一点P作x轴的垂线段PD，D为垂足。当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？为什么？解:设点M坐标为M(x,y),点P的坐标为

P(x’,y’),则由题意可得：因为所以即这就是点M的轨迹方程，它表示一个椭圆。相关点分析法:即利用中间变量求曲线方程.oxyPMD1、在下列方程所表示的曲线中,关于x轴,y轴都对称的是()(A)(B)(C)(D)2、椭圆以坐标轴为对称轴，离心率，长轴长为6，则椭圆的方程为（）(A)(B)(C)(D)或或DC课堂练习2、求适合下列条件的椭圆的标准方程(1)a=6,e=,焦点在x轴上(2)离心率e=0.8,焦距为8求椭圆的标准方程时,应:先定位(焦点),再定量（a、b）当焦点位置不确定时，要讨论，此时有两个解！4.

椭圆的一个顶点为,其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置椭圆的标准方程为：；椭圆的标准方程为：；解：（1）当为长轴端点时，，，（2）当为短轴端点时，,，综上所述，椭圆的标准方程是或提炼精华你学会了吗?通过这节课的学习，你有什么收获?※对自己说，你有什么收获？※对同学说，你有什么提示？※对老师说，你有什么疑惑？标准方程图象范围对称性顶点坐标焦点坐标半轴长焦距a,b,c关系离心率|x|≤a,|y|≤b|x|≤b,|y|≤a关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称。（a,0）,(0,b)（b,0）,(0,a)(±c,0)(0,±c)长半轴长为a,短半轴长为b.焦距为2c;a2=b2+c2课外阅读：椭圆第二定义所以，点M的轨迹是长轴、短轴长分别为10、6的椭圆。FlxoyMHd猜想证明

若动点P(x,y)和定点F(c,0)的距离与它到定直线l:的距离的比是常数(0<c<a),则动点P的轨迹是椭圆.猜想将上式两边平方并化简得:0xyP证明:由已知，得猜想证明这是椭圆的标准方程，所以P点的轨迹是长轴长为2a短轴长为2b的椭圆.由此可知,当点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个常数时,这个点的轨迹是椭圆,这就是椭圆的第二定义，定点是椭圆的焦点,定直线叫做椭圆的准线,,常数e是椭圆的离心率.0xyM对于椭圆相应于焦点的准线方程是能不能说M到的距离与到直线的距离比也是离心率e呢?

)0,(-cF¢概念分析由椭圆的对称性，相应于焦点的准线方程是OxyPF1F2OyxPF1F2右准线上准线下准线左准线上焦点(0,c),上准线右焦点(c,0),

右准线下焦点(0,-c),下准线左焦点(-c,0),左准线焦点准线

例2求中心在原点,一条准线方程是x=3，离心率为的椭圆标准方程.解:依题意设椭圆标准方程为由已知有解得a=c=所求椭圆的标准方程为例题讲解P（x0，y0）是椭圆（a＞b＞0）上的一点，F1，F2是左、右焦点，则PF1，PF2叫焦半径，求证∣PF左∣＝a+ex0∣PF右∣＝a-ex0，例3证明:yoP(x0,y0)xF1