1.1.3直线的方程（第3课时直线方程的一般式点法式）课件高二上学期数学北师大版选择性

1.3直线的方程第3课时直线方程的一般式、点法式第一章直线与圆北师大版

数学

选择性必修第一册基础落实·必备知识一遍过重难探究·能力素养速提升目录索引

学以致用·随堂检测促达标课程标准1.了解直线方程的一般式的形式特征,理解直线方程的一般式与二元一次方程的关系.2.能正确地进行直线方程的一般式与特殊形式的方程的转化.3.能运用直线方程的一般式解决有关问题.4.了解直线方程的点法式,会利用方向向量推导出直线的一般方程.基础落实·必备知识一遍过知识点1

直线方程的一般式1.定义在平面直角坐标系中,对于任何一条直线,都有一个表示这条直线的关于x,y的

;任何关于x,y的二元一次方程都表示

.方程

称为直线方程的一般式.

结构特征:①方程是关于x,y的二元一次方程.②方程中等号的左侧自左向右一般按x,y,常数的先后顺序排列.③x的系数一般不为分数和负数.二元一次方程

一条直线

Ax+By+C=0(其中A,B不全为0)2.直线方程的一般式与其他形式的互化

思考辨析在方程Ax+By+C=0中,A,B,C满足什么条件时,(1)方程表示直线?(2)方程表示过原点的直线?提示

(1)A,B不全为0.(2)A,B不全为0,C为0.自主诊断1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)在平面上任何直线的方程都能表示为一般式.(

)(2)在平面上任何一条直线的方程的一般式都能与直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式互化.(

)(3)对于二元一次方程Ax+By+C=0,当A=0,B≠0时,方程表示斜率不存在的直线.(

)√××××2.[人教A版教材习题]根据下列条件,写出直线的方程,并把它化为一般式.(1)经过点A(8,-2),斜率是-;(2)经过点B(4,2),平行于x轴;(3)经过点P1(3,-2),P2(5,-4);(4)在x轴、y轴上的截距分别是,-3.解

(1)y+2=-(x-8),一般式为x+2y-4=0.(2)y-2=0.3.[人教B版教材例题]已知直线l的一般式方程为2x-3y+6=0,求直线l的斜率以及在x轴和y轴上的截距.在方程中令y=0,可得x=-3,因此l在x轴上的截距为-3.知识点2

直线方程的点法式1.法向量与直线的方向向量

的向量称为直线的法向量,直线的法向量和方向向量都反映了直线的方向.若直线l经过点P,且一个法向量为n,则直线l上不同于点P的任意一点M都满足

.反之,满足n·=0的任意一点M一定在直线l上.

垂直

2.直线方程的点法式在平面直角坐标系中,已知直线l经过点P(x0,y0),且它的一个法向量为n=(A,B),直线l上的任意一点M的坐标为(x,y),则方程

称为直线方程的点法式.

名师点睛确定直线方程的点法式需要知道直线的法向量和一个确定的点,这个点可以是直线上任意一点;如果已知直线上两点也可以用点法式确定直线的方程,首先求出直线的方向向量,然后求出直线的法向量代入点法式即可.A(x-x0)+B(y-y0)=0自主诊断1.[人教B版教材习题](1)如果直线l过点P(-1,-2),且直线l的方向向量为a=(1,-2),求直线l的方程;(2)如果直线l过点P(x0,y0),且直线l的方向向量为a=(u,v),求直线l的方程.解

(1)k=-2,∴l:y+2=-2(x+1),即l:y=-2x-4.2.[人教B版教材习题](1)如果直线l过点P(1,3),且直线l的法向量为a=(-3,1),求直线l的方程;(2)如果直线l过点P(x0,y0),且直线l的法向量为a=(u,v),求直线l的方程.解

(1)k=3,∴l:y-3=3(x-1),即l:y=3x.重难探究·能力素养速提升探究点一直线方程的一般式【例1】

(1)根据下列条件分别写出直线的方程,并化为一般式.①斜率是,且经过点A(5,3);②经过点A(-1,5),B(2,-1)两点.★(2)求适合下列条件的直线的方程的一般式:①经过点A(2,-3),并且其倾斜角等于直线x-y+1=0的倾斜角的2倍的直线方程;②求经过点A(-2,2)并且和两条坐标轴围成的三角形的面积是1的直线方程.规律方法

1.2.当求直线方程时,设一般式有时并不简单,常用的还是根据给定条件选择四种特殊形式之一求方程,然后再转化为一般式.变式训练1(1)直线2x-y-2=0绕它与y轴的交点A按逆时针方向旋转90°所得的直线方程是(

)A.x-2y+4=0 B.x+2y-4=0C.x-2y-4=0 D.x+2y+4=0D★(2)[2024浙江杭州模拟]数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上,这条直线称之为三角形的欧拉线.已知△ABC的顶点A(0,0),B(0,2),C(-6,0),则其欧拉线方程的一般式为(

)A.3x+y=1 B.3x-y=1C.x+3y=0 D.x-3y=0C探究点二直线方程的点法式【例2】

已知直线l经过点A(3,2),而且v=(3,-4)是直线l的一个法向量,求直线l方程的一般式.变式探究将本例中的“v=(3,-4)是直线l的一个法向量”改为“v=(3,-4)是直线l的一个方向向量”,求直线方程的一般式.解

设直线的法向量为n=(a,b),则n·v=3a-4b=0,令a=4,得b=3,∴n=(4,3).∴直线方程的点法式为4(x-3)+3(y-2)=0,化简,得直线的一般式为4x+3y-18=0.变式训练2已知P是直线l上一点,且v是直线l的一个法向量,根据下列条件分别求直线l的方程.(1)P(1,2),v=(3,-4);(2)P(-1,2),v=(3,4).解

(1)∵直线l过点P(1,2),其法向量是v=(3,-4),∴直线l的方程是3(x-1)+(-4)(y-2)=0,整理,得3x-4y+5=0.(2)∵直线l过点P(-1,2),其法向量是v=(3,4),∴直线l的方程是3(x+1)+4(y-2)=0,整理,得3x+4y-5=0.学以致用·随堂检测促达标1234567891011121314151617A级必备知识基础练1819201.[探究点一]过点(2,1),斜率k=-2的直线方程为(

)A.x-1=-2(y-2) B.2x+y-1=0C.y-2=-2(x-1) D.2x+y-5=0D解析

根据直线方程的点斜式可得,y-1=-2(x-2),即2x+y-5=0.12345678910111213141516171819202.

[探究点一、二]已知直线l经过点(-1,4),且它的一个方向向量为n=(-2,4),则(

)D.直线l的一般式方程为x+2y-7=0C解析

因为直线l的一个方向向量为n=(-2,4),所以直线l的斜率k==-2.因为直线l经过点(-1,4),所以直线l的点斜式方程为y-4=-2(x+1),斜截式方程为y=-2x+2,截距式方程为x+=1,一般式方程为2x+y-2=0.123456789101112131415161718192012345678910111213141516171819203.[探究点一]点M(x0,y0)是直线Ax+By+C=0上的点,则直线方程可表示为(

)A.A(x-x0)+B(y-y0)=0B.A(x-x0)-B(y-y0)=0C.B(x-x0)+A(y-y0)=0D.B(x-x0)-A(y-y0)=0A12345678910111213141516171819204.[探究点二]若直线l的一个方向向量是n=(,1),则直线l的倾斜角是(

)A1234567891011121314151617181920A12345678910111213141516171819206.

[探究点二]写出直线l:2x-y-1=0的一个法向量a=

.

(2,-1)(答案不唯一)12345678910111213141516171819207.

[探究点一]已知直线(a+2)x+(a2-2a-3)y-2a=0在x轴上的截距为3,则该直线在y轴上的截距为

.

12345678910111213141516171819208.

[探究点一]若直线mx-y+(2m+1)=0恒过定点,则此定点是

.

(-2,1)

12345678910111213141516171819209.

[探究点一]在y轴上的截距为-6,且倾斜角为45°的直线的一般式方程为

.

x-y-6=0123456789101112131415161718192010.

[探究点一]根据下列条件分别写出直线方程,并化成一般式:(1)斜率是,经过点A(8,-2);(2)经过点B(-2,0),且与x轴垂直;(3)斜率为-4,在y轴上的截距为7;(4)经过点A(-1,8),B(4,-2).(2)直线方程为x=-2,即x+2=0.(3)由斜截式,得y=-4x+7,化成一般式为4x+y-7=0.123456789101112131415161718192011.[探究点一]设直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R).(1)若l在两坐标轴上的截距相等,求l的方程;(2)若l不经过第二象限,求实数a的取值范围.解

(1)当直线l过原点时,直线l在x轴和y轴上的截距都为零,显然相等,所以a=2,方程为3x+y=0.当直线l不过原点时,由截距存在且均不为0,得解得a=0,所以直线l的方程为x+y+2=0.综上所述,所求直线l的方程为3x+y=0或x+y+2=0.1234567891011121314151617181920123456789101112131415161718192012.已知两直线的方程分别为l1:x+ay+b=0,l2:x+cy+d=0,它们在平面直角坐标系中的位置如图所示,则(

)A.b>0,d<0,a<c

B.b>0,d<0,a>cC.b<0,d>0,a>c

D.b<0,d>0,a<cCB级关键能力提升练12345678910111213141516171819201234567891011121314151617181920D123456789101112131415161718192014.

已知直线l:(2m+1)x+(m+1)y+m=0经过定点P,直线l'经过点P,且l'的方向向量a=(3,2),则直线l'的方程为(

)A.2x-3y+5=0 B.2x-3y-5=0C.3x-2y+5=0 D.3x-2y-5=0A123456789101112131415161718192015.直线x+(a2+1)y+1=0的倾斜角的取值范围是(

)D123456789101112131415161718192016.(多选题)若直线l:ax+y-2-a=0在x轴和y轴上的截距相等,则直线l的斜率为(

)A.1 B.-1 C.-2 D.2BD123456789101112131415161718192017.如图所示,在平面直角坐标系xOy中,已知点A(0,2),B(-2,0),C(1,0),分别以AB,AC为边向外作正方形ABEF与ACGH,则直线FH方程的一般式为

.

x+4y-14=0

1234567891011121314151617181920解析

过点H,F分别作y轴的垂线,垂足分别为M,N(图略).∵四边形ACGH为正方形,∴Rt△AMH≌Rt△COA,∴AM=OC=1,MH=OA=2,∴OM=OA+AM=3,∴点H的坐标为(2,3),同理得到F(-2,4),∴直线FH的方程123456789101112131415161718192018.已知直线a1x+b1y+1=0和直线a2x+b2y+1=0都过点A(2,1),则过点P1(a1,b1)和点P2(a2,b2)的直线方程是

.

2x+y+1=0解析

∵点A(2,1)在直线a1x+b1y+1=0上,∴2a1+b