2024年中考数学压轴题突破二次函数与等腰三角形问题

专题1二次函数与等腰三角形问题

考法综述，

IJ

数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈，动态几何问题是近年来中考的热点问题，以运动的

观点来探究几何图形的变化规律问题，动态问题的解答，一般要将动态问题转化为静态问题，抓住运动过

程中的不变量，利用不变的关系和几何性质建立关于方程（组）、函数关系问题，将几何问题转化为代数

问题。

在动态问题中，动点形成的等腰三角形问题是常见的一类题型，可以与旋转、平移、对称等几何变化

相结合，也可以与一次函数、反比例函数、二次函数的图象相结合，从而产生数与形的完美结合.解决动点

产生的等腰三角形问题的重点和难点在于应用分类讨论思想和数形结合思想进行准确的分类.

方法揭秘.

在讨论等腰三角形的存在性问题时，一般都要先分类.

如果A/BC是等腰三角形，那么存在①②BA=BC,③C4=C8三种情况.

解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快.

几何法一般分三步：分类、画图、计算.哪些题目适合用几何法呢？

如果的4/（的余弦值）是确定的，夹44的两边N3和NC可以用含x的式子表示出来，那么就

用几何法.

①如图1,如果AB.=/C,直接列方程；②如图2,如果氏4=2。，那么」/C=48cosN4③如图3,

2

如果G4=C8,那么=/CeosN4

2

代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验.

如果三角形的三个角都是不确定的，而三个顶点的坐标可以用含x的式子表示出来，那么根据两点间

的距离公式，三边长（的平方）就可以罗列出来.

22222222

AB=(xA-xs)+(yA-yJ3),AC=(xA-xc)+(yA-yc),BC=(xB-xc)+(yB-yc/

然后根据分类：AB=AC,BA=BC,CA=CB列方程进行计算.

典例剖析“

【例1】(2022•百色)已知抛物线经过/(-1,0)、8(0,3)、C(3,0)三点，O为坐标原点，抛物

线交正方形08DC的边8。于点E,点M为射线2。上一动点，连接。交BC于氤F.

(1)求抛物线的表达式；

(2)求证：ABOF=乙BDF；

(3)是否存在点使△血尸为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME的长.

【分析】(1)把/(-1,0)、8(0,3)、C

(2)根据正方形的性质得出乙。5C,BD=OB,再由8尸=8/，得出△BO尸三△5。尸，最后利

用全等三角形的性质得出结论；

(3)分两种情况讨论解答，当M在线段AD的延长线上时，先求出4再利用解直角三角形得出结果,

当M在线段8。上时，得出乙B(W=30°,类比①解答即可.

【解答】(1)解：设抛物线的表达式为y=ax2+bx+c,

把/(-1,0)、8(0,3)、C(3,0)代入

0=a-b+ca=~l

得：，3=c，解得,b=2，

10=9a+3b+c、c=3

•,・抛物线的表达式为：y=-X2+2X+3；

(2)证明：•.■正方形03DC,

ZOBC=/LDBC,BD=OB,

-：BF=BF,

/\BOF^/\BDF,

：.乙BOF=2BDF；

(3)解：；抛物线交正方形OBDC的边BD于点E,

.,.令y=3,贝！］3=-X2+2X+3,解得：Xi=0,X2=2,

■■E(2,3),

当M在线段BD的延长线上时，ABDF为锐角,

乙阳河为钝角，

•••不为等腰三角形，

：.DF=DM,

乙M=乙DFM,

：.ABDF=乙乙DFM=2乙M,

■■-BM//OC,

2M=乙MOC,

由(2)得乙ABDF,

：.ABDF+AMOC=3AM=90°,

AZM=30°,

在Rt/\BOM中，

BM=——口员—=3^,

tan30

:.ME=BM-BE=3正-2；

②如图，

当“在线段上时，4为钝角，

•••平为等腰三角形，

：.MF=DM,

：.2BDF=2MFD,

：.2BMO=乙BDF+2MFD=22BDF,

由(2)得乙BOF=ABDF,

•••乙BMO=2乙BOM,

ABOM+ABMO=3ABOM=90°,

ABOM=30°,

在RtABOM中,

5M=tan300-08=5/3,

：.ME=BE-BM=2-正，

综上所述，ME的值为：3%-2或2-正.

【例2】(2022•河池)在平面直角坐标系中，抛物线力：y=ax2+2x+6与x轴交于两点/,B(3,0),与y

轴交于点C(0.3).

(1)求抛物线办的函数解析式，并直接写出顶点。的坐标；

(2)如图，连接AD,若点E在线段AD上运动(不与2,D重合)，过点E作瓦Ux轴于点足设EF

=%，问：当加为何值时，△8FE与△OEC的面积之和最小；

(3)若将抛物线。绕点2旋转180。得抛物线上，其中C,。两点的对称点分别记作M,N.问：在抛

物线上的对称轴上是否存在点P,使得以8,M,尸为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出

所有符合条件的点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

备用图

【分析】(1)利用待定系数法求出a,b的值即可；

(2)如图1中，连接BC,过点C作CH1BD于点H.设抛物线的对称轴交x轴于点T.首先证明乙DCB

=90°,利用面积法求出CH,构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；

(3)如图2中，由题意抛物线上的对称轴x=5,朋'(6,-3).设尸(5,加)，分三种情形：当BP=BM

=3加时，当尸8=尸加■时，当8"=尸河时，分别构建方程求解即可.

［解答］解：(1),.J=ax2+2x+b经过2(3,0),C(0,3),

.fb=3

l9a+6+b=0

.(a=~l

lb=3,

.,・抛物线的解析式为y=-，+2x+3,

'-'y="(x-1)2+4,

r.抛物线的顶点。(1,4)；

(2)如图1中，连接8C,过点C作于点设抛物线的对称轴交x轴于点7.

图1

•■-C(0,3),B(3,0),0(1,4),

：.BC=3y[2,CD=y[2,BD=M2+&2=2遥,

：.BC2+CD2=BD2,

ABCD=90°,

■■■—-CD-CB=—•BD-CH,

22

.CH-^2X3V2,3V5

2V55

,.,£F_Lx轴，Z>7_Lx轴，

：.EF//DT,

.EF=BE=BF

"DTBDBT'

.m=BE=BF

・72V5亏

BE=^-^-m,BF=—m,

22

ABFE与ADEC的面积之和S=工x(2V5-恒"7)XXX工加=▲(加-3)2+毁，

225224216

—>0,

4

・•.s有最小值，最小值为空■,此时机=3,

162

m=3时，&BFE与4DEC的面积之和有最小值.

2

解法二：求两个三角形面积和的最小值，即就是求四边形OCEF面积的最大值.求出四边形OCE尸的面

积的最大值即可.

(3)存在.

理由：如图2中，由题意抛物线〃的对称轴尤=5,M(6,-3).

?4

设P（5,m）,

当3尸=BM=3加时，22+%2=（3企）2,

■■m=士V14，

■■Px（5,V14）,P2（5,-V14）,

当尸8=尸〃时，22+冽2=12+（根+3）2,

解得，m=-1,

■■Pi(5,-1),

当3"=产”时，(3&)2=12+(洸+3)2,

解得，m=-3±A/17,

■■■P4(5,-3+717),尸5(5,-3-V17),

综上所述，满足条件的点尸的坐标为尸1(5,Jii),尸2(5,-V14),ft(5,-1),尸4(5,-3+JT7),

尸5(5,-3-717).

【例31(2022•山西)综合与探究

如图，二次函数〉=-4/+当什4的图象与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点。.点

42

P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，设点P的横坐标为九过点P作直线轴于点。，作

直线BC交PD于点、E.

(1)求/,8,C三点的坐标，并直接写出直线8c的函数表达式；

(2)当△(7£「是以尸£为底边的等腰三角形时，求点尸的坐标；

(3)连接NC,过点尸作直线/〃NC,交y轴于点足连接。色试探究：在点P运动的过程中，是否存

在点匕使得C£=ED,若存在，请直接写出加的值；若不存在，请说明理由.

【分析】(1)由了=-4"/+小+4得，/(-2,0),8(8,0),C(0,4),用待定系数法可得直线BC

42

解析式为》=--x+4,

2

22

(2)过C作CG_LP。于G,设尸(加，-l-m+—m+4),可得尸D=--Lm+—m+4,DG=OC=4,CG

4242

=OD=m,PG=PD-DG=-工加2+国加，而“)=CE,CGLPD,即得GE=PG=-工加2+反加，证明△

4242

123

CGE-ABOC,可得典-----即可解得P(4,6)；

84

2

(3)过C作CHLPD于H,设P(m,-Xm+lm+4),根据PF//AC,设直线PF解析式为y=2x+b,

22

可得直线尸尸解析式为y=2x-上加2-上加+4,从而产(0,.JLW-AW+4),OF=\-^m-^m+4\,证

424242

明RtZkCT/E/RtaOO/CHZ),可得乙//CE=2尸。0,即得乙尸Z>0=ZCBO,tan乙包)O=tanaCBO,故

----------------=—.可解得m=2"/5—2或加=4.

m---8

【解答】解:(1)在尸-工/+当+4中,

42

令x=0得y=4,令y=0得％=8或x=-2,

'-A(-2,0),B(8,0),C(0,4),

设直线BC解析式为^=履+4,将5(8,0)代人得:

8左+4=0,

解得左=-工

2

，直线2C解析式为丁=+4；

PD=--m2+—w+4,

42

ZCOD=APDO=Z_CGD=90°,

四边形CODG是矩形，

:.DG=OC=4,CG=OD=m,

：.PG=PD-DG=-工加2+3〃?+4-4=_工加2+3机，

4242

：CP=CE,CG1PD,

：.GE=PG=-

42

•••ZGCE=乙OBC,乙CGE=90°=乙BOC,

：.ACGE—ABOC,

4

.CG=GE即m=奉24m

OB0C'84'

解得m=0(舍去)或机=4,

■.P(4,6)；

(3)存在点尸，使得CE=FD,理由如下：

过C作C"_LP。于//,如图：

由/(-2,0),C(0,4)可得直线NC解析式为y=2x+4,

根据PF//AC,设直线PF解析式为y=2x+b,将P(加，-+当〃+4)代人得.

42

--m2+—m+4=2m+b,

42

i1

:・b=--m91-—m+4,

42

直线PF解析式为y=2x-1加2-/加+4,

令1=0得,=--m2-—m+4,

42

.•.F(0,-—m2-—m+4),

42

OF=I--m2-—m+41,

42

同(2)可得四边形C。。”是矩形，

：.CH=OD,

♦：CE=FD,

..RtAC/ffi^RtADOF(HL),

/.(HCE=乙FDO,

•••乙HCE=ACBO,

乙FDO=乙CBO,

tan乙FDO=tan乙CBO,

.,OF=OC,即上立二二吧■=),

0DOBm8

解得m=2A/5-2或加=-2^5-2或加=4或加=-4,

•.J在第一象限，

，加=2立-2或加=4.

【例4】(2022•贺州)如图，抛物线y=-f+6x+c过点/(-I,0),B(3,0),与y轴交于点C.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点尸为抛物线对称轴上一动点，当△PC8是以2C为底边的等腰三角形时，求点尸的坐标；

(3)在(2)条件下，是否存在点M为抛物线第一象限上的点，使得SpcM=S"若存在，求出点"

的横坐标；若不存在，请说明理由.

【分析】(1)由交点式可直接得出抛物线的解析式；

(2)设尸(1,m),根据尸3=PC列出方程，进而求得点尸坐标；

(3)作尸0〃8C交y轴于0,作跖V〃BC交y轴于N,先求出P。的解析式，进而求得四V的解析式,

进一步求得结果.

【解答】解：(1)由题意得：尸-(x+1)•(x-3),

..y=-/+2x+3;

(2)设尸(1,m),

■：PB2=PC2,

(3-1)2+m~=1+(m-3)2,

...加=1,

・・.p(1,1);

(3)假设存在M点满足条件，

作尸。〃3c交y轴于。，作交y轴于N,

,；尸。的解析式为y=-x+1,

-Q(0,2),

C(0,3),SABCM=S^BCP,

・•.N(0,4),

.・.直线MN的解析式为：尸-x+4,

由-X2+2X+3=-x+4得,

3±-/5

2，

M点横坐标为旦大5或上近

22

满分训练.

__________--

1.(2022春•丰城市校级期末)如图，已知二次函数y=ox2+6x+c的图象与x轴相交于/(.1,o),B(3,

0)两点，与了轴相交于点C(0,-3).

(1)求这个二次函数的表达式；

(2)若尸是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PHLx轴于点X,与交于点连接PC.

①求线段尸”的最大值；

②当△尸CM是以为一腰的等腰三角形时，求点P的坐标.

(2)①根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得二次函数，根据二次

函数的性质，可得答案；

②根据等腰三角形的定义，可得方程，根据解方程，可得答案.

【解答】解：（1）将/,B,C代入函数解析式得,

a-b+c=O

（9a+3b+c=0,

、c=-3

a=l

解得"b=-2，

c=-3

.•.这个二次函数的表达式y=--2x-3;

(2)①设BC的解析式为y=Ax+6,

将瓦C的坐标代入函数解析式得，

j3k+b=0

(b=-3，

解得[I

[b=-3

•e-BC的解析式为y=x-3,

设〃-3),P(n,层-2〃-3),

PM=(〃-3)-(〃2-2〃-3)=-层+3〃=-(n-—)2+—,

24

当几=-1"时，PM最大=

24

线段尸w的最大值旦；

4

②解法一：当PM=PC时，(-n2+3n)2=层+(n2-2n-3+3)2,

解得m=〃2=0(不符合题意，舍)，〃3=2,

n2-2n-3=-3,

尸(2,-3).

当尸时,（■居+3〃）2=w2+（H-3+3）2,

解得m=0（不符合题意，舍），n2=3-V2,〃3=3+（不符合题意，舍）,

n2-2n-3=2-4、叵,

尸（3-加，2-472）.

综上所述：尸（3-&,2-4&）或（2,-3）.

解法二：当9=尸。时，

..BC：y=x-3,

AABC=45°,

：PHLAB,

:•乙BMH=^CMP=45°,

.•.9=尸。时，尸河为等腰直角三角形，。尸〃x轴，

设尸（孔，层-2〃-3）,贝!]CP=几，

MP=-n2+3n,

n=-层+3〃，

解得n=0（舍去）或几=2,

・•・尸（2,-3）,

当尸W=CM时，设P（〃，n2-2n-3\

则Jj+n?="川+3〃，

心口=-层+3”，

.”>0,

yj~2^=-n2+3n,

解得n=3-V2,

.・.尸（3-加，2-472）,

综上所述：尸（3-&，2-4加）或（2,-3）.

2.（2022•岚山区一模）已知抛物线y=ox2+bx+8与*轴交于/（-3,0）,3（8,0）两点，交y轴于点C,

点P是抛物线上一个动点，且点P的横坐标为m.

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1,若点尸在8C上方的抛物线上运动（不与3、C重合），过点尸作x轴的垂线，垂足为£,

交于点。，过点尸作2C的垂线，垂足为。，若LPQD"八BED,求”的值；

（3）如图2,将直线3C沿y轴向下平移5个单位，交x轴于点交y轴于点N.过点P作x轴的垂

线，交直线"N于点。，是否存在一点P,使是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的机

的值；若不存在，请说明理由.

(3)分三种情况：①当=时，②当=时,③当MD+BD时，由两点间的距离公式列出关

于m的方程可得出答案.

【解答】解：(1)••・抛物线产办2+&+8与x轴交于/(-3,0),2(8,0)两点,

.(9a~3b+8=0

l64a+8b+8=0'

(1

a=-7

解得，•J,

b至

I3

•,・抛物线的解析式为尸-A2A8；

3X+3X+

(2)抛物线的解析式为y=-•1/+%+8,

33

令x=0,y=8,

.,.C(0,8),

设直线BC的解析式为y=kx+m,

8k+m=0

in=8

解得:k=-l

in=8

直线5C的解析式为二-x+8(0<x<8),

设尸(冽),则。(冽,-m+8),E(m,0),

-BD=VDE2+BE2=V(-m+8)2+(8-m)2=^2(8-m),

又PD=--^m2-H|-m+8-(■冽+8)=-仔加，

*/&PQD"l\BED,

・•.PD=BD,

2m

V2(8-w)=--1-m+^，

解得，mi=3V2,/2=8(舍去)，

■■-m的值为3&;

(3)由(2)可知直线5c的解析式为y=-x+8,向下平移5个单位得到y=-x+3,

当y=0时，x=3,

0),

当x=0时，y=3,

・•.N(0,3),

由题意得尸

'.'MB=8-3=5,D(m,-m+3),

；.MD2=(m-3)2+(-m+3)2,BD2=(8-m)2+(-m+3)2,

若是等腰三角形，可分三种情况：

①当=时，

(m-3)2+(-m+3)2=25,

解得m\=3+-^A/2，加2=3--|^/2，

②当=时，

(8-m)2+(-m+3)2=25,

解得，mi=3(舍去)，加2=8(舍去)，

③当时，

(8-m)2+(-m+3)2=(m-3)2+(-m+3)2,

解得，加=5.5.

综上所述，m的值为3+>|/或3-"jq5或5.5时，△8WD是等腰三角形.

3.(2022•淮阴区校级一模)如图，抛物线y=2x2+6x+c过/(-1,0)、B(3.0)两点，交y轴于点C,

连接BC.

(1)求该抛物线的表达式和对称轴；

(2)点。是抛物线对称轴上一动点，当△BCD是以3c为直角边的直角三角形时，求所有符合条件的

点D的坐标；

(3)将抛物线在下方的图象沿2C折叠后与y轴交于点E,求点£的坐标；

(4)若点N是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点M在抛物线的对称轴上，当△8儿加为等边三角形时,

直接写出直线NN的关系式.

备用图

【分析】(1)运用待定系数法即可求得答案；

(2)设。(1,n),由两点间距离公式可得：BC2=OB2+OC2=32+62=45,BD1=(1-3)2+(«-0)2

=/+4,CD2=(0-1)2+(-6-«)2=«2+12«+37,分两种情况：当乙C2D=90°时，当乙2c0=90°

时，分别利用勾股定理建立方程求解即可得出答案；

(3)如图2,作△BCO关于直线8c对称的△BCG,CG交抛物线于点夕，利用三角函数和面积法可

求得G(2鱼，-),运用待定系数法求得直线CG的解析式为y=当-6,联立方程组可得E'(生,

5548

-瑾),再根据轴对称可求得点E的坐标；

32

(4)由题意可知△&W为等边三角形，分两种情况讨论：①当点N在x轴的上方时，点M在x轴上方,

连接RN.证出△瓦?N,可得NN垂直平分8R,则工点在直线NN上，可求出直线/N的

解析式，②当点N在x轴的下方时，点河在x轴下方.同理可求出另一直线解析式.

【解答】解：(1),.,抛物线＞=2x2+6"c过/(-1,0)、B(3,0)两点，

.(2-b+c=0

ll8+3b+c=0，

解得：色=-4,

1c=-6

该抛物线的表达式为y=2/-4x-6,

.•・抛物线对称轴为直线x=l；

(2)设。(1,n\

,•・抛物线y=2%2-4x-6交y轴于点C,

.•.C(0,-6),

：B(3,0),

BC2=OB2+OC2=32+62=45,BD2=(1-3)2+(«-0)2=n2+4,CZ)2=(0-1)2+(-6-«)2=n2+12n+31,

当乙C3O=90。时，贝1」8。2+3。2=82,

.".45W+4=»2+12H+37,

解得：n=l,

-D(1,1)；

当48。。=90。时，贝1]2。2+82=802,

.,.45+"2+12〃+37=/+4,

解得：n=

2

・•.Q(1,-—

2

二.所有符合条件的点。的坐标为(1,1)或(1,-至)；

2

(3)如图2,作△5CO关于直线5C对称的△BCG,CG交抛物线于点£,

S四边形3OCG=2S>BCO=2x1x3x6=18,

在RtASCO中，8C=VOB2X)C2=^32+62=3近，

•••0G15C,

.•」x2CxOG=18,

2

...CG=-12丘,

5

GH=OG-sinAGOH=OG'sin/LBCO=12^x=丝，OH=OG-cosAGOH=OG，cos乙BCO=

53755

1275v6_24

53V5

.c/2412\

d=-6

设直线CG的解析式为尸kx+d,贝U2412，

lvk+d=~v

解得：4,

,d=-6

r.直线CG的解析式为产务-6,

y=2x2-4x-6

19

X.=0X2"T

解得：I1（不符合题意，舍去）,

71=-6135

y2~

..㈤（季浸），

•・•点E与点£关于8C对称,

：.CE=CEf,

,/CEf

97

32

」.E（0,一堂

（4）在抛物线对称轴上取点R（1,2正），连接/R、BR,设对称轴交x轴于点S,

则S(l,0),

导岁s

ARAS=60°,

•••AR=BR,

・•.△NBA是等边三角形，

①当点N在x轴上方时，点M在x轴上方，连接4N交对称轴于点"连接5R,NR,AM,BL,如图3,

v/\BMN,△54R为等边三角形，

:.BM=BN,BA=BR,AMBN=AABR=60°,

/.乙ABM=乙RBN,

MABM”ARBN(SAS),

:.AM=RN,

•・•点M在抛物线对称轴上,

・•.AM=BM,

:.RN=BM=BN,

」.4N垂直平分BR,

LR=LB-LA,

设£（1,m）,贝！j£S=冽，AL=BL=RL=2m,

2m+m=2Vs,

解得：加=松二，

「八,嘤),

-k[+d[=0

设直线AN的解析式为y=kix+di,贝!j<

ki+d1=募一

L星

ki~

解得：,

V3

[dHiT

直线4N的解析式为y=县+且

33

②当点N在x轴下方时，点”在x轴下方，如图4,

・・•△5MN,△B/R为等边三角形,

・•.BM=BN,BA=BR,AMBN=AABR=60°,

AABN=ARBM,

XBRM"/\BAN(SAS),

...乙BAN=ABRM,

•;AR=BR,RSIAB,

ABRM=—AARB=30°,

2

:.BAN=30°,

设MV与y轴交于点0,

在RtZ\/O0中，OQ=O4,tan乙B4N=CM・tan30°

-看),

o

"-k2+d2=0

设直线4N的解析式为y=《2+"2,贝（bH-近，

d2-3

・•.直线AN的解析式为j=-®x-返■.

33

综上所述，直线AN的解析式为y=率x+喙或y=-喙x-喙.

4.(2022•仁寿县模拟)如图，直线>=依+"(^0)与x轴、y轴分别交于4、8两点，过/,2两点的抛

物线>=办2+乐+4与x轴交于点C,且。(-1,0),A(4,0).

(1)求抛物线和直线N3的解析式；

(2)若“点为x轴上一动点，当是以为腰的等腰三角形时，求点M的坐标.

(3)若点P是抛物线上N,8两点之间的一个动点(不与48重合)，则是否存在一点P,使△尸N8的

面积最大？若存在求出的最大面积；若不存在，试说明理由.

【分析】(1)利用待定系数法求出抛物线的解析式，可得3点的坐标，将/、2两点代入直线》=依+"

即可得直线的解析式；

(2)先利用勾股定理计算出AB=4a,分两种情况，根据等腰三角形的性质解答即可；

(3)设尸(x,-x2+3x+4)(0<x<4),过点尸作PD〃了轴交直线AB于点。，则。(x,-x+4),可得

PD=yp-yo=-X2+4X,即得S^PAB=^PD*OA=-2(x-2)2+8,根据二次函数的最值即可求解.

【解答】解：(1)；过工，B两点的抛物线y=ax1+bx+4与x轴交于点C,且C(-1,0),A(4,0).

,卜廿4=0,解得卜=-1,

I16a+4b+4=0{b=3

二•抛物线解析式为y=-x2+3x+4,

令x=0,得y=4,

..B(0,4),

---y=kx+n(左片0)与x轴、y轴分另“交于/、8两点，

.J4kg0,解得

In=4In=4

J.直线4B的解析式为y=-x+4；

-'-AB=yj42+42=4^2，

①当=时，点用■与点/(4,0)关于y轴对称，故M(-4,0)符合题意;

②当N8=4W■时，

AM=AB=4近,

：.M'(4-4衣，0)、"(4+4&,0).

综上所述，点M的坐标为(-4,0)或(4-4&,0)或(4+472,0)；

(3)存在，理由如下：

设P(x,-X2+3X+4)(0<X<4),

如图，过点P作PD//y轴交直线AB于点。，则。(x,-x+4),

/-PD=yp-yD=(-X2+3X+4)-(—x+4)=-x2+4x,

S^PAB=^PD-OA=-lx4x[-X2+4X]=-2(x-2)2+8,

-2v0,

r.当x=2时，△尸48的面积最大，最大面积是8,

,存在点尸，使△尸48的面积最大，最大面积是8.

5.(2022•徐汇区模拟)如图1,在平面直角坐标系xOy中，直线尸船+3分别交x轴、〉轴于42两点，

经过48两点的抛物线y=-f+bx+c与x轴的正半轴相交于点C(1,0),点尸为线段上的点，且

点P的横坐标为m.

(1)求抛物线的解析式和直线N3的解析式；

(2)过P作j，轴的平行线交抛物线于当△依河是MP为腰的等腰三角形时，求点尸的坐标；

(3)若顶点D在以PM、PB为邻边的平行四边形的形内(不含边界)，求机的取值范围.

【分析】(1)先求出点3(0,3),运用待定系数法可求得抛物线的解析式为y=-X2-2X+3,令y=0,

可求得4(-3,0),把点/的坐标代入＞=履+3,即可求得直线的解析式为y=x+3；

(2)设尸(m,m+3),且-3W/wW0,则-m2-2m+3),可得PM--而-3m,运用两点间距

离公式可得尸3=-42m,根据△可〃是心为腰的等腰三角形，分两种情况：MP=PB或MP=MB,

分别建立方程求解即可得出答案；

(3)利用待定系数法可求得经过点。(-1,4)且平行直线的直线。G的解析式y=x+5,联立，得

x+5=-x2-2x+3,可得点G的横坐标为-2,根据题意可知：点”必须在直线DG上方的抛物线上运动,

故-2＜加＜-1.

【解答】解：(1).•.直线好履+3交y轴于点8,

：.B(0,3),

,•,抛物线-W+E+c经过点8(o,3),点C(l,0),

.fc=3

I_l+b+c=0

解得：产之

lc=3

「•抛物线的解析式为y=-x2-2x+3,

令歹=0,得-2x+3=0,

解得：XI=-3,X2=1,

力(-3,0),

把点A的坐标代入y=kx+3,得-3左+3=0,

解得:k=1,

二.直线AB的解析式为y=x+3；

(2)・••点尸为线段48上的点，且点尸的横坐标为冽，

•，.P(m,m+3),且・3WwW0,

•过尸作》轴的平行线交抛物线于M,

；.M(m,-m2-2加+3),

：.PM=-m2-2m+3-(m+3)=-m2-3m,

.0PB1=(m-0)2+(m+3-3)2=2m2,且-3W加WO,

PB=-

・・・△PBM是MP为腰的等腰三角形，B(0,3),

:.MP=PB或MP=MB,

•；OA=OB=3,4/03=90°,

AAOB是等腰直角三角形，

AABO-45°,

■：PM//OB,

；.乙BPM=45°,

①当MP=P8时，

-m2-3m=-,

解得：m=0（舍去）或m=-3+V2,

-p(-3+V2,V2);

②当=时，

贝I］乙48PA/=45°,

；.乙BMP=90°,

：.BM//x^,即点加■的纵坐标为3,

-m2-2m+3=3,

解得：wi=0(舍去)，m2=-2,

.■.P(-2,1),

综上所述，点尸的坐标为(-3+72,企)或(-2,1)；

(3)y=-X2-2x+3=-(x+1)2+4,

•,.抛物线的顶点。(-1,4),

设经过点0(-1,4)且平行直线N2的直线DG的解析式为y=x+*如图2,

则-1+〃=4,

解得：n=5,

-'-y=x+5,

联立,得尤+5=-X2-2x+3,

解得：XI=-1,X2=-2,

.•.点G的横坐标为-2,

顶点D在以PM、PB为邻边的平行四边形的形内(不含边界),

点M必须在直线DG上方的抛物线上运动，

，加的取值范围为：

6.（2022•沐阳县模拟）如图1,在平面直角坐标系xOy中，抛物线＞=/+2了-3与x轴交于/、8两点（点

A在点B的左侧），与y轴交于点C.

（1）求点/的坐标;

（2）如图2,连接/C,点。为线段/C下方抛物线上一动点，过点。作。£为轴交线段NC于£点，

连接E。、AD,记△4DC的面积为Si,△/£（?的面积为S2,求N-$2的最大值及此时点。的坐标；

（3）如图3,连接CB,并将抛物线沿射线CB方向平移2y5个单位长度得到新抛物线，动点N在原抛

物线的对称轴上，点M为新抛物线与y轴的交点，当九W为以为腰的等腰三角形时，请直接写出

点N的坐标.

【分析】（1）令y=0,即可求/点坐标;

（2）延长DE交x轴于点K,求出直线4C的函数表达式为》=-X-3,设。（/,?+2；-3）,其中-3v

139_

t<0,则E（J,-Z-3）,K（t,0）,即可求Si-S2=--t-—t-——L/+i--------------3/2_6f一旦）=-3（什2）

2222222

2+2当f=-2时，S1-S2取得最大值，最大值为3,此时点D的坐标为（-2,-3）；

22

（3）由题意可求抛物线向右平移2个单位长度，向上平移6个单位长度，则平移后的抛物线解析式为y

=(x-1)2+2,可求M(0,3),设"(-1,n),分两种情况①当时，9+9=4+n2,得到N(-

1,V14)或N(-1,-V14)；②当时，9+9=1+(3-")2,得到N(-1,3+^17)或N

(-1,3-V17).

【解答】解:(1)•••抛物线y=/+2x-3与x轴交于/、3两点(点(在点8的左侧),

令y=0,得X2+2X-3=0,解得Xi=-3,X2=1,

・・•点/在点2的左侧，

，点/的坐标为(-3,0)；

(2)如图，延长。E交x轴于点K,

•.•抛物线>=X2+2X-3与y轴交于点C,

.•.C(0,-3),

设直线NC的函数表达式为>=日+〃(后W0),

■-A(-3,0),C(0,-3),

fn=-3

-3k+n=0

解得卜-1,

[n=-3

•・・直线NC的函数表达式为>=-%-3,

设D(t,a+2人3),其中-3<Y0,

.■.E((/,-t-3),K(t,0),

"'*DE=-於-37,

1

Si=SAADC=—DE-OA=亮(-t-3t)=

S2=SAAEO=-EK-OA=3(/+3)=3什且，

2222

r.Si-$2=-S於-旦f-(3什9=-3於-6f-旦)=_芭(什2)2+3,

22222222

・•・当f=-2时，Si-e取得最大值，最大值为S,

2

此时点。的坐标为(-2,-3)；

(3),.。0,-3),3(1,0),

•.O--B--_-1-，

0C3

••・抛物线沿射线CB方向平移2疝个单位长度，

••・抛物线向右平移2个单位长度，向上平移6个单位长度，

•••平移后的抛物线解析式为y=(x+l-2)2-4+6=(x-1)2+2,

当x=0时，y—3,

3),

•••原抛物线的对称轴为直线x=-1,

设N(-1,〃)，

①当NN时，9+9=4+/,

'''«=士VH，

■■.N(-1,V14)或"(-1,-V14);

②当时，9+9=1+(3-〃)2,

n=3+VTF或"=3-V17，

••・N(-1,3+历)或N(-1,3-V17);

综上所述：N点坐标为(-1,V14)或(-1,-丁五)或(-1,3+V17)或(-1,3-百？).

7.(2022春•北修区校级期末)如图，已知点(0,2)在抛物线G：>=2/+6X+C上，且该抛物线与x轴

33

正半轴有且只有一个交点4与y轴交于点3,点。为坐标原点.

图3

(1)求抛物线Ci的解析式；

(2)抛物线。沿射线加的方向平移'亘个单位得到抛物线C2,如图2,抛物线C2与x轴交于C,D

3

两点，与y轴交于点E,点、M在抛物线C2上，且在线段ED的下方，作MN//y轴交线段DE于点N,连

接ON,记的面积为Si,的面积为出，求Si+2s2的最大值；

(3)如图3,在(2)的条件下，抛物线C2的对称轴与x轴交于点尸，连接EG点尸在抛物线C2上且

在对称轴的右侧，满足乙PEC=LEFO.

①直接写出P点坐标；

②是否在抛物线Q的对称轴上存在点儿使得为等腰三角形，若存在，请直接写出〃点的坐标;

若不存在请说明理由.

【分析】(1)利用待定系数法解答即可；

(2)利用(1)的结论和已知条件求得抛物线C2的解析式，依据图象求得51+2*的值，利用二次函数

的性质求得结论；

(3)①设EP与x轴交于点H,利用相似三角形的判定与性质求得线段CH的长，得到点H的坐标，利

用待定系数法解答即可；

②利用分类讨论的思想方法分三种情况讨论解答，利用等腰三角形的性质和勾股定理求得对应相等的长

度即可求得结论.

【解答】解：(1),.荣((),2)在抛物线Ci:y=&2+6x+c上，

33

•.•c_--2.

3

该抛物线与X轴正半轴有且只有一个交点A,

.'.b<0,62-4x2x2=