湖南省岳阳市汨罗市2023-2024学年九年级下学期学习能力检测竞赛数学试题(含答案)

2024年上学期学习能力检测试题卷

九年级数学科

时量：总分：100分

一、单选题（本题共8小题，每小题2分，共16分）

1.如图，在等腰直角三角形28c中，/。=90°,/。=6,，是"。上一点，若tan/〃劭=工，则sin/侬的

值为（）

A.近B.1C,汉亘D,则亘

321313

2.下列命题中，表述正确的是（）

A.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

B.方程2?-3x-2=0有两个相等的实数根

C.反比例函数y=K的图象经过点（-2,-1）,则其函数值y随x的增大而增大

X

D.点C是线段45上的一点，若Ad=AB-BC,则称点C是的黄金分割点.若线段力8=巡，C是的黄

金分割点，且“＞国则AC=§*.

2

3.如图，在中，/8=45°,ZC=60°,相，理于点〃BD=V6＞若£，尸分别为/氏区的中点，则

鳍的长为（）

A.V2B.返C.逅D.V3

23

4.如图，在长方形加切中，£为46中点，以施为边作正方形废尸G,近EF交CD千点、H,在边座上取点〃

使BM=BC,&MN//BG交CD于点、L,交能于点儿欧几里得在《几何原本》中利用该图解释了（a+ZO（a

s

-6）=才-次连接阳记△48C的面积为51,图中阴影部分的面积为S.若a=36,则—L的值为（）

S2

1

21844

5.商丘宁陵酥梨素以香甜饱满、酥脆多汁享誉省内外，深受大家欢迎.为提高果农筛选酥梨的效率，小明设

计了如图甲所示的自动筛选装置.电源电压不变，而为定值电阻，7?为压敏电阻，阻值随压力大小的变化关

系如图乙所示.一次筛选中，小明设计了当经过压力检测区上酥梨质量不大于100g时，机械装置通过传感

器操作启动，将质量不达标的小酥梨推出传送带，实现自动筛选功能（g取10激3,例如，物体质量为100g

时，反力F=G=mg=0.\kgX\0N/kg=\lt）.以下说法错误的是（）

A.酥梨质量越大，压敏电阻斤的阻值越小

B.当压力检测区没有酥梨时，压敏电阻的阻值为100Q

C.压敏电阻的阻值火与酥梨质量”成反比例关系

D.当机械装置实现自动筛选功能时，压敏电阻片的范围为60W"<100Q

6.有一列数｛-1,-2,-3,-4｝,将这列数中的每个数求其相反数得到｛1,2,3,4）,再分别求与1的和

的倒数，得到｛工，1,工，工｝,设为自，的a,a｝,称这为一次操作；第二次操作是将E,az,a,&｝

2345

再进行上述操作，得到｛全，%，为,备｝;第三次将仿5,36,以,a｝重复上述操作，得到｛29,510,511,512）......

以此类推，得出下列说法中，正确的有（）个.

①戊=2,&=_?_,4

a6234

②^2015=3

③21+/+a3+......+&9+a0=-"3

10

A.0B.1C.2D.3

7.如图，已知矩形中，AB=4cm,BC=8cm,动点〃在边夕。上从点方向点。运动，速度为1cMs.同时

2

动点0从点C出发，沿折线运动，速度为2cMS,当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运

动，设点尸运动的时间为t（s）,△第0的面积为S（°着），则描述S（CR2）与时间t（s）的函数关系的图

象大致是（）

8.如图，大小两个量角器的零度线都在直线上，而且小量角器的中心在大量角器的外边缘上.如果它们外

边缘上的公共点尸在大量角器上对应的度数为50°,那么/物为的度数（）

二、多选题（本题共4小题，每小题4分，共16分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全

部选对得4分，选对但不全得2分，有选错的得。分）

9.如图是抛物线/=@/+取+。（a<0）的部分图象，其顶点坐标为（1,72）,且与x轴的一个交点在点（3,0）

和（4,0）之间，则下列结论：①3a+6=0；②5=4a（c-〃）；③一元二次方程a/+6x+c=〃-1无实数根;

④a^b，ani+bm（以为任意实数）；其中正确结论的是（）

10.海水受日月引力而产生的周期性运动叫潮汐，早晨海水上涨为潮，黄昏海水上涨为汐，合称潮汐.受潮汐

影响，某港口从某日0时到12时的水深入（单位：加随时间t（单位：入）变化的关系如图1所示，船舶

3

可以根据吃水深度选择进出港口的时间.下列说法中正确的是（）

信息窗：

①吃水深度是指船舶的底部至船体与水

面相连处的垂直距离；

②该港口规定船舶进出港口时船底与港

口水底间的距离不能少于2m

图2

A.当3Vt<9时，水深入随着t的增大而减小

B.当力=9时，该港口水深最浅

C.港口水深人=60时，t—5

D.某货船吃水深度为3〃时，则它不可以在上午7时进出港口

11.如图，已知四边形力6口是边长为4的正方形，£是切上一动点，将△/庞沿直线力£折叠后，点，落在点

厂处，所的延长线交8C于点G,鳍的延长线交以于点〃，/£与加交于点。，连接。C.则下列结论中：①

AE=DG；②EH=DE+BH；③0C的最小值为2遥-2；④当点〃为比'的中点时，/55=45°.其中正确的有

C.③D.④

12.如图，是0。的直径，点C是。。上一点，与过点C的切线垂直，垂足为〃直线加与的延长线

交于点?，弦龙平分///,交相于点凡连接阳班'=7&.下列四个结论：①AC平分NDAB；②Py=PB

•巴；③若8，则阴影部分的面积为工m-理愿；④若尸C=24,则tan/R^=g.其中正确的是（）

2444

A.①B.②C.③D.④

4

三、填空题(本题共4小题，每小题4分，共16分)

13.全班约2是男生，约旦是女生，若根据所给数据绘制扇形统计图，则男生所占的圆心角应

55

为.

14.公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等

的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，其中直角三角形中较大的锐角度数为a,若大正方

形的面积为13,小正方形的面积为1,则sina-cosa的值为.

15.若关于x的一元一次不等式组(x+2)的解集为矛>7,且关于旷的分式方程£空出上邑=2的

,a-2x<5y-11-y

解是非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是.

16.把标准纸一次又一次对开，可以得到均相似的“开纸”.现在我们在长为2加、宽为1的矩形纸片中，画

两个小矩形，使这两个小矩形的每条边都与原矩形纸的边平行，或小矩形的边在原矩形的边上，且每个小

矩形均与原矩形纸相似，然后将它们剪下，则所剪得的两个小矩形纸片周长之和的最大值

是.

四、解答题(本题共6小题，共52分)

17.(8分)如果方程x2+0x+<7=0的两个根是xi、x2,那么xi+x2=",xi*X2=q.

请根据以上结论，解决下列问题:

(1)已知方程*+(A-2)x-2A=0的两根矛1、用之和荀+泾=1,求矛1、x2；

(2)如果a、6满足a,+2a-2=0、曲26-2=0,求包上•的值.

ba

18.(8分)为提高新会陈皮知名度，树立品牌意识，我区有关部门对4B、C、，四个商家销售的礼盒装柑普

茶共2000盒进行合格率检测，通过检测得出C厂家的合格率为95%,并根据检测数据绘制了如图1、图2两幅

不完整的统计图.

5

合格柑普茶数（盒）4个商家的柑音茶抽查百分比

（1）求抽查，商家的柑普茶盒数，扇形统计图中2商家对应的圆心角的度数;

（2）抽查C商家的柑普茶是多少盒？其中合格柑普茶是多少盒？并将图1补充完整;

（3）若要从4B、C,。四个商家中，随机抽取两个商家代表新会参加广东省特色产品展销会，请用“列表法”

或“画树形图”的方法求出C、〃两个商家同时被选中的概率.

19.（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线_/：丫=_/*+4与x轴、V轴分别交于点/、B,与双曲线

丫上6〈0）相交于点。，点。在第二象限且△。!。的面积为20.点〃（-5,m）在双曲线上.

（1）求点，的坐标以及A的值；

（2）联结切，直线/向上平移交直线缪于点尸，点0为平面内任意一点，如果四边形儿制为菱形，求点

户的坐标；

20.（8分某超市每天能销售河南特产“伊川富硒小米”和“伊川贡小米”共21袋（5斤装），且“伊川富硒小

米”6天销售的袋数与“伊川贡小米”8天销售的袋数相同.

（1）该超市每天销售“伊川富硒小米”和“伊川贡小米”各多少袋？

6

（2）“伊川富硒小米”每袋进价20元，售价25元；“伊川贡小米”每袋进价30元，售价33元.若超市打

算购进“伊川富硒小米”和“伊川贡小米”共80袋，其中“伊川富硒小米”不超过40袋，要求这80袋小

米全部销售完后的总利润不少于316元，则该超市如何购进这两种小米获利最大？最大利润是多少元？

21.（10分）如图1,两个全等的直角三角形纸片/花和龙尸拼在一起，使点力与点/重合，点C与点〃重合,

其中///=/叱=90°,BC=EF=3an,AC=DF=4cm.

（1）将图1中的三角形纸片颂沿/C方向平移，连接/£,劭（如图2）,当点尸与点。重合时停止平移，

试判断四边形/及应的形状，并说明理由；

（2）当三角形纸片颂平移到某一位置时，四边形/皿恰为矩形（如图3）,求//的长；

（3）在图3中，取助的中点。，再将纸片龙F绕点。顺时针方向旋转a度（0WaW90）,连接〃（如

图4）.当厮平分时，探究必'与初的数量关系，并说明理由.

22.（10分）如图1,已知二次函数/=3+云+。的图象与x轴交于点4（-1,0）和点6（3,0）,与y轴的负

半轴交于点C.

（1）求这个函数的解析式；

（2）点尸是抛物线上位于第四象限内的一点，当△咖的面积最大时，点尸的坐标，并求出最大面积；

（3）如图2,点7是抛物线上一点，且点7与点。关于抛物线的对称轴对称，过点7的直线75与抛物线

有唯一的公共点，直线椒〃龙交抛物线于四“两点，连/〃交y轴正半轴于G,连的交y轴负半轴于〃,

求OH-OG.

7

2024上九数参考答案

一、单选题(本题共8小题，每小题2分，共16分)

1-8CDACCBAB

二、多选题(本题共4小题，每小题4分，共16分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全

部选对得4分，选对但不全得2分，有选错的得0分)

9.BD10.ABDll.ABCD12.ABD

三、填空题(本题共4小题，每小题4分，共16分)

13.144。14.^5115.94.16.4加+生

13—4

四、解答题(本题共6小题，共52分)

17.(1)(1)根据题意得xi+x2=-(女-2)=1,

解得k=l,

・••原方程为/-X-2=0,

解得冗2=2；.............4分

(2)当a=b,原式=1+1=2；

当aWb,贝lj〃、可看作一元二次方程-2=0的根，且abWO,

••d~^~b~=-2,ctb~~-2,

•原式=4乙+b2=(a+b)ab=4-2X(-2)=_%

abab-2

即包上的值为2或-4..............8分

ba

18.((1)。商家的柑普茶比例=1-20%-20%-35%=25%,

8

所以D商的柑普茶盒数=2000X25%=500盒;

。商家对应的圆心角为360°X25%=90°；-2分

（2）抽查C商家的柑普茶盒数=2000X20%=400（盒），其中C商家的合格柑普茶盒数=400X95%=380

（盒）；

图1补充完整如下：

合格柑普茶数（盒）

800$-

370380

ABCD

图1

（3）画树形图如下:

/h小Th小

共有12种等可能的结果数，其中同时选中C、。的有2种

所以同时选中c、。的概率=2=1

126

19.解：（1）把y=0代入y=-1+4,得尤=8,

.,.点A的坐标为(8,0),

|yc|=20,

lyd=5,

•..点c在第二象限，

；.yc=5,

把y=5代入y=-—,r+4,得尤=-2,

C(-2,5),

9

把点C的坐标代入y=K中得k=-10；...........................3分

(2)由(1)知，双曲线的解析式为y=-W,

把。(-5,代入y=-也■得，%=2,

：.D(-5,2),

设直线CD的解析式为y^kx+b,

.(5=-2k+b

'l2=-5k+b，

解得心口,

lb=7

直线CD的解析式为y=x+l,............................5分

•••四边形ACP。是菱形，

JCP=AC,

设尸(x,x+7),

则V(X+2)2+(X+7-5)2-7(-2-8)2+(5-0)2，

解得XI=EIU_2,X2=-旦叵-2(不合题意舍去),

22

P-2,5VJI5+5)；...........8分

20.w：(1)该超市每天销售“伊川富硒小米”尤袋，则每天销售“伊川贡小米”(21-无)袋,

根据题意，得：6%=8(21-%)

解得：x=12,

21-12=9,

答：超市每天销售“伊川富硒小米”12袋，则每天销售“伊川贡小米”9袋........3分

(2)设该超市购进“伊川富硒小米”〃袋，则购进“伊川贡小米”(80-〃)袋,

根据题意，得：(25-20)。+(33-30)(80-a)2316

解得：〃238,

10

•.•“伊川富硒小米”不超过40袋，

.•.384W40,

为整数，

；.a=38或39或40,............................5分

设获得的利润为w元，

贝!|卬=(25-20)a+(33-30)(80-a)=2a+240,

是a的一次函数，2>0,

随。的增大而增大，

.•.当a=40时，w有最大值为：w=2X40+240=320,

此时80-40=40,

答：该超市购进购进“伊川富硒小米”40袋，购进“伊川贡小米”40袋获利最大，最大利润是320

元...............8分

21.(1)解：四边形A2DE是平行四边形.

理由：•:LABC咨ADEF,

：.AB=DE,NBAC=/EDF,

：.AB//DE,

.•.四边形ABDE是平行四边形；..............3分

(2)如图1,连接BE交于点O,

:四边形ABDE为矩形,

：.OA=OD=OB=OE,

设AF—xcm,则0A=0E='(x+4)，

.1

,•0F=0A-AF=2--x'

ii

在中，。产+E尸2=。E2,

•*,(2-yx)2+32=-^(x+4)2,

解得：驾，

4

/.AF=~'(cm)・.............................6分

(3)BD=20F,

证明：如图2,延长。尸交AE于点〃，由矩形的性质及旋转的性质知：OA=OB=OE=OD,

：.ZOAB=ZOBA=ZODE=/OED,

：.ZOBD=ZODB,ZOAE=ZOEA,

：.NBDE+NDEA=ZABD+ZEABf

NABD+/BDE+NDEA+/EAB=360°,

AZABD+ZBAE=180°,

:,AE〃BD,

：./OHE=/ODB,

,；EF平分/OEH,

：.ZOEF=ZHEFf

VZEFO=ZEFH=90°,EF=EF,

:•△EEOQXEEH(ASA),

：・EO=EH,FO=FH,

：.ZEHO=ZEOH=ZOBD=/ODB,

：.AEOH^AOBD(AAS),

：.BD=OH=2OF..............................10分

22.W：(1)将A(-1,0)和5(3,0)代入ynf+fev+c得:

尸-b+c,解得(b=-2,

I0=9+3b+cIc=-3

12

函数的解析式为y=x2-2x-3；2分

(2)过尸作尸。〃y轴交5C于。，如图:

在y=J?-2x-3中，令x=0得y=-3,

：.C(0,-3),

*：B(3,0),

・,・直线BC为y=x-3,

设尸(6?-2r-3),则。(t,Z-3),