2024年人教版九年级数学下册全册单元同步测试卷

第二十六章反比例函数

第二十六章反比例函数

26.1反比例函数

26.1.1反比例函数

1.（反比例关系）下列等式中，叫y这两个量成7.（反比例函数的定义，一元二次方程）已知函

反比例关系的是（）数y=（炉+2左）J+i是反比例函数，求A

A.x=15B.y=7x的值.

C.x-2=y:3D.x-2=3-y

2.（用待定系数法求解析式）一艘货轮从甲港往

乙港运送货物，甲港的装货速度是每小时30

吨，一共装了8小时,到达乙港后开始卸货，乙港

卸货的速度是每小时万吨，设卸货的时间是y小

8.（实际应用，待定系数法）某公司计划生产一

时，则y与x之间的函数解析式是.

批产品，需要经过加工后才能投放市场，甲工

3.（代入求值）已知经过某闭合电路的电流/

厂每天可加工160件，8天可以完成生产

（单位:A）与电路的电阻R（单位：。）是反比

任务.

例函数关系，当/=5A时,7?=20O,则当

（1）求这一批产品的数量.

R=40Q时,/=.

（2）如果由乙工厂来加工，每天可加工x件,

4.（用待定系数法求人的值）若反比例函数y=

那么请写出乙工厂所需加工天数y关于x的

上在工=2时自变量增加1,函数值相应减少

X函数解析式.

了仔9，则口.（3）如果乙工厂准备用5天将所有产品加工

完,那么平均每天要加工多少件产品？

5.（正比例关系，反比例关系）（2021•上海杨

浦区期中）已知y与2z成反比例，比例系数

为匕,z与段工成正比例，比例系数为自，片和

质是已知数，且自・月#。，则y关于工成

比例.（填“正”或“反”）

9.（反比例关系与正比例关系的综合应用）已知

6.（规律探究）将工=年代人反比例函数y=

x

y=yt+外,力与一成反比例,力与成正比

-上中，所得函数值记为力，又将工=力+1例・当4=1时,y=5；%=2时,y=3.求当4二3

X

时4的值.

代入函数中，所得函数值记为力，再将X=

%+1代人函数中，所得函数值记为力,

如此继续下去.

（1）完成下表.

力力y4

3

（2）观察上表，猜想力023=.

(……)

26.1.2反比例函数的图象和性质

1.（一次函数，代数式）（2022•江苏苏州姑苏

关于工轴的对称点8在双曲线y=上，则

X

区振华中学期中）反比例函数y=与一次

X自+e的值为（）

函数y=4+3的图象的一个交点坐标是（a,A.-1B.0C.1D.2

b）,则（）6.（反比例函数的性质，比较大小）已知反比例

A.—6B.6C.-5D.5函数y=L3的图象上有两点4（孙，力），

2.（待定系数法）如图,4,8分别是反比例函数X

y=-色（*<0）与y=2（工>0）的图象上的8（工2,%），当/<«2<。时,%<%，则m的取

XX值范围是.

点，且48〃工轴，过点8作48的垂线交工轴7.（左的几何意义，直线与双曲线的交点）如图

于点C,连接4C,则△4BC的面积为（）

所示，正比例函数y=的图象与反比例函

数尸=区a#0）在第一象限的图象交于点4,

X

过点4作x轴的垂线,垂足为M,已知△。猛

的面积为1.

（1）求反比例函数的解析式；

（2）如果点B为反比例函数在第一象限图象

3.（图象交点）反比例函数y=gW的图象与直上的点（点8与点A不重合），且点B的横坐

标为1,在x轴上求一点P,使PA+PB最小.

线y=-%有交点，则a的取值范围是（）

A.aN—3B.Q>—3

C.QW—3D.a<-3

4.（图象共存）（2019•广西贺州中考）已知而<

0,则一次函数y=OX-6与反比例函数y=W

X

8.（A的几何意义，直线与双曲线的交点）如图

在同一直角坐标系中的图象可能是（）

所示，一•次函数y=x+4的图象与反比例函

数y=上«为常数且A#0）的图象交于

X

4（-1,。），8两点,与工轴交于点（?.

（1）求反比例函数的解析式；

（2）若点P在X轴上，且S&ACP=/语,求

点P的坐标.

5.（反比例函数的对称性）（2022•河南南阳卧

龙区一模）在平面直角坐标系xOy中，点

A（a,b）（a>0,6>0）在双曲线y='■上，点A

X

c***(^92^1***)

第二十六章反比例函数_

专项点睛1反比例函数比例系数k的几何意义

1.如图,P是反比例函数y=£(x>0)图象上的为8,则A的值是.

任意一点,过点P分别作工轴、y轴的垂线，垂

足分别为3,4,与坐标轴构成矩形OAPB,D

是矩形04PB内任意一点，连接DA,DB,DP,

0。,则图中阴影部分的面积是()

5.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=

kx+l的图象交y轴于点0,与反比例函数

y=好在第一象限的图象相交于点4,过点4

X

分别作工轴、y轴的垂线，垂足分别为8,C.

A.1B.2C.3D.4(1)点。的坐标为;

(2)当四边形OBAC是正方形时，求k值.

2.如图，点4在双曲线了=生上，点8在双曲线

X

y=*上，且〃工轴，点C,0在x轴上，若四

X

边形ABC0为矩形，则它的面积为()

6.如图，正比例函数y=x与反比例函数y=—

A.4B.6C.8D.12的图象相交于4c两点，过点4作AB_Lx轴

3.如图,在平面直角坐标系中，过点M(-3,2)于点&过点C作CZ)_Lx轴于点0,连接40,

8C,求四边形A6C0的面积.

分别作x轴、y轴的垂线与反比例函数y=-

X

的图象交于4,8两点，则四边形MAOB的面

积为•

4.如图,4,8是函数y=§的图象上关于原点对

称的两点,〃工轴MC〃y轴，且4c交工轴

于点交y轴于点£若△45C的面积

26.2实际问题与反比例函数

1.（力学问题）（2021•浙江丽水中考）一杠杆“酒后驾驶”，不能驾车上路.参照上述数学模

装置如图,杆的一端吊起一桶水，水桶对杆的型，假设某驾驶员晚上20：00在家喝完半斤

拉力的作用点到支点的杆长固定不变.甲、低度白酒，第二天早上8：00能否驾车去上

乙、丙、丁四位同学分别在杆的另一端竖直向班？请说明理由.

下施加压力“，尸乙，尸丙，尸丁，将相同重量的

水桶吊起同样的高度，若尸乙＜尸丙＜尸卬＜

尸丁，则这四位同学对杆的压力的作用点到支

点的距离最远的是（）

FFv

A.甲同学B.乙同学4.（分段函数，利润问题）“保护生态环境，建设

C.丙同学D.丁同学绿色社会”已经从理念变为人们的行动.某化

2.（待定系数法，反比例函数的性质）小明要把工厂2022年1月的利润为200万元.设2022

一篇文章录入电脑，所需时间y（min）与录入年1月为第1个月，第工个月的利润为y万

文字的速度M字/min）之间的反比例函数关元.由于排污超标，该工厂从2022年1月底

系如图所示,如果小明要在9min内完成录入起适当限产，并投入资金进行治污改造，导致

任务，则小明录入文字的速度至少为月利润明显下降，从1月到5月与x成反

_____字/min.比例.到5月底，治污改造工程顺利完工，从

这时起，该厂每月的利润比前一个月增加

20万元（如图所示）.

（1）分别求该化工厂治污期间及改造工程顺

利完工后y与工之间的函数解析式；

（2）治污改造工程顺利完工后经过几个月，该

3.（正比例函数与反比例函数的综合应用）实验厂利润才能达到200万元？

数据显示,一般成人喝半斤低度白酒后，1.5（3）当月利润少于100万元时为该厂资金紧

小时内其血液中酒精含量y（毫克/百毫升）张期，问该厂资金紧张期共有几个月？

与时间x（小时）成正比例；1.5小时后（包括

L5小时）y与x成反比例.根据图中提供的

信息，解答下列问题：

（1）写出一般成人喝半斤低度白酒后,y与x

之间的函数解析式及相应的自变量的取值

范围；

（2）按照国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒

精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于

c«•«(594^1•»»)

第三土主章反比例函数

第二十六章培优精练

1.（反比例函数的定义）（2022•安徽安庆岳西线上任意一点P作PM_LX轴于点M,PNly

县期末）函数3<=-^=中自变量X的取值范轴于点N.设四边形OMPN的面积为S,点P

yx-1运动的时间为，，则S关于t的函数图象大

围是（）致是（）

A.xNlB.S4___SA<

6dd

C.x>1D.x<1

o'ta7

（反比例函数的性质）（2022•4\\

2.AB

浙江杭州西湖区一模）如图，

SASA八

是三个反比例函数为=?,为彳K

ato'7

CD

九=”',%=£■在y轴右侧的图象，则（）

XX5.（图形面积）如图所示，点

4在双曲线y=1的第一8投《

A.kx>k2>k3B.k2>k]>k3

C.43>A2>A,D.k3>k1>k2

象限的一支上"5垂直、

3.（一次函数、二次函数图象以

的综合应用）（2021•山东「\于V轴于点瓦点C在X轴正半轴上，且。C=

聊城中考）已知二次函数/Llo\[>248,点E在线段4c上，且A£=3EC,点。为

0B的中点.若AADE的面积为3,则k的值为

,=32+岳；+。的图象如图

所示，则一次函数>=及+。的图象和反比例

6.（反比例函数与几何图形的综合应用）如图所

函数厂y+C的图象在同坐标系中大

示，点点m,6）,B（n,l）在反比例函数的图象

致为（）1.,ADlx轴于点O,BC_Lx轴于点C,且

DC=5.

（1）求zn,n的值并写出反比例函数的解

析式；

（2）连接48,在线段DC上是否存在一点E,

使的面积等于5?若存在，求出点E

的坐标;若不存在,请说明理由.

k

4.（A的几何意义）如图所斗

示，已知是反比例函crv

O\DCX

数图象上的两点，BC〃工

轴，交夕轴于点c,动点P7

从坐标原点。出发，沿

O-MTB—C匀速运动,终点为。，过运动路

第二十七章相似

27.1图形的相似

1.（相似多边形的性质）两个相似多边形的相似4.（相似多边形的性质，二次函数）如图，在矩形

比为4:3,已知其中一个多边形的最小边长ABCD中,48=2AD.已知EF=10,在EF上

为12,则另一个多边形的最小边长为（）取一点M,分别以EM,MF为边作矩形

A.9B.16EMNH,矩形MFGN（MF>MN）,使矩形

C.9或16D.无法确定MFGN与矩形ABCD相似.设MN=孙当x为

2.（相似多边形性质的应用）矩形的两边长分别何值时，矩形EMNH的面积S有最大值？最

为工和6（x<6），把它按如图方式分割成三大值是多少？

个全等的小矩形，每一个小矩形与原矩形相C「HNG

似，则工的值为.

►AB--------------------------------

<------6--------EMF

3.（利用比例的基本性质判断线段成比例，概

率）数学课上，李老师准备了四张背面看上去

无差别的卡片儿丛C,。,每张卡片（如图）的

正面都标有字母a,6,c,d,它们表示四条线

5.（相似多边形的性质，动点问题）如图，已知矩

段，把四张卡片背面朝上放在桌面上，李老师

形45czM5=6cm,BC=8cm,E,F分别是

从这四张卡片中随机抽取两张.

AB,CD上的点，且AE=DF=4cm,两动点

（1）四条线段是成比例线段的卡片有;

分别从C,/两点同时出发，沿

（填代表卡片的大写字母）

均以2cm/s的速度向B,E两点运动,猜测当

（2）画树状图或者列表表示出所有可能出现

运动多长时间时，矩形CFNM与矩形

的结果，并求抽取的两张卡片中每张卡片上

他五。相似？写出你的猜测过程.

的四条线段都是成比例线段的概率.

AD

a=1a=1a=2a=1

6=26=6b=6b=4

c=3c=5c=2百c=1.5

d=4J=10d=d=6

（……）

第三十七章相似

27.2相似三角形

27.2.1相似三角形的判定

1.（利用平行线判定三角形相似）（2021•山东4.（相似三角形的判定，利用相似证明等积式）

淄博中考）如图,4氏C。相交于点心且如图所示，在中=AC,\^AB为直

EF//DB,^C,F,B在同一条直线上.已知径的。。交AC于点E,交BC于点D.求证：

AC=p,EF=r,DB=q,则p,q,r之间满足的数（1）。是3。的中点.

量关系式是（）②ABEC—AADC.

D（3）fiC2=2AB-CE.

3正

CFB

A.3JB-

rqPPrq

C.—JD.3=2

Pqrqrp

2.（相似三角形判定的应用）在如图所示的象棋

盘（各个小正方形的边长均相等）中，根据

“马走日”的规则，“马”“车”“炮”所在位置5.（相似三角形的判定，动点问题）如图，正方形

的格点构成的三角形与“帅”“相”“兵”所在ABCD的边长为4,E是BC边的中点,，点P在

位置的格点构成的三角形相似，“马”应落在

射线4。上，过点P作PF_L4E于点F.

（）

⑴求证:

1JL1M11।军（2）当点P在射线40上运动时，设P4=x，是

-A4——-----

——-----@否存在实数叫使以P,尸,E为顶点的三角形

与△48E相似？若存在，请求出工的值;若不

存在，说明理由.

A.①处B.②处C.③处D.④处APDAD

3.（平行线分线段成比例，全等三角形，勾股定MM

理）如图，直线乙〃，2〃/3,等腰直角三角形

ABC的三个顶点4,5,C分别在直线。44

BECBEC

上，上ACB=90°,AC交％于点D.若内儿之

备用图

间的距离为1,1/之间的距离为4,则AD的

长是______.

1__________C____________,

专项点睛2相似三角形的基本模型

1.如图，在与AADE中，。在上,4C=乙。尸£=45。，8。=8々，。£=6,求DE

21=22=43.^AB=4,AD=2,AC=3,^i的长.

2.如图所示，在RtLABC中，

乙ACB=90°,AC=6,BC=12,点

D在边BC上，点E在线段AD

±.,EF±AC于点尸,ECJ.EF交

AB于点G,若EF=EG,则CD的

长为.

5.已知:如图，在△4BC中垂足为O,

3.如图，4B4C=90。,40_L5C于点0,4E=EC,

AD=BD,E为边AD上一点，且0E=0C,连

ED的延长线交AB的延长线于点F.求证：

接BE并延长，交边4c于点尸.

ABDF

AC=AF'(1)求证：2\8/。62\4£k

(2)过点4作5c的平行线交BF的延长线于

点C,连接CG.如果DE2=AE•40,求证：四

边形ADCG是矩形.

4.(1)如图①，在四边形ABC0中,AB〃CD,点

P在BC上，乙B=乙4Po=90°,求证:

△ABP-APCD.

(2)探究:如图②，在四边形45co中，点P在

边BC上，当乙8=4C=Z.APD时，求证:

△ABP—2PCD.

(3)应用：如图③，在△川(：中,P是边BC的

中点，点D,E分别在边AB,AC上，若48=

第二十七章相似

27.2.2相似三角形的性质

1.（相似三角形中对应线段的比）（2021•甘肃边AB的长.

兰州期末）若两个相似三角形的对应边之比

为3：7,其中一个三角形的一条边上的中线

长为2,则另一个三角形对应边上的中线长为

（）

.146

A.—BD.—

37

C.竽或3D.无法确定

5.（相似三角形的判定，利用相似三角形的性质

2.（相似三角形的周长比）如图，在平行四边形

求相关线段的长）有一块三角形余料4BC,它

ABC0中，点E在边CD上,4C与BE相交于

的边BC=120mm,高40=80mm.如图①,

点F,且DE：CE=1：2,则ACEF与XABF

要把它加工成正方形零件，使正方形的一边

的周长之比为（）在上,其余两个顶点分别在AB,AC上.

（1）求加工成的正方形零件的边长.

（2）如果要加工的零件是一个矩形，且此矩形

是由两个并排放置的正方形组成,如图②，此

时,这个矩形零件的两条边长分别为多少？

A.1：2B.1：3

（3）如果要加工的零件只是一个矩形，如图

C.2：3D.4：9

③，此时，这个矩形零件的两条边长不能确

3.（相似三角形的面积比）如图所示，在△ABC

定,但这个矩形的面积有最大值，求面积达到

中，点D,E,F分别在边AB,BC,AC上，

最大值时矩形零件的两条边长.

△DBE-AFECRDE=CF,若S△桩=48,则

阴影部分的面积为.

4.（相似三角形的判定，利用相似三角形的性质

求相关线段的长）如图所示，已知矩形ABC。

的一条边4。=8,将矩形ABCD折叠,使得顶

点B落在CD边上的点P处，折痕与边BC交

于点。.

（1）求证：△OCPsaP/M.

（2）若aocp与的面积比为1：4,求

27.2.3相似三角形应用举例

1.（相似三角形的实际应用）（2021•甘肃兰州子中看到楼的顶部E（点O,A,B,C,D在同一

中考）如图，小明探究课本“综合与实践”板条直线上），测得4c=2m,8。=2.1m,如果

块“制作视力表”的相关内容：当测试距离为小明眼睛距地面的高度为BF,DG为1.6m,

5m时,标准视力表中最大的“E”字高度为试确定楼的高度OE.

72.7mm,当测试距离为3m时,最大的“E”

5.（相似三角形的实际应用）夜晚，小明在路灯

下散步.已知小明身高为1.5m,路灯的灯柱

高为4.5m.

2.（相似三角形的实际应用）（2022•广西中

（）如图①所示,若小明在相距的两个路

考）古希腊数学家泰勒斯曾利用立杆测影的110m

灯之间行走（不含两端），他前后的两

方法,在金字塔影子的顶部直立一根木杆，借48,CO

个影子长分别为FM=xm,FN=ym,试求y

助太阳光测金字塔的高度.如图，木杆EF长

与%之间的函数解析式,并指出自变量x的

2m,它的影长FD是4m,同一时刻测得OA

取值范围.

是268m,则金字塔的高度BO是m.

（2）有言道:形影不离.其原意为:人的影子与

自己紧密相伴，无法分离.但在灯光下，人的

速度与影子的速度却不是一样的.如图②所

示,若小明在灯柱PQ前，朝着影子的方向

3.（相似三角形的实（如图箭头），以0.8m/s的速度匀速行走，试

际应用）如图，正求他影子的顶端R在地面上移动的速度.

方形DEFG是一

座正方形小城，北

门〃位于OG的中

点，南门K位于E尸的中点，出北门走20步的

A处（AM=20步）有一树木，出南门14步到C①②

处（KC=14步），再向西走1775步到8处

（CB=1775步），正好看到4处的树木（点。

在直线AB上），则城邑的边长为步.

4.（相似三角形的实际应用）（2019•湖北荆门

中考）如图，为了测量一栋楼的高度。&小明

同学先在操场上A处放一面镜子，向后退到

8处,恰好在镜子中看到楼的顶部E；再将镜

子放到C处，然后后退到D处,恰好再次在镜

第三十七章相似

27.3位似

1.（位似图形的性质）如图，△4‘5'C'是△43C图形为C,使其位似比为2:1,并写出点

以点0为位似中心经过位似变换得到的.若4,的坐标；

△4'5'C，的面积与△48C的面积比是4：9,（2）作出AABC绕点C逆时针旋转90。后的

图形△儿与。；

（3）在（2）的条件下,求出点8所经过的路

径长.

A.2：3B.3：2

C.4：5D.4：9

2.（位似图形的性质）已知△ABC和△4'*C'是

位似图形，△4'"C'的面积为6cm2,其周长

是△45C的一半.若45=8cm,则45边上的

高等于（）

A.3cmB.6cm

C.9cmD.12cm

3.（位似图形的性质）如图所、

6.（位似图形的实际应用）如图，为测量有障碍

示，ZUOB三个顶点的坐标

分别为4（8,0）,。（0,0）,J彳物相隔的48两点间的距离，在适当处放置

个水平桌面，铺上白纸，在点A,B处立上标

8（8,-6）,点M为08的中X

点以点。为位似中心，把।杆,在纸上立大头针于点。，在纸上确定点C,

使点0,C,4在一条直线上，并且0A的长为

△408缩小为原来的衣,得到△*O万，点”0C的100倍，问接下来再怎样做，就能得出

两点间的距离？

为。夕的中点，则MAT的长为.

4.（位似图形的坐标变化规

律）如图所示，平面直角[夕r

坐标系xOy中，点48的0鼠/；

坐标分别为A（3,0）,

8（2,-3）,△AB'。'是B

△ABO关于点4的位似图形，且点0'的坐标

为（-1,0），则点力的坐标为.

5.（画位似图形、求弧长）（2021•黑龙江中考）

在正方形网格中，每个小正方形的边长为1,

△ABC在平面直角坐标系中的位置如图

所示.

（1）以点C为位似中心，作出的位似

第二十七章培优精练

1.(位似图形的性质)如图，已知五边形48C0E动时，点Q也停止运动.连接PQ,设运动时间

与五边形&是位似图形,。是位似为ts(0wy4).当t为何值时，以E,P,Q为

中心，且。。：0D'=2：3.顶点的三角形与△ADE相似？

(1)若已知条件不变，五边形4BCDE的周长

为32cm,求五边形*80万的周长；

(2)若已知条件不变，△ODE与△。0'夕是位

似图形吗？备用图

4.(相似三角形的性质与判定，平行四边形，菱

形)(2020•浙江宁波中考)

【基础巩固】

(1)如图①，在中，。为AB上一点，

Z.ACD=LB.求证：4C2=AD-AB.

2.(相似三角形的实际应用)某班在布置新年联【尝试应用】

欢会场时，需要将直角三角形彩纸裁成长度(2)如图②，在04BCD中,E为上一点，尸

不等的矩形纸条.如图，在RtAABC中,4C=为CD延长线上一点，乙BFE=44若BF=

40cm,AB=50cm,5c=30cm,依次裁下宽为4,BE=3,求4)的长.

1cm,长不小于5cm的矩形纸条，求每张直【拓展提高】

角三角形彩纸能裁成的矩形纸条的张数.(3)如图③，在菱形45co中，E是48上一

点，F是△仞《内一点,EF〃AC,AC=2EF，

乙EDF=/乙BAD,AE=2,0/=5,求菱形

3.(相似三角形的性质与判定，动点问题)如图，

在aABC中，4C=90°,AC=12cm,BC=

16cm,0,E分别是AC,AB的中点，连接OE.

点P从点。出发，沿OE方向匀速运动，速度

为2cm/s；同时，点Q从点B出发,沿胡方

向匀速运动,速度为4cm/s.当点?停止运

第二十△章锐角三角函数

第二十八章锐角三角函数

28.1锐角三角函数

1.(锐角三角函数的定义)如图，在RtzXABC(2)-(-y)+#+(-I)2023-cos60°；

中，4C=9(r,44,4B,乙C的对边分别为

6,c,则下列结论中不正确的是()(3)1-⑨+(cos60。-tan30。)°+区

A.a2+b2=c2B.sinB=cosA

C.tanA=—D.sin2A+cos24=1

c

2.(锐角三角函数的定义)在RtLABC中，

6.(勾股定理，锐角三角函数的定义)如图所示，

Z.C=90。，那么sin4+cos4的值()