吉林省白城市通榆县2024年中考数学最后冲刺卷（含解析）

吉林省白城市通榆县重点名校2024年中考数学最后冲刺浓缩精华卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处”o

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.如图，菱形OABC的顶点C的坐标为（3,4）,顶点A在x轴的正半轴上.反比例函数y=与（x>0）的图象经过顶

x

点B,则k的值为

A.掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后，6点朝上是必然事件

B.甲、乙两人在相同条件下各射击10次，他们的成绩平均数相同，方差分别是S甲2=0.4,S乙2=0.6,则甲的射击成

绩较稳定

C.“明天降雨的概率为!”，表示明天有半天都在降雨

2

D.了解一批电视机的使用寿命，适合用普查的方式

4.按如下方法，将△A3C的三边缩小的原来的!，如图，任取一点O,连A。、BO、CO,并取它们的中点。、E、F,

2

得AOE尸，则下列说法正确的个数是（）

①△4BC与4DEF是位似图形②△A5C与ADEF是相似图形

A.1B.2C.3D.4

5.如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（4,4）,B（6,2）,以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为

则端点C和D的坐标分别为（)

B.(2,4),(3,1)

C.(2,2),(3,1)D.(3,1),(2,2)

6.已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于（xi,0）、（X2,0）两点，且1<X2<2与y轴交于（0,-2）,下列结论:

①2a+b>l；②a+b<2；③3a+b>0；@a<-l,其中正确结论的个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

7.如图所示，二次函数y=ax?+bx+c（a#））的图象经过点（-1,2）,且与x轴交点的横坐标分别为xi、x2,其中-2

<X1<-1,0<X2<l.下列结论:

@4a-2b+c<0；®2a-b<0；③abcVO；@b2+8a<4ac.

A.1个B.2个C.3个D.4个

8.某小组5名同学在一周内参加家务劳动的时间如表所示，关于“劳动时间”的这组数据，以下说法正确的是（）

动时间（小时）33.544.5

人数1121

A.中位数是4,平均数是3.75B.众数是4,平均数是3.75

C.中位数是4,平均数是3.8D.众数是2,平均数是3.8

l+x>0

9.在数轴上表示不等式组.“八的解集，正确的是（）

i2x-4<0

1。.学完分式运算后'老师出了一道题“计算：口+不”-

小明的做法：原式=5+?（*-2）_二元2+%—6—%—2x2—8

%12-4%2-4

小亮的做法：原式—（x+3）（犬一2）+（2—%）=/+%—6+2—九二/―4；

x-2_x+31x+3-l

小芳的做法：原式=揶

(%+2)(%—2)x+2x+2x+2

其中正确的是（）

A.小明B.小亮C.小芳D.没有正确的

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11.如图，将边长为«的正方形ABCD绕点A逆时针方向旋转30。后得到正方形A，B，C，D，，则图中阴影部分面积为

平方单位.

7T

1太

12.直线y=—x与双曲线y=—在第一象限的交点为（a,1）,则k=.

2x

13.对于二次函数y=x2-4x+4,当自变量x满足a3W3时，函数值y的取值范围为叱%1,则a的取值范围为

14.抛物线y=（x+1）2.2的顶点坐标是.

15.如图，在x轴的正半轴上依次间隔相等的距离取点Ai,A2,A3,A4,An,分别过这些点做x轴的垂线与反比

例函数y=L的图象相交于点」P1,P2,P3,P4,…Pn,再分别过P2,P3,P4,…Pn作P2B」A1P1,P3B2_LA2P2,P4B3，A3P3,…，

X

PnBn-l±An-lPn1,垂足分别为Bl,B2,B3,B4,…，Bn-1,连接P*2,P2P3,P3P4,・・・,PniPn,得到一组RtAP1BR,

RtAP2B2P3,RtAP3B3P4,…，RtAPn-lBniPn,则RtAPn-iBn-iPn的面积为.

16.如图,菱形ABCD的边长为15,sin/BAC!则对角线AC的长为

三、解答题（共8题，共72分）

17.（8分）某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实

施，商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台.商场要想

在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元?

18.（8分）为了加强学生的安全意识，某校组织了学生参加安全知识竞赛，从中抽取了部分的学生成绩进行统计，绘

制统计图如图（不完整）.

类别分数段

A50.5—60.5

B60.5—70.5

C70.5—80.5

D80.5—90.5

E90.5-100.5

70

20%

0v50.560.570.580.590.5100.5成绩/分

请你根据上面的信息，解答下列问题.

(1)若A组的频数比B组小24,求频数直方图中的a,b的值；

(2)在扇形统计图中，D部分所对的圆心角为n。，求n的值并补全频数直方图；

(3)若成绩在80分以上为优秀，全校共有2000名学生，估计成绩优秀的学生有多少名？

19.(8分)如图，在AABC中，ZACB=90°,O是AB上一点，以OA为半径的。。与BC相切于点D,与AB交于

点E,连接ED并延长交AC的延长线于点F.

(1)求证：AE=AF；

(2)若DE=3,sinZBDE=-,求AC的长.

3

20.(8分)随着高铁的建设，春运期间动车组发送旅客量越来越大，相关部门为了进一步了解春运期间动车组发送

旅客量的变化情况，针对2014年至2018年春运期间的铁路发送旅客量情况进行了调查，过程如下.

(I)收集、整理数据

请将表格补充完整：

年份20142015201620172018

动车组发送旅客状a亿人次0.87L141.461.802.17

铁路发送旅客总所b亿人次2.522.763.073.423.82

动车组发送旅客量占比gx10034.5%41.3%47.6%52.6%

h

(II)描述数据

为了更直观地显示动车组发送旅客量占比的变化趋势，需要用什么图(回答“折线图”或“扇形图”)进行描述;

(III)分析数据、做出推测

预估2019年春运期间动车组发送旅客量占比约为多少，说明你的预估理由.

21.(8分)如图，在四边形ABC。中，NA=N3CZ>=90。，BC=CD=2屈,CELAD于点E.

A.E-D

(1)求证：AE^CEi

(2)若tan£>=3,求A5的长.

22.(10分)下表中给出了变量x,与丫=2*2,y=ax2+bx+c之间的部分对应值，(表格中的符号“…”表示该项数据已丢

失)

X-101

ax2・・・・・・1

ax2+bx+c72・・・

(1)求抛物线y=ax?+bx+c的表达式

(2)抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D,与y轴的交点为A,点M是抛物线对称轴上一点，直线AM交对称轴右侧的抛

物线于点B,当△ADM与ABDM的面积比为2：3时，求B点坐标；

(3)在(2)的条件下，设线段BD与x轴交于点C,试写出NBAD和NDCO的数量关系，并说明理由.•

23.(12分)凯里市某文具店某种型号的计算器每只进价12元，售价20元，多买优惠，优势方法是：凡是一次买10

只以上的，每多买一只，所买的全部计算器每只就降价0.1元，例如：某人买18只计算器，于是每只降价O.lx(18-

10)=0.8(元)，因此所买的18只计算器都按每只19.2元的价格购买，但是每只计算器的最低售价为16元.求一次至

少购买多少只计算器，才能以最低价购买？求写出该文具店一次销售x(x>10)只时，所获利润y(元)与x(只)

之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；一天，甲顾客购买了46只，乙顾客购买了50只，店主发现卖46

只赚的钱反而比卖50只赚的钱多，请你说明发生这一现象的原因；当10<xS50时，为了获得最大利润，店家一次应

卖多少只？这时的售价是多少？

24.如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-1,3),

3(-4,0),C(0,0)

(1)画出将△ABC向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到的AAiHCi；

(2)画出将△ABC绕原点。顺时针方向旋转90。得到△心心。；

(3)在x轴上存在一点P,满足点尸到Ai与点4距离之和最小，请直接写出尸点的坐标.

参考答案

一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分)

1,D

【解析】

如图，过点C作CD，x轴于点D,

,点C的坐标为(3,4),.,.OD=3,CD=4.

,根据勾股定理，得：OC=5.

•.•四边形OABC是菱形，.•.点B的坐标为(8,4).

•.•点B在反比例函数-±(x>0)的图象上，

故选D.

2、D.

【解析】

试题分析：根据一次函数和反比例函数的性质，分k>0和k<0两种情况讨论：

当kVO时，一次函数图象过二、四、三象限，反比例函数中，-k>0,图象分布在一、三象限；

当k>0时，一次函数过一、三、四象限，反比例函数中，一k<0,图象分布在二、四象限.

故选D.

考点：一次函数和反比例函数的图象.

3、B

【解析】

利用事件的分类、普查和抽样调查的特点、概率的意义以及方差的性质即可作出判断.

【详解】

解：A、掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后，6点朝上是可能事件，此选项错误；

B、甲、乙两人在相同条件下各射击10次，他们的成绩平均数相同，方差分别是S甲2=0.%S/=0.6,则甲的射击成

绩较稳定，此选项正确；

C、“明天降雨的概率为!”，表示明天有可能降雨，此选项错误；

2

D、解一批电视机的使用寿命，适合用抽查的方式，此选项错误；

故选B.

【点睛】

本题考查方差；全面调查与抽样调查；随机事件；概率的意义，掌握基本概念是解题关键.

4、C

【解析】

根据位似图形的性质，得出①4ABC与小DEF是位似图形进而根据位似图形一定是相似图形得出②4ABC与公DEF

是相似图形，再根据周长比等于位似比，以及根据面积比等于相似比的平方，即可得出答案.

【详解】

解：根据位似性质得出①4ABC与ADEF是位似图形，

②4ABC与4DEF是相似图形，

•.•将△ABC的三边缩小的原来的!，

2

.1△ABC与ADEF的周长比为2：1,

故③选项错误，

根据面积比等于相似比的平方，

...④^ABC与ADEF的面积比为4：1.

故选C.

【点睛】

此题主要考查了位似图形的性质，中等难度,熟悉位似图形的性质是解决问题的关键.

5、C

【解析】

直接利用位似图形的性质得出对应点坐标乘以上得出即可.

【详解】

解：•.•线段AB两个端点的坐标分别为A(4,4),B(6,2),

以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的1后得到线段CD,

2

二端点的坐标为：(2,2),(3,1).

故选C.

【点睛】

本题考查位似变换；坐标与图形性质，数形结合思想解题是本题的解题关键.

6、A

【解析】

如图，0<西<1,1<%<2

且图像与y轴交于点(0,-2),

可知该抛物线的开口向下，即a<0,c=-2

①当x=2时，y=4a+2b-2<0

4a+2b<22a+b<l

故①错误.

②由图像可知，当％=1时，y>0

a+/?—2>0

a+b>2

故②错误.

③•••0<%!<1,1<^2<2

.「IV玉+X2<3,

又•:X+X-9

12a

a

•a<b<-3a,

3a+b<0,

故③错误；

0<<2,石々=£<2,

a

又c——2,

ci<—1.

故④正确.

故答案选A.

【点睛】

本题考查二次函数了=。》2+6》+。系数符号的确定由抛物线的开口方向、对称轴和抛物线与坐标轴的交点确定.

7、C

【解析】

首先根据抛物线的开口方向可得到“V0,抛物线交y轴于正半轴，则c>0,而抛物线与x轴的交点中，-2VX1V-1、

b

0<X2<l说明抛物线的对称轴在-1~0之间，即x=——>-1,可根据这些条件以及函数图象上一些特殊点的坐标

2a

来进行判断

【详解】

b

由图知：抛物线的开口向下，则a<0；抛物线的对称轴*=——>-1,且c>0；

2a

①由图可得：当x=-2时，y<0,即4a-2b+cV0,故①正确；

b

②已知x=------>-1,且aVO,所以2a-bV0,故②正确；

2a

③抛物线对称轴位于y轴的左侧，则a、b同号，又c>0,故abc>0,所以③不正确;

4oc-b2

④由于抛物线的对称轴大于-1,所以抛物线的顶点纵坐标应该大于2,即:>2,由于aVO,所以4ac-b2V

4。

8a,即b2+8a>4ac,故④正确；

因此正确的结论是①②④.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查对二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征等知识点的理解和

掌握，能根据图象确定与系数有关的式子的正负是解此题的关键.

8、C

【解析】

试题解析：这组数据中4出现的次数最多，众数为4,

•.•共有5个人，

.•.第3个人的劳动时间为中位数,

故中位数为：4,

3+3.5+4x2+4.5

平均数为:---------------------------=3.1

5

故选C.

9、C

【解析】

解不等式组，再将解集在数轴上正确表示出来即可

【详解】

解1+xK）得史-1,解2x-4<0得x<2,所以不等式的解集为-1秘<2,故选C.

【点睛】

本题主要考查了一元一次不等式组的求解，求出题中不等式组的解集是解题的关键.

10、C

【解析】

试题解析：注+―

x+2x-4

x+3x-2

%+2(%+2)(%-2)

_x+31

x+2x+2

x+3-1

x+2

_x+2

x+2

=1.

所以正确的应是小芳.

故选C.

二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)

11>6-2百

【解析】

由旋转角/BAB，=30。，可知NDAB，=90。-30。=60。；设和CD的交点是O,连接OA,构造全等三角形，用S阴影

部分=S正方形-S四边形AB9D,计算面积即可.

【详解】

解：设和CD的交点是O,连接OA,

；AD=AB，，AO=AO,ND=NB，=90。，

/.RtAADO^RtAAB9,

...NOAD=NOAB'=30°,

；.OD=OB，=0,

S四边彩ABOD=2SAAOD=2X—A/2X屈=26，

S阴影部分=5正方形-S四边形AB'OD=6-2.

【点睛】

此题的重点是能够计算出四边形的面积.注意发现全等三角形.

12、1

【解析】

分析：首先根据正比例函数得出a的值，然后将交点坐标代入反比例函数解析式得出k的值.

详解：将(a,1)代入正比例函数可得：a=l,二交点坐标为(1,1),

:.k=lxl=l.

点睛：本题主要考查的是利用待定系数法求函数解析式，属于基础题型.根据正比例函数得出交点坐标是解题的关键.

13、l<a<l

【解析】

根据y的取值范围可以求得相应的x的取值范围.

【详解】

解：,二次函数y=x1-4x+4=(x-1)i,

b-4

••・该函数的顶点坐标为(1,0),对称轴为：x=——=——=2,

2a2

把y=0代入解析式可得：x=L

把y=l代入解析式可得：xi=3,xi=l,

所以函数值y的取值范围为OWyWl时，自变量x的范围为l<x<3,

故可得：1/aWl,

故答案为：IgaWL

【点睛】

此题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答.

14、(-1,-2)

【解析】

试题分析：因为y=(x+1)2-2是抛物线的顶点式，

根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为(-1,-2),

故答案为(-1,-2).

考点：二次函数的性质.

]

2n(n-l)

【解析】

解：设OA1=A1A2=A2A3=...=An-2An-l=An-lAn=a,

•当x=a时，y=-,；.P1的坐标为(a,-),

aa

当x=2a时，y=—，・'・P2的坐标为(2a,—),

2ala

••RtAP1B1P2的面积为一•〃♦(------)9

2a2a

RtAP2B2P3的面积为一•〃•(-------),

22a3a

RtAP3B3P4的面积为工•〃•('——-),

23a4〃

11

/.RtAPn—lBn—lPn的面积为大，。-7-----------------=-xlx(.

2|_(〃一1)〃na2n-1n2n(n-1)

]

故答案为:

2n(n-l)

16、24

【解析】

试题分析:因为四边形ABCD是菱形，根据菱形的性质可知，BD与AC互相垂直且平分，因为z二二二二二=,AB=10,

所以、D=6,根据勾股定理可求的〃C=8,BPAC=16；

・■

考点：三角函数、菱形的性质及勾股定理；

三、解答题(共8题，共72分)

17、100或200

【解析】

试题分析：此题利用每一台冰箱的利润x每天售出的台数=每天盈利，设出每台冰箱应降价x元，列方程解答即可.

试题解析：设每台冰箱应降价X元，每件冰箱的利润是：元，卖(8+^x4)件，

50

列方程得，

x

(8+—x4)=4800,

50

x2-300x+20000=0,

解得xi=200,X2=100；

要使百姓得到实惠，只能取x=200,

答：每台冰箱应降价200元.

考点：一元二次方程的应用.

18、(1)40(2)126°,1(3)940名

【解析】

(1)根据若A组的频数比B组小24,且已知两个组的百分比，据此即可求得总人数，然后根据百分比的意义求得a、

b的值；

(2)利用360。乘以对应的比例即可求解；

(3)利用总人数乘以对应的百分比即可求解.

【详解】

(1)学生总数是24+(20%-8%)=200(人)

贝！Ja=200x8%=16,b=200x20%=40；

/、70

(2)n=360x——=126°.

200

C组的人数是：200x25%=1.

(3)样本D、E两组的百分数的和为1-25%-20%-8%=47%,

.*.2000x47%=940(名)

答估计成绩优秀的学生有940名.

【点睛】

本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研

究统计图，才能作出正确的判断和解决问题.

19、(1)证明见解析；(2)1.

【解析】

(1)根据切线的性质和平行线的性质解答即可；

(2)根据直角三角形的性质和三角函数解答即可.

【详解】

(1)连接OD,

VOD=OE,

/.ZODE=ZOED.

\•直线BC为。。的切线，

/.OD1BC.

.\ZODB=90°.

；NACB=90。，

AOD/ZAC.

:.ZODE=ZF.

:.NOED=NF.

.,.AE=AF；

(2)连接AD,

；AE是。O的直径，

/.ZADE=90°,

VAE=AF,

，DF=DE=3,

；NACB=90。，

/.ZDAF+ZF=90o,ZCDF+ZF=90°,

ZDAF=ZCDF=ZBDE,

*DF1

在RtAADF中，---=sinNDAF=sinNBDE=—,

AF3

；.AF=3DF=9,

CF1

在RtACDF中，——=sinZCDF=sinZBDE=-,

DF3

1

.,.CF=-DF=1,

3

/.AC=AF-CF=1.

【点睛】

本题考查了切线的性质，解直角三角形的应用，等腰三角形的判定等，综合性较强，正确添加辅助线、熟练掌握和灵

活运用相关知识是解题的关键.

20、（I）见表格；（II）折线图；（III）60%、之前每年增加的百分比依次为7%、6%、5%、4%,据此预测2019年

增加的百分比接近3%.

【解析】

（I）根据百分比的意义解答可得；di）根据折线图和扇形图的特点选择即可得；（ni）根据之前每年增加的百分比

依次为7%、6%、5%、4%,据此预测2019年增加的百分比接近3%.

【详解】

(I)

年份20142015201620172018

动车组发送旅客量a亿人次0.871.141.461.802.17

铁路发送旅客总量b亿人次2.522.763.073.423.82

动车组发送旅客量占比100134.5%41.3%47.6%52.6%56.8%

b

(II)为了更直观地显示动车组发送旅客量占比的变化趋势，需要用折线图进行描述，

故答案为折线图；

(III)预估2019年春运期间动车组发送旅客量占比约为60%,

预估理由是之前每年增加的百分比依次为7%、6%、5%、4%,据此预测2019年增加的百分比接近3%.

【点睛】

本题考查了统计图的选择，根据统计图的特点正确选择统计图是解题的关键.

21、(1)见解析；(2)AB=4

【解析】

⑴过点B作BFLCE于F,根据同角的余角相等求出NBCF=ND,再利用“角角边”证明△BCF和△CDE全等，根据

全等三角形对应边相等可得BF=CE,再证明四边形AEFB是矩形，根据矩形的对边相等可得AE=BF,从而得证；

(2)由(1)可知：CF=DE,四边形AEFB是矩形，从而求得AB=EF,利用锐角三角函数的定义得出DE和CE的长，即

可求得AB的长.

【详解】

(1)证明：

过点3作于77,如图1.

^CELAD,

：.ZBHC=ZCED=9Q°,Zl+ZD=90°.

VZBCZ>=90°,

.,.Zl+Z2=90°,

,,.Z2=ZZ>.

又BC=CD

:.△BHCm/XCED(AAS).

：.BH=CE.

'：BH±CE,CELAD,NA=90°,

・•・四边形是矩形,

：.AE=BH.

：.AE=CE.

(2)・・•四边形ASHE是矩形，

：.AB=HE.

CE

,在RtACED中，tan。=——=3,

DE

设Z>E=x,CE=3x,

，CD=VlOx=2y/10.

・3=2・

：.DE=2,CE=3.

VCH=DE=2.

：.AB=HE=3-2=4.

图1

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，锐角三角函数的定义，难度中等，作辅助线构造出全等三

角形与矩形是解题的关键.

22、(1)y=x2-4x+2；(2)点B的坐标为(5,7)；(1)NBAD和NDCO互补，理由详见解析.

【解析】

(1)由(1,1)在抛物线尸上可求出a值，再由(-1,7)、(0,2)在抛物线y=，+/+c上可求出从c的值，此

题得解；

(2)由AAOM和A5OM同底可得出两三角形的面积比等于高的比，结合点A的坐标即可求出点5的横坐标，再利

用二次函数图象上点的坐标特征即可求出点B的坐标；

⑴利用二次函数图象上点的坐标特征可求出A、O的坐标，过点A作AN〃无轴，交BD于点、N,则

根据点5、D的坐标利用待定系数法可求出直线BD的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点N的坐标,

利用两点间的距离公式可求出54、BD、8N的长度，由三者间的关系结合NA3O=NNR4,可证出△

根据相似三角形的性质可得出NAN5=NZM3,再由NANB+NANZ>=120。可得出NZM3+NOCO=120。，即N3Ao和

NOCO互补.

【详解】

(1)当x=l时，y=ax2=L

解得：a=l；

将(-1,7)、(0,2)代入y=x2+bx+c,得：

[l-b+c=L解得卜,

Ic=2Ic=2

二抛物线的表达式为y=x2-4x+2；

(2),.,△ADM和△BDM同底，且△ADM与△BDM的面积比为2：1,

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