2024-2025学年高中数学第三章圆锥曲线与方程章末检测课时跟踪训练含解析北师大版选修2-1

PAGE第三章圆锥曲线与方程章末检测(三)(时间90分钟满分100分)第Ⅰ卷(选择题，共40分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．抛物线y＝－eq\f(1,2)x2的焦点坐标是()A．(0，eq\f(1,8)) B．(－eq\f(1,8)，0)C．(0，－eq\f(1,2)) D．(－eq\f(1,2)，0)解析：把y＝－eq\f(1,2)x2化为标准方程得x2＝－2y，则2p＝2，∴eq\f(p,2)＝eq\f(1,2)，即焦点坐标为(0，－eq\f(1,2))．答案：C2．椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m的值是()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2)C．2 D．4解析：由x2＋my2＝1，得x2＋eq\f(y2,\f(1,m))＝1，又∵椭圆的焦点在y轴上，且长轴长是短轴长的2倍，∴eq\r(\f(1,m))＝2×1，即eq\f(1,m)＝4，∴m＝eq\f(1,4).答案：A3．双曲线eq\f(x2,10)－eq\f(y2,2)＝1的焦距为()A．3eq\r(2) B．4eq\r(2)C．3eq\r(3) D．4eq\r(3)解析：由双曲线的标准方程知a2＝10，b2＝2，则c2＝a2＋b2＝10＋2＝12，因此2c＝4eq\r(3).故选D.答案：D4．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆x2＋y2－6x－7＝0相切，则p的值为()A.eq\f(1,2) B．1C．2 D．4解析：圆x2＋y2－6x－7＝0的圆心坐标为(3,0)，半径为4.y2＝2px(p>0)的准线方程为x＝－eq\f(p,2)，∴3＋eq\f(p,2)＝4，∴p＝2.故选C.答案：C5．已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是(－eq\r(2)，0)，(eq\r(2)，0)，离心率是eq\f(\r(6),3)，则椭圆C的方程为()A.eq\f(y2,3)＋x2＝1 B.eq\f(x2,3)＋y2＝1C.eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1 D.eq\f(y2,3)＋eq\f(x2,2)＝1解析：由已知可设椭圆方程为：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，由c＝eq\r(2)及e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(6),3)得a＝eq\r(3).又a2＝b2＋c2，得b2＝a2－c2＝3－2＝1.故椭圆方程为eq\f(x2,3)＋y2＝1.答案：B6．设动点M到A(－5,0)的距离与它到B(5,0)的距离的差等于6，则点P的轨迹方程是()A.eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1 B.eq\f(y2,9)－eq\f(x2,16)＝1C.eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1(x≤－3) D.eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1(x≥3)解析：双曲线的定义是动点到两定点的距离的差的肯定值，没有肯定值，只能代表双曲线的一支．答案：D7．如图，椭圆C1，C2与双曲线C3，C4的离心率分别是e1，e2与e3，e4，则e1，e2，e3，e4的大小关系是()A．e2<e1<e3<e4 B．e2<e1<e4<e3C．e1<e2<e3<e4 D．e1<e2<e4<e3解析：椭圆离心率为e，则e2＝1－eq\f(b2,a2)，∴0<e2<e1<1.双曲线的离心率为e′，则(e′)2＝1＋eq\f(b2,a2).∴1<e3<e4.因此0<e2<e1<1<e3<e4.答案：A8．方程eq\f(x2,4－t)＋eq\f(y2,t－2)＝1所表示的曲线为C，有下列命题：①若曲线C为椭圆，则2<t<4；②若曲线C为双曲线，则t>4或t<2；③曲线C不行能是圆；④若曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，则3<t<4.以上命题正确的是()A．②③ B．①④C．②④ D．①②④解析：①若C为椭圆，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4－t>0，,t－2>0，,4－t≠t－2，))解得2<t<4且t≠3.②若C为双曲线，则(4－t)(t－2)<0，∴t>4或t<2.③当t＝3时，方程为x2＋y2＝1表示圆．④若C为焦点在y轴上的椭圆，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4－t>0，,t－2>0，,t－2>4－t，))解得3<t<4.答案：C9．一条线段的长等于10，两端点A、B分别在x轴和y轴上滑动，M在线段AB上且eq\o(AM,\s\up6(→))＝4eq\o(MB,\s\up6(→))，则M的轨迹方程是()A．x2＋16y2＝64 B．16x2＋y2＝64C．x2＋16y2＝8 D．16x2＋y2＝8解析：设M(x，y)、A(a,0)、B(0，b)，则a2＋b2＝100.∵eq\o(AM,\s\up6(→))＝4eq\o(MB,\s\up6(→))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(a,1＋4)，,y＝\f(4b,1＋4)，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝5x，,b＝\f(5,4)y.))代入a2＋b2＝100，得25x2＋eq\f(25,16)y2＝100，即16x2＋y2＝64.答案：B10．过点(0，－2)的直线与抛物线y2＝8x交于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为2，则|AB|等于()A．2eq\r(17) B.eq\r(17)C．2eq\r(15) D.eq\r(15)解析：设直线方程为y＝kx－2，A(x1，y1)、B(x2，y2)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－2，,y2＝8x，))得k2x2－4(k＋2)x＋4＝0.∵直线与抛物线交于A、B两点，∴Δ＝16(k＋2)2－16k2>0，即k>－1.又eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(2k＋2,k2)＝2，∴k＝2或k＝－1(舍)．∴|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋22)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(542－4)＝2eq\r(15).答案：C第Ⅱ卷(非选择题，共60分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)11．双曲线eq\f(x2,4)－eq\f(y2,8)＝1的渐近线方程是________．解析：解法一方程eq\f(x2,4)－eq\f(y2,8)＝1，即为eq\f(x2,22)－eq\f(y2,2\r(2)2)＝1，∴a＝2，b＝2eq\r(2).∴双曲线eq\f(x2,4)－eq\f(y2,8)＝1的渐近线方程为y＝±eq\r(2)x.解法二令eq\f(x2,4)－eq\f(y2,8)＝0，即eq\f(x,2)＋eq\f(y,2\r(2))＝0或eq\f(x,2)－eq\f(y,2\r(2))＝0，即y＝－eq\r(2)x或y＝eq\r(2)x.∴双曲线eq\f(x2,4)－eq\f(y2,8)＝1的渐近线方程为y＝±eq\r(2)x.答案：y＝±eq\r(2)x12．已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线y＝x与抛物线C交于A，B两点，若P(2,2)为AB的中点，则抛物线C的方程为________．解析：设抛物线的方程为y2＝ax(a≠0)，由方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝ax,y＝x))，得交点为A(0,0)，B(a，a)，而点P(2,2)是AB的中点，从而有a＝4，故所求抛物线的方程为y2＝4x.答案：y2＝4x13．椭圆的两个焦点为F1、F2，短轴的一个端点为A，且三角形F1AF2是顶角为120°的等腰三角形，则此椭圆的离心率为________．解析：由已知得∠AF1F2＝30°，故cos30°＝eq\f(c,a)，从而e＝eq\f(\r(3),2).答案：eq\f(\r(3),2)14．已知P是双曲线eq\f(x2,64)－eq\f(y2,36)＝1上一点，F1，F2是双曲线的两个焦点，且|PF1|＝17，则|PF2|的值为________．解析：∵在双曲线eq\f(x2,64)－eq\f(y2,36)＝1中，a＝8，b＝6，∴c＝10.又∵P是双曲线上的点，得||PF1|－|PF2||＝16，∴|PF2|＝1或|PF2|＝33.又|PF2|≥c－a＝2，得|PF2|＝33.答案：33三、解答题(本大题共4小题，共44分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(10分)已知B、C是两个定点，|BC|＝10，且△ABC的周长等于24，求顶点A的轨迹方程．解析：由已知|AB|＋|AC|＋|BC|＝24，|BC|＝10，得|AB|＋|AC|＝14，由定义可知，顶点A的轨迹是椭圆，且2c＝10,2a＝14，即c＝5，a＝7，所以b2＝a2－c2＝24.建立如图所示的平面直角坐标系，使x轴经过B、C两点，原点O为BC的中点，当点A在直线BC上，即y＝0时，A、B、C三点不能构成三角形，所以点A的轨迹方程是eq\f(x2,49)＋eq\f(y2,24)＝1(y≠0)．16．(10分)双曲线C与椭圆eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1有相同的焦点，直线y＝eq\r(3)x为C的一条渐近线．求双曲线C的方程．解析：设双曲线方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1.由椭圆eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1，求得两焦点为(－2,0)，(2,0)，∴对于双曲线C：c＝2.又y＝eq\r(3)x为双曲线C的一条渐近线，∴eq\f(b,a)＝eq\r(3)，解得a2＝1，b2＝3，∴双曲线C的方程为x2－eq\f(y2,3)＝1.17．(12分)已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.(1)求椭圆C的方程；(2)若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，eq\f(|OP|,|OM|)＝e(e为椭圆C的离心率)，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．解析：(1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a，c，由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－c＝1，,a＋c＝7，))解得a＝4，c＝3.所以椭圆C的方程为eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,7)＝1.(2)设M(x，y)，P(x，y1)，其中x∈[－4,4]．由已知得eq\f(x2＋y\o\al(2,1),x2＋y2)＝e2.而e＝eq\f(3,4)，故16(x2＋yeq\o\al(2,1))＝9(x2＋y2)．①由点P在椭圆C上得yeq\o\al(2,1)＝eq\f(112－7x2,16)，代入①式并化简得9y2＝112，所以点M的轨迹方程为y＝±eq\f(4\r(7),3)(－4≤x≤4)，轨迹是两条平行于x轴的线段．18．(12分)A、B是抛物线y2＝2px(p＞0)上的两点，且OA⊥OB(O为坐标原点)，求证：(1)A、B两点的横坐标之积、纵坐标之积都是定徝；(2)直线AB经过一个定点．证明：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y\o\al(2,1)＝2px1，,y\o\al(2,2)＝2px2.))∵OA⊥OB，∴kOA·kOB＝eq\f(y1,x1)·eq\f(y2,x2)＝－1，即x1x2＋y1y2＝0.∵x1x2＝eq\f(y\o\al(2,1),2p)·eq\f(y\o\al(2,2),2p)＝eq\f(y\o\al(2,1)y\o\al(2,2),4p2)，∴eq\f(y1y22,4p2)＋y1y2＝0，∴y1y2(eq\f(y1y2,4p2)＋1)＝0.∵y1y2≠0，∴y1y2＝－4p2，x1x2＝－y1y2＝4p2，∴A、B两点的横坐标之积、纵坐标之积都是定值．(2)∵yeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,2)＝(y1＋y2)(y1－y2)＝2p(x1－x2)，x1≠x2，∴eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(2p,y1＋y2)，∴直线AB的方程为y－y1＝eq\f(2p,y1＋y2)(x－x1)＝eq\f(2p,y1＋y2)(x－eq\f(y\o\al(2,1),2p))，∴y＝eq\f(2p,y1＋y2)x－eq\f(y\o\al(2,1),y1＋y2)＋y1＝eq\f(2px,y1＋y2)＋eq\f(y1y2,y1＋y2)＝eq\f(2px,y1＋y2)－eq\f(4p2,y1＋y2)＝eq\f(2p,y1＋y2)(x－2p)．∴直线AB过定点(2p,0)．综合检测单独成册(时间90分钟满分100分)第Ⅰ卷(选择题，共40分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若a＝(2，－2，－2)，b＝(2,0,4)，则sin〈a，b〉等于()A.eq\f(\r(210),15) B.eq\f(\r(69),85)C.eq\f(4\r(85),85) D．1解析：因为cos〈a，b〉＝eq\f(4＋0－8,2\r(3)×2\r(5))＝－eq\f(\r(15),15)，所以sin〈a，b〉＝eq\f(\r(210),15).答案：A2．已知命题p：存在x∈R，使tanx＝eq\f(\r(2),2)，命题q：x2－3x＋2<0的解集是{x|1<x<2}，下列结论：①命题“p且q”是真命题；②命题“p且綈q”是假命题；③命题“綈p或q”是真命题；④命题“綈p或綈q”是假命题，其中正确的是()A．②③ B．①②④C．①③④ D．①②③④解析：∵p、q都是真命题，∴①②③④均正确．答案：D3．以抛物线y2＝4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为()A．x2＋y2＋2x＝0 B．x2＋y2＋x＝0C．x2＋y2－x＝0 D．x2＋y2－2x＝0解析：抛物线y2＝4x的焦点坐标为(1,0)，故以(1,0)为圆心，且过坐标原点的圆的半径为r＝eq\r(12＋02)＝1，所以圆的方程为(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2－2x＝0，故选D.答案：D4．以下推断正确的是()A．命题“负数的平方是正数”不是全称命题B．命题“随意x∈N，x3＞x2”的否定是“存在x0∈N，xeq\o\al(3,0)＞xeq\o\al(2,0)”C．“a＝1”是“函数f(x)＝cos2ax－sin2ax的最小正周期为π”D．“b＝0”是“函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数”解析：“负数的平方是正数”即为“随意x<0，x2>0”，是全称命题，所以A不正确；因为全称命题“随意x∈N，x3>x2”的否定为“存在x0∈N，xeq\o\al(3,0)≤xeq\o\al(2,0)”，所以B不正确；因为f(x)＝cos2ax－sin2ax＝cos2ax，当最小正周期为π时，有eq\f(2π,|2a|)＝π，则|a|＝1⇒a＝±1.故“a＝1”是“函数f(x)＝cos2ax－sin2ax的最小正周期为π”的充分不必要条件，所以C不正确，故选D.答案：D5．已知空间四边形OABC中，eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC的中点，则eq\o(MN,\s\up6(→))等于()A.eq\f(1,2)a－eq\f(2,3)b＋eq\f(1,2)c B．－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)cC.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b－eq\f(2,3)c D．－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋c解析：eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(ON,\s\up6(→))－eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))－eq\f(2,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c－eq\f(2,3)a.答案：B6．已知椭圆的两个焦点的坐标分别是(0，－3)和(0,3)，且椭圆经过点(0,4)，则该椭圆的标准方程是()A.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,7)＝1 B.eq\f(y2,16)＋eq\f(x2,7)＝1C.eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,16)＝1 D.eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,9)＝1解析：∵椭圆的焦点在y轴上，∴可设它的标准方程为eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)．∴2a＝eq\r(4＋32)＋eq\r(4－32)＝8，∴a＝4，又∵c＝3，∴b2＝a2－c2＝16－9＝7，故所求的椭圆的标准方程为eq\f(y2,16)＋eq\f(x2,7)＝1.答案：B7．函数f(x)＝x|x＋a|＋b是奇函数的充要条件是()A．ab＝0 B．a＋b＝0C．a＝b D．a2＋b2＝0解析：∵椭圆的焦点在y轴上，∴可设它的标准方程为eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)．∴2a＝eq\r(4＋32)＋eq\r(4－32)＝8，∴a＝4，又∵c＝3，∴b2＝a2－c2＝16－9＝7，故所求的椭圆的标准方程为eq\f(y2,16)＋eq\f(x2,7)＝1.答案：D8．如图所示，正方体ABCD­A′B′C′D′中，M是AB的中点，则sin〈eq\o(DB′,\s\up6(→))，eq\o(CM,\s\up6(→))〉的值为()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(210),15)C.eq\f(\r(2),3) D.eq\f(\r(11),15)解析：以D为原点，建立空间直角坐标系，如图，设棱长为1，则D(0,0,0)，B′(1，1,1)，C(0,1,0)，eq\o(DB′,\s\up6(→))＝(1,1,1)，M(1，eq\f(1,2)，0)，eq\o(CM,\s\up6(→))＝(1，－eq\f(1,2)，0)．故cos〈eq\o(DB′,\s\up6(→))，eq\o(CM,\s\up6(→))〉＝eq\f(1×1＋1×－\f(1,2)＋1×0,\r(12＋12＋12)·\r(12＋－\f(1,2)2＋02))＝eq\f(\r(15),15)，则sin〈eq\o(DB′,\s\up6(→))，eq\o(CM,\s\up6(→))〉＝eq\f(\r(210),15).答案：B9．已知双曲线的方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为eq\f(\r(5),3)c，则双曲线的离心率为()A.eq\f(\r(5),2) B.eq\f(3,2)C.eq\f(3\r(5),5) D.eq\f(2,3)解析：双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的渐近线为eq\f(x,a)±eq\f(y,b)＝0，焦点A(c,0)到直线bx－ay＝0的距离为eq\f(bc,\r(a2＋b2))＝eq\f(\r(5),3)c，则c2－a2＝eq\f(5,9)c2，得e2＝eq\f(9,4)，e＝eq\f(3,2)，故选 B.答案：B10.如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1DA.eq\f(\r(6),3) B.eq\f(2\r(5),5)C.eq\f(\r(15),5) D.eq\f(\r(10),5)解析：以D点为坐标原点，以DA、DC、DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,1)．∴eq\o(BC1,\s\up6(→))＝(－2,0,1)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－2,2,0)，且eq\o(AC,\s\up6(→))为平面BB1D1D的一个法向量．∴cos〈eq\o(BC1,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(BC1,\s\up6(→))·\o(AC,\s\up6(→)),|\a\vs4\al(\o(BC1,\s\up6(→)))|·|\a\vs4\al(\o(AC,\s\up6(→)))|)＝eq\f(4,\r(5)·\r(8))＝eq\f(\r(10),5).∴BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为eq\f(\r(10),5).答案：D第Ⅱ卷(非选择题，共60分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)11．下列命题中________为真命题．(填序号)①“A∩B＝A”成立的必要条件是“AB”；②“若x2＋y2＝0，则x，y全为0”的否命题；③“全等三角形是相像三角形”的逆命题；④“圆内接四边形对角互补”的逆否命题．解析：①A∩B＝A⇒A⊆B但不能得出AB，∴①不正确；②否命题为：“若x2＋y2≠0，则x，y不全为0”，是真命题；③逆命题为：“若两个三角形是相像三角形，则这两个三角形全等”，是假命题；④原命题为真，而逆否命题与原命题是两个等价命题，∴逆否命题也为真命题．答案：②④12．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1上一点M的横坐标为3，则点M到此双曲线的右焦点的距离为________．解析：设右焦点为F(4,0)．解法一依据双曲线的定义，若点M的坐标为(x0，y0)，则|MF|＝ex0－a，即|MF|＝2×3－2＝4.解法二把x＝3代入双曲线方程得y＝±eq\r(15)，即M(3，±eq\r(15))．由两点间距离公式得|MF|＝eq\r(3－42＋±\r(15)－02)＝4.答案：413．已知点A(1,2,1)，B(－1,3,4)，D(1,1,1)，若eq\o(AP,\s\up6(→))＝2eq\o(PB,\s\up6(→))，则|eq\o(PD,\s\up6(→))|的值是________．解析：设P(x，y，z)，则eq\o(AP,\s\up6(→))＝(x－1，y－2，z－1)，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(－1－x,3－y,4－z)．∴2eq\o(PB,\s\up6(→))＝(－2－2x,6－2y,8－2z)．由eq\o(AP,\s\up6(→))＝2eq\o(PB,\s\up6(→))，得(x－1，y－2，z－1)＝(－2－2x,6－2y,8－2z)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1＝－2－2x,y－2＝6－2y,z－1＝8－2z))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(1,3),y＝\f(8,3),z＝3)).∴P(－eq\f(1,3)，eq\f(8,3)，3)，∴eq\o(PD,\s\up6(→))＝(eq\f(4,3)，－eq\f(5,3)，－2)，∴|eq\o(PD,\s\up6(→))|＝eq\r(\f(4,3)2＋－\f(5,3)2＋－22)＝eq\f(\r(77),3).答案：eq\f(\r(77),3)14．如图所示，在周长为48的直角三角形MPN中，∠MPN＝90°，tan∠PMN＝eq\f(3,4)，则以M，N为焦点，且过点P的双曲线方程为________．解析：可设双曲线的标准方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1.由双曲线定义知，2a＝||PM|－|PN||，|MN|＝2c.∵tan∠PMN＝eq\f(3,4)，∴设|PN|＝3k，|PM|＝4k，则|MN|＝5k.∵周长为48，∴3k＋4k＋5k＝48，∴k＝4.∴|PN|＝12，|PM|＝16，|MN|＝20.∴双曲线的标准方程为eq\f(x2,4)－eq\f(y2,96)＝1.答案：eq\f(x2,4)－eq\f(y2,96)＝1三、解答题(本大题共4小题，共44分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(10分)已知命题p：关于x的方程a2x2＋ax－2＝0在[－1,1]上有解；命题q：只有一个实数x满意不等式x2＋2ax＋2a≤0，若命题“p或q”是假命题，求a解析：由a2x2＋ax－2＝0，得(ax＋2)(ax－1)＝0，明显a≠0，x＝－eq\f(2,a)或x＝eq\f(1,a).∵x∈[－1,1]，故|－eq\f(2,a)|≤1或|eq\f(1,a)|≤1.∴|a|≥1，即a≥1或a≤－1.“只有一个实数x满意x2＋2ax＋2a≤0”，即抛物线y＝x2＋2ax＋2a∴Δ＝4a2－8a＝0，∴a＝0或2.若命题“p或q”是假命题，则p假，q假，即－1<a<1，且a≠0，a≠2，故a的取值范围为{a|－1<a<1，a≠0}．16．(10分)已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的一个顶点为A(0,1)，离心率为eq\f(\r(2),2)，过点B(0，－2)及左焦点F1的直线交椭圆于C，D两点，右焦点设为F2.(1)求椭圆的方程；(2)求△CDF2的面积．解析：(1)∵a>b>0，∴椭圆焦点在x轴上．∴由其一顶点为A(0,1)，得b＝1.∵e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2)，c2＝a2－b2，∴a2＝2.∴所求椭圆方程为eq\f(x2,2)＋y2＝1.(2)∵F1(－1,0)，∴直线BF1的方程为y＝－2x－2，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－2x－2,\f(x2,2)＋y2＝1))，得9x2＋16x＋6＝0.∵Δ＝162－4×9×6＝40>0，∴直线与椭圆有两个公共点，设为C(x1，y1)，D(x2，y2)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝－\f(16,9),x1·x2＝\f(2,3)))，∴|CD|＝eq\r(1＋－22)·|x1－x2|＝eq\r(5)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(5)·eq\r(－\f(16,9)2－4×\f(2,3))＝eq\f(10,9)eq\r(2)，又点F2(1,0)到直线BF1的距离d＝eq\f(4\r(5),5)，故＝eq\f(1,2)|CD|·d＝eq\f(4,9)eq\r(10).17．(12分)已知直线l：y＝－x＋1与椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)相交于A、B两点，且线段AB的中点为(eq\f(2,3)，eq\f(1,3))．(1)求此椭圆的离心率；(2)若椭圆的右焦点关于直线l的对称点在圆x2＋y2＝5上，求此椭圆的方程．解析：(1)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4