三角函数模型及解三角形的实际应用 高三数学一轮复习

第四章三角函数、解三角形第8节三角函数模型及解三角形的实际应用INNOVATIVEDESIGN1.会用三角函数解决简单的实际问题，体会利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型.2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识以及方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.目

录CONTENTS知识诊断自测01考点聚焦突破02课时分层精练03知识诊断自测1ZHISHIZHENDUANZICE1.仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线______叫俯角(如图1).下方2.方位角从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.如B点的方位角为α(如图2).3.方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30°，北偏西45°等.4.坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值.1.不要搞错各种角的含义，不要把这些角和三角形内角之间的关系弄混.2.解决与平面几何有关的计算问题关键是找清各量之间的关系，从而应用正、余弦定理求解.常用结论与微点提醒√××√解析(2)α＝β；(3)俯角是视线与水平线所构成的角.2.如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A，B到点C的距离AC＝BC＝1km，且C＝120°，则A，B两点间的距离为________km.解析在△ABC中，易得A＝30°，

3.如图，在塔底D的正西方A处测得塔顶的仰角为45°，在塔底D的南偏东60°的B处测得塔顶的仰角为30°，A，B间的距离是84m，则塔高CD＝________m.4.(必修一P241T6改编)某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5cm，秒针绕点O匀速旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B重合，将A，B两点间的

距离d(单位：cm)表示成t(单位：s)的函数，则d＝_____________，t∈[0，60].解析如图，设∠AOB＝α，考点聚焦突破2KAODIANJUJIAOTUPO考点一三角函数模型ABC感悟提升三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题.BC解析因为f(x)＝Asin(ωx＋φ)，所以f′(x)＝Aωcos(ωx＋φ).因为当x＝2π时，两潮有一个交叉点，所以Asin(2ωπ＋φ)＝Aωcos(2ωπ＋φ)，因为A∈N*，所以tan(2ωπ＋φ)＝ω，因为ω∈N*，所以tan(2ωπ＋φ)＝tanφ＝ω，考点二解三角形应用举例DB角度3测量角度问题例4

已知岛A南偏西38°方向，距岛A3海里的B处有一艘缉私艇.岛A处的一艘走私船正以10海里/时的速度向岛屿北偏西22°方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5小时能截住该走私船？解如图，设缉私艇在C处截住走私船，D为岛A正南方向上一点，缉私艇的速度为每小时x海里，则BC＝0.5x，AC＝5，依题意，AB＝3，∠BAC＝180°－38°－22°＝120°，由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos120°，所以BC2＝49，所以BC＝0.5x＝7，解得x＝14.所以∠ABC＝38°，又∠BAD＝38°，所以BC∥AD，故缉私艇以每小时14海里的速度向正北方向行驶，恰好用0.5小时截住该走私船.感悟提升解三角形应用问题的要点(1)从实际问题中抽象出已知的角度、距离、高度等条件，作为某个三角形的元素.(2)利用正弦定理、余弦定理解三角形，得到实际问题的解.14解析在△ABD中，A=45°，∠ABD=180°－75°=105°，∠ADB=30°，265解析由题意可知∠PAB＝30°，∠PBH＝75°，AB＝388，所以∠BPA＝45°.课时分层精练3KESHIFENCENGJINGLIAN1.如图所示是某弹簧振子做简谐运动的部分图象，则下列判断错误的是(

)A.该弹簧振子的振幅为2cmB.该弹簧振子的振动周期为1.6sC.该弹簧振子在0.2s和1.0s时振动速度最大D.该弹簧振子在0.6s和1.4s时的位移为零C解析由图象及简谐运动的有关知识得，该弹簧振子的振幅为2cm，振动周期为2×(1.0－0.2)＝1.6s.当t＝0.2s或1.0s时，振动速度为零，该弹簧振子在0.6s和1.4s时的位移为零.A，B，D正确，C错误.A解析如图，在△ABC中，A解析设山顶为A，塔底为C，塔顶为D，BDA解得2k≤t≤2k＋1，k∈N，故s(t)的单调递增区间是[2k，2k＋1]，k∈N，则其单调递减区间是[2k＋1，2k＋2]，k∈N，所以s(t)的单调区间是[k，k＋1]，k∈N.6.(2024·贵阳诊断)镜面反射法是测量建筑物高度的重要方法，在如图所示的模型中，已知人眼距离地面高度h＝1.5m，某建筑物高h1＝4.5m，将镜子(平面镜)置于平地上，人后退至从镜中能够看到建筑物顶部的位置，测量人与镜子间的距离a1＝1.2m，将镜子后移am，重复前面的操作，测量人与镜子间的距离a2＝3.2m，则a＝(

)AA.6 B.5

C.4

D.3解析如图，设建筑物最高点为A，建筑物底部为O，第一次观察时镜面位置为B，第一次观察时人眼睛位置为C，第二次观察时镜面位置为D，设O到B之间的距离为a0m，由光线反射性质得∠ABO＝∠CBD，所以tan∠ABO＝tan∠CBD，BCD当t＝1时，p(t)＝138，所以当天早晨7点时李华的血压为138mmHg；因为p(t)的最大值为116＋22＝138，最小值为116－22＝94＞90，所以李华的收缩压为138mmHg，舒张压为94mmHg，因此李华有高血压，且他的收缩压与舒张压之差为44mmHg.故选BCD.8.江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，在炮台顶部测得两条船的俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部所连的线成30°角，则两条船相距______m.解析由题意画示意图，如图，50π解析连接OC，因为CD∥OA，所以∠DCO＝∠COA，∠CDO＝180°－∠DOA＝60°.在△OCD中，由正弦定理可得BCDA因为该建筑关于房梁所在铅垂面(垂直于水平面的面)对称，P1，P2，P3是AT的四等分点，Q1，Q2，Q3是BT的四等分点，所以AP2＝BQ2＝2L，P2P3＝L.15.如图，某湖有一半径为100m的半圆形岸边，现决定在圆心O处设立一个水文监测中心(大小忽略不计)，在其正东方向相距200m的点A处安装一套监测设备.为了监测数据更加准确，在半圆弧上的点B以及湖中的点C处再分别安装一套监测设备，且满足AB＝AC，∠BAC＝90°.定义：四边形OACB及其内部区域为“直接监测覆盖区域”.设∠AOB＝θ，则“直接监测覆盖区域”面积的最大值为__________________m2.解析在△OAB中，∵∠AOB＝θ，OB＝100，OA＝200，∴AB2＝O