2021高考数学考点必杀500题11解三角形解答题（30题）新高考解析版

专练11解三角形解答题（30题）（新高考）

1.（2021•河南开封市•高三三模（文））在小招。中，AB=6,5=-,。为边上一点，且60=3.

4

（1）求AD；

（2）若AC=20，求sinC.

【答案】（DAD=B（2）sinC=—.

4

【详解】

（1）在△ABD中，AB=应,B=—,BD=3,

4

由余弦定理得：AD2=AB2+BD2-2ABBDCOSB=2+9-642X—=5,

2

；•AD=E.

（2）在AABC中，AB=4^，AC=20，B=7,

ABAC6—2^^

由正弦定理得：即碇一1，

smCsmBsin—

4

・•r_四

,,sinC—----•

4

（

2.2021•浙江高三其他模拟）已知△ABC的三个内角A,B9。所对的边分别为〃，b,c,asinB^-bcosA=c.

（1）求&

（2）设a=，b=29求c.

IT

【答案】（1）（2）2.

4

【详解】（1）由正弦定理得：sinAsinB+sinBcosA=sinC,而

sinC=sin[»-（A+B）]=sin（A+=sinAcosB+cosAsinB,

sinAsinB=sinAcosB,又sinAw0,cosB^O,

兀

tanB=l,又0<5<»,即6=—.

4

（2）由余弦定理=/+/—2QCCOS5，即。=后°，

••-4=c2+2c2-2V2c2x—,解得c=2.

2

3.（2021•天津高三一模）已知AA6c的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足氐cosB=6sinA

(1)求角B的大小；

(2)若COSA=Y2,求sin(2A-B)的值;

3

(3)若b=2,c=2a,求边〃的值.

【答案】(1)B=~；(2)2旧+56；(3)空.

3183

【详解】(1)由正弦定理有：y/3sinAcosB=sinBsinA而A为△△4c的内角，

A/3COSB=sinB,即tanBug,由0<5<»,可得

(2)sin(2A-B)=sin2AcosB-cos2AsinB=2sinAcosAcosB-(2cos2A-l)sinB,

,**cosA=,OvA<»,可得sinA=而cos5=工，sin3=^^，

3322

•・…》、•,5A/32回+5g

・・sin(2A-B)=----1-------=----------------,

91818

(3)由余弦定理知：a2+c2-2accosB=b2又b=2,c=2a,cosB=^~,

2

•••34=4,可得a=空.

3

4.(2021•浙江高一期末)在△ABC中，^3acosB=bsinA.

(1)求NB；

(2)若b=2,e=2a,求△A3C的面积.

【答案】(1)-；(2)巫.

33

【详解】(1)在AA3C中，由正弦定理，

因为由acosB=/?sinA，

所以gsinAcosB=sinBsinA,

因为sinA^O,

所以百cosB=sinB，

所以tanB=,

因为0<3<兀，

所以3=上，

3

(2)因为8=2,c=2a,由余弦定理按=/+c2-2accosB,

可得4=/+4/-2ax2ax—,

2

由22石473

33

所以△枷。丹=1204G百2百

S=13%—X----------X-----------X--------=-----------

23323

已知。K0<万，函数/(x)=-^-cos(2x+⑼+sin2x.

5.（2020•湖南长沙市•高一期末）

71

(I)若9=2,求/'（x）的单调递增区间

6

3

(II)若了(%)的最大值是巳，求。的值.

2

27r71TC

【答案】(I)[k7i——,k/c——],kE^Z\(II)(p=3

1n1,c°s2X+工n+工1

【解析】(I)由题意/(%)=zcos2x———sin2x+—

232

jr27r7C

由2kjc-7T<2X-\——<2k兀,得k兀----<x<k7i-----.

336

27r7C

所以单调/（力的单调递增区间为k兀一三,k兀一%,kwZ.

1)c（■sin9sin2x+g,由于函数/（尤）的最大值为g,即

(II)由题意/(x)=cos(p~—cos2x-

\2(2

1、

cos(p~—+《一sm。•二1,从而cos0=O,又。《。＜万，

)

71

故展一

2

6.（2021•全国高一课时练习）在△A4C中，角ABC的对边分别为。涉,c,且满足a+L匕uLcosb.

2

（1）求角C;

（2）若a=2,b=3,求AABC外接圆的半径.

【答案】（1）C=—；（2）叵

33

【详解】(1)由正弦定理知sinA+—sinB=sinCcosB

2

有sinBcosC+cosBsinC+—sinB=sinCcosB,且sin6w0,C£(0,万)

2

所以cosC=—,C=—

23

(2)。2=/+/—2"COSC=19,C=M

CRCM2A/57R5

所以sinC633

~2

7.(2020•全国高二课时练习)在AABC中，b=30，cosA=—,B=A+~.

32

(I)求。的值；

(II)求cos2c的值.

7

【答案】(I)Q=3(ID-

9

【详解】(I)在AASC中，由cosA=直，Ae(0,i)得sinA=Jl—cos2A=3.

33

71

因为5=AH—，

2

由正弦定理，一=—

sinAsinB

得asin(A+工)=3&sinA,即acosA=3&x走，

23

所以a=3.

(II)因为cosA=迈，B=A+~,

32

所以sin5=sin(A+—)=cosA--,cosB=-Jl-sin2B=.

233

所以sinC=sin(»-A-B)=sin(A+B)=sinA-cosB+cosA-sinB=—.

7

故cos2c=1—2sin92c=—.

9

8.(2020•江苏苏州市•吴江中学高三其他模拟)(本题满分14分)

在△ABC中，a,"c依次是角A,B,C所对的边，且4sin_B,sin"(—I—)+cos25=1+A/3.

42

(I)求角3的度数；

(II)若8为锐角，a=4,sinC=—sinB,求边c的长.

2

22

【答案】=三或三；

(1)3(II)c=^1~.

【详解】(1)由4sinB.sin2(?+^)+cos23=1+石

2sinB[l-cos(-+B)]+cos23=1+若2sinB(1+sinB)+1-2sin2B=1+石，

・R6

sinB=——

2

\-0<B<7r，5=工或斗..........(7分)

33

(2)法1：为锐角:.B=-sinC=-sinB=—

324

(3)由已知得：c=%<b,角C为锐角.■,cosC=^

24

京汨•・2兀「、瓜匹+1)

口」何：smA4=sin(------C)=----------------

38

由正弦定理一一=-^得：c=2屈—2.

sinAsinC3

法2：由sinC=』sin3得：b=2c,

2

由余弦定理知：(2c)2=C?+16—8ccos60°

即：3c2+4c—16=0丁=_2±2屈Qc>02713-2

c-------------

33

9.（2021•全国高三专题练习（文））AABC的内角A,B,C的对边分别为。，b,c,且满足:

2bcosBcosCcosA

-----------=--------+--------.

acca

（1）求B；

（2）若AA/C面积为S=2石，外接圆直径为4,求AA6c的周长.

77L

【答案】(1)—；(2)6+2A/3-

2bcosBcosCcosA〜八一

【详解】（1）-----------=---------F-------n2bcosB=acosC+ccosA4,

aca

得2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)=sinB,

,/sin3w0/.cosB=-

2

*/Be(0,4)

R=f

(2)△ABC的面积S=—acsinB=2\[3=>〃c=8,

2

由正弦定理可知一2—=4nb=2jL

sinB

由"=a2+c2—laccosB=a2+c1—ac=12n(a+cf=12+3ac=36,

则a+c=6,

・・・△ABC的周长为6+26.

n

10.(2018•浙江湖州市・)已知函数/(%)=^/3cos269x-sin£t>xcos^x--^-(6t;>0)的最小正周期为万.

(1)求/的值；

77r

(2)当xe0,—时，求了(幻的单调区间及取值范围.

【答案】⑴/信尸于

57r77r57r

⑵单调递增区间为—,单调递减区间为0,—,/(x)e-1,

【详解】(1)/(X)=百a+cos2①X)_%n2_—在

222

cos2cox--sin2cox=cos12Gx+g

22I6

2〃

・・•最小正周期T=—=冗

Io

Q兀、C兀乃47r

(2)当工£0,——-时，2x+—e--

12o63

JI冗、冗

・••当+—,/T时，即0,——时，/(%)单调递减,

6\_6JL12_

577

・・・/(%)的单调递减区间为0,—,

、c兀4乃57rIn

当2xH---G71、-----即工£—时，/(x)单调递增,

631212

5»7»

・・・/(%)的单调递增区间为—,

11.(2020•湖北荆州市•沙市中学高三三模(文))在△ABC中，角A,B,C的对边分别为b,。，满足

=〃卜inB+百cosi?).

(1)求角A；

(2)若〃=2近，△ABC的面积为3求△ABC的周长.

【答案】(1)—；(2)8+2^/7■

【详解】(1)由正弦定理可得代x2RsinC=2RsinA(sinB+gcosB),

A/3sinC=sinAsinB+石sinAcosB,

**•A/3sin(A+B)=sinAsinB+A/3sinAcosB,

yJ3cosAsinB=sinAsinB，

:sin5w0,

近cosA=sinA，tanA=6，

Ae(0,yr),

LI4冗

则A=一；

3

(2)由余弦定理可得a?=步+<?-2bccosA，

得(2A/7)2=b~+c2-2反cos工，

3

化简得/+。2—比=28,

又SABC=LbcsinA=3j5,则Z?c=12,

△/iDL2

解得b=6,c=2或Z;=2,c=6,

所以三角形周长为8+2A/7.

(兀7万\

12.(2020•陕西西安市•西安中学高三其他模拟(文))已知函数/(x)=2sin彳+1.

(1)在所给的坐标纸上作出函数y=/(x),xc[-2.14]的图像(不要求写出作图过程)；

(2)令g(x)=」。)二\,求函数g(x)的定义域及不等式g(x)>1的解集.

/(x+4)-l

【答案】(1)见解析；(2)定义域为卜卜/8左+2,左eZ},不等式的解集为卜|8左<x<8左+2/eZ}.

(兀JI\

【详解】(1)由题意可得：/(x)=2sin-x+-+1,

则函数y=/（X）,XG[-2.14]的图像为:

7171

2sin—XH----

84

(2)g(x)=二tan

/(x+4)-l2C°SfX+4

由cos(^x+?)w0,解得％w8k+2,左£Z,

则函数的定义域为卜卜A8k+2,Zwz}

解不等式g（x）》L,

即tanx+—JN1,

rrt7TCTCTC17C

即k兀H-----<—XH------<k7lH------,

4842

解得：8左Vxv8左+2

不等式的解集为{x|8左三尤<8Z+2,左eZ}.

13.（2020•任丘市第一中学高三月考）已知在AA5C中，a=2,b=42,同时还可能满足以下某些条件:

JT

®A=—；®B>Ai③sinsinA；®c=4.

4

（1）直接写出所有可能满足的条件序号；

（2）在（1）的条件下，求5及。的值.

【答案】（1）①，③；（2）B=—；c=A/3+1

6

【详解】（1）①，③.

⑵由急=高，可得率

sin5

4

行sin至近义显.

.­.sinfi=---------4=——2_=1

222

•：a=2>b=^nA>BnB/

6

由/=ZJ2+C2-2Z>CCOSA^>22=(A/2)2+C2-2X72XCX^

解得0=若+1或0=-若+1（舍）.

14.（2021•江西高三三模（文））如图，在梯形ABC。中，AB//CD,ABCD=135°,BD=45CD=710.

（1）求sinNCSD的值；

（2）若△M£）的面积为4,求A。的长.

【答案】（1）sin/C3D=亚；（2）ADy/lQ.

10

BDCD

【详解】⑴在丁。。中，由正弦定理知,

sinZBCDsinZCBD

所以sinNCBD=CDsinZBCD,

因为NBCD=T，BD=AD=回

即sinZCBD=

10

(2)在△■BCD中，/BCD=135。,则NCBZ)为锐角

因为sin/C5D=亚，所以cos/CBD=3叵，

1010

在梯形ABCD中，AB//CD,ZBCD=135°厕ZCBA=45°

所以sinNAB£>=sin(t—NCfi£>]=正，

UJ5

显然NABD为锐角，所以cos/A5D=撞，

5

因为工w。=；AB.B£>-sinNA8r>=4,所以AB=40，

所以AE>2=AB2+BD2—ZAB-BO.COSNABDMIO,所以=

15.(2021•吉林长春市•高三其他模拟(文))在①acos3+工A=c；②a1=b?+c?—be中任选一个作为已知条

2

件，补充到下面的横线上并作答.

问题：在AABC中，角A5c的对边分别为a,b,c,已知.

(1)求角A；

(2)若sinB=3sinC,a=J7,求△ABC的周长.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】条件选择见解析；(1)(；(2)4+77.

【详解】(1)选择①

由正弦定理得sinAcosB+—sinB=sinC,

2

sinAcosB+—sinB=sinAcosB+cosAsinB

2

1/JI

又sinBw0,JcosA=—,又A£(0,»),「.A=—.

23

选择②

।/"2+C?—(J2”2+C?—("2+C?-be)1

由余弦定理得cosA=--------------=---------------------------=-，

2bc2bc2

71

又A£(0,%),1.A=,.

(2)由正弦定理得6=3c,由余弦定理得〃=62+02—2^°cosA，

即7=9c2+c2—3c2=1,.\b=3,

故所求周长为4+

16.(2021•山西吕梁市•高三三模(文))AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知

a(2-cosC)=c(2cosB+cosA).

(I)求cosC；

(II)若AABC的面积S^ABC=甲，sin(A+B)+sin(A-B)=2sin2B,求c.

【答案】(I)(ID4

【详解】(I);a(2-cosC)=c(2cos5+cosA),

由正弦定理得sinA(2-cosC)=sinC(2cosB+cosA),

2sinA—sinAcosC=2sinCcosB+cosAsinC,

故2sinA=2sinCcosB+sin（A+C）=2sinCcosB+sinB,

2sin（B+C）=2sinCcoSjB+sinB

整理得2sinBcosC=sin5.

VsinB^O，

...cos「C1

2

（II）由（I）知cosC=—.

2

V0<C<TI,

：.c=~.

3

68G

:S^ABC=^absinC=-ab-—=--，

223

32

Aab=—.①

3

sinC+sin（A—B）=2sin2B,

...sin（A+8）+sin（A-8）=2sin2B,

即2sinAcosB=4sinBcosB,②

TT

当cos5=0时，B=—.

2

TTqr

由（I）知。=—,可得A=兀-3-C=乌.

36

易知在Rt^ABC中，b=2a,代入①得。=迪，b=巫,则°=&=4；

33

当cosbwO时，由②得sinA=2sin5,

32

由正弦定理得Q=»,与①联立得2/二一，

3

.8出,473

••d-----,u-------

33

由余弦定理得c?=a2+b2-2abcos—=a2+b2-ab=16,可得c=4.

3

综上，c=4.

A+B

17.（2021•辽宁高三二模）在①0+。一祖。-a+c）=〃c；@cos（A+B）=sin（A-B）.③tan-------sinC这三个

条件中任选两个，补充在下面问题中.

问题：是否存在AA/C,它的内角A,瓦C的对边分别为a/,c,且。=2&，?若三角形存在,

求〃的值；若不存在，说明理由.

【答案】答案不唯一，具体见解析

【详解】①：9+a-c乂b-a+c)=ac,即方？—(a—c)~=ac，

,•+c~-b~—ac，

t/<-14--rm+/—HdC1

由余弦JE理知，COSB=----------=----=—

2ac2ac2

•■-5=y

A_LJQ

（3）tan-----=sinC,

2

C

cos—

tan£C=sinC,CC

即皆=2sin—cos—,

22

2sin——

2

rcTT

VCcos->0,2sin2—=1,即C=—

v7222

7T

选择①②：由上知B=—

3

cos（A+B）=sin（A-B）,

-cosA--sinA=-sinA--cosA,即^1+^^cosA=^l+V3^sinA,

2222

tanA=l,

•••Ae（O,»）,A=?,sinA=^,

由正弦定理知，一L=一2一，

sinAsinB

141_b

-\/26,b=2拒■

了T

TTjr

选择①③：B=—，C=一,

32

,**a=2A/21：•b=2y/6-

jr

选择②③：由上知C=—,

2

Vcos（A+B）=sin（A-B）=cos（^--C）=-cosC=0,

71

：.A-B=O,即A=5=—,

4

:•b=a=2A/2•

18.（2021•黑龙江哈尔滨市•哈师大附中高三三模（文））已知函数/（%）=sin

（1）求“X）的单调增区间；

（2）AABC中，—（A为锐角），a=2,S=y/3,求人，J

\/4A/Ai-DnVc

兀J71

【答案】(1)kit——,kit+——,keZ,,(2)b=2,c=2.

1.

【详解】（1）〃x)=—sinx+

2JI22

—x+3sins一

同COS?X

4444

A/3.1.1.人叫

=----cos2%+—sin2Qx=—sin2x——

442I

2kji--<2x--<2kii+-,

232

jl571

单调增区间为~~~?kjt+——,k^Z；

(2)/(A)=gsin(2A—])=争sin(2A—方>^，0<A<|,A=|

S^ABC=gbcsinA=gz?c^^=g，•*-be=4

a2=4=b2+c2-2bccosj=(Z?+c)2-12,b+c=4

Z?（4-Z?）=4,/?2一4〃+4=0,b=2,c-2

19.（2021•安徽芜湖市♦高三二模（文））在锐角△ABC中，角A,B,C所对的边分别为"，Z?,。，且/—2-ab=0-

（1）求证：C=2A；

（2）若〃=2,求。的取值范围.

【答案】（1）证明见解析；（2）（20,2指）.

【详解】（1）因为一〃一"=0,结合余弦定理°?=片+从一2曲cosC,

得出?=尸一2abeosC，即a=6—2acosC,由正弦定理得sinA=sin5-2sinAcosC,

所以sinA=sin（A+C）-2sinAcosC,所以sinA=sin（C-A）,

TCn

又AABC为锐角三角形，所以Ae0,(C-Ae

3'万

所以A=C—A,即C=2A.

(2)由(1)知C=2A,所以c=2acosA=4cosA,又445。为锐角三角形,

所以3=万一3Ae[o0],即Ae'《J,所以cosAe

2

由正弦定理可知中：—

sinAsinCsinA2sinAcosA

20.(2021•河北保定市•高三二模)在AABC中，a.瓦c分别是内角A、5、C的对边，以下三个条件任选一个作答,

如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.①上v，-^,二三成等差数列；@2a-Z7=2ccosB;

cosAcosAcosC

(§)ccos(B-A)+ccosC=2y/3bsinAcosC；

(1)求角。的大小;

(2)若。=2百，△ABC的面积为求a+Z;和sinA+sinB的值.

【答案】（1）C=三;（2）a+b=2y/6;sinA+sinB

【详解】（1）选①；成等差数列，

cosAcosAcosC

2bac

则-----=------+------，

cosAcosAcosC

〜…2sinBsinAsinC

所以----丁=——r+——匚，

cosAcosAcosC

整理可得2sin5cosC=sinAcosC+sinCeosA=sin（A+C）=sinB,

因为sin3w0,则2cosc=1,BPcosC=—,

2

又因为0<C<»,

7T

所以c=—.

3

选②，2a—b=2ccosB,

所以2sinA—sinB=2sinCeosB,

2sinBcosC+2cosBsinC-sinB=2sinCcosB,

整理可得2sin5cosC=sin_B,

因为sinBwO,则2cosc=1,即cosC='，

2

又因为0<C<»,

TT

所以。=3.

3

选③，ccos(B-A)+ccosC=sinAcosC,

则sinC[cos(B-A)-cos(A+B)]=2百sinBsinAcosC,

化简可得2sinCsinAsinB=26sinBsinAcosC,

因为sinAwO,sinBwO,

所以sinC=gcosC，即tanC=百，

又因为0<C<»,

jr

所以c=—.

3

(2)在AABC中，由余弦定理可得02=々2+82—2仍cosC=1+82—劭=12,

6厂

又S/\ABC=~absinC—4ub—y3»

即而=4,所以/+〃=16，

所以〃+6=J(a+b)2=+b2+2ab=J16+8=2c，

abc2四.

____=____=____=_z——4

由sinAsinBsinC^

V

所以sinA=q,sinB=—,

44

所以sinA+sin5=@+2=T=域=逅

44442

21.(2021•天津高三二模)在△ABC中，角A,B,。所对的边分别为〃，b,且满足a=3,b=6,

csinA=acosC.

(I)求角。的大小；

(II)求边c的长：

(111)求cos(C—2A)的值.

【答案】(I)工(H)占(III)--

410

【详解】因为csinA=acosC,

所以由正弦定理得：sinCsinA=sinAcosC,

即tanC=l,又0<C<»

TT

所以c=一

4

(ID由余弦定理得：。2=〃2+/—2QbcosC=9+2—6=5,

所以c=y/5

(III)由余弦定理得：cosAJ"一'二—典,

2bc10

所以sinA=Vl-cos2A=,

10

324

所以sin2A=2sinAcosA=--,cos2A=2cosA-l=--

所以cos(C-2A)=cosCcos2A+sinCsin2A

,V24V237A/2

-XIJ-|--------XIJ-------------

252510

22.（2021•湖南高三其他模拟）在AABC中，角A、B、C的对边分别为。、b、c,已知沙=1,c=242-

（1）若acos5=bcosA,此三角形是否存在？若存在，求此三角形的面积；若不存在，说明理由；

（2）若acosC+〃=0,点D在BC边上,且NAO3=一,求CO长.

4

【答案】（1）不存在，理由见解析；（2）好.

5

【详解】（1）由acos5=bcosA可得sinAcos5=sin5cosA,故sin（A—jB）=0,

,.-0<A<TT,0<B<7T,:.—7i<A—B<7i,「.A—5=0,可得A=5，「.a=b=l,

a+b=2<2A/2=c，故这样的三角形不存在；

『.扇_2

(2)由acosC+Z?=0得〃-----------+/?=0,/.a2+3b2-c2=0

lab

将匕=1，c=2夜代入求得a=逐,

2bc

a1+b2—c25+1—8A/5同〉不行缶二匚I、I.-R7?2A/5

*.*cosC=---------------=-----T=—---------，则C为钝角，所以，sinC=yjl—cosC=-------

lab2A/555

/.sinADAC=sin]?万一C=&sC+旦nC=①

2210

巫

CD———,则CD=—是:更

在八4。。中,

sinZDACsinZADCV25

23.（2021•新疆阿勒泰地区•布尔津县高级中学高三三模（理））在AABC中，角A,3,C所对的边分别为“,仇c,

Ksin2A+sin2B-sin2C=V3sinAsinB.

（1）求角C的大小；

（2）当c=l时，求/一廿的最大值.

【答案】（1）C=30°;（2）2.

【详解】（1）由正弦定理得/+/—。2=也"，即cosC='+"—，「=昱,又0。<。<180。，所以C=300.

2ab2

ahcI

z、、——=——=——=-=2,B=180°-30°-A=150°-A

（2）由sinAsinBsinCj-，

2

所以Q=2sinA,b=2sinB=2sin（150。一A）=2sin（30。+A）,

,l-cos2A,l-cos（2A+60。）

贝Ua1-b2=4sin2A-4sin2（30°+A）=4x---------------4x

22

=-2cos2A+2cos（2A+60。）=-cos2A-石sin2A=-2sin（2A+30。）,

因为0°<A<150°，所以30°<2A+30°<330°.

当2A+30°=270°，即2=120°时,sin（2A+30°）=-1,

故/一匕2的最大值是2.

24.（2021•广东高三其他模拟）在下列三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答.

①百sin26+cos26-4cos。+1=0;②l-4cos2。=2\/3sin（§）cosf^.

如图，在边长为1的正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,AB上移动（不含端点），ZEDF=0,且______________,

ZADF=a.

BFA

（1）求。的值;

（2）求△£/）产面积的最小值.

（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）

【答案】（1）答案见解析；（2）2^-3.

【详解】（1）选择①，y/3sin20+cos20-4cos^+1=0,

BP2A/3sin9cos0+2cos20-4cos6=0,又COS6W0,

jr

所以若sin6>+cos6>-2=0，BP2sin（6>+-）=2,

o

JTIT

根据题意知o<e<—,所以e=—；

23

选择②，1-4cos20=2^sin6*>

即1-4（1-2sin2<9）=26sin0,8sit?。-2氐in6-3=0,

（2sin。-j3）（4sin6+j3）=0,解得sin6=寸或-子，

JTIT

根据题意知o<e<—,得6=—；

23

选择③，cos“（1=&y,

根据题意知o<e（工，所以?<e+:<学，

2444

V（口1"1五一"雨|、|•（n兀）［_16-巫\布+a

I4J414八（4）4

.FCG兀］V6+V2V2母-屈4173

所以sin"=sin"+———=-------x---------------------x——=——,

（4）4」42422

JTJT

而o<e<一,所以e二—；

23

11Tl

/一、33口工+i=i心DF=----,DE=----------,0<a<—,

（2）根据题思，易知coscr尸、6

1.7111

X鸟

°AEDF=—xsin—x

23coscr4&os2a+'sin2a+/5/3+2sinl2cr+|j,

444

由0<a<3,得二<2夕十二〈生，所以sin[2。+当sin[2a+g）=1,

6333I

即2a+&=工，即&=工时，△石D尸的面积最小，为1—=26—3.

32126+2

25.（2021•浙江高三二模）在AABC中，角A,B,C所对的边分别为。，b,c.

（I）若1+285?1855=251112451115,求角C;

（II）若的l+tanA）=（c2—求角c.

TT37r

【答案】（I）C=-；（IDc=——.

34

【详解】（I）因为l+2cosAcos5=2sinAsini?,

所以cos（A+3）=-；,

所以cos。=!，

2

因为。£（0,4）,

所以c=f

（II）因为〃（l+tanA）=d—02）（]_t皿4）,显然从彳羡，

匚厂…Ac2-a2-b2-labcosC-acosC-tanA

所以tanA=——-——-=---------=--------=------

b+c-a2bccosAccosAtanC

又由tanAw0,

所以tanC=-l,

因为CE（O,»）,

所以c=3x.

4

26.（2021•四川攀枝花市•高三一模（文））已知AMC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且

6acosC=（2）-6c）cosA.

（1）求角4

（2）若b=2^,边上的高为3,求c.

【答案】⑴A=—；（2）c=3或。=6.

6

【详解】（1）△ABC中，：A/^〃COSC=（2Z2—6C）COSA,

由正弦定理得GsinAcosC=2sinBcosA-y/3sinCcosA，

下＞sin(A+C)=2sin3cosA,

即=2sinBcosA；

•・,3为△ABC内角，sinB^O,

.4_A/3

,,cosA——，

2

又：A为6c内角，

A=-.

6

(2)因为S.ABC=5反sinA=5。・饱c

将6=2小，丸BC=3，sinA=；代入，得a=

由余弦定理得=〃+°2—2/7CCOSA，

于是(半)2=(26y+c2—2x2^x'C，

即。2—9c+18=0，

解得c=3或c=6.

27.(2021•四川攀枝花市•高三二模(理))已知AA6c的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且

sin2A+V3cosA=—.

4

(I)求A；

(II)若AABC是锐角三角形，且b=2,求AA6c面积的取值范围.

【答案】(I)-(II)［立，空.

6123J

【详解】

(I)由sin2A+gcosA=Z,可得l-cos2A+6cosA=Z；

44

即4cos2A—cosA+3=0n(2cosA—GT=0,解得cosA=必；

2

jr

由于OvAv»,故人=一.

(II)法一：由题设及(I)知AABC的面积S.ABc=LbcsinA=Lc.

△/id22

由正弦定理得「匠-

/sinjsmcosB+也sin51+&•

sinBsinBsinBtanB

jrTT

由于AA