2022-2023学年人教A版高二数学上学期同步讲义拓展四：直线的方程大题专项训练(34道)(详解版)

拓展四：直线的方程大题专项训练(34道)

等高频考点

考点精析

类型一求直线的方程(10道)

1.(2022•青海•海南藏族自治州高级中学高二期末(文))已知三角形的三个顶点A(-5,0),3(3,-3),C(0,2),

求BC边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程.

2.(2022•湖北•监利市教学研究室高二期末)在平面直角坐标系中，已知菱形ABC。的顶点4(0,2)和

C(4,6),AB所在直线的方程为3x-y+2=0.

(1)求对角线8。所在直线的一般方程；

(2)求所在直线的一般方程.

3.(2022•北京房山•高二期末)在平面直角坐标系中，AMC三个顶点坐标分别为42,-2),8(6,6),C(0,6).

⑴设线段A8的中点为求中线CM所在直线的方程.

(2)求边A3上的高所在直线的方程.

4.(2022•江苏•南师大二附中高二期末)已知A43C的顶点4(1,5),边A3上的中线CM所在的直线方程为

2x-y-5=0,边AC上的高所在直线方程为x-2y-5=0,求

⑴顶点C的坐标；

(2)直线5c的方程；

5.(2022•四川雅安•高二期末(理))已知：直线人x+y-3=0与直线心2x-3y-l=0交于点尸.

⑴求直线《和〃交点P的坐标.

（2）若过点P的直线I与两坐标轴截距互为相反数，求/的直线方程.

6.（2022•广西•宾阳中学高二期末（文））己知的三个顶点是A（4,0）,B（6,7）,C（0,3）.

（1）求AC边所在的直线方程；

⑵求经过AB边的中点，且与AC边平行的直线/的方程.

7.（2022•河北沧州•高二期末）已知直线/过点网3,4）.

⑴若直线/与直线4x-3y+5=0垂直，求直线/的方程；

（2）若直线/在两坐标轴的截距相等，求直线/的方程.

8.（2022•四川•成都七中高一期末）已知AABC的顶点8（5,1）,AB边上的高所在的直线方程为x-2y-5=0.

（1）求直线48的方程；

（2）在两个条件中任选一个，补充在下面问题中.

①角A的平分线所在直线方程为x+2），-13=0

②边上的中线所在的直线方程为2x-y-5=0

,求直线AC的方程.

9.（2022•重庆市青木关中学校高二期末）已知直线/过定点4（2,1）

（1）若直线/与直线x+2y-5=0垂直，求直线/的方程；

⑵若直线/在两坐标轴上的截距相等，求直线I的方程.

10.（2022•江苏徐州・高二期末）在AABC中，已知A（2,4）,«（-2,1）,C（8,T）,。，E分别为边AB,AC的

中点，AH,8c于点

⑴求直线DE的方程；⑵求直线A〃的方程.

类型二两条直线平行、垂直关系的应用（6道）

11.（2022•内蒙古•赤峰二中高二期末（文））已知直线4：（加一4）x-y+l=。和％：（w+4）x+（w+l）y-l=0.

⑴若//上求实数，〃的值；

⑵若LU，求实数，”的值.

12.（2022•江苏泰州•高二期末）已知两条直线4：（3+m）x+4y=5-3m,1：2x+（5+m）y=8.设加为实数,分别

根据下列条件求加的值.

（IM/；

⑵直线4在x轴、＞'轴上截距之和等于6.

13.（2022•黑龙江•哈尔滨市第三十二中学校高二期末）已知直线4:口-2y+4=0和:（a-2）x+4y+1=0,

设a为实数，分别根据下列条件求a的值：

⑴…

⑵

14.（2022•全国•高二期末）已知直线4："+3y+l=O,4：x+（a—2）y+a=0.请从以下三个条件中选出两

个求实数”，。的值.

（1）6=3a；

（2）/,1Z2；（3）1.//l2.

15.（2022•浙江宁波•高二期末）已知三条直线4：2x-y+\=0,l2：3x+y-6=O,/3：kx-y+k+\=Q（k

是常数），.

⑴若乙，12,4相交于一点，求女的值；

⑵若4,4,4不能围成一个三角形，求Z的值：

⑶若《，12,4能围成一个直角三角形，求k的值.

16.（2022•湖北•武汉市第十五中学高二期末）已知直线4：3x+2y+6=0,直线/”2x-3/y+18=0,直线

13:2nvc-3y+12=0.

⑴若4与/2的倾斜角互补，求，”的值；

（2）当机为何值时，三条直线能围成一个直角三角形.

类型三直线的恒过定点问题（2道）

17.（2022•江苏•高二）已知直线/：（2+m）x+（l-2//z）y+4-3/77=O（mwR）.求证：直线/恒过定点户，

并求点P的坐标.

18.（2022•浙江•玉环市玉城中学高二期中）已知点月（2,1）,直线/:（a-l）x+y+2+a=0（aeA）.不论a取

何值，直线/过定点P.

⑴求点尸的坐标，及点A（2,l）到直线/距离的最大值；

（2）若直线/在两坐标轴上的截距相等，求“的值.

类型四求两点间的距离（2道）

19.（2022•四川乐山•高一期末）已知直线/过点尸（2,1）交圆C:d+y2-2x-6y=0于4、5两点.

⑴当直线/的倾斜角为45。时，求A8的长；

⑵当IA31最小时，求直线，的方程.

20.（2022•全国•高二期末）在平面直角坐标系中，已知矩形A8C。的长为2,宽为1,AB,40边分别在x

轴、y轴的正半轴上，点A与坐标原点重合（如图所示）.将矩形折叠，使点A落在线段OC上.

（1）若折痕所在直线的斜率为上试求折痕所在直线的方程;

（2）当时，求折痕长的最大值.

类型五求点到直线的距离（3道）

21.（2022•湖南省临湘市教研室高二期末）直线/经过两直线《：3x+4y-2=0和4：2x+y+2=0的交点.

⑴若直线/与直线3x+y-1=0平行，求直线/的方程；

⑵若点A（3,D到直线/的距离为5,求直线/的方程.

22.（2022•内蒙古•阿拉善盟第一中学高二期末（文））在平面直角坐标系内，已知AABC的三个顶点坐标分

别为A（0,2）,5（4,0）,CW0）.

（1）求48边的垂直平分线所在的直线/的方程；

（2）若AABC的面积为5,求点C的坐标.

23.（2022•重庆市万州第二高级中学高二期末）已知直线/：依-y+l+2Z=0（ZeH）.

⑴已知P（l,5）,若点P到直线的距离为d,求d最大时直线的方程.

（2）若直线/交x轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点8,求AAOB面积的最小值.

类型六求两平行直线间的距离（4道）24.（2022•吉林•长春市实验中学高二期末）已知直

线x-2y+3=0与直线3x+y+2=0交于点户.

（1）求过点P且平行于直线3x+4y-5=0的直线4的方程，并求出两平行直线间的距离；

（2）求过点P并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线12的方程.

25.（2022•四川凉山•高二期末（理））已知直线/过点P（2,3）,且被两条平行直线《：3x+4y-7=0,

4：3x+4y+8=0截得的线段长为d.

（1）求d的最小值；

（2）当直线/与x轴平行时，求d的值.

26.（2022•安徽芜湖•高二期末）直线（：x+（l+〃?）y-2=0和4：mx+2y-2=0.

⑴若两直线垂直，求机的值；

（2）若两直线平行，求平行线间的距离.

27.（2022•广东揭阳•高二期末）已知直线4：仪+2y+6=0和直线4：x+y-I=0.

⑴若乙U时，求a的值；（2）当4〃4平行,求两直线4，（的距离.

类型七与面积有关的问题（7道）

28.（2022•广东佛山福二期末）已知AABC的三个顶点的坐标分别为A（0,l）,3（1,4）,C（6,3）.

（1）求边AC上的中线所在直线方程；

⑵求AABC的面积.

29.（2022•安徽宣城•高二期末）已知直线/经过直线4：2x+y-4=O,：4x+3），-10=0的交点M.

（1）若直线，与直线％：x-2y+1=0平行，求直线/的方程；

⑵若直线/与x轴，y轴分别交于A,B两点,且M为线段48的中点，求AAOB的面积（其中。为坐标原

点）.

30.（2022•全国•高二期末）在平面直角坐标系"＞），中，已知的三个顶点4（，%〃），3（2,1）,C（-2,3）.（D

求8C边所在直线的方程；

⑵BC边上中线4）的方程为2x-3y+6=0,且AMC的面积等于7,求点A的坐标.

31.（2022•湖南•华容县教育科学研究室高二期末）已知直线4：2x-y+6=0和4：x-y+l=。的交点为p.

⑴若直线/经过点尸且与直线/3：4》-3丫-5=0平行，求直线/的方程；

（2）若直线，〃经过点户且与两坐标轴围成的三角形的面积为5,求直线用的方程.

32.（2022•浙江绍兴•高二期末）已知直线/过点P（l,2）,与两坐标轴的正半轴分别交于A,8两点，。为坐

标原点.

25

⑴若△。由的面积为亍，求直线/的方程；

4

⑵求"MS的面积的最小值.

33.(2022•湖北省武汉市青山区教育局高二期末)已知直线方程为y+2=«x+l).

⑴若直线的倾斜角为135,求出的值；⑵若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A、8两点，。为坐标原点,

求AAO3面积的最小值及此时直线的方程.

34.(2022•江苏•高二期末)如图，平面直角坐标系内，O为坐标原点，点A在x轴正半轴上，点8在第一

象限内，408=60。.

(1)若A3过点M(3,6),当AOAB的面积取最小值时，求直线AB的斜率;

(2)若他=4,求AO/U?的面积的最大值;

14=4

(3)设3若。b,求证：直线A8过一定点，并求出此定点坐标.

拓展四：直线的方程大题专项训练(34道)

含'高频考点

类型一求直线的方程(10道)

1.(2022•青海•海南藏族自治州高级中学高二期末(文))已知三角形的三个顶点A(-5,0),3(3,-3),C(0,2),

求BC边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程.

【答案】5x+3y-6=0；x+13y+5=0.

【解题思路】根据两点式方程和中点坐标公式求解，并化为一般式方程即可.

【解题过程】解：过8(3,-3),C(0,2)的两点式方程为。合=于矣，整理得5x+3y-6=0.

即8c边所在直线的方程为5x+3y-6=0,

BC边上的中线是顶点A与BC边中点M所连线段，

由中点坐标公式可得点M的坐标为(亨，昔｝即

J5八

过4-5,0),外5，-9的直线的方程为」_0-3+5,即寸+万_y+]=o.

整理得x+13y+5=0.

所以BC边上中线所在直线的方程为x+13y+5=0.

2.(2022•湖北•监利市教学研究室高二期末)在平面直角坐标系中,已知菱形ABCD的顶点4(0,2)和

C(4,6),A3所在直线的方程为3x-y+2=0.

⑴求对角线B。所在直线的一般方程；

（2）求AO所在直线的一般方程.

【答案】（l）x+y-6=0（2）x-3y+6=0

【解题思路】（D首先求AC的中点，再利用垂直关系求直线3。的斜率，即可求解；

（2）首先求点8的坐标，再求直线的斜率，求得直线AO的斜率，利用点斜式直线方程，即可求解.

【解题过程】⑴由4（0,2）和C（4,6）得:AC中点“（2,4）

6-2

V四边形A8CZ）为菱形k=--=I,；.BD1AC,

AC4—0

••=-1，

且M（2,4）为中点，

，对角线8。所在直线方程为：y-4=-（x-2）r

即：x+y—6=0.

x+y-6=0

⑵由

3x-y+2=09

解得：5（1,5）,

,6-51

l=■=§，

•・・AD//BC,

%=§>

二直线AD的方程为：y-2=；x,

即：x-3y+6=0.

3.（2022•北京房山•高二期末）在平面直角坐标系中，AABC三个顶点坐标分别为4（2,-2）,B（6,6）,C（0,6）,

⑴设线段AB的中点为"，求中线CM所在直线的方程.

（2）求边AB上的高所在直线的方程.

【答案】⑴x+y-6=o

（2）x+2y-12=0【解题思路】（1）先求出线段的中点为M的坐标，再利用两点式求出中线CM所在直

线的方程；

（2）先求出A8的斜率，可得A8边上的高所在直线的斜率，再利用点斜式求出边A8上的高所在直线的方

程.

【解题过程】⑴解：入钻。三个顶点坐标分别为A（2,-2）,B（6,6）,C（0,6）,

二线段A3的中点加（4,2）,则中线CM所在直线的方程为9=，

即x+y_6=0；

（2）

解：由于直线A8的斜率为泮=2,故边A8上的高所在直线的斜率为

故边AB上的高所在直线的方程为y-6=-g（x-0）,即x+2y-12=0.

4.（2022•江苏•南师大二附中高二期末）已知AABC的顶点4（1,5）,边AB上的中线CM所在的直线方程为

2x-y-5=0,边AC上的高所在直线方程为x-2y-5=0,求

⑴顶点C的坐标；

（2）直线8C的方程；

【答案】（1）（3,1）；（2）y=l.

【解题思路】（1）设出点C的坐标，进而根据点C在中线上及AC，8”求得答案；

（2）设出点6的坐标，进而求出点M的坐标，然后根据中线的方程及AC,3"求出点8的坐标，进而求

出直线BC的方程.

'2x-y-5=0r

【解题过程】⑴设C点的坐标为（x,y）,则由题知y-51=]=v_f,即C（3,l）.

.x-i2=­a

⑵设B点的坐标为（八〃），则中点/坐标（第,等）代入中线CM方程

加一2〃-5=°前=7I

则由题知cm+\n+5<即8（7,1）,又C（3,l）,贝以,=；4=0，

I22i

所以直线BC方程为y—1=0（x—3）ny=l.

5.（2022•四川雅安•高二期末（理））已知：直线。x+y-3=0与直线小2x-3y-l=0交于点P.

⑴求直线4和/2交点P的坐标.

（2）若过点P的直线/与两坐标轴截距互为相反数，求/的直线方程.【答案】（1）「（2,1）（2）*->-1=。或

x-2y=0

x+y-3=0

【解题过程】⑴解方程组

2x-3^-l=0

...点P的坐标为（2,1）,

（2）

直线/的斜率显然存在且不为0,设/：y-l=%（x-2）

令x=0,得y=l-2k,令y=0,得x=2-1,

k

所以l-2A+2」=0

k

，2二—3&+1=0,二Z=1或4=I，

得/为：x-y-l=0或x-2y=0

6.（2022•广西•宾阳中学高二期末（文））已知“BC的三个顶点是A（4,0）,B（6,7）,C（0,3）.

（1）求AC边所在的直线方程；

⑵求经过A8边的中点，且与AC边平行的直线/的方程.

【答案】（l）3x+4y-12=0（2）3x+4y-l=0

【解题思路】（D利用直线方程的两点式求解；

（2）先求得A8的中点，再根据直线与4C平行，利用点斜式求解.

【解题过程】（1）因为4（4,0）,C（0,3）,

所以AC边所在的直线方程为二=2二，

x-0x-4

即3x+4y—12=0；

（2）因为A（4,0）,3（6,7）,

所以48的中点为：（5；）,

又晨=总

7a

所以直线方程为：y-j=-^（x-5）,

即3x+4y-1=0.7.（2022•河北沧州•高二期末）已知直线/过点P（3,4）.

⑴若直线/与直线4x-3y+5=0垂直，求直线/的方程；

⑵若直线/在两坐标轴的截距相等，求直线/的方程.

【答案】（l）3x+4y-25=0（2）4x-3y=（^x+y-7=0

【解题思路】（1）由两条直线垂直可设直线/的方程为3x+4y+帆=0,将点P（3,4）的坐标代入计算即可；

（2）当直线/过原点时，根据直线的点斜式方程即可得出结果；当直线/不过原点时可设直线/的方程为

x+y=。，将点P（3,4）的坐标代入计算即可.

【解题过程】（1）

解：因为直线/与直线4x-3y+5=0垂直

所以，设直线/的方程为3x+4,，+/«=0,

因为直线/过点尸（3,4）,

所以3x3+4x4+m=0,解得，”=一25,

所以直线/的方程为3x+4y-25=0.

（2）

解：当直线/过原点时，斜率为：4，由点斜式求得直线/的方程是y=4即4x-3y=0.

当直线/不过原点时，设直线/的方程为x+y=%把点尸（3,4）代入方程得。=7,

所以直线/的方程是x+y-7=o.

综上，所求直线/的方程为4x-3y=0或x+y-7=0.

8.（2022•四川•成都七中高一期末）已知AABC的顶点8（5,1）,AB边上的高所在的直线方程为x-2尸5=0.

（1）求直线AB的方程；

（2）在两个条件中任选一个，补充在下面问题中.

①角A的平分线所在直线方程为x+2y-13=0

②BC边上的中线所在的直线方程为2x-y-5=0

,求直线AC的方程.

【答案】（l）2x+y-ll=0；⑵若选①：直线AC的方程为2x-lly+49=0；若选②：直线4C的方程为

6x-5y-9=0.

【解题思路】（1）由两直线垂直时，其斜率间的关系求得直线A8的斜率为火，再由直线的点斜式方程可求

得答案；

（2）若选①：由求得点A（3,5）,再求得点B关于x+2y-13=0的对称点即知％）,由

此可求得直线AC的方程;

若选②：由《；?二；二；，求得点A（4,3）,设点CQ,%）,由8c的中点在直线2x-y-5=0上，和点C

在直线x-2y-5=0上，求得点C（-l,-3）,由此可求得直线AC的方程.

【解题过程】（1）

解：因为48边上的高所在的直线方程为x-2y-5=0,所以直线45的斜率为2=-2,

又因为AABC的顶点8（5,1）,所以直线A8的方程为：y-l=-2（x-5）,

所以直线48的方程为：2x+y-ll=0；

⑵

解：若选①：角4的平分线所在直线方程为x+2y-13=0,

2x+y-ll=0x=3

,解得

x+2y-13=0.y=5

所以点A（3,5）,

七

-37一

5

设点8关于x+2y-13=0的对称点B.（为%）,则，解得＜

为

29一

-5

5_29

又点8件，省在直线4c上，所以勉=一言="

,-5

所以直线AC的方程为y-5=1（x-3）,

所以直线AC的方程为2x-1ly+49=0；

2x」+y-ll=0解得彳r=4

若选②：8c边上的中线所在的直线方程为2x-y-5=0,由2xl=0,二2,所以点4(4,3)，

y=3

设点C&,x）,贝115c的中点在直线2x—y—5=0上，所以2x等一等-5=0,即2x「y-l=0,所以点

C在直线2x-y-1=0上,

x-2y-5=0X=-1/、

又点C在直线x-0上，由解得),=_3,即C(T，-3),

所以矶=尧=£

所以直线AC的方程为y-3=g（x-4）,

所以直线AC的方程为6x-5y-9=0.

9.（2022•重庆市青木关中学校高二期末）已知直线/过定点A（2,l）

⑴若直线/与直线x+2y-5=0垂直，求直线/的方程；

（2）若直线，在两坐标轴上的截距相等，求直线I的方程.

【答案】⑴2x-y-3=0

⑵x-2y=0或x+y-3=0

【解题思路】（1）求出直线x+2y-5=0的斜率可得/的斜率，再借助直线点斜式方程即可得解.

（2）按直线/是否过原点分类讨论计算作答.

【解题过程】（1）

直线x+2y—5=0的斜率为于是得直线/的斜率％=2,贝!]y—l=2（x—2）,即2x—y-3=0,

所以直线/的方程是：2x-y-3=0.

（2）

因直线/在两坐标轴上的截距相等，则当直线/过原点时，直线/的方程为：y=；x,即x-2y=0,

当直线/不过原点时，设其方程为：土+上=1,则有2+1=1,解得。=3,此时,直线/的方程为：x+y-3=0,

aaaa

所以直线/的方程为：x-2y=0^x+y-3=0.

10.（2022•江苏徐州•高二期末）在AABC中，已知A（2,4）,B（-2,l）,C（8,-4）,D,E分别为边48,AC的

中点，4万，8c于点H.

（1）求直线OE的方程；（2）求直线A”的方程.

【答案】⑴x+2y-5=0；

（2）2x-y=0.

【解题思路】（1）根据给定条件求出点。，E坐标，再求出直线OE方程作答.

⑵求出直线AH的斜率，再借助直线的点斜式方程求解作答.

【解题过程】（1）

在AABC中，A（2.4）,B（-2,l）,C（8,-4）,则边AB中点。（0,1）,边AC的中点E（5,0）,

2__n15

直线OE的斜率”_5一、1,于是得y=_；x+g,即x+2y-5=0,

^=0^5=~222

所以直线OE的方程是：x+2y-5=0.

⑵

依题意，BC//DE,则直线8c的斜率为又A//L3C,因此，直线A"的斜率为2,

所以直线的方程为：y-4=2（x-2）,即2x—y=0.

类型二两条直线平行、垂直关系的应用（6道）

11.（2022•内蒙古•赤峰二中高二期末（文））已知直线4：（加—4）x—y+l=0和小（加+4）x+（m+l）y—1=0.

（1）若4〃4,求实数〃，的值;

（2）若4,4,求实数，〃的值.

【答案】（1）2（2）匕场或上班

22

【解题思路】（D易知两直线的斜率存在，根据由斜率相等求解.

（2）分加=4和加工4,根据4，3由直线的斜率之积为-1求解.

【解题过程】（1）

由直线4的斜率存在'且为m-4,则直线&的斜率也存在,且为-鬻'

因为4〃4,

加+4

所以加一4二一

"7+1

解得…或2,①当*。时，由士=1此时直线心4重合'

②当利=2时，士=%,此时直线“平行,

综上：若4〃4,则实数，〃的值为2.

⑵

①当机=4时，直线4的斜率为o,此时若4U必有，“=-1，不可能.

②当时，若4必有（机-4）x（-7石）=-1,解得/〃=［土,

由上知若4,4,则实数，”的值为或上巫.

22

12.（2022•江苏泰州•高二期末）已知两条直线4：（3+"，）x+4y=5_3w,4：2x+（5+,"）y=8.设m为实数，分别

根据下列条件求机的值.

⑴/%

（2）直线在x轴、y轴上截距之和等于6.

【答案】（1）群=-7；（2）m=T.

【解题思路】(1)由两直线平行可得出关于加的等式，求出m的值，再代入两直线方程，验证两直线是否

平行，由此可得出结果；

(2)分析可知5+加^0,求出直线4在x轴、)'轴上的截距，结合已知条件可得出关于机的等式，即可解

得机的值.

【解题过程】(1)

解：由/“A，则(3+加卜(5+利)=4・2,即病+8加+7=0,解得H=T或-7.

当相=-7时，4:2x-2y+13=0,/2:x-y-4=0,此时“儿；

当帆=一1时,4:x+2y-4=0,4：%+2y-4=0,此时/1，6重合,不合乎题意.

综上所述，m=-7•

(2)

解：对于直线由已知可得5+〃2=0,则〃2，-5,

Q

令y=。，得x=4；令x=0,^y=-・

5+"2

Q

因为直线4在X轴、y轴上截距之和等于6,即4+J-=6,解得加=T.

13.(2022•黑龙江•哈尔滨市第三十二中学校高二期末)已知直线公火-2>+4=。和/”(a-2)x+4y+l=0,

设。为实数，分别根据下列条件求«的值：

(l)^i-L4

⑵“〃2

【答案】(1)。=4或。=-2

⑵

【解题思路】⑴根据4口,由a(a-2)-2x4=0求解；

(2)根据“〃2，由4a=-2(a-2)求解.

【解题过程】(1)

解：因为卬2,

所以。(a-2)-2x4=0,

解得a=4或a=-2.

所以当时，。=4或a=-2；

⑵

因为“4，

所以4。=・2(。・2),解得。=§.

3

检验：此时4：x-3y+6=O'：x-3y=0,11//12>成立.

所以当时，。=|.

14.(2022•全国•高二期末)已知直线4：法+3y+l=0,l2:x+(a-2)y+a=Q.请从以下三个条件中选出两

个求实数。，人的值.

(1)/?=3cl；

⑵/j;

⑶

【答案】⑴选⑴和⑵,a=\,b=3.

6Z=1+>/2a—\—\/2

⑵选⑴和⑶，-0+后产k3(1.可

(3)选(2)和(3),a、b无解.

【解题思路】根据两直线的位置关系可知，若两直线垂直则两直线的斜率之积为-I;若两直线平行则两直

线的斜率相等且不重合.

【解题过程】(1)

若选条件⑴和(2),3=3a和…,

由匕=3a,得4：3ax+3y+l=0,即y=_ar_；,

当a=2时，4:x=-2,(：6x+3y+l=0,乙与4不垂直，

当a=0时，/|：3y+l=0,Z2：x-2y=0,《与4不垂直；

故”2且awO,得4：y=——-^+――,

2-a2-a

又4，4，k、=-a,&=—，

2-a

所以"，=-ax一一二一1,解得〃=1,则。=3；

2-a

(2)

若选条件⑴和(3),8=3a和"〃2，

由/=3a,得4：3ax+3y+1=0,

当Q=0时，4：3y+l=O,/2：x-2y=0,(与"不平行；

当。=2时，《6x+3y+l=0,/2：x=-2,(与不平行；

故"0且"2,贝丹=2/，解得。=1+近或1S

1。-2a

故6=3(1+0)或3(1-伪，

a=]+yf2a=i—\[2

即b=3(l+闾或工=3(1-匈;

⑶

若选条件⑵和(3),4U和“4，

根据两条直线的位置关系，

可得《_L4和〃〃2不可能同时成立，

此时无解.15.(2022•浙江宁波•高二期末)已知三条直线ll：2x-y+]=0,l2：3x+y-6=0,l);kx-y+k+]=0

(火是常数)，.

⑴若4,%4相交于一点，求人的值；

⑵若心*4不能围成一个三角形，求左的值：

⑶若乙，4,4能围成一个直角三角形，求k的值.

【答案】⑴)=1

(2)k=l或无=2或％=-3

(3)々=_g或；

【解题思路】(1)由二条已知直线求交点，代入第三条直线即可；

(2)不能围成一个三角形，4过二条已知直线的交点，或者与它们平行；

(3)由直线互相垂直得，斜率之积为-1.

【解题过程】(1)

_[2x-y+l=0,

显然乙，4相交，由°A/

[3尤+y-6=0

得交点(L3),

由点。3)代入4得％=1

所以当4，%%相交时，k=l.

(2)

4过定点(T，l)，因为4,4,4不能围成三角形，所以。,3)€4,或4与4平行，或4与4平行，

所以％=1,或％=2,或％=-3.

(3)

显然4与4不垂直，所以(1,3)任4,且或4皿

所以k的值为无=-；或g

16.(2022•湖北•武汉市第十五中学高二期末)已知直线4：3x+2y+6=0,直线4:2x-3疗＞+18=第直线

4：2皿-3y+12=0.⑴若4与3的倾斜角互补,求机的值；

(2)当m为何值时，三条直线能围成一个直角三角形.

【答案］⑴相=±3

4

(2)0,-1,.

【解题思路】(1)根据题意得勺=-4，进而求解得答案；

(2)根据题意，分别讨论4与4垂直，4与《垂直，4与4垂直求解，并检验即可得答案.

【解题过程】(1)

解：因为4与4的倾斜角互补，

所以夕=一心,

33

直线4：3x+2y+6=O变形为点丫=_y3,故&=：

所以勺2解3得*士22

“23

(2)

解：由题意，若6：3x+2y+6=0和4：2x-3m2y+i8=0垂直可得：3X2+2X(-3/M2)=0,解得加=±1,

因为当加=1时，/,:2x-3y+18=0,/3:2x-3y+12=0,l2//l3,构不成三角形，

当机=-1时，经验证符合题意；故机=-1；

同理，若4：3x+2y+6=0和4:2，〃x-3y+12=0垂直可得：6m-6=0,解得m=l,舍去；

4

若/2：2x-3，/y+18=0和A：2mx-3y+12=0垂直可得：4/M+9m2=0,解得机=0或机=一§,经验证符合

题意；

4

故所的值为：0,-1,.

类型三直线的恒过定点问题（2道）

17.（2022•江苏•高二）已知直线/：（2+/n）x+（l-2w）y+4-3w=0（meR）.求证：直线/恒过定点P,

并求点P的坐标.【答案】证明见解析，P（-L-2）

【解题思路】整理原方程，利用直线系列出方程组，即可得到直线/恒过定点P的坐标.

【解题过程】证明：原方程整理为2x+y+4+m（x-2y—3）=0,贝U由，._2）」3=0得（v=—2

所以P点坐标为（-1,-2）.

18.（2022•浙江•玉环市玉城中学高二期中）已知点A（2,l）,直线/:（a—l）x+y+2+a=0（awR）.不论〃取

何值，直线/过定点P.

⑴求点尸的坐标，及点A（2,l）到直线/距离的最大值；

（2）若直线/在两坐标轴上的截距相等，求〃的值.

【答案】⑴尸（-L-3）；5

（2）«=2或a=—2

【解题思路】⑴方程化为“（x+l）-x+y+2=0,联立方程组产1=八可求出定点，点A（2,l）到直

[-x+y+2=0

线/距离的最大值即为|幺|；

（2）分别求出两坐标轴上的截距，建立方程即可求出.

【解题过程】（1）

由（q-l）x+y+2+a=0整理可得a（x+1）-x+y+2=0,

人[x+l=0A

令《cc，解,得x=-l,y=-3.

[-x+y+2=0

所以直线/过定点P（—1,一3）.

点4（2,1）到直线/距离的最大值为|24|=反正=5.

⑵

—ci—2

令y=0,得工=-----；令x=0,得尸一〃一2

依题意，-=-a-2解得。=2或。=—2

a—\f

类型四求两点间的距离（2道）

19.（2022•四川乐山•高一期末）已知直线/过点尸（2,1）交圆C:f+y2-2x-6y=0于4、3两点.

⑴当直线/的倾斜角为45。时，求A8的长；（2）当|AB|最小时，求直线/的方程.

【答案】（1）疟

⑵x—2y=0

【解题思路】（1）利用垂径定理去求A8的长；

（2）利用过圆内一点的最短弦长求法去求直线/的方程.

【解题过程】（1）

圆C:x2+9-2x—6y=0的圆心C（l,3）,半径r=JIU

因为直线/的斜率为&=345。=1,

则过点P（21）的直线/的方程为尸l=x-2,即x-y-l=O,

则圆心C（l,3）到直线/的距离d=|1~^U=述，

V22

所以|AB|=2xJ10-3=后.

（2）

由题知，当直线/LCP时，|AB|最小，此时勺=-1-=5，

故直线/的方程为y-l=；（x-2）,即x-2y=0.

20.（2022•全国•高二期末）在平面直角坐标系中，已知矩形A3C。的长为2,宽为1,AB,AO边分别在x

轴、y轴的正半轴上，点A与坐标原点重合（如图所示）.将矩形折叠，使点4落在线段。C上.

（1）若折痕所在直线的斜率为%试求折痕所在直线的方程;

（2）当-2+百4k40时，求折痕长的最大值.

【答案】（1）y=a+y+1；（2）2（C—0）.

【解题思路】（1）当％=0时，此时A点与。点重合，折痕所在的直线方程＞=3.当k#0时，将矩形折叠后

A点落在线段。C上的点记为G（a,l）,可知：A与G关于折痕所在的直线对称，有*4=-1,解得a=-k.

故G点坐标为G（-4,1）,从而折痕所在的直线与。G的交点坐标即线段0G的中点为即可得

出.（2）当左=0时，折痕长为2.当_2+限&<0时，折痕所在直线交8c于（2,2%+：+。交y轴于

V乙乙〉

.利用两点之间的距离公式、二次函数的单调性即可得出.

【解题过程】解：（1）①当左=0时，此时点4与点。重合，折痕所在直线的方程为>=

②当〃/0时，将矩形折叠后点A落在线段。C上的点记为G（a,l）,0<«<2,

所以点A与点G关于折痕所在的直线对称，有自6M=-1nLk=-1=a=-女，

a

故点G的坐标为（-太1）,

从而折痕所在的直线与OG的交点（线段OG的中点）为P'gg}

故折痕所在直线的方程为=《x+q），即y=.

综上所述，折痕所在直线的方程为

♦22

（2）当％=0时，折痕的长为2;

l（立21、（42.|

当-2+g会<0时，折痕所在的直线交直线8c于点M12,2"万+之，交y轴于点N10,（-

V0<公4（-2+6『=7-46，；.3<^14^^^=2（2—6）<2*3=1,贝!]%在40上，

•.•2k+与+:=：伏+2-,-2+y/3<k<0,

2222

.•.24+昭+，的取值范围为（0,与，

22I2J

故点M在线段8c上.

v|W|2=22+^^-屈+土+口

=4+4公44+4X(7-4@=32-16G,

L2I22）

二折痕长度的最大值为"32-166=2（。-&）.

而2（遥-点）>2,故折痕长度的最大值为2（遥-应）.

类型五求点到直线的距离(3道)

21.(2022•湖南省临湘市教研室高二期末)直线/经过两直线《：3X+4)，-2=0和/z：2x+y+2=O的交点.(1)

若直线/与直线3x+y-l=O平行，求直线/的方程；

⑵若点A(3,l)到直线/的距离为5,求直线/的方程.

【答案】⑴3x+y+4=0

(2)x=-2或12x-5y+34=0

【解题思路】(1)由题意两立方程组，求两直线的交点的坐标，利用两直线平行的性质，用待定系数法求

出/的方程.

(2)分类讨论直线/的斜率，利用点到直线的距离公式，用点斜式求直线/的方程.

【解题过程】(1)

曲山声+"-2=0Jx=-2

解：由3上八'解得1'

[2x+y+2=0[y=2

所以两直线4：3x+4y-2=0和32x+y+2=0的交点为(-2,2).

当直线/与直线3x+y-l=O平行，设/的方程为3x+y+m=O,

把点(-2⑵代入求得机=4,

可得/的方程为3x+y+4=0.

(2)

解：斜率不存在时，直线/的方程为x=-2,满足点43,1)到直线/的距离为5.

当/的斜率存在时，设直限/的方程为y-2M(x+2),即H-y+2A+2=0,

则点A到直线/的距离为国一；：2：+21=5,求得左邛，

，欠+15

12

故/的方程为《X—y+2%+2=0,即12x—5y+34=O.

综上，直线/的方程为x=-2或12x-5y+34=0.

22.(2022•内蒙古•阿拉善盟第一中学高二期末(文))在平面直角坐标系内，已知AABC的三个顶点坐标分

别为A(0,2),5(4,0),C。。).

(1)求A3边的垂直平分线所在的直线/的方程；

(2)若AABC的面积为5,求点C的坐标.

【答案】(D2x-y-3=O;(2)(9,0)或(-1,0).

【解题思路】(D由