4.2.1指数函数的概念4.2.2指数函数的图象和性质课件高一上学期数学人教A版

第四章指数函数与对数函数指数函数的概念指数函数的图象和性质人教A版

数学必修第一册1.通过具体实例,了解指数函数的实际意义,理解指数函数的概念.2.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的单调性与特殊点.3.能够应用指数函数的图象及性质解决问题.课程标准基础落实·必备知识一遍过知识点1

指数函数的概念1.一般地,函数

(a>0,且a≠1)叫做指数函数.

其中指数x是自变量,定义域为

.

2.指数函数的特征:(1)底数a>0,且a≠1;(2)指数幂的系数是

.

名师点睛根据指数函数的定义,只有形如y=ax(a>0,且a≠1)的函数才叫指数函数,y=ax

R

1

思考辨析指数函数为什么要规定a>0,且a≠1?提示

如果a<0,那么ax对某些x值没有意义,如

无意义;如果a=0,那么当x>0时,ax=0,当x≤0时,ax无意义;如果a=1,y=1x=1是个常数函数,没有研究的必要.所以规定a>0,且a≠1,此时x可以是任意实数.自主诊断1.给出下列函数:①y=2·3x;②y=3x+1;③y=3x;④y=x3;⑤y=(-2)x.其中,指数函数的个数是(

)A.0 B.1

C.2

D.4B解析

只有③是指数函数.故选B.

2.[人教B版教材习题]已知指数函数的图象过点(2,81),求这个指数函数的解析式.解

设指数函数的解析式为y=ax(a>0,且a≠1),因为其图象经过点(2,81),所以a2=81,解得a=9,所以该指数函数的解析式为y=9x.知识点2

指数函数的图象和性质a的取值范围a>10<a<1图象

a的取值a>10<a<1性质定义域R值域

过定点

性质函数值的变化当x>0时,

;

当x<0时,

当x>0时,

;

当x<0时,

单调性是(-∞,+∞)上的

是(-∞,+∞)上的

奇偶性既不是奇函数,也不是偶函数(0,+∞)

(0,1)

y>1

0<y<1

0<y<1

y>1

增函数

减函数

自主诊断1.[苏教版教材习题]设a为实数,如果指数函数f(x)=(a-1)x是R上的减函数,那么a的取值范围是(

)A.(-∞,2) B.(2,+∞)C.(1,2) D.(0,1)C解析

由题意0<a-1<1,所以1<a<2.故选C.

2.若函数f(x)=ax-1(a>0且a≠1)的图象经过一个定点,这个定点的坐标是

.

解析

对于f(x)=ax-1(a>0,且a≠1),令x-1=0,即x=1,求得f(x)=1,可得函数的图象经过定点(1,1).3.指数函数y=5x的定义域是

,值域是

.

(1,1)

R

(0,+∞)

解析

由指数函数y=5x的图象和性质可知定义域为R,值域为(0,+∞).

重难探究·能力素养速提升探究点一指数函数的概念【例1】

(1)若函数f(x)=(a2+2a-2)(a+4)x为指数函数,则(

)A.a=1或a=-3 B.a>0且a≠1 C.a=1 D.a=-3C规律方法指数函数是一个形式定义,其特征如下:ACD探究点二指数函数的图象的应用角度1.指数型函数图象过定点问题【例2—1】

已知函数f(x)=ax+1+3(a>0,且a≠1)的图象一定过点P,则点P的坐标是

.

(-1,4)解析

当x+1=0,即x=-1时,f(-1)=a0+3=4恒成立,故函数f(x)=ax+1+3的图象恒过点(-1,4).变式探究

本例中的函数改为f(x)=5a3x-2+3后,求f(x)的图象过的定点坐标.

规律方法指数型函数图象过定点问题的解法因为函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象恒过定点(0,1),所以对于函数f(x)=kag(x)+b(k,a,b均为常数,且k≠0,a>0,且a≠1),若g(m)=0,则f(x)的图象过定点(m,k+b).角度2.指数型函数图象的识别【例2—2】

函数f(x)=ax-b的图象如图所示,其中a,b为常数,则下列结论正确的是(

)A.a>1,b<0B.a>1,b>0C.0<a<1,b>0D.0<a<1,b<0D解析

由于f(x)的图象单调递减,所以0<a<1,又0<f(0)<1,所以0<a-b<1=a0,即-b>0,b<0.故选D.规律方法指数型函数图象问题的处理技巧(1)抓住图象上的特殊点,如指数函数的图象过定点、特殊点的函数的值的符号等;(2)利用图象变换,如函数图象的平移变换(左右平移、上下平移);(3)利用函数的奇偶性与单调性,奇偶性确定函数的对称情况,单调性决定函数图象的走势.变式训练2(1)函数y=ax-(a>0,且a≠1)的图象可能是(

)D解析

对于A,B选项,由图可知a>1,于是0<1-<1,所以图象与y轴的交点的纵坐标应在区间(0,1)之间,显然A,B的图象均不正确;对于C,D选项,由图可知0<a<1,于是1-<0,图象与y轴的交点的纵坐标应小于0,所以D项符合.故选D.(2)[北师大版教材习题]已知三个指数函数y=ax,y=bx,y=cx的图象如图.①试比较a,b,c的大小;②指数函数的底数越大,它的图象与直线x=1的交点的纵坐标是越大还是趋近于0?解

①观察图象可知,当x=1时,c1>b1>a1,即c>b>a.②底数越大,图象与直线x=1的交点的纵坐标越大.角度3.画指数型函数的图象【例2—3】

画出函数y=的图象,这个图象有什么特征?你能根据图象指出它的值域和单调区间吗?∴原函数的图象关于y轴对称.由图象可知值域是(0,1],单调递增区间是(-∞,0],单调递减区间是(0,+∞).规律方法指数函数y=ax与y=

(a>0,且a≠1)的图象关于y轴对称.处理函数图象问题的常用方法:一是抓住图象上的特殊点;二是利用图象的变换;三是利用函数的奇偶性与单调性.变式训练3画出下列函数的图象,并说明它们是由函数y=2x的图象经过怎样的变换得到的.(1)y=2x-1;(2)y=2x+1;(3)y=-2x;(4)y=2|x|.解

(1)如图①,y=2x-1的图象是由y=2x的图象向右平移1个单位长度得到的.(2)如图①,y=2x+1的图象是由y=2x的图象向上平移1个单位长度得到的.(3)如图①,y=-2x的图象与y=2x的图象关于x轴对称.(4)函数y=2|x|为偶函数,图象关于y轴对称,且其在x≥0上的图象与y=2x的图象一致,可得y=2|x|的图象如图②所示.探究点三利用指数函数的单调性比较幂值大小【例3】

[人教B版教材例题改编]利用指数函数的性质,比较下列各题中两个值的大小:解

(1)因为0.8-0.1与0.8-0.2都是以0.8为底的幂值,所以考察函数y=0.8x,由于这个函数在R上是减函数.又-0.1>-0.2,所以0.8-0.1<0.8-0.2.(2)因为2.5a与2.5a+1都是以2.5为底的幂值,所以考察函数y=2.5x,由于这个函数在R上是增函数,又因为a<a+1,所以2.5a<2.5a+1.(3)设f(x)=1.8x,g(x)=0.8x,则函数f(x)在R上是增函数,函数g(x)在R上是减函数,1.80.6=f(0.6),0.81.6=g(1.6).由指数函数的性质可知f(0.6)>f(0)=1,而g(1.6)<g(0)=1,所以1.80.6>0.81.6.规律方法比较幂的大小的常用方法

变式训练4(1)(多选题)下列式子不正确的是(

)AB解析

由指数函数的单调性可知1.52.5<1.53.2,则A错误;由指数函数的单调性可知1.70.2>1.70=1,0.92.1<0.90=1,即1.70.2>0.92.1,则B错误;由幂函数、指数函数的单调性可知0.80.5<0.80.4,0.80.4<0.90.4,即0.80.5<0.90.4,则D正确.故选AB.学以致用·随堂检测促达标1234561.给出下列函数:①y=x5;②y=-2x;③y=2x;④y=2x+1;⑤y=3·2x.其中指数函数的个数是(

)A.1 B.2

C.3

D.4A解析

指数函数是形如y=ax(a>0,且a≠1)的函数,故只有③y=2x是指数函数,①为幂函数,②④⑤都称为指数型函数,所以正确选项为A.1234562.函数y=2-x的大致图象是(

)B123456A.(0,+∞) B.(1,+∞) C.[1,+∞) D.(0,1)B123456AA.a>b>c B.c>a>b

C.a>c>b

D.b>c>a1234565.若a>3,则函数f(x)=4(a-2)2x+6-1的图象恒过定点

.

(-3,3