量子力学期末考试题及解答

一、波函数及薛定谓方程

1.推导概率(粒子数)守恒的微分表达式；

a

解答：由波函数的概率波解释可知，当-(/V)已经归…化时，坐标的取值概率密

度为

卬=〃*(厂,/)夕(尸")(i)

将上式的两端分别对时间t求偏微商，得到

dtdt')')at

若位势为实数，即v*(r)=v(r),则薛定谬方程及其复共辗方程可以分别改写如

下形式

吗；")=弁初(r，f)_/(r)“O(3)

=一5'"*(4)

将上述两式代入(2)式，得到

=崇[-*(丁’)▽初初*(「")]

=2\7・「“*(7/)\7歹(厂/)-沙(厂,W(r/)](5)

2mL」

若令

有

a

.卬(r,f)+V•J(r,f)=0(7)

此即概率(粒子数)守恒的微分表达式。

2.若线性谐振子处于第一激发态

v22

P1(x)=Cexp^ax^

求其坐标取值概率密度最大的位置，其中实常数a〉0。

解答：欲求取值概率必须先将波函数归…化，由波函数的归一化条件可知

2

||^(x)|dx=\cfjx2exp(-a2x1^dx=\(1)

利用积分公示

卜exp(-«2x2)dx=拶:二.(2)

oaJ

可以得到归一化常数为

c=S

(3)

坐标的取值概率密度为

222

w(x)=帆]-^=^xexp(-ax)(4)

由坐标概率密度取极值的条件b

(5)

知卬(x)有五个极值点，它们分别是

x=0,±—,±oo

a

(6)

为了确定极大值，需要计算卬(x)的二阶导数

vv(x)=^^[2一64%2-2a2x^2x-2a2x3)Jexp(-a2x2

_21

-(2-10a2x2+4a4/)exp(-a2x2)(7)

由

于是有

d24a3

(取极小值(8)

而wx),=o=忑

d-

次(必=取极小值

而=0(9)

d-8a3,、

卬(x)3;=-----J=<O取极大值(10)

a兀

最后得到坐标概率密度的最大值为

(11)

3.半壁无限高势垒的位势为

oo(x<0)

<0(0<X<6l)

%(x〉。)

求粒子能量E在0<E<%范围内的解。

解答：按位势的不同将求解区间分为三个，分别记为I、n和m。在三个区域中，满足有限

性要求的波函数分别为

%(x)=0

I//(x)=Asin(爪+b)（1）

夕3(x)=Bexp(-cifx)

其中

.yl2mE

K=------(2)

力

a=X~~———-(3)

力

由x=0处的连接条件

%(0)=%(0)=°⑷

知

AsinJ=0(5)

即要求

8-n7i=(6)

于是

W?(x)=Asin(fcx+M)=A(-l)〃sin(fcx)(7)

再由处的连接条件

%(。)=匕(。)(8)

"2(")="3(。)

得到

4(一1)〃sin(攵Q)=Bexp(-cjfx)

kcos(⑷=-Baexp(-ax)(9)

由上式可得

cot伙a)=-y(10)

此即能量本征值满足的超越方程。该方程只能用数值法求解或用图解法求解。

由于余切为负值，所以角度(版)在第2或第4象限。若令

(11)

则式(10)可以写成

sin(ka)=±-----(12)

7

'koa

若用作图法求解上式，则其解是曲线

y)=|sin(to)|(13)

与

%=曳(14)

斓

在第2或第4象限的交点。

4.带电线性谐振子受到一个x方向均匀电场的作用，求其能级。设该线性谐振子的质量

为加、电荷为＜7、角频率为切。

解答：在均匀电场作用下，带电谐振子的哈密顿算符为

力=—5七+’机疗/一"环

(1)

2mdx22°

设哈密顿算符满足本证方程

方〃“(x)=£>.(x)(2)

利用配方的方法改写其势能项为

V(x)=—mco2x2—qqx

-mar

2

△〃皿2(3)

2

若令

X=x_0(4)

加〃r

2-2

豆=七+

23(5)

2mar

则定态薛定谬方程可以写为

22

-ftd\2

------7+—mco~X2”(x)=w(x)(6)

21ndX22

此即正常的线性谐振子的能量本证方程，它的解为

E^\n+~\-h-co⑺

I2

利用式(4)、(5)可以得到电场中线谐振子的木证解为

22

q%-

E,=(8)

"板-2

22ma)

2

x4

忆(x)=N“expH”a(9)

mco~ma>'

5.已知做一维运动的粒子处于束缚定态

T(x)=Axexp(~^a2x2

m(o

求粒子的能量及所处的位势。其中，A为归--化常数，a=

解答：将一维束缚定态薛定娉方程

N(x)+V(x)v(x)=E叭x)(1)

Imdx

改写为

(2)

利用己知的波函数^(x),计算它的一阶导数

122

AXeXP—ax

於⑺啖b2

)exp卜;爪)

A(^l-a2x2(3)

进而求出〃(X)的二阶导数

l-cif2x2)exp--a2x2

I2

(1

A^-a2x-2a2x+a4x3)exp——1a~9x2

I2(4)

=(-3a?+优工2)〃(无)

将上式代入式(2)，得到

3a27r*a4-fr~

V(x)=E--------------1-----------(5)

2m2m

若取x=0处的位势为零，则能量本征值为

_3a之力?

E=------(6)

2m

将上式代入(5)式，立即得到位势的形式

a/

v(x)=x2(7)

2m

6.设质量为m的粒子处于一维势阱之中

oo(x<0)

V(x)=<-Vo(0<x<6f)

0(x>a)

式中，V,>0o若粒子具有一个5=-%的本征态，试确定此势阱的宽度。

04

V

解答：对于E=<0的情况，三个区域中的波函数分别为

4

%(x)=0

k(x)=Asin(Ax+b)

匕(x)=Bexp(-ax)

式中

根(E+匕)

K-(2)

-h--fr

利用波函数在x=0处的连接条件知，3=〃万,〃=0,1,2,・・・。取6=0,于是

i//2(x)=Asinfcx(3)

在x=a处，利用波函数及其一阶导数连续的条件

%(。)=%(")"；(。)=以(。)(4)

得到

Asin(妨)=Bexp(-aa)

Akcos(^ka)=_3aexp(一加)(5)

于是有

tan(Azz)(6)

a

此即能量满足的超越方程。

当E=—/时，由于

4

(7)

故

=nTi一(,(〃=1,2,3,・・・)(8)

最后，得到势阱的宽度为

(9)

7.设粒子处于如下势场

V(x)=<4(x<。)

o(xNO)

若匕〉0,£>0,求在x=O处的反射系数和透射系数。

解答：具有能量E的粒子由左方入射，在两个区域中的波函数分别为

%(x)=Aexp(%]X)+8exp(_%]X)

"2(x)=Cexp(z^2x)(2)

式中

J2M(E+匕)

K,=-------------；=------(3)

1-h-2-ft

利用波函数在x=O处的连接条件，得到

A+8=C；A-B=&C(4)

将8、C用A来表示，则有

B="*A：C=-^-A(5)

k、+&攵।+&

于是反射系数R与透射系数T分别为

c（YT4k/,

R=-!----工T=......——（6）

+%2J;（匕+攵2）

把式（3）代入式（6）得到反射系数R为

—_7

R=屁钝一在一陪

⑺

_V£+V0+在_（JE+V0+V£）4

进而可得透射系数为

_”E（E+V。）

T（8）

当E»%时，有

V2

/?«—^7（9）

16E?

8.质量为m的粒子处于一维位势

oo（x<0）

V（x）=Jo（0<x<a）

匕（>。）（x>。）

中，写出其能量本征值时满足的方程。

9.设质量为m的粒子处于一维势阱之中

00（x<0）

V（x）=<0（0<X<6f）

匕（>。）（X>Q）

若已知该粒子在此阱中存在一个能量为态E=%,试确定此势阱的宽度a。

2

解答：三个区域中的波函数分别为

%（x）=0

匕（x）=Asin（/ex+b）（1）

〃3（x）=Bexp（-crx）

式中

J2m（£+V）

o。=也胆

K-（2）

-h--h-

利用波函数在X=O处的连接条件知，6=〃肛〃=0,1,2,・・・。取6=0,于是

i//2(x)=Asinkx(3)

在》=。处，利用波函数及其一阶导数连续的条件

%(。)=忆(。)，必(。)=必(“)(4)

得到

Asin(妨)=5exp(-6Z6f)

AAcos(ka)=-Baexp(一加)(5)

于是有

tan(kct)=---(6)

a

此即能量满足的超越方程。

A

10.有--个粒子沿x轴方向运动其波函数为-(x)=^,试求:

(1)将此波函数归一化；

(2)求出粒子按坐标的概率密度分布函数；

(3)问在何处找到粒子的概率最大？为多少？

解答：(1)〃(x)的共桅复数为/(x)=1

利用归i化条件

jV*(x>(x”x=j-dx=\

1+x2

得到

A

归一化后的波函数为

1A

川x)

zr1+zx

(2)粒子的概率密度为

A2

W(x)=M(x)(=/(x)“(x)

l+x2

4得到心)=5』

其中，A

(1)概率最大时:

处a=0­卬⑺」

dx'小7r

11.一个质量为m的粒子在一维无限深方势阱中运动。求粒子在阱内外的能量本

征值和本征函数。

二、力学量的算符表示

1.计算对易子［x,5」

解答：对于任意的波函数”（X）,有

［尤,瓦1"（x）=*PW（x）-p/w（X）

=-Hr^xy//（x）一夕（x）-（x

=Hrw（x）

由于科（x）是一个任意的波函数，所以

[x,px]=Hr

2.计算对易子区,可

解答：对于任意的波函数〃（x）,有

[方；、]-(X)=(%X—X万)“(X)=-XI//(-X)-XI//(-X)

=-2xi//(-%)=-2x元w(%)

由于犷（x）是一个任意的波函数，所以

[1,x]=-2x71

3.计算对易子［/（x）,力」

解答：对于任意的波函数”（X）,有

[/(x)，A]"(x)=*{/(x)“(x)-r(x)Hx)-/(x)”(x)}

=时（X）叭X）

由于Hx）是一个任意的波函数，所以

［/（刈,）/=而不/（、）

4.定义轨道角动量算符£=»方，计算其中

；^(d8]

L=yp-zp=-th-y--z—

xzvl&dy)

解答：利用对易子代数的运算规则，有

[£"]=[或*ZPy，ZPx-Xp」

人人人人人人

=-zpy,zpx]-\_yp:-zpy,xp:]

r人人八八人八7r]

=[加：'zp」-Lzpy,zpx]-[yp:,xp:\+\_zpv,xp」

y[p^z]px+x[z,pz]py

=Hr(xpy-ypx)=Hrz

5.定义轨道角动量算符£=「、力，计算其中

Ja

Lf^zp-xp.^-rfrz--x—

JvzI&dz)

解答：利用对易子代数的运算规则，有

[£；，4]=[xpz,xpy-ypJ

人人人人人人'(I

=[zPx-xpz,xpy\-[zpx-xpz,ypx\

人人人人人人人人一|Ir-]「1

=[zPx,xpy\-[xp：,xpy]-[zpx,ypx\+[xp:,ypx\

=Z[P^X]p>+y[x，p」Pz

=而(或一犯)==说

6.定义轨道角动量算符£=尸乂/，计算[£；,4],其中

；Jddy

A=xpy—yp=-rfrx-y—

xIdydx)

解答：利用对易子代数的运算规则，有

[£；，4]=[xPy-yp.syp：-印」

人-人y人p，yp]-\_xp-yp,zp]j

Kx:yxy

人人人人人人人人一]ri

=\_xpy，yp」一[)%,yp:\-[xp,.，zpy]+\_ypx,zpy]

=rh{zpx-xp:)

=HrLx

7.证明算符(龙x-xp：)是厄密算符。

证明：因为正与x不对易，/x与前；都不是厄密算符，所以不能直接判断算符

i(伏x-xp；)的厄密性质，但是

'(僧竺物;)=i[p；,x]=ipx[px,x]+i[px,x]px=2-h-j

因为凡是厄密算符，所以初：)也是厄密算符。

8.证明算符(龙X-xp；)是厄密算符。

证明：利用x与人的厄密性质及

A+BJ=A++B+,(AB)=B+A+

得到

2++

(磔年xpx)=(p%)++(a)=板+p-

显然，(戌x-xp；)是自共辄算符，所以它是厄密算符。

9.证明厄密算符的本征值是实数。

证明：利用厄密算符的定义，取任意状态〃(x),有

A=JV(x)A*J“*(x)dx=(A)

所以厄密算符A在任意态w(x)下的平均值,总是实数。

用厄密算符A属于本征值an的本证函数的复共扼“：(x)左乘

加"(x)=(%)

然后对全空间做积分，并利用““(X)的归一化条件，得到

何(x)沏"(x)公=aJ”：(x场(x)Jx=an

上式的左端就是算符A在其本征态匕(x)下的平均值，于是有

A=an

由于厄密算符N在任意态《(x)下的平均值n都是实数，所以厄密算符的本征值一定是实

数。

10.证明厄密算符的无简并本证函数满足正交归一化条件。

证明：对于算符人的任意两个归化的本证函数忆“(x)与匕(x),利用算符N的厄密性质

W；(x)痂“,(x”x=J”,"(x)A*归(x”x⑴

可得

《」匕：(x》,“(x)dx=4」忆“(xy；(x)dx(2)

整理得

(册一。“)JV；(x)忆.(x)dx=。⑶

当机W〃时，

J”；(xM，“(x)dx=0(4)

当机二〃时、由本证函数的归一化条件知

W：(xM“,(x”x=l⑸

上述两式可以统一写成

J，(xW”(x)dx=%,

上式就是厄密算符本证函数的正交归一化条件。

11.证明：若算符N与月分别满足本证方程

蒯=%匕和加"=b"

则必有［4,月］=0。

证明：当算符公和与有共同本证函数系｛“”｝时，利用

加"=《必和加"=，忆,有

静W”=a,,Bw“=a,hV"⑴

筋k=〃/匕=〃4匕

⑵

将上述两式相减，立即得至忆,=0⑶

对于任意状态中，总可以向完备系｛-“｝展开，即

¥=XCV,(4)

n

用[4分]从左作用上式两端，利用式(3)得到

[无可甲=2。“[48卜=。⑸

/I

根据T的任意性知

[AB]=O(6)

12.若算符A与月满足对易关系M，/]=0,且算符A满足本证方程&<“=。,口”的本征值

an是无简并的，则忆也是算符B的本征态。

证明：加“=《必⑴

用算符与作用(1)式两端，有

a&.=A(By/J=a“(Bw“)(2)

由上式可知白匕也是算符N的对应本征值a“的本征态，它与忆只能差一个常数，若设其

为b”,则有

加“="匕⑶

说明w"不但是算符A的本征态，而且也是算符B的本征态。

13.证明下述两个平均值公式

〈尸(少=户中(x,f)d/(1)

化(/》=Z/>(£M⑵

n

是等价的。式中卬(£")为f时刻在+(x,f)态上测量/得力的概率。

先由(1)=>(2)

在状态+(xj)上，力学量产的平均值为

=JZc：(f)/：(x)，E%(fW(x)dx

mn

(碟

n

由力学量平均值的定义可知，展开系数的模方,.(f)『是f时刻在状态中(%/)上测量力学量

F得力值的概率，故取值概率和平均值分别为

PMTqOf

尸(，)=Z#(Of

W

再由(2)n(1)

由展开假定可知

巾3)=除(，旷

其中展开系数为

%")=[〃：(x)+(x,f)dx

将上述两式代入⑵式，利用封闭关系=得到

n

F(0=EAIC«(0|2

II

=Z力[例5)¥廿,f)加[*[W(x)¥(x,f)回

n

=ZJk(x')yJ匕：(x)%(x，f)dx

nn

=Z(x，)+*(Mf户J,(x)%(x,f)dx

n

=JT*{^x',t^dx'F^x,t^S{^x-x'^dx

=J+*(x,f)/5(x,f)da

14.设粒子处于状态

i//(0,(p)^^-Y2i(0,(p)-^Y2O(0,(p)+-^=Y3](0,(p)

求(1)在犷(仇9)上分别测量Z3和"的可能取值与相应的取值概率；

(2)在“(8,°)上同时测量Z?和“，测得L?=6力2,%=在和乙2=12%2,Lz=-fr

的概率；

(3)难〃(仇夕)上测量Z3得到12力2后，紧接着测量”的可能取值与相应的取值概率;

（4）先在“（。，9）上测量4得到力后，紧接着测量Z3的可能取值与相应的取值概率。

解答：首先，判断”（仇夕）是否是归一化的状态，由

叭仇功=工。人（46

Im

知

出11

^--，c20---,c3i--j=

其余。“=0。于是有

沙通+*=1

所以“（仇夕）已经是归一化的状态。

其次，计算四种情况下各力学量的可能取值与相应的取值概率。

（1）在犷（a夕）态上，算符^的本征值

L2=Z（Z+1）-/T2,（Z=2,3）

相应的取值概率公式为

2

W（Z?=/（/+1）夫2）=，I卜,“J

m=-l

具体计算结果为

W（Z?=6%2）=%「+k20|2=|

222

w（L=127r）=|c3l|=1

算符工的本征值

Z

L_==0,1）

相应的取值概率公式为

w（4=m/r）=ZkJ

I

具体计算结果为

w（L-o「="

22

vv（£c=7r）=|c21|+|c'31|=1

（2）因为算符Z?与二是对易的，所以两者有共同的本证函数系｛，（夕夕）｝,并且可

以同时取确定值。相应的取值概率分别为

W（Z?=6%2,4=%）=M=.

222

w（L=127r,L£=-/r）=|c3l|=1

（3）先在状态”（仇9）上测量Z?得〃=12力2后，状态”（。，9）已经变到©的本征态

4（仇夕）上，而它恰好是Lz的对应本征值Lz=-h的本征态，所以这时再测量必将得到

确定值力，或者说，测量值4=%的概率是1。但是，由于在状态什（。,夕）上测量Z3得

〃=12是的概率是:，所以，如果从收（仇夕）出发，则测得4=升的概率应是L

（4）在状态收（/夕）上测量4=在后，使得状态沙（仇夕）变到一个新的状态

+（8#）=会（a"+5%（a9）

为了求出在中（仇口）上^的可能取值与相应的取值概率，必须将5（a°）归一化，令

¥..=C殍跖（——+鬓4（6w）

于是由

联+3

得

Y

归一化后的甲（仇夕）为

中（仇9）=岛（。，协+后（仇。）

在状态中（a9）上测量Z?得乙2=6%2和片=12力2的概率分别为

w（73=67r2）=（

w（—=127r2）=,

如果从状态〃（49）出发，则相应的取值概率分别为

855

=67r2)=—X—=

989

83]_

=12力2)=-x—=

983

15.推导力学量算符的运动方程

好_竺上m

推导:在任意满足薛定将方程的状态T(左。上，力学量F的平均值为

(1)

将上式两端对时间，求导，有

，可=JjT*(xj)F9(x,f)

W*(x/)e户卜(x/)d

+(2)

由薛定谓方程及其共辄方程知

白3)=一；方+3”

9*3)=/y(xj)

(3)

当丫(x)是实数时，有犷="，将式(3)代入式(2),并且利用力的厄密性质，有

=+.J+*(x,f)信「卜(XJ”/(4)

d

(5)

dt

引入一个新的算符dF竺，它是用算符的平均值定义的，即

dt

dF__±%)(6)

dtdt

算符”dF称为力学量算符尸-的时间微分算符。由(5)式可知

dt

(7)

16..证明位力(Virial)定理

若哈密顿算符为

H^T+V^—p2+V(r}(1)

2mV

对于定态而言，则有

f=Ar.vy(r)(2)

证明：因为

^厂•力=

(3)

dt7rL」

将(1)式代入(3)式，得到

d人…i1

—r,p=----p2+—[vP~\(4)

dt%2m7r

其中

i1人12

=­P(5)

工隙"""m

=-r•VV(r)(6)

于是有

1

d12

r*j人i人=­p-r•VV(r)(7)

dtm

对于定态而言，因为

+E(r/)=〃E(r0)exp[一?£7)(8)

所以

r•p=jtz/*(r,O)expf—V•pi//E(r,O)expf---Et\dr

=J,(r,0)/••加£(r,O)dr

上式与时间无关，故有

(10)

将(10)式代入(7)式即得(2)式。

17.海尔曼——费恩曼定理

对哈密顿算符方的束缚本征态《“(r)而言，有

其中，4是算符方中的一个参数，纥是对应力,(「)的本正能量。

证明：因为

纥=J"；⑺方匕①〃

所以有

詈噜何("匕⑺八

dT

=J［备H⑺3。⑺dr+jk；(r)普匕⑺八+仅:⑺“《也⑺

嚼+E"{j［京⑺匕⑺+”；⑺/(4」

=詈+E晨何⑺忆⑺打

dH

一嬴

18.设粒子在宽为a的非对称的一维无限深方势阱中运动，若粒子处于状态

」㈤令心力。馁

求粒子能量的可能取值与相应的取值概率。

解答：已知在非对称的维无限深方势阱中运动的粒子的能量本证解为

_2r.2

E„=-~^〃2,(〃=1,2,3,・・・)(1)

由展开假定可知

“(x)=»"(x)⑶

n

其中展开系数为

8

3=1"(xM(x)dx

-00

(4)

由（4）式知，波函数”（x）是归一化的。于是能量的可能取值与相应的取值概率为

w（Ej=g,W（/）=g,取其它值的概率为零。

19.线性谐振子在t=0时处于状态

122

”(x,f)=axexp——a~x

2

其中a%。分别求出f=0和，＞0时能量的取值概率及平均值。

解答;已知线性谐振子的能量本证解为

1

纥n+—

2

<Pn(%)exp--a2x2H.(ax)

2

特别是，当〃=0,1时有

Ia199

(Po(x)=丁exp——a~x

7兀2

12a122

/(x)=了exp——axax

yJ7t2

于是，『=0时的波函数可以改写成

小。）=&。（》）-库26）

3

容易验证它是归•化的波函数。并且，由展开假定知

”(x,O)=Zq,(O)%(x)

其中

c.（O）=f。；（x,（x,0）dx=

于是f=0时能量的取值概率为

(1\21

w£0=5力口,0=卜0(。)|=T

I，/J

=T%"'0）=L（0）「=W

能量取其他值的概率皆为零。能量的平均值为

----127

E⑼=Z卬（E“，0）E“=-£0+-£,=-^

因为

辿=0

dt

所以，＞0时的波函数可以写成

沙(x")=Xc"(O)%(x)exp-Ent

nI力"

=（光）exp[]加＞序"x）exp（—1■初）

显然，哈密顿量为守恒量，它的取值概率及平均值不随时间改变，故与/=0时的结果完全

相同。

20.设氢原子在/=0时处于状态

中（厂,。）=；&（尸）/（仇9）-'/?3"「注0（。,9）-鬓马（厂）心（仇。）

求其能量、角动量平方及角动量z分量的取值概率及平均值；写出在f〉0时体系的波函数,

并给出此时能量、角动量平方及角动量z分量的取值概率及平均值。

解答：已知氢原子的本证解为

*1

E“=F----（〃=1,2,3,…）

2aon

心加。，仇9）=跖⑺与（仇。）

将中（r,0）向氢原子的本征态展开

%（匕0）=X%，”（O）%加（r,0,夕）

nhn

不为零的展开系数只有三个，即

C2IO(0)=5工310(0)=一&，。2一(。)=一亚

J4

显然，题中所给出的状态并未归一•化，容易求出归一化常数为,于是归一化后的波函数

为

+（»）=公狗①九®。）—5%（中。（仇夕）一J|2腐⑺（（&e）

55

能量的取值概率为