重庆市2020年高二数学上学期期中考试卷（三）

重庆市2020年高二数学上学期期中考试卷（三）

（文科）

（考试时间120分钟满分150分）

一、单项选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60

分）

1.直线正x-y+l=0的倾斜角是（）

71712冗5冗

A.VB.-3-C.~3~D.~

x2y2

2.双曲线丁-年"=1的离心率是（）

L娓M

A.2B.V3c.-D.-

3.命题“VxWR,|x|+命20”的否定是（）

A.VxER,|x|+x2<0B.Vx£R,|x|+x2^0

C.3XoGR,Xo|+xo2<^OD.mx（）6R,Xo|+xo2^O

4.抛物线y2=2x的焦点到直线x-Cy=O的距离是（）

V3V311

A.~B.-C.7D.-2

5.一个圆锥与一个球的体积相等，圆锥的底面半径是球半

3

径的，倍，则圆锥的高与球半径之比为（）

A.16：9B.9：16C.27：8D.8：27

6.双曲线5x2-ky2=5的一个焦点坐标是（2,0）,那么k

的值为（）

35

A.3B.5c.丁D.7

7.一个正四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正（主）

图如图所示，则该四棱锥侧面积是（）

A.180B.120C.60D.48

8.从点（1,0）射出的光线经过直线y=x+l反射后的反射光

线射到点（3,0）上，则该束光线经过的最短路程是（）

A.2企B.V2C.遥D.2

9.已知A（-1,-1）,过抛物线C：y2=4x上任意一点M

作MN垂直于准线于N点，则|MN|+1MA|的最小值为（）

A.5B.710C.V5D.42

22

10.以双曲线号-的右焦点为圆心，与该双曲线渐近线

相切的圆的方程是（）

A.x2+y2-10x+9=0B.x2+y2-10x+16=0

C.x2+y2+10x+16=0D.x2+y2+20x+9=0

11.设P为双曲线x2-*=l上的一点，Fl，F2是该双曲线的

两个焦点.若|PF1|：|PF21=3：2,则△PF1F2的面积为（）

A.&V3B.12C.12V3D.24

12.已知双曲线当■-3=1（a>b>0）的一条渐近线与椭圆卷

+y2=i交于p.Q两点.F为椭圆右焦点，且PFJ_QF,则双曲

线的离心率为（）

A.-^-715B.-|V5C.V3-1D.V5

二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分,满分20分.）

13.若双曲线E：=-《=1的左、右焦点分别为Fi，F2,点

P在双曲线E上，且|PF/=3,则IPF2I等于.

14.若抛物线y2=4x上一点M到焦点F的距离为5,则点M

的横坐标为—.

15.已知椭圆时直线I交椭圆于A,B两点，若线

段AB的中点坐标为2，7）,则直线I的一般方程为—.

22

16.圆x2+y2=9的切线MT过双曲线凸-Z-=l的左焦点F,其

中T为切点，M为切线与双曲线右支的交点，P为MF的中

点，M|PO|-|PT|=.

三、解答题（本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字

说明、证明过程或演算步骤.）

17.（10分）已知命题p{x|x2+4x>0},命题①七二至V0）,

X

则「P是「q的什么条件？

分)已知两条直线

18.(12li：(a-l)x+2y+l=0,l2：x+ay+3=0.

(1)若li〃L,求实数a的值；

(2)若k_Ll2,求实数a的值.

19.(12分)已知A(2,0),B(3,276).

(1)求中心在原点，A为长轴右顶点，离心率为李的椭圆的

标准方程；

(2)求中心在原点，A为右焦点，且经过B点的双曲线的标

准方程.

20.(12分)已知以点P为圆心的圆经过点A(-1,0)和

B(3,4),线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D,且

ICD|=4

(1)求直线CD的方程；

(2)求圆P的方程.

21.(12分)如图，斜率为1的直线过抛物线y2=2px(p>0)

的焦点，与抛物线交于两点A.B,将直线AB向左平移p个

单位得到直线I,N为I上的动点.

(1)若|AB|=8,求抛物线的方程；

(2)在(1)的条件下，求证•诬的最小值.

22.（12分）已知椭圆C：的离心率e哆

过点A(0,-b)和B(a,0）的直线与原点的距离为坐.

（1）求椭圆C的方程;

（2）设Fi、F2分别为椭圆C的左、右焦点，过F2作直线交

椭圆于P,Q两点，求△FiPQ面积的最大值.

参考答案

一、单项选择题

1.B.2.B.3.C.4.C.5.A.6.D.7.C.8.A.9.C.

10.A.11.B.12.A.

二、填空题

13.解:设|PF21=X,

,•双曲线《=的左、右焦点分别为点在

・E：4-1Fi,F2,P

916

双曲线E上，_a|PFi|=3,

••a~39b=4.c=5,

Ix-3|=6,解得x=9或x=-3（舍）.

A|PF2|=9.

故答案为：9.

14.解：抛物线y2=4x的准线方程为x=-1,

•・•抛物线y2=4x上点到焦点的距离等于5,

・•・根据抛物线点到焦点的距离等于点到准线的距离，

・••可得所求点的横坐标为4.

故答案为：4

15.解：设以点P（缶-1）为中点的弦与椭圆交于A（X],

丫则

yi），B（x2,2），xi+x2=l,yi+y2=-2,

分别把A(xi，yD,B(x2,y2)代入椭圆方程E,9+q=1，

再相减可得(xi+xz)(xi-x2)+2(yi+y2)(yi-yz)=0,

(xi-X2)-4(yi-yz)=0,

k=-心4

-x24

，点P弓，-1)为中点的弦所在直线方程为y+l={(x-j),

整理得：2x-8y-9=0.

故答案为：2x-8y-9=0.

16.解：设双曲线的右焦点为P,则PO是△PFF的中位线,

A|PO|=1IPFZN|PT|=j|MF|-|FT|,

根据双曲线的方程得：

a=3,b=2/3,C=721,

A|OF|=V21,

IMF是圆x2+y2=9的切线,|OT|=3,

/.RtAOTF中，|FT|=JIOFI2-IOTI2=2F，

/.|PO|-|PT|=||PFZ|-(||MF|-|FT|)=|FT|(|PF|

-|PFZ|)=26-3,

故答案为：26-3.

三、解答题

17.解:p：{x|x2+4x>0}={x|x<-4或x>0},.(xl1~16<0)

qX

={x|x<-4或0VxV4},

Lp：xe[-4,0]；[q：xe[-4,0]U[4,+8).

是rq的充分不必要条件.

18.解：(1)由a(a-1)-2X1=0,得a=2或-1,经检

验，均满足.

(2)由(a-1)Xl+2a=0,得a].

19.解：(1)由题意，a=2,c=V3,b=l,

2

・•・椭圆的标准方程为春+yJl；

(2)由题意J(3+2)2+(2&)2-J(3-2)2+(2Vi)2=7-5=2a,

••a-1,

Vc=2,

b=V4_1=V3,

・•・双曲线的标准方程是x2-4=l.

20.解：(1)直线AB的斜率k=l,AB中点坐标为(1,2),...

・,・直线CD方程为y-2=-(x-1)即x+y-3=0...

(2)设圆心P(a,b),则由点P在直线CD上得：

a+b-3=0①…(8分)

又直径|CD|=4^,，|PA|=2VI5

(a+1)2+b2=40②...(10分)

由①②解得3或信?

・•・圆心P(-3,6)或P(5,-2)...(12分)

，圆P的方程为(x+3)2+(y-6)2=40或(x-5)2+(y+2)

2=40…(14分)

21.解：(1)由条件知IAB：y=x-1,

(尸x-R1

2

贝12，消去y得：x-3px+0p2=0,贝！]xi+x2=3p,

[y=2px

由抛物线定义得IAB|=xi+x2+p=4p

又因为|AB|=8,即p=2,则抛物线的方程为y2=4x.

(2)直线I的方程为：y=x+令于是设N(xo,x0+1),A(xi,

yi)，B(X2,yz)

则诬=(X1-X0,yi-Xo-y)，NB=(x2-Xo，V2-Xo-^-)

e2

8PNANB=xix2-x0(xi+x2)+x0+yiy2-(xo+§)(yi+y2)+(xo+号)

由第（l）间的解答结合直线方程，不难得出Xi+X2=3p,X1X2=[

P2,

2

且yi+y2=xi+x2-p=2p,yiy2=（xi-与）（x2-1）=-p,

2

则诬•标=2xo2_4pXo_-|p2=2（x0-p）2-ip,

当xo^时，NA•丽的最小值为-

22.解：（1）直线AB的方程为三代=1,即bx-ay-ab=O,

a一D

原点到直线AB的距离为武丁号，即3a2+3b2=4a2b2...@,

1=鲁。24a之••②

a33

又a2=b2+c2...（3）,

由①②③可得：a2=3,b2=l,c2=2.

2

故椭圆方程为彳+y2=i；

（2）Fi（-V2.0）,F2（V2.0）,

设P（xi，yi）,Q（X2，V2），

由于直线PQ的斜率不为0,故设其方程为：x=ky+y,

x=ky+亚

联立直线与椭圆方程：x2=＞（k2+3）y2+2V^y-l=0.

lT+y2=1

r4__2V2k

yi+y2-TTT

则J了…④，

HE

S="FF

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